Daum machado-equacoes-diferenciais

2,204 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
2,204
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
24
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Daum machado-equacoes-diferenciais

  1. 1. 1 Introdu¸˜o ca1.1 Defini¸oes c˜Defini¸˜o 1.1. Se uma vari´vel pode assumir qualquer valor, independente ca a .de outra vari´vel, ela ´ chamada independente. Por exemplo, as vari´veis a e ax,y,z,t,h s˜o independentes. Para representar o conjunto de todas as vari´veis a aindependentes num certo problema, usaremos a nota¸˜o {x}, onde x ´ uma ca edas vari´veis do problema. a .SDefini¸˜o 1.2. Quando uma vari´vel depende de outra, ou outras, ela ´ dita ca a edependente. Dizemos tamb´m que essa vari´vel ´ uma fun¸˜o das vari´veis e a e ca adas quais ela depende. Ela n˜o pode assumir qualquer valor, pois depende a .Jde outras vari´veis. S˜o exemplos de vari´veis dependentes as seguintes a a afun¸˜es: y(x), z(x, y), h(x, y, z), x(y), y(x, z, t), f (x, y). Para representar o coconjunto de todas as vari´veis dependentes num certo problema, usamos a anota¸˜o {y({x})}. caDefini¸˜o 1.3. Uma equa¸˜o diferencial ´, basicamente, uma equa¸˜o que ca ca e ca Renvolve as derivadas de uma ou mais vari´veis dependentes com rela¸˜o ` a ca a .uma ou mais vari´veis independentes. Ent˜o, as equa¸˜es a a co 2 d2 y dy 2 + xy =0 (1) dx dxA d4 x d2 x + 5 2 + 3x = cos t (2) dt4 dt d3 y d2 x + y 2 = ln z (3) dz 3 dz ∂v ∂v + =v (4) ∂s ∂t 3 ∂ 2u ∂ 2v ∂v ∂u 2 − 2+ + =0 (5) ∂x ∂x ∂y ∂ys˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais. a co Como se percebe nas equa¸˜es acima, existem v´rios tipos de equa¸˜es co a codiferenciais. Sendo assim, elas foram classificadas de acordo com algunscrit´rios. eDefini¸˜o 1.4. Uma equa¸˜o diferencial que envolve apenas derivadas or- ca cadin´rias de uma ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a apenas uma a a cavari´vel independente ´ chamada equa¸˜o diferencial ordin´ria. As equa¸˜es a e ca a co(1), (2) e (3) s˜o exemplos de equa¸˜es diferencias ordin´rias. Na equa¸˜o a co a ca 1
  2. 2. 1.1, a vari´vel independente ´ x, enquanto que a dependente ´ y = y(x). Na a e eequa¸˜o (2), a vari´vel independente ´ t, e agora x = x(t) ´ uma vari´vel ca a e e adependente. Por fim, na equa¸˜o (3) temos duas fun¸˜es da vari´vel z, que ca co as˜o x(z) e y(z). a .Defini¸˜o 1.5. Uma equa¸˜o diferencial que envolve derivadas parciais de ca caum ou mais vari´veis dependentes em rela¸˜o a mais de uma vari´vel in- a ca adependente ´ chamada equa¸˜o diferencial parcial. As equa¸˜es (4) e (5) e ca cos˜o exemplos de equa¸˜es diferenciais parciais. Na equa¸˜o (4), s e t s˜o a co ca a .Sas vari´veis independentes, e temos v = v(s, t). Na equa¸˜o (5), temos a cau = u(x, y) e v = v(x, y), que s˜o vari´veis dependentes, e x e y s˜o as a a aindependentes.Defini¸˜o 1.6. A derivada de maior ordem numa equa¸˜o diferencial define