Matemática 6 9 apresent

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Matemática 6 9 apresent

  1. 1. MATEMÁTICA <ul><li>6º AO 9º ANO </li></ul>E. M. PROFª IRACEMA DE SOUZA MENDONÇA SALA DE INFORMÁTICA - MATUTINO
  2. 2. ESCOLA M PROFª IRACEMA DE S. MENDONÇA ALUNO(A): ALUNO(A): ANO: DATA: PROFESSORA: MARIA LUCIA PCTE: ROSENY LEIA COM MUITA ATENÇÃO CADA INFORMAÇÃO CONTIDA EM CADA SLIDE, PARA RESOLVER OS EXERCÍCIOS COM MUITA SEGURANÇA. Dara Alessandra Elis Regina 9ano A 27/05/2011
  3. 3. Equações do 2º Grau ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
  4. 4. Definição: <ul><li>  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x , toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. </li></ul><ul><li>Observe que: </li></ul><ul><li>a  representa o coeficiente de  x²; b  representa o coeficiente de x; c  representa o termo independente. </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>x 2 - 5x + 6 = 0 , onde a = 1,  b = -5 e  c = 6. </li></ul><ul><li> 7x 2 - x = 0 , onde a = 7,  b = -1 e  c = 0. </li></ul><ul><li>x 2 - 36 = 0 , onde a = 1,  b = 0 e  c = -36. </li></ul>
  5. 5. Equações Completas do 2º Grau <ul><li>Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. </li></ul><ul><li>Exemplos: </li></ul><ul><li>x² - 9x + 20 = 0 , onde a = 1,  b = -9 e  c = 20. </li></ul><ul><li>-x² + 10x - 16 = 0 , onde a = -1,  b = 10 e  c = -16. </li></ul>
  6. 6. Equações Incompletas do 2º Grau <ul><li>Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero. </li></ul><ul><li>Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) </li></ul><ul><li> x² - 3x = 0 , onde a = 1,  b = -3. </li></ul><ul><li> -2x² + 4x = 0 , onde a = -2,  b = 4. </li></ul><ul><li>Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) </li></ul><ul><li>3x² - 2 = 0 , onde a = 3,  c = -2. </li></ul><ul><li>x² + 5 = 0 , onde a = 1,  c = 5. </li></ul>
  7. 7. ATIVIDADE-1 <ul><li>1. Obtenha os coeficientes das equações do 2° grau: </li></ul><ul><li>a) 5x²-7x-3=0 a:5 b:-7 c:-3 </li></ul><ul><li>b) x²-4x +2=0 a:1 b:-4 c:2 </li></ul><ul><li>c) x²-x-1=0 a:1 b:-1 c:-1 </li></ul><ul><li>d) 2x²+7x+8=0 a:2 b:7 c:8 </li></ul><ul><li>e) x²-7x=0 a:1 b:-7 c:0 </li></ul><ul><li>f) x²-25=0 a:1 b:0 c:-25 </li></ul>
  8. 8. 2. Forme as equações do 2° grau em x: <ul><li>a=1; b=-6 ; c= 5 </li></ul><ul><li>x²-6x+5=0 </li></ul><ul><li>b) a=3; b=7 ; c= 8 </li></ul><ul><li>3x²+7x+8=0 </li></ul><ul><li>c) a=8; b=0 ; c=0 </li></ul><ul><li>8x²=0 </li></ul><ul><li>d) a=1; b=-3 ; c= 4 </li></ul><ul><li>x²-3x+4=0 </li></ul><ul><li>e) a=7; b=1 ; c= -15 </li></ul><ul><li>7x²+1x-15=0 </li></ul>
  9. 9. Raízes de uma Equação do 2º Grau <ul><li>Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas  raízes . </li></ul><ul><li>Raiz é o número real que, ao substituir a </li></ul><ul><li>incógnita de uma equação, transforma-a </li></ul><ul><li>numa sentença verdadeira. </li></ul><ul><li>O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução . </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade . Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais : </li></ul><ul><li>1ª Propriedade: Se x є IR , y є IR e x.y = 0 x = 0 ou y = 0 </li></ul><ul><li>2ª Propriedade: Se x є IR , y є IR e x² = y x = √ y ou x = - √y </li></ul><ul><li>1º Caso: Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0) </li></ul><ul><li>2º Caso: Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0) </li></ul>Resolução de Equações Incompletas
