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Trigonometria e funções trigonométricas

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Trigonometria e funções trigonométricas

  1. 1. Resumo deTrigonometria
  2. 2. Parte I – No triângulo retângulo HIP CAT CATPITÁGORAS(relação entre os lados) HIP² = CAT² + CAT²
  3. 3. Parte I – No triângulo retânguloExemplo: O perímetro de um triânguloretângulo de catetos iguais a 5cm e 12cm éigual a: HIP² = CAT² + CAT² HIP HIP² = 5² + 12²12cm HIP² = 25 + 144 HIP² = 169 HIP = 13 5cm Perímetro = 5 + 12 +13 = 30cm
  4. 4. Parte I – No triângulo retângulo β Ângulos: HIP C.O α + β = 90º α + β 90º α Agudos C.A Relações trigonométricas: Sen(α) = Sen(α) = Cos(α) = Cos(α) = Tan(α) = Tan(α) = C.O C.O C.A C.A C.O C.O OH AH OA HIP HIP HIP HIP C.A C.A
  5. 5. Parte I – No triângulo retânguloExemplo: No triângulo retângulo abaixo ovalor do Cos(α) é igual a: HIP HIP² = CAT² + CAT²C.O 10cm 10² = 8² + x²8cm 100 = 64 + x² α 36 = x² X x=6 C.A C.A 6 3 Cos(α) = = = HIP 10 5
  6. 6. Parte I – No triângulo retângulo Arcos Notáveis 0º 30º 45º 60º 90º SEN 0 1 COS 1 0 TAN 0 1
  7. 7. Parte I – No triângulo retânguloExemplo: Um escada de 12m de comprimentoesta apoiada em um prédio fazendo com esteum ângulo de 60º. A altura do prédio é: 0º 30º 45º 60º 90º HIP h 60º 12m SEN 0 1 2 3 1 2 2 2C.O 3 2 1 COS 1 0 30º 2 2 2 C.A TAN 0 3 1 3 ∃ 3 C.O 1 h Sen(30º) = ⇒ = ⇒ 2h=12 ⇒ h=6m HIP 2 12
  8. 8. Parte I – No triângulo retânguloExemplo: No triângulo retângulo abaixo ovalor do ângulo α é igual a: 0º 30º 45º 60º 90º HIP SEN 0 1 2 3 1 4cm 2 2 2C.O 3 2 1 COS 1 0 α 2 2 2 3 2cm TAN 0 3 1 3 ∃ C.A C.A 2 1 cos(α) = = = Logo: α = 60º HIP 4 2
  9. 9. ARCOS e ÂNGULOS 1. Introdução B Arco AB AO Ângulo central Equivalência: π rd = 180o
  10. 10. 2. Arcos côngruos •• São arcos que têm mesma São arcos que têm mesma origem e mesma origem e mesma B extremidade. extremidade. •• A diferença entre dois A diferença entre dois arcos côngruos é sempre arcos côngruos é sempre A um múltiplo de 2π.. um múltiplo de 2π •• Forma geral: Forma geral: x = α + 2kπ x = α + 2kπ
  11. 11. 3. Circunferência trigonométrica y B P + 1 A’ A O x 1 - B’
  12. 12. 4. Seno e Cosseno y Bsen α P N A’ α A O M x cos α B’
  13. 13. 4. Seno e Cosseno y 1 BSeno:• marcado no eixo Y• varia de –1 até 1  A’ A-1 ≤ sen(x) ≤ 1 O x• sinal do seno: -1 B’
  14. 14. 4. Seno e Cosseno yCosseno: BCosseno:•• marcado no eixo X marcado no eixo X•• varia de –1 até 1  varia de –1 até 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1 -1 ≤ cos(x) ≤ 1 A’ A -1 O 1 x•• sinal do cosseno: sinal do cosseno: B’
  15. 15. 5. Tangente y t B tt // y // y P M tg αA’ α A O x B’
  16. 16. 5. Tangente Sinal y BA’ A O x B’
  17. 17. 6. Redução ao 1º quadrante y B F 1ºQ A’ A O x P F B’
  18. 18. 6. Redução ao 1º quadrante y π /2a) 2o quadrante a = (π - x) a π x 0 O 2π x• sen (π - x) = sen x• cos (π - x) = - cos x• tg (π - x) = - tg x 3π /2
  19. 19. 6. Redução ao 1º quadrante y π /2b) 3o quadrante a = (π + x) a• sen (π + x) = - sen x π x 0 O 2π x• cos (π + x) = - cos x• tg (π + x) = tg x 3π /2
  20. 20. 6. Redução ao 1º quadrante y π /2c) 4o quadrante a = (2π - x) π x 0• sen (2π - x) = - sen x a O 2π x• cos (2π - x) = cos x• tg (2π - x) = - tg x 3π /2
  21. 21. 7. Relações fundamentaisI. sen2 x + cos2x = 1 sen xII. tg x = cos x
  22. 22. 8. Funções trigonométricasa) Função seno : ff:: IR  IR IR  IR f(x) = sen x f(x) = sen x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x. ∀ x ∈ IR  -1 ≤ sen x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
  23. 23. 8. Funções trigonométricasa) gráfico : y - π π - - - 0 π 3π 2π x 2 2 2 -
  24. 24. 8. Funções trigonométricasa) Função seno :Periodicidade : sen x = sen ( x + 2π)• A função y = sen x é periódica e tem período iguala 2π radianos. 2π• Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f = cParidade ::Paridade sen x = - sen (- x) sen x = - sen (- x)• A função y = sen x é ímpar.
  25. 25. 8. Funções trigonométricasb) Função cosseno : ff :: IR  IR IR  IR f(x) = cos x f(x) = cos x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x. ∀ x ∈ IR  -1 ≤ cos x ≤ 1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
  26. 26. 8. Funções trigonométricasb) gráfico : y - π π - - - 0 π 3π 2π x 2 2 2 -
  27. 27. 8. Funções trigonométricasb) Função cosseno :Periodicidade : cos x = cos ( x + 2π)• A função y = cos x é periódica e tem período iguala 2π radianos. 2π• Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f = cParidade : cos x = cos (- x)• A função y = cos x é par.

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