ca ca .Ja ordem da equa¸˜o diferencial. Assim, a equa¸˜o (1) ´ de segunda ordem, ca ca eao passo qua a equa¸˜o (2) ´ de quarta ordem; (3) ´ de terceira ordem, (4) ca e e´ de primeira ordem e (5) tamb´m ´ de segunda ordem.e e eDefini¸˜o 1.7. Se uma equa¸˜o diferencial for tal que nos seus termos n˜o ca ca a Raparecem . • fun¸˜es transcendentais da vari´vel ou vari´veis dependentes, ou de co a a 2suas derivadas, como, por exemplo, ln y(x), cos dt , sin ∂ x ; dz ∂y 2 • produtos entre as vari´veis dependentes, entre as vari´veis dependentes a ae suas derivadas, ou entre as derivadas das vari´veis dependentes, como, por aA 2 2 dt dy dz dh ∂ 2 x ∂xexemplo, [y(x)] , dh , y(x) dx , dt dt , x(y, z) ∂z2 ∂y ;ent˜o a equa¸˜o diferencial ´ uma equa¸˜o diferencial linear. Se aparecer a ca e caalgum desses termos, a equa¸˜o ´ chamada equa¸˜o diferencial n˜o - linear. ca e ca aAs equa¸˜es (2) e (4) s˜o equa¸˜es diferenciais lineares, enquanto que as co a coequa¸˜es (1),(3) e (5) s˜o n˜o - lineares. co a a Quando uma equa¸ao diferencial ´ linear e ordin´ria de ordem n e possui c˜ e aapenas uma vari´vel dependente, ela pode ser posta na forma geral a dm y dm−1 y dy ao (x) m + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) (6) dx dx dxonde ao (x) n˜o ´ identicamente nulo, x ´ a vari´vel independente e y(x) ´ a e e a ea unica fun¸ao de x. A express˜o acima ´ a forma mais geral para uma ´ c˜ a eequa¸ao diferencial linear e ordin´ria de ordem n com apenas uma vari´vel c˜ a adependente.As equa¸˜es co d2 y dy 2 + 3x + 6y = 0 (7) dx dx 2
  3. 3. d4 x 1 d2 x 3j 2 − + jx = jej (8) dj 4 j dj 2s˜o exemplos de equa¸oes diferenciais ordin´rias lineares. A equa¸˜o (7) ´ de a c˜ a ca e .segunda ordem e a (8) ´ de quarta ordem. e1.2 Importˆncia das Equa¸oes Diferenciais a c˜ .SAl´m do ponto de vista matem´tico, por si s´ relevante, o estudo de equa¸˜es e a o codiferenciais ´ muito importante do ponto de vista f´ e ısico. Os f´ ısicos ao estu-darem alguns fenˆmenos, procuram inicialmente descrevˆ-lo de forma quali- o etativa e posteriormente de forma quantitativa. .J Para uma boa parte dos sistemas f´ ısicos conhecidos at´ o momento, a eequa¸ao ou equa¸oes que descrevem os fenˆmenos, pelo menos de forma apro- c˜ c˜ oximada, s˜o equa¸˜es diferenciais. As solu¸˜es de uma equa¸ao diferencial a co co c˜s˜o expl´ a ıcitas pu impl´ıcitas. RDefini¸˜o 1.8. Uma solu¸˜o expl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma ca ca ı ca e .fun¸˜o y = f ({x}) do conjunto das vari´veis independentes, a qual, quando ca asubstitu´da na equa¸˜o diferencial, a transforma em uma igualdade. ı ca Como exemplo, a equa¸ao diferencial c˜ dxA = 2x dttem uma solu¸˜o expl´ ca ıcita dada por x(t) = ce2tpois, se substituirmos x(t) na equa¸˜o, temos (c ´ uma constante) ca e dx = 2x dt d ce2t = 2 ce2t dt 2ce2t = 2ce2tque ´ obviamente uma igualdade. eDefini¸˜o 1.9. Uma solu¸˜o impl´cita de uma equa¸˜o diferencial ´ uma ca ca ı ca efun¸˜o g ({y} , {x}) do conjunto de vari´veis dependentes e independentes, a ca aqual, atrav´s de deriva¸˜es impl´citas, reproduz a equa¸˜o diferencial inicial. e co ı ca 3