  11. 11. Resolução de Equações Incompletas <ul><li>Equações da forma: </li></ul><ul><li>ax² +bx = 0, (c = 0) </li></ul><ul><li>De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções: </li></ul><ul><li>x = 0 </li></ul><ul><li>e </li></ul><ul><li>x = - b </li></ul><ul><li>a </li></ul><ul><li>Equações da forma: </li></ul><ul><li>ax² +c = 0, (b = 0) </li></ul><ul><li>De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0: </li></ul><ul><li> possui duas raízes reais se: </li></ul><ul><li>- c for um nº positivo </li></ul><ul><li>a </li></ul><ul><li>não possui raiz real se: </li></ul><ul><li>- c for um nº negativo </li></ul><ul><li>a </li></ul>
  12. 12. ATIVIDADE-2 <ul><li>1.Determine o conjunto verdade das equações: </li></ul><ul><li>x²-7x = 0 Δ=b²-4.a.c x=7+7=14/2=7 </li></ul><ul><li>Δ=7²-4.1.0 x=7-7=0/2=0 </li></ul><ul><li>Δ=49 </li></ul><ul><li>b) 3x²-6x = 0 </li></ul><ul><li>Δ=b²-4.a.c x=6+6=12/6=2 </li></ul><ul><li>Δ=-6²-4.3.0 x=6-6=0/2=0 </li></ul><ul><li>Δ=36 </li></ul><ul><li>c) x² +5x = 0 </li></ul><ul><li>Δ=b²-4.a.c x=-5+5=0/2=0 </li></ul><ul><li>Δ=5²-4.1.0 x=-5-5=-10/2=-5 </li></ul><ul><li>Δ=25 </li></ul>
  13. 13. 2.Determine o conjunto verdade das equações: <ul><li>X² - 49 = 0 a=1 Δ=0²-4.1.49 x=14/2=7 </li></ul><ul><li>Δ=196 </li></ul><ul><li>2x² -32 = 0 Δ=0²-4.2.32 x=16/4 =4 </li></ul><ul><li>Δ= 0+256 </li></ul><ul><li>Δ=256 </li></ul><ul><li>5x² - 20 = 0 Δ=0²-4.5.-20 </li></ul><ul><li>Δ=400 x= </li></ul>0+20=20/10=5
  14. 14. Resolução de Equações Completas Fórmula de Bhaskara <ul><li>Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bhaskara . </li></ul><ul><li>A partir da equação ax 2 + bx + c = 0 , a ≠ 0, desenvolveremos passo a passo a dedução da Fórmula de Bhaskara . </li></ul><ul><li>1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. </li></ul><ul><li>(4a).(ax² + bx + c) = 0.(4a) </li></ul><ul><li>4a²x² + 4abx + 4ac = 0 </li></ul><ul><li>2º passo: passar 4ac para o 2º membro. </li></ul><ul><li>4a²x² + 4abx = - 4ac </li></ul>
  15. 15. Fórmula de Bhaskara <ul><li>3º passo: adicionar b² aos dois membros . </li></ul><ul><li>4a²x² + 4abx + b² = b² - 4ac </li></ul><ul><li>4º passo: fatorar o 1º elemento . </li></ul><ul><li>(2ax + b) ² = b² - 4ac </li></ul><ul><li>5º passo: extrair a raiz quadrada dos dois membros . </li></ul><ul><li>√ (2ax + b) ² = ± √ b² - 4ac </li></ul><ul><li>2ax + b = ± √ b² - 4ac </li></ul><ul><li>6º passo: passar b para o 2º membro . </li></ul><ul><li>2ax = - b ± √ b² - 4ac </li></ul>Trinômio Quadrado Perfeito
