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Módulos algebra de matrices (1)

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Materia de álgebra, matrices con ejemplos y ejercicios.

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Módulos algebra de matrices (1)

  1. 1. Álgebra de Matrices Prof. Esteban Hernández
  2. 2. JustificaciónLas matrices son una herramienta importante en lasrepresentación de ideas matemáticas. Sus aplicacionesalcanzan todas las ramas de matemáticas y ciencias.El conceptos de matriz es tan importante que existe todauna rama de las matemáticas que trata exclusivamenteel estudio de las matrices, esta se conoce como el álgebralineal. Veremos en este módulo los conceptos generalesde matrices y las aplicaciones a la solución de sistemasde ecuaciones lineales.
  3. 3. Pre-prueba1. Suma las matrices  2 −1 −2   −3 0 −1  0 4 1 + 4 3 3  =      −3 3 5   0 0 4     2. Resta las matrices 2 0 −0  −3 0 −1 0 3 1 − 1 3 1=     −3 1  2 0 0   1
  4. 4. 3. Multiplica las matrices 1 −1 0  −3 0 −1 0 2 1.  4 1 0 =     −3  3 1  0   0 44. Encuentra la multiplicación ecalar  2 −1 −2  5 0 4 1  =    −3 3 5   5. Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y elresto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por cientode manera que obtenga un 8% de interés anual? Resuelveusando matrices.
  5. 5. Objetivos:1. Definir el concepto de matriz.2. Definir los conceptos de matrices cuadradas, matriz identidad, matriz transpuesta, matriz inversa, vectores fila y columna y matrices triangularizadas.3. Definir las operaciones entre matrices.4. Resolver ejercicios de aplicación usando matrices.
  6. 6. Definición:Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los númerosque forman la matriz se llaman entradas o elementos y seescriben dentro de paréntesis.Las matrices se identifican con letras mayúsculas.Ejemplos de matrices:  2 3  3 −1 −3 A= 3 2 0  4 5 B =  3 2 −2  C=      4 1 −3  4 0 5    Las líneas horizontales de números se conoce como filas y las verticales como columnas.  3 2 0  fila C=  4 1 −3  columna
  7. 7. Al número de filas por el número de columnas de una matriz se le llama el orden o tamaño de la matriz.  2 3 A= Matriz 2x2  4 5   3 −1 −3 B =  3 2 −2    Matriz 3x3 4 0 5    3 2 0  C= Matriz 2x3  4 1 −3 Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.
  8. 8. Definición de matriz mxn: Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n columnas se conoce como una matriz m x n.  a11 a12 a13 .... a1n  a a22 a23 ... a2 n   21   a31 a32 a33 ... :  A=   : : : ... :   :     am1  am 2 am 3 ... amn Los elementos de la matriz se expresan de la forma aij donde icorresponde a la posición de la fila y j corresponde a la posición de la columna. Una matriz mxn se suele escribir en la forma general abreviada, A =  aij    o A =  aij    mxn
  9. 9. Definición de un vector fila: Una matriz que tiene una sola fila se llama vector fila. A = [ a1 a2 a3 ... an ] Ejemplo: A = [ 1 2 0 −1] vector fila 1x4Definición de un vector columna:Una matriz que tiene una sola columna se llama vectorcolumna.Ejemplo: 2 B=  0  vector columna 3x1   1    Aclaración: No confunda la notación aij de un elemento con la notación aij  = ( aij ) de una matriz.  