  4. 4. Neste caso, temos que a fun¸˜o ca f (x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0´ uma solu¸ao impl´e c˜ ıcita da equa¸˜o diferencial ca . dy x+y =0 dxpois, tomando a derivada impl´ ıcita de f (x, y) com rela¸˜o a x, temos ca .S d d 2 d f (x, y) = (x + y 2 − 25) = 0 dx dx dx .J dy 2x + 2y =0 dx dy R x+y =0 dx .que ´ a equa¸˜o diferencial inicial. Esta solu¸˜o impl´ e ca ca ıcita pode ser desmen-brada em duas outras, f1 e f2 , que neste caso s˜o expl´ a ıcitas, a saber, √ f1 (x) = y1 (x) = 25 − x2A √ f2 (x) = y2 (x) = − 25 − x2Todavia, esse desmembrmento em geral n˜o ´ poss´ a e ıvel, e ficamos apenas coma solu¸˜o impl´ ca ıcita. Alguns exemplos de aplica¸oes de equa¸oes diferenciais c˜ c˜s˜o: a1) movimento de proj´teis, planetas e sat´lites; e e2) estudo do decaimento radioativo de n´cleos inst´veis; u a3) propaga¸ao do calor atrav´s de uma barra; c˜ e4) estudo de todos os tipos de ondas;crescimento de popula¸˜o;ca6) estudo de rea¸oes qu´ c˜ ımicas;7) descri¸ao quˆntica de um atomo de hidrogˆnio; c˜ a ´ e8) c´lculo do potencial el´trico de uma distribui¸ao de cargas; a e c˜9) estudo do oscilador harmˆnico. o Os sistemas acima s˜o uma amostra da grande utiliza¸˜o das equa¸˜es a ca codiferenciais. E´ poss´ que, para um dado problema, al´m da equa¸˜o dife- ıvel e carencial em si exista mais alguma condi¸ao que o experimento deve satisfazer. c˜Ent˜o, temos os seguintes casos: a 4
  5. 5. Defini¸˜o 1.10. Quando um dado fenˆmeno, al´m de uma equa¸˜o dife- ca o e carencial que o descreve, tem ainda que seguir certas condi¸˜es iniciais, esta- cobelecidas a priori, para um mesmo valor da vari´vel independente, dizemos aque temos um problema de valor inicial. Como exemplo, considere um corpo .em queda livre. O movimento desse ´ descrito por uma equa¸˜o diferencial, e cae as condi¸˜es s˜o a altura da qual ele foi solto e a valocidade inicial com a co aqual ele iniciou o movimento. Se a queda for no v´cuo, temos considerando aa origem no ch˜o e a altura representada por y(t), a equa¸˜o a ca .S d2 y = −g dt2com as condi¸˜es iniciais co .J dy y(0) = yo e = y (0) = v(0) = vo dt 0 e a fun¸˜o y(t), que ´ solu¸˜o desta equa¸˜o diferencial, tem necessariamente ca e ca caque respeitar as condi¸˜es iniciais, que foram dadas para o valor de t = 0. co RDefini¸˜o 1.11. Se um fenˆmeno descrito por uma equa¸˜o diferencial ca o ca .tiver alguma condi¸˜o especificada para dois ou mais valores da vari´vel in- ca adependente, temos um problema com condi¸˜es de contorno. Por exemplo, coconsiderando um caso idˆntico ao anterior, mas com condi¸˜es dadas em e coduas alturas diferentes, ou seja, algo comoA d2 y = −g dt2com as condi¸˜es de contorno co y(0) = yo y(2) = y2 temos um problema com condi¸˜es de