  16. 16. Fórmula de Bhaskara <ul><li>7º passo: dividir os dois membros por 2a. </li></ul><ul><li>2ax = - b ± √ b² - 4ac </li></ul><ul><li>2a 2a </li></ul><ul><li>Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau: </li></ul><ul><li>x = - b ± √ b² - 4ac </li></ul><ul><li>2a </li></ul><ul><li>Podemos representar as duas raízes reais por x' e x&quot;, assim: </li></ul><ul><li>x’ = - b + √ b² - 4ac e x” = - b - √ b² - 4ac </li></ul><ul><li>2a 2a </li></ul>
  17. 17. Discriminante <ul><li>Denominamos discriminante o radical b 2 - 4ac que é representado pela letra grega Δ (delta). </li></ul><ul><li>Δ = b 2 - 4ac </li></ul><ul><li>Podemos agora escrever deste modo a Fórmula de Bhaskara: </li></ul><ul><li>x = - b ± √ Δ </li></ul><ul><li>2a </li></ul><ul><li>De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: </li></ul><ul><li>1º Caso: O discriminante é positivo (Δ > O) </li></ul><ul><li>2º Caso: O discriminante é nulo (Δ = O) </li></ul><ul><li>3º Caso: O discriminante é negativo (Δ < O) </li></ul>
  18. 18. Discriminante Δ > O Δ = O Δ < O O valor de √ Δ é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas: O valor de √ Δ é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas: O valor de √ Δ não existe em IR , não existindo, portanto, raízes reais. x’ = - b + √ Δ 2a x” = - b - √ Δ 2a x’ = x” = -b 2a As raízes da equação são número complexos .
  19. 19. Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau <ul><li>Nessas equações (há incógnita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule. </li></ul><ul><li>Vejamos, através do exemplo a seguir, como se resolvem as equações fracionárias. </li></ul><ul><li> x + 1 = 5 (x ≠ 3) </li></ul><ul><li>x - 3 </li></ul><ul><li>- O m.m.c. é x – 3: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3) </li></ul><ul><li>x – 3 x – 3 x – 3 </li></ul><ul><li>- Eliminando os denominadores: x. (x – 3) + 1 = 5. (x – 3) </li></ul><ul><li>x² – 3x + 1 = 5x – 15 </li></ul>
  20. 20. Equações Fracionárias Redutíveis a Equações do 2º Grau <ul><li>- Transpondo e reduzindo: x² – 3x – 5x + 1 + 15 = 0 </li></ul><ul><li>x² – 8x + 16 = 0 </li></ul><ul><li>- Temos: Δ = b 2 - 4ac </li></ul><ul><li>a = 1 Δ = (-8)² - 4 . 1 . 16 </li></ul><ul><li>b = -8 Δ = 64 - 64 </li></ul><ul><li>c = 16 Δ = 0 </li></ul><ul><li>- Substituindo na fórmula: x = - b ± √ Δ </li></ul><ul><li>2a </li></ul><ul><li>  x = - (-8) ± 0 = 8 ± 0 x’ = x” = 4 2 . 1 2 </li></ul>Logo, V = {4}
  21. 21. <ul><li>x² -7x + 6 = 0 </li></ul><ul><li>Temos: Δ = b 2 – 4.a.c </li></ul><ul><li>a =1 Δ =b²-4.a.c </li></ul><ul><li>b = -7 Δ =7²-4.1.6 </li></ul><ul><li>c = 6 Δ = 49-24=25 </li></ul><ul><li>Substituindo na fórmula: x = - b ± √ Δ </li></ul><ul><li>2a </li></ul><ul><li>X=7+5=12/2=6 </li></ul><ul><li>x=7-5=2/2=1 </li></ul><ul><li>ATIVIDADE- 3 </li></ul><ul><li>Resolva as equações do 2º grau. </li></ul>
  22. 22. <ul><li>b) -x² +12x - 20 = 0 </li></ul><ul><li>Temos: Δ = b² – 4.a.c </li></ul><ul><li>a = -1 Δ =12²-4.-1.-20 </li></ul><ul><li>b = 12 Δ = 144-80 </li></ul><ul><li>c =-20 Δ = 81 </li></ul><ul><li>Substituindo na fórmula: x = - b ± √Δ </li></ul><ul><li>2.a </li></ul><ul><li>x=-12+9=3/2 </li></ul><ul><li>x=-12-9=11/2 </li></ul>2. Resolva as equações do 2º grau.
