Teoría de grafos

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Breve descripción sobre los aspectos más importantes sobre la Teoría de Grafos y una de sus aplicaciones más relevantes, el Teorema de los Cuatro Colores

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Teoría de grafos

  1. 1. Sabrina Dechima
  2. 2. Euler, fue contemporáneo de variosotros famosos matemáticos , talescomo Immanuel Kant, JohannHamann y Christian Goldbach, por loque Königsberg fue un importanteepicentro científico. Es en esteambiente que surge la formulación delproblema, propagándose a modo dejuego matemático entre losintelectuales de la época
  3. 3. El trabajo de LeonhardEuler, en 1736, sobre el problemade los puentes de Königsberg esconsiderado el primer resultadode la teoría de grafos. Pero a lavez se lo considera uno de losprimeros resultados topológicosen geometría
  4. 4. Un poco de HistoriaLa ciudad era atravesada por un río, el cual dividía el terreno en cuatro regiones, las que estaban unidas mediante siete puentesPuente del herrero, Puente conector, Puenteverde, Puente del mercado, Puente demadera, Puente alto y Puente de la miel
  5. 5. ¿Cuál era la consigna a resolver?¿Es posible dar un paseocomenzando desde cualquierregiones, pasando por todoslos puentes, recorriendosólo una vez cada uno, yregresando al mismo puntode partida?
  6. 6. Euler demuestra una solución generaldel problema, para ello recurre a unaabstracción del mapa, enfocándoseexclusivamente en las regionesterrestres y las conexiones entre ellas
  7. 7. Euler determinó, que los puntos intermedios de un recorridoposible deben estar conectados a un número par de líneas. Yaque, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces elúnico modo de salir de ese punto es por otra diferente. Estosignifica que tanto el punto inicial como el final serían losúnicos que podrían estar conectados con un número imparde líneas. Sin embargo, el requisito adicional del problemadice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que nopodría existir más de un único punto conectado con unnúmero impar de líneas.
  8. 8. Es imposible recorrer los puentespasando SOLO una vez por cada uno Como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes, entonces se concluye que es imposible definir un camino con las características buscadas
  9. 9. Veamos si entendieron Será posible recorrer la figura SIN LEVANTAR EL LÁPIZ. ¿Por qué?Un grafo se puede dibujar de un solo trazo y sin levantarel lápiz cuando tienen dos o ningún vértice impar.
  10. 10. La importancia de este concepto La abstracción del problema dio pie a laprimera noción de grafo, que es un tipode estructura de datos, utilizadaampliamente en matemática discreta y enciencias de la computación. A los puntos seles llaman vértices y a las líneas aristas. Alnúmero de aristas incidentes a un vértice sele llama el grado de dicho vértice.
  11. 11. No hay restricciones para formar un grafoPuede haber varias aristas entre dos vérticeEl vértice de partida y el de llegada puede serel mismoLas aristas pueden o no llevar flechas
  12. 12. Grafos simples : no poseen aristasorientadas, ni bucles, pero además, entreun mismo par de vértices no se admitendos o más aristas
  13. 13. Multígrafo: se permiten aristas múltiplesPseudografo: se permiten aristas múltiples y bucles
  14. 14. Grafos orientadosMultígrafos dirigidos
  15. 15. Pseudografos dirigidos
  16. 16. Aplicación más conocida Teorema de los cuatro coloresDado cualquier mapa conregiones continuas, puedeser coloreado concuatro colores diferentes,de forma que no quedenregiones adyacentes (quecompartan todo unsegmento de borde encomún) con el mismocolor
  17. 17. Fue planteado por primera vez por FrancisGuthrie en 1852 y resuelto positivamente en1976 por Kenneth Appel y Wolfgang Haken.El problema más importante referido a lademostración es que necesitaroncomputadoras para hacerlo, lo cual le restaprestigio, pero algo a favor es que de maneramanual hubiera sido imposible realizarla deotra forma.Convirtiéndose, de esta manera en el primerteorema demostrado de esta forma
  18. 18. Vamos a un ejemplo concreto
  19. 19. Mapa de Mc Gregor, 1975
  20. 20. ¿Qué otra aplicaciones conoces?Transito vehicularCantidad de ordenadores conectadosOrden en los horarios de festivalesartísticos

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