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Gases ideales a nivel macroscopico microscopico

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Demostración de equivalencia entre la ecuación de estado de los gases ideales a nivel macro y la aproximación estadística a nivel micro

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Gases ideales a nivel macroscopico microscopico

  1. 1. Demostración de la ecuación de gases ideales en el estado microscópico por medio deherramientas de mecánica estadística.Libro mecánica estadística. Kubo. Imagine una superficie en la que se encuentra un gas ideal.Suponga que a través de esta superficie se da una transferencia de momento debido almovimiento de moléculas de gas. Encuentre la expresión para el cálculo de la presión que ejercenlas moléculas de gas en dos puntos de la superficie. Suponga que las moléculas de gas obedecenuna distribución de velocidades de Maxwell.SoluciónLa presión total ejercida por las moléculas de “gas ideal” en los puntos 1 y 2 se obtiene empleandola ley de Dalton: PT P1 P2 (1)Es obvio por el problema en cuestión que debemos enlazar la presión en los puntos 1 y 2 con lavelocidad, pues las particulas gaseosas se encuentran en movimiento, lo cual se obtiene aplicandoel principio de Bernoulli:
  2. 2. 2P n E (2) 3Donde n es la densidad de moléculas (n= N/V) de gas y E es la energía cinética promedio pormolécula.Reemplazando (2) en (1), queda: 2PT P1 P2 ( n1 E 1 n2 E 2 ) 3 2 1 2 1 2 PT n1 m 1 v x1 n2 m 2 v x2 3 2 2Si el movimiento solo se da en una dimensión, la expresión anterior se reduce a: 2 2 PT n 1 m 1 v x1 n 2 m 2 v x2 (3)Como la cantidad de gas es la misma en ambos puntos y las velocidades también, nos queda: 2 2 2 PT n 1 m 1 v x1 n 2 m 2 v x2 PT m v x ( n1 n2 ) 2 (4) n n1 n2 PT mn v xPara determinar el cuadrado de la velocidad promedio debemos hacer uso de la respectivaexpresión estadística y de la función de distribución de Maxwell: 2 2 v v f ( v ) dv 1/ 2 m 2 vx m 2 kT f (v ) e 2 kT 1/ 2 m 2 vx 2 m 2 2 kT v v e x dv 2 kT 1/ 2 2 2 x 3/2 como x e dx 2 1/ 2 1/ 2 3/2 2 m m v 2 kT 2 2 kT 1/ 2 1/ 2 3/2 2 m m v 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1 3/2 3/2 3/2 3/2 2 k T 2 2 k T
  3. 3. 1 2 m v 1 1 k TReemplazando este resultado en la ecuación 4 se obtiene: 1 2 m PT mn v x mn 1 1 k T PT nkTLa cual es equivalente a la ecuación de un gas ideal en el nivel macroscópico.

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