  10. 10. Definición :Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y losmismos elementos.Ejemplo:  x y 1 1 3 1Si   =  4 −1 v  entonces x = 1; y = 3;  z −1 5    z = 4; v = 5Definición :La transpuesta de una matriz mxn, A es la matriz nxm cuyafila i es la columna j de A. La transpuesta de A se denotapor ATEjemplo: 0 4  0 3 1 Si A=  entonces AT = 3 −1  4 −1 4     1 4   
  11. 11. Matrices especiales:Matrices especiales:1. La matriz cero Una matriz mxn cuyas entradas son todas ceros de conoce como la matriz cero y se denota por 0nxm o solo por 0. Tenga cuidado que no confunda la matriz cero con el número cero. 0 0 0  02x3 =  Ejemplo:  0 0 0 La matriz cero 2x3 es;2. Matrices cuadradas Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplo:  3 −1 −3 Matriz cuadrada 3x3 B =  3 2 −2    4 0 5   
  12. 12. Matrices especiales:  4 −1 A= Matriz cuadrada 2x2  3 6 3. Matriz diagonal Una matriz cuadrada nxn cuyas entradas son todas ceros excepto las entradas de la diagonal se llama matriz diagonal. Ejemplo: 4 0 Una matriz diagonal 2x2 es; A =   0 6 3 0 0 Una matriz diagonal 3x3 es; B = 0 −2 0    0 0 5  
  13. 13. Matrices especiales: 4. Matrices triangularizadas Una matriz se dice que está triangularizada por arriba si todas las entradas bajo la diagonal principal son cero. Una matriz se dice que está triangularizada por abajo si todas las entradas sobre la diagonal principal son cero. Ejemplos: Una matriz triangularizada por arriba es;  3 −1 −3  A = 0 2 0    0 0 5    Una matriz triangularizada por abajo es; 3 0 0  B = 3 2 0    1 0 5   
  14. 14. Matrices especiales:5. Matriz identidad Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero excepto las de la diagonal principal que tiene entradas iguales a 1, se llama matriz identidad. Existe una matriz identidad para cada tamaño de matriz cuadrada nxn. Ejemplos: 1 0  La matriz identidad 2x2 es; I =  0 1 1 0 0 I = 0  1 0  La matriz identidad 3x3 es; 0  0 1  1 0 0 0 0 1 0 0 La matriz identidad 4x4 es; I =  0 0 1 0   0 0 0 1
  15. 15. Operaciones con matrices:1. Suma de matrices Si A =  aij  y B = bij  son dos matrices mxn entonces     definimos la suma de A y B por, A + B =  aij  + bij  ≡  aij + bij        La suma de matrices se obtiene sumando las entradas correspondientes de las dos matrices. Observe que la suma está bién definida si las dos matrices tienen el mismo tamaño.Ejemplos: Encuentra la suma las matrices.  3 0 −2  5 −3 6  1. Si A =   y B = 0 2 5  entonces  2 −1 4     3 0 −2  5 −3 6   3 + 5 0 − 3 −2 + 6  A+ B =   + 0 2 5  ≡  2 + 0 −1 + 2 4 + 4   2 −1 4     
  16. 16. Operaciones con Matrices :  8 −3 4  A+ B ≡   2 1 8  1 2   7 −2  2. Si A = 3 4  y B =  −6 4  entonces     5 6    3 0   1 2   7 −2  1 + 7 2 − 2   8 0  A + B = 3 4  +  −6 4  ≡ 3 − 6 4 + 4  =  −3 8          5 6   3 0   5 + 3 6 + 0   8 6         
  17. 17. Propiedades de matrices nxm: Propiedades de matrices nxm: 1. A + B = B + A, propiedad conmutativa. 2. A + (B + C) = (A + B) + C, propiedad asociativa 3. A + 0 = 0 + A , propiedad de identidad 4. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas Ejemplos:  1 2 1 0 1 2   −2 1 −1 Si A =   , B = 1 −3 1  , C =  0 −2 1  ,  −2 0 1     0 0 0 D=  0 0 0  a. Demuestra que A + B = B + A.  1 2 1 0 1 2   1 3 3  A+ B =   + 1 −3 1  ≡  −1 −3 2   −2 0 1    
  18. 18. Propiedades de matrices nxm: 0 1 2   1 2 1  1 3 3  B+ A=   +  −2 0 1 ≡  −1 −3 2  1 −3 1      Por lo tanto A + B = B + A. b. Demuestra que A + (B + C) = (A +B) + C.  1 2 1  −2 2 1   −1 4 2  A+ ( B + C) =   +  1 −5 2  =  −1 −5 3   −2 0 1      1 2 3   −2 1 −1  −1 4 2  ( A + B) + C =   +  0 −2 1  =  −1 −5 3   −1 −3 2      Por lo tanto A + ( B + C ) = ( A + B ) + C.
  19. 19. Propiedades de matrices nxm: c. Demuestra que A + 0 = A.  1 2 1  0 0 0   1 2 1 A+0 =   + 0 0 0  =  −2 0 1  −2 0 1     Definición de la multiplicación escalar: Si A =  aij  es una matriz mxn y k es un número real   (un escalar) definimos y denotamos la multiplicación escalar de A y k por, kA = k  aij  =  kaij      . La multiplicación escalar se obtiene multiplicando cada entrada o elemento de la matriz A por el escalar k.