contorno, dadas para os tempos t = 0 coe t = 2. Nem sempre um problema com condi¸˜es de contorno tem solu¸˜o co caapesar de que a equa¸˜o diferencial sozinha, sem considerar as condi¸˜es de ca cocontorno, pode ter.2 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias de Pri- c˜ a meira OrdemVeremos alguns m´todos de resolu¸ao de equa¸˜es diferenciais de primeira e c˜ coordem, lembrando a equa¸˜o (6), pode ser colocada na forma ca 5
  6. 6. dy = f (x, y) (9) dxna qual a fun¸ao f (x, y) pode ser escrita com uma raz˜o de duas outras c˜ a .fun¸oes, ou seja, c˜ M (x, y) f (x, y) = − N (x, y) .Se a equa¸˜o (9) pode ser reescrita na forma equivalente ca M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (10) .JPor exemplo, a equa¸˜o ca dy 2x2 − y = dx x Rpode ser reescrita como . xdy − (2x2 − y)dx = 0ouA (y + 2x2 )dx + xdy = 0e assim, temos M (x, y) = y − 2x2 e N (x, y) = x. Na nota¸ao (9) fica c˜claro que y ´ a fun¸ao de x, enquanto que na (10) podemos interpretar que e c˜y = y(x) ou x = x(y), conforme for o caso. Em certas situa¸oes, ´ mais f´cil c˜ e aconsiderar um ponto de vista do que outro, e ent˜o ´ prefer´ resolver a a e ıvelequa¸ao diferencial sob esse ponto de vista e, se for necess´rio, obtemos a c˜ afun¸ao inversa ap´s completar a resolu¸˜o da equa¸ao. Vejamos alguns casos c˜ o ca c˜especiais.2.1 Equa¸˜es Diferenciais Exatas coDefini¸˜o 2.11 Seja F uma fun¸˜o de duas vari´veis reais, de forma que ca ca aF tenha as derivadas parciais primeiras cont´nuas. A diferencial total dF da ıfun¸˜o F ´ definida por ca e ∂F (x, y) ∂F (x, y) dF (x, y) = dx + dy (11) ∂x ∂yComo exemplo, considere a fun¸ao c˜ 6
  7. 7. F (x, y) = x2 y + 3y 3 xTemos . ∂F (x, y) ∂F (x, y) = 2xy + 3y 3 e = x2 + 9y 2 x ∂x ∂ye, portanto, .S dF (x, y) = (2xy + 3y 3 )dx + (x2 + 9y 2 x)dyDefini¸˜o 2.2. A express˜o ca a .J M (x, y)dx + N (x, y)dy (12)´ chamada uma diferencial exata se existe uma fun¸˜o F (x, y) tal que see caverifique .R ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂ySe M (x, y)dx + N (x, y)dy ´ uma diferencial exata, a equa¸˜o diferencial e caA M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0´ chamada uma equa¸˜o diferencial exata.e ca Como fazemos para saber quando uma diferencial e uma equa¸˜o diferen- cacial s˜o exatas? A resposta ´ dada pelo seguinte teorema: a eTeorema 2.1 A equa¸˜o diferencial ca M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0´ exata se, e somente se, for verificado quee ∂M (x, y) ∂N (x, y) = (13) ∂y ∂xDemonstra¸˜o. A prova do teorema 2.1 nos conduz ao m´todo de resolu¸˜o ca e cade uma equa¸˜o diferencial exata. Vejamos a primeira parte. Consideremos caque a equa¸˜o diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata e que, portanto, ca eexiste uma fun¸˜o F (x, y) tal que ca ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂y 7