  23. 23. Relações entre os Coeficientes e as Raízes <ul><li>1ª Relação: Soma das Raízes ( S ) </li></ul><ul><li>x’+x” = - b + √ Δ + - b - √ Δ = - b + √ Δ - b - √ Δ = -2b = -b </li></ul><ul><li>2a 2a 2a 2a a </li></ul><ul><li>2ª Relação: Produto das Raízes ( P ) </li></ul><ul><li>x’.x” = -b+√ Δ . -b-√ Δ = ( -b+√ Δ) . (-b-√ Δ) = (-b)²-( √ Δ)² = b ² -Δ </li></ul><ul><li>2a 2a 4a ² 4a ² 4a ² </li></ul><ul><li>Como ∆ = b² - 4ac , temos: </li></ul><ul><li>x’.x” = b ² - (b ² - 4.a.c) = b ² - b ² + 4.a.c = 4.a.c = c </li></ul><ul><li>4a ² 4a ² 4.a.a a </li></ul>
  24. 24. Relações entre os Coeficientes e as Raízes <ul><li>Soma das Raízes: </li></ul><ul><li>É representada pela letra S. </li></ul><ul><li>S = x’+ x” = -b </li></ul><ul><li>a </li></ul><ul><li>Produto das Raízes: </li></ul><ul><li>É representado pela letra P. </li></ul><ul><li>P = x’. x” = c </li></ul><ul><li>a </li></ul>
  25. 25. Composição de uma Equação do 2º Grau, Conhecidas as Raízes <ul><li>Considere a equação do 2º grau ax 2 + bx + c = 0. </li></ul><ul><li>Dividindo todos os termos por a , a ≠ 0, obtemos: </li></ul><ul><li>ax 2 + bx + c = 0 x 2 + bx + c = 0 </li></ul><ul><li>a a a a a </li></ul><ul><li>Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c </li></ul><ul><li>a a </li></ul><ul><li>Podemos escrever a equação desta maneira: </li></ul><ul><li>x 2 - Sx + P = 0 </li></ul>
  26. 26. Exercício sobre Composição <ul><li>Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Solução: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>A soma das raízes corresponde a: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>S = x 1 + x 2 = -2 + 7 = 5 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>O produto das raízes corresponde a: </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>P = x 1 . x 2 = ( -2) . 7 = -14 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>A equação é dada por x 2 - Sx + P = 0 , onde S = 5 e P = -14. </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>Logo, x 2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada. </li></ul>
  27. 27. <ul><li>Componha a equação do 2º grau cujas raízes são: </li></ul><ul><li>5 e 2 </li></ul><ul><li>-2 e -3 x²-sx+p=0 </li></ul><ul><li>x²+5x-6=0 </li></ul><ul><li>4 e -5 x²-sx+p=0 </li></ul><ul><li>x²+1x+20=0 </li></ul><ul><li>-5 e 5 x²-sx+p=0 x²-25=0 </li></ul>ATIVIDADE – 4 x²-sx+p=0 x²-7x+10=0

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