  20. 20. La multiplicación de matricesLa multiplicación de matrices : Para definir la multiplicación de dos matrices necesitamos definir la multiplicación de un vector fila por un vector columna y determinar los tamaños de las matrices que se pueden multiplicar. Definición del producto interno de vectores El producto interno de un vector fila de tamaño, 1xp, por un vector columna de tamaño, px1, se denota y define por,  v11  v   21  U .V = u11 u12 u13 ... u1 p  .  v31  = u11.v11 + u12 .v21 + u13 .v31 + ... + u1 p .v p1     M   v p1    Observa que el producto interno de un vector fila por un vector columna produce un número real.
  21. 21. La multiplicación de matrices : Ejemplo: Encuentra el producto interno de los siguientes vectores. 3  −1   1. [ 2 1 − 3 4 − 1] .  4  = 2 ( 3) + 1( − 1) + ( − 3) ( 4 ) + 4 ( 5 ) + ( − 1) ( 6 )   5 6   = 6 + ( − 1) + ( − 12 ) + 20 + ( − 6 ) = 7  −1  −5 2. [ − 3 − 4 0 1] .   = − 3 ( − 1) + ( − 4 ) ( − 5 ) + ( 0 ) ( 1) + 1( 0 ) 1   0 = 3 + 20 + 0 + 0 = 23 Ojo: El resultado del producto interno es un número real y el número de columnas del primer vector debe ser igual al número de filas del segundo.
  22. 22. La multiplicación de matrices : Definición de la multiplicación de matrices Sea A una matriz de tamaño nxp,y sea B una matriz de tamaño pxm. Definimos y denotamos la multiplicación de A y B por A.B = C, donde C es la matriz de tamaño nxm cuyas entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j. Ejemplo: Encuentra los productos AB y BA de las siguientes matrices.  1 3  6 − 2 8 1. A =  y B =  5 0  1 4 5     2 7    1 − 2  3 1  y B =  2 5 0 2. A =    4 − 1 1  0 − 1    
  23. 23. La multiplicación de matrices :   1  3    0   [ 6 − 2 8]  5    [ 6 − 2 8]     1 3  6 − 2 8    3  7  1. AB =  . 5 0 =       1 4 5   2 7    1  3     1 4 5  5 1 4 5]  0   [ ]  [       3    7      6 − 10 + 24 18 + 0 + 56  =  1 + 20 + 15 3 + 0 + 35   20 74  =  36 38  
  24. 24. La multiplicación de matrices :  1 3  9 10 23  5 0   6 − 2 8  BA =    1 4 5 =  30 − 10 40    2 7     19 24 51    1 − 2  −6 7 −1 −2  3 1   2 5 3 0  =  10 14 11 1  2. AB =    4 −1 2 1    0 − 1      − 4 1 − 2 − 1   BA no está definida pues los tamaños no coinciden. No se puede multiplicar una matriz 2 × 3 por otra 4 × 2
  25. 25. La multiplicación de matrices : Propiedades de la multiplicación de matrices Si AB y C son matrices para las cuales la multiplicación esta definida y k es un número real (escalar): 1. A(BC) = (AB)C propiedad asociativa 2. A( B + C ) = AB + AC propiedad distributiva 3. ( A + B )C = AC + BC propiedad distributiva 4. (kA)B = k(AB) asociativa escalar Ejemplo: Demuestra las siguientes igualdades. 5 3 1. [ 3 −3 1]  1  = 10   2. [ 5 0 −1]  −9  = 15    −2    0  
  26. 26. La multiplicación de matrices: 1  −1 0 −1  −1 3   0 2 3. [ 0 −1 1 2]   = 3 4.    0 −2  =  −3 5   −2  3 2        2 3 −1 4   −1 3 55.    0 −2 1 = no está definida 3 −2 5     −1 3   −9 2 23   0 −2   0 1 −5 =  6 −2 −12 6.    −3 1 6    6 0       0 6 −30  1 3    2 0 −2 1  1 0  5 −7 7.    −1 5  = 3 14   −2 3 −1 1      1 −3
  27. 27. La multiplicación de matrices : 1 3  4 9 −5 4   1 0  2 0 −2 1  2 0 −2 1     8.   =   −1 5   −2 3 −1 1  −12 15 −3 4         1 − 3  8 −9 1 −2  Ejemplos: 9. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 3x4 y B es una matriz 4x3? 10. ¿Qué tamaño tienen las matrices AB y BA si A es una matriz 5x4 y B es una matriz 3x5?