  8. 8. Assim, ∂ 2 F (x, y) ∂M (x, y) ∂ 2 F (x, y) ∂N (x, y) = e = ∂y∂x ∂y ∂x∂y ∂x .No entanto, a ordem das derivadas pode ser invertida, ou seja, ∂ 2 F (x, y) ∂ 2 F (x, y) = ∂y∂x ∂x∂y .Se, dessa forma, temos ∂M (x, y) ∂N (x, y) = .J ∂y ∂x Na outra parte da prova, iniciamos com a hip´tese o ∂M (x, y) ∂N (x, y) = R ∂y ∂x .e queremos provar que existe uma fun¸ao F (x, y) tal que c˜ ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂yAde forma que a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 seja exata. c˜Vamos assumir a express˜o a ∂F (x, y) = M (x, y) ∂xseja verdadeira. Ent˜o, podemos fazer a F (x, y) = M (x, y)∂x + φ(y) (14)onde a integral ´ efetuada apenas em x, sendo y considerado como uma econstante. O termo φ(y) aparece porque deveos ter a solu¸˜o mais geral caposs´ para F (x, y). Agora, diferenciamos esta equa¸ao com a y, ou seja, ıvel c˜ ∂F (x, y) ∂ dφ(y) = M (x, y)∂x + ∂y ∂y dySe queremos provar que a diferencial ´ exata, devemos ter tamb´m e e ∂F (x, y) = N (x, y) ∂y 8
  9. 9. e ent˜o obtemos a ∂ dφ(y) N (x, y) = M (x, y)∂x + ∂y dy . dφ(y) ∂M (x, y) = N (x, y) − ∂x dy ∂ye, resolvendo esta express˜o para φ(y), temos a .S ∂M (x, y) φ(y) = N (x, y) − ∂x dy ∂y .Jque, combinanda com a equa¸ao (14), fornece, finalmente, c˜ ∂M (x, y) F (x, y) = M (x, y)∂x + N (x, y) − ∂x dy (15) ∂y Re esta fun¸˜o F (x, y) est´ sujeita `s condi¸oes ca a a c˜ . ∂M (x, y) ∂N (x, y) = ∂y ∂xAe tamb´m e ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) e = N (x, y) ∂x ∂ye, portanto, a equa¸ao diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ exata. Se, ao c˜ einv´s de iniciarmos a demonstra¸ao considerando a equa¸ao e c˜ c˜ ∂F (x, y) = M (x, y) ∂xus´ssemos a outra equa¸ao a c˜ ∂F (x, y) = N (x, y) ∂yo resultado seria ∂N (x, y) F (x, y) = N (x, y)∂y + M (x, y) − ∂y dx (16) ∂x Qual ´ a solu¸ao da equa¸ao M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0? A resposta ´: e c˜ c˜ ea solu¸ao da equa¸ao diferencial exata ´ a fun¸ao F (x, y) = c, onde F (x, y) c˜ c˜ e c˜ 9
  10. 10. ´ dada por uma das express˜es (15) ou (16), e c ´ uma constante num´ricae o e eque pode ser determinada se houver alguma condi¸˜o adicional. Vejamos um caexemplo completo, considerando a equa¸ao abaixo: c˜ . (3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 2y)dy = 0Desta equa¸˜o, temos M (x, y) = 3x2 + 4xy e N (x, y) = 2x2 + 2y. Por- catanto, devemos verificar se ela ´ uma equa¸ao diferencial exata e, pora tanto, e c˜calculamos .S ∂M (x, y) ∂N (x, y) = 4x e = 4x ∂y ∂x .JVemos que s˜o iguais, logo, a equa¸˜o ´ exata. Assim, temos a ca e ∂F (x, y) ∂F (x, y) = M (x, y) = 3x2 + 4xy e = N (x, y) = 2x2 + 2y ∂x ∂y RUtilizando a primeira, obtemos . F (x, y) = φ(y) + M (x, y)∂xA = φ(y) + (3x2 + 4xy)∂x F (x, y) = x3 + 2x2 y + φ(y)mas ` segunda nos diz que a ∂F (x, y) = N (x, y) = 2x2 + 2y ∂y dφ(y) 2x2 + = 2x2 + 2y dy dφ(y) = 2y dyA equa¸˜o acima d´, diretamente, ca a dφ(y) = 2ydy 10
