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Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de linea

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matematica III

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Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial e Integrales de linea

  1. 1. Ejercicios Resueltos de Cálculo Vectorial e Integrales de línea. 1.- Determine el valor de , si y . Solución:
  2. 2. 2.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una partícula desde el punto al a lo largo de la curva . Solución:
  3. 3. 3.- Sea . Demuestre que es independiente de la trayectoria que pasa por dos puntos dados. Solución:
  4. 4. 4.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y . Solución:
  5. 5. 5.- Demuestre que: Solución:
  6. 6. 6.- Sea , donde y . Determinar el valor de la integral. Solución:
  7. 7. 7.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva: Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva con . Solución: Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano: Aquí: Se tiene:
  8. 8. 8.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral. Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta . Solución: Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene: Integrando con respecto a se tiene: Se tiene:
  9. 9. 9.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por . Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son continuas. Demuestre que: Solución:
  10. 10. 10.- Sea a) Demuestre que es un campo conservativo Solución: b) Encuentran el potencial escalar Solución: c) Calcule donde está dada por: Solución:
  11. 11. 11.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las gráficas de y . Solución:
  12. 12. 12.- Determinar el exponente constante λ, de modo que: Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa. Solución: Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
  13. 13. 13.- Calcule la integral de línea ∫ + C xyxy dyxedxye , donde C es la curva formada por los siguientes segmentos de rectas: Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→ Punto Final Solución: Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que ),()( xyxyxyxy ye y xyeexe x ∂ ∂ =+= ∂ ∂ se tiene que la integral de línea es independiente de la trayectoria, y por lo tanto: 2 2 1 1 2 1 2 e edte dyxedxyedyxedxye t xy C xy C xyxy +−=−= +=+ ∫ ∫∫ − + Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ
  14. 14. 14.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada? Solución:
  15. 15. 15.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin utilizar una función de potencial. Solución:

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