  28. 28. La inversa de una matriz: La matriz identidad La matriz cuadrada diagonal nxn cuyas entradas en la diagonal principal son todas 1 y las demás entradas son todas 0 se conoce como la matriz identidad nxn. 1 0 ... 0 0 1 ...  0 1 0 0 I n=  1 0 I 2=  I 3=  0 1 0  M M M M  0 1      0 0 1   0 0 0 1 La inversa de una matriz Sea A una matriz cuadrada nxn. Si existe una matriz B, nxn tal que AB = BA = In, decimos que B es la matriz inversa de A y la denotamos por B = A-1.
  29. 29. La inversa de una matriz:Ejemplos: 1 0 1 0   1. Verifica que la matriz inversa de   es −1 1 . 2 2   2 1 0 −2   −9 2 22. Verifica que la matriz inversa de 4 −2  es  −41 9 .  1   4  1 2 −10   2 2    −5 1 1  Procedimiento para encontrar la inversa de una matrizSi A es una matriz invertible nxn construya la matriz aumentada[ A I n ] . La matriz inversa A-1, nxn, se obtiene reduciendo lamatriz mediante operaciones elementales de filas hasta obtenerla matriz  I n A−1  .  Ejemplos: 2 4  1. Encuentra la matriz inversa de A =  . 3 1 2 41 0 1  1  3 1 1 f1 → f1 2 0  10  → 3 2 1 2   0 1
  30. 30. La inversa de una matriz:  1  1 2 1 0 2 1 2 0 −3 f1 + f 2 → f 2  →   3 1 2  0 −5 − 3 1  0 1  2  1 1 2 2 1 0  − f2 → f2    →5 0 13 −1   10 5 1 1 2 − 10 2  −2 f 2 + f1 → f1  5   → 0 1 3 −1   10 5 − 1 2  10 5  1 −1 4  A−1 = =  3 − 1  10  3 −2     10 5 Verifica que AA-1 = I2 .
  31. 31. La inversa de una matriz: 2 −3 2. Encuentra la matriz inversa de  . 3 5  3 1 0 2 −3 1 0 1 − 2  3 1 2 1  → 3 0 1 f1 → f1  5 0  2 5    3 1 0 1 − 2  2 −3 f1 + f 2 → f 2  −3   0 19 → 2 1  2   3 1 0  1 − 2  2 2 f2 → f2  −3 2   0 1 19 → 19 19  1 0 5 3  3  19 19  f 2 + f1 → f1 → 0 2  1 −3 19 2  19 
  32. 32. La iversa de una matriz:  5 3  19 19  1  5 3 A −1 = = −3 2  19 −3  2   19 19  4 2 3. Encuentra la matriz inversa de  . 2 1 4 2 1 0 4 2 1 0 2  → f1 + 2 f 2 → f 2 0 0 0 1  1 0 1   No es posible tener la matriz inversa en el lado izquierdo por lo tanto la matriz no es invertible, la matriz inversa no existe.