  11. 11. dφ(y) = 2ydy . φ(y) = y 2 + coe, portanto, temos .S F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + comas como a solu¸ao da equa¸˜o diferencial ´ da forma F (x, y) = c, e assim, c˜ ca e .J F (x, y) = x3 + 2x2 y + y 2 + co = cou, finalmente, incorporando co a c, temos x3 + 2x2 y + y 2 = c R (17) .que ´ a solu¸˜o geral da equa¸ao diferencial exata inicial. Se considerar- e ca c˜mos uma condi¸ao inicial, como, por exemplo, y(1) = 0, podemos obter a c˜constante c, pois, neste caso, devemos ter x = 1 e y = 0, ou seja,A 13 + 2.12 .0 + 02 = c c=1e, pora este caso, a solu¸ao fica c˜ x3 + 2x2 y + y 2 = 1 Vejamos agora mais um tipo de equa¸˜o diferencial. ca2.2 Equa¸˜es Diferenciais Separ´veis co aDefini¸˜o 2.3. As equa¸˜es do tipo ca co F (x)G(y)dx + f (x)g(y)dy = 0 (18)s˜o chamadas de equa¸˜es diferenciais separ´veis porque elas podem sr colo- a co acadas na forma F (x) g(y) dx + dy = 0 (19) f (x) G(y) 11
  12. 12. que ´ uma equa¸˜o exata, pois e ca F (x) g(y) M (x, y) = M (x) = e N (x, y) = N (y) = f (x) G(y) .e, para verificar se ela ´ exata, calculamos e ∂M (x, y) ∂ F (x) ∂N (x, y) ∂ g(y) = =0 e = =0 ∂y ∂y f (x) ∂x ∂x G(y) .Scomo as derivadas acima s˜o iguais, a equa¸˜o (19) ´ exata e pode ser escrita a ca ena forma M (x)dx + N (y)dy = 0, que pode ser imediatamente integrada,resultando em .J M (x)dx + N (y)dy = c (20)ou tamb´m, e R F (x) g(y) . dx + dy = c (21) f (x) G(y)As equa¸˜es (20) ou (21) fornecem a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial separ´vel co ca ca a(19)A Vejamos agora um exemplo. Considere a equa¸ao c˜ x sin ydx + (x2 + 1) cos ydy = 0Esta equa¸ao n˜o ´ exata, mas pode ser transformada em uma equa¸ao dife- c˜ a e c˜ 2rencial separ´vel se dividirmos a equa¸˜o pelo fator (x + 1) sin y, isto ´, a ca e x cos y dx + dy = 0 x2 +1 sin yo resultado fica x cos y dx + dy = c x2 +1 sin ylembrando que du = ln |u| + C uficamos com 1 ln(x2 + 1) + ln |sin y| = co 2 12
  13. 13. Multiplicando esta express˜o por 2 e chamando 2co = ln |c1 |, temos a ln(x2 + 1) + ln(sin2 y) = ln(c1 )2ou ainda, chamamos c = c2 . 1 ln (x2 + 1) sin2 y = ln(c)e, finalmente, .S (x2 + 1) sin2 y = c (22)que ´ a solu¸˜o da equa¸˜o diferencial inicial. Se houver alguma condi¸˜o e ca ca ca πadicional, como, por exemplo, y(0) = 2 teremos .J 2 π 1 sin =c 2 R c=1 .e a equa¸˜o ser´ ca a (x2 + 1) sin2 y = 1A´E importante notar que, ao dividir a equa¸˜o por (x2 + 1) sin y, etamos con- casiderando que sin y = 0, ou seja, se y = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . .? A equa¸ao diferencial inicial pode ser escrita na forma c˜ dy x sin y =− 2 dx x + 1 cos ycomo sin y = 0, y = nπ, e, substituindo esta solu¸ao na equa¸ao diferencial, c˜ c˜encontramos d x sin nπ (nπ) = − 2 dx x + 1 cos nπ x 0 =0− x2 + 1 (−1)n 0=0Ent˜o, y = nπ tamb´m ´ solu¸ao e corresponde ao valor c = 0 na equa¸ao a e e c˜ c˜(22). Assim, nenhuma solu¸ao da equa¸ao diferencial foi perdida ao fazermos c˜ c˜a transforma¸ao para a forma separ´vel. c˜ a 13