  33. 33. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. a11 x + a12 y = k1Si tenemos un sistemas de ecuaciones 2x2,  a21 x + a22 y = k 2podemos definir los siguientes conceptos, a11 a12 a. La matriz de los coeficientes, A =  . a21 a22  xb. El vector variable, X =   . y  k1 c. El vector constante, K =   . k2  a11 a12   x   k1 d. La ecuación matricial del sistema, a  .  y  = k  . a22     2   21 A. X = K
  34. 34. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.La ecuación matricial del sistema se puede resolver multiplicandoambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz de loscoeficientes. A−1 A. X = A−1 K X = A−1 K a bSe puede demostrar que la matriz inversa 2x2,  c d  −1 a b  1  d −b es   = ad − bc −c a  . c d    Ejemplo: Resuelve el sistema usando la ecuación 2 x − 3 y = 7 1.  3 x + 5 y = 20
  35. 35. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. Solución: 2 x − 3 y = 7  2 −3  x   7   ⇒  3 5   y  =  20  3 x + 5 y = 20      −1  2 −3 1  5 3 1  5 3  3 5  = 2 5 − 3 −3  −3 2  = 19  −3 2    ( ) ( )     1  5 3   2 −3  x  1  5 3   7   −3 2   3 5   y  = 19  −3 2   20  19        1 0   x  1 95 0 1   y  = 19 19        x   5 C.S . = { ( 5,1) }  y  = 1 ⇒ x = 5, y =1    
  36. 36. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.Ejemplo 2:Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y el resto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por ciento de maneraque obtenga un, a. 8% de interés anual? b. 10% de interés anual? c. 10.5% de interés anual?Escribe la ecuación matricial y resuelve el sistema.Solución:Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%.  x + y = 10000   x + y = 10000a.  ⇒ .06 x + .12 y = .08 ( 10000 )  .06 x + .12 y = 800 Las ecuación matricial es : 1 1   x  10000 .06 .10   y  =  800      
  37. 37. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales. La inversa de la matriz de coeficientes es,  50  1 1  −1 2 − 3 .06 .10  =      −1 50    3    50   50   2 − 3  1 1   x  2 − 3  10000      y =     −1 50  .06 .10     −1 50   800    3     3  1 0   x  6666.67  0 1   y  =  3333.33       x = $6666.67 y = $3333.33
  38. 38. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.  x + y = 10000  b.   x + y = 10000 .06 x + .12 y = .10 ( 10000 ) ⇒  .06 x + .12 y = 1000  50   50   2 − 3  1 1  x  2 − 3  10000      y =  50  .06 .10      50   1000   −1 −1    3    3  1 0   x   3333.33  0 1   y  = 6666.67       x = $3333.33 y = $6666.67
  39. 39. Sistemas de ecuaciones 2x2 y ecuaciones matriciales.  x + y = 10000   x + y = 10000 c.  ⇒ .06 x + .12 y = .105 ( 10000 )  .06 x + .12 y = 1050 1 1   x  10000 .06 .10   y  =  1050        50   50   2 − 3  1 1  x  2 − 3  10000      y =     −1 50  .06 .10     −1 50   1050    3     3  1 0   x   2500 0 1   y  =  7500       x = $2500 y = $7500
  40. 40. Post-prueba1. Suma las matrices  2 −1 −2   −3 0 −1  0 4 1 + 4 3 3  =      −3 3 5   0 0 4     2. Resta las matrices  2 0 −0   −3 0 −1  0 3 1 − 1 3 1  =      −3 1 2   0 0 1     
  41. 41. 3. Multiplica las matrices  1 −1 0   −3 0 −1  0 2 1 .  4 1 0  =      −3 3 1   0 0 4     4. Encuentra la multiplicación ecalar  2 −1 −2  5 0 4 1  =    −3 3 5   5. Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y elresto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por cientode manera que obtenga un 8% de interés anual? Resuelveusando matrices.
  42. 42. Respuesta de la pre y post pruebas 1. Suma las matrices  2 −1 −2   −3 0 −1  −1 −1 −3  0 4 1 + 4 3 3  = 4 7 4         −3 3 5   0 0 4   −3 3 9        2. Resta las matrices  2 0 0   −3 0 −1  5 0 1   0 3 1  −  1 3 1  =  −1 0 0         −3 1 2   0 0 1   −3 1 1       
  43. 43. 3. Multiplica las matrices  1 −1 0   −3 0 −1  −7 −1 4   0 2 1  .  4 1 0  =  2 2 4        −3 3 1   0 0 4   21 3 7       4. Encuentra la multiplicación ecalar  2 −1 −2   10 −5 −10  5  0 4 1  =  0 20 5       −3 3 5   −15 15 25     
  44. 44. 5. Pedro invirtió $10,000 parte al 6% de interés anual y elresto al12% anual. ¿Cuánto debe invertir a cada por cientode manera que obtenga un 8% de interés anual? Resuelveusando matrices.Solución:Sea x la cantidad invertida al 6% y y la cantidad invertida al 12%.  x + y = 10000   x + y = 10000  ⇒ .06 x + .12 y = .08 ( 10000 )  .06 x + .12 y = 800 Las ecuación matricial es : 1 1   x  10000 .06 .10   y  =  800      
  45. 45. La inversa de la matriz de coeficientes es,  50  1 1  −1 2 − 3 .06 .10  =      −1 50    3    50   50   2 − 3  1 1   x  2 − 3  10000      y =     −1 50  .06 .10     −1 50   800    3     3  1 0   x  6666.67  0 1   y  =  3333.33      x = $6666.67 y = $3333.33

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