  14. 14. 2.3 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas co eDefini¸˜o 2.4 Uma fun¸˜o F ´ dita homogˆnea de grau n se ocorrer que ca ca e e F (tx, ty) = tn F (x, y) . ou seja, quando em F (x, y) substitu´mos x por tx e y por ty e depois fa- ıtoramos o t, a express˜o resultante fica na forma acima. Por exemplo, se aF (x, y) = x3 + x2 y, temos .S F (tx, ty) = (tx)3 + (tx)2 (ty) .J = t3 x3 + t2 x2 ty = t3 x3 + t3 x2 y .R = t3 (x3 + x2 y) F (tx, ty) = t3 F (x, y)Ae F (x, y) = x3 + x2 y´ homogˆnea de grau 3e eDefini¸˜o 2.5 A equa¸˜o de primeira ordem M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 ´ ca ca ehomogˆnea se, quando escrita na forma e dy = f (x, y) dxexistir uma fun¸˜o g tal que f (x, y) possa ser colocada na forma ca y f (x, y) = g xe a equa¸˜o diferencial fica ca dy y =g dx x 14
  15. 15. De forma equivalente, a equa¸˜o diferencial ´ homogˆnea se as fun¸˜es ca e e coM (x, y) e N (x, y) forem homogˆneas de mesmo grau. e Vejamos um exemplo. A equa¸˜o diferencial ca . xydx + (x2 + y 2 )dy = 0´ homogˆnea. Vamos conferi-la pelos m´todos. Primeiro, escrevendo-a nae e eforma .S dy xy =− 2 dx x + y2vemos que podemos reescrevˆ-la como e .J dy xy =− y2 dx x2 (1 + x2 ) R x dy . y =− 2 dx 1+ y xe, neste caso,A y y x g =− 2 x 1+ y xe a equa¸ao diferencial ´ homogˆnea. Agora vamos analis´-la pelo segundo c˜ e e am´todo. Neste caso, temos M (x, y) = xy e N (x, y) = x2 + y 2 . Assim, e M (tx, ty) = (tx)(ty) = t2 xy M (tx, ty) = t2 M (x, y)e M (x, y) ´ homogˆnea de grau 2. Para N (x, y) temos e e N (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2 x2 + t2 y 2 15
  16. 16. = t2 (x2 + y 2 ) . N (tx, ty) = t2 N (x, y)e N (x, y) tamb´m ´ homogˆnea de grau 2, como M (x, y). Portanto, a equa¸ao e e e c˜diferencial ´ homogˆnea. e e .S Como se resolve uma equa¸ao diferencial homogˆnea? A resposta ´ dada c˜ e epelo seguinte teorema, e pela sua prova.Teorema 2.2 Se a equa¸˜o diferencial ca .J M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (23) y ´ homogˆnea, a mudan¸a de vari´veis y = vx, ou v = x , transforma a e e c aequa¸˜o (23) numa equa¸˜o diferencial separ´vel nas vari´veis v e x. ca ca a a R Demonstra¸˜o. A equa¸ao (23) ´ homogˆnea. Ent˜o, podemos escrevˆ-la na ca c˜ e e a e .forma dy y =g dx xAcomo vimos na defini¸ao 2.5. Agora, fazemos y = vx. Ent˜o, c˜ a dy d dv = (vx) = v + x dx dx dxe a equa¸˜o diferencial fica ca dv y v+x =g = g(v) dx x ypois v = x . Podemos reescrever a express˜o acima na forma a [v − g(v)] dx + xdv = 0que ´ a equa¸˜o diferencial separ´vel, e assim, e ca a dv dx + =0 v − g(v) xA resolu¸˜o ´ feita por integra¸ao direta, ou seja, ca e c˜ dv dx + =c v − g(v) x 16
  17. 17. onde c ´ uma constante de integra¸ao. A solu¸ao geral fica e c˜ c˜ dv + ln |x| = c (24) v − g(v) . ye, ap´s resolver a integral, devemos substituir novamente v = o x para voltaras vari´veis iniciais.` a Examinamos um exemplo. J´ vimos que a equa¸ao a c˜ xydx + (x2 + y 2 )dy = 0 .S´ homogˆnea. Vamos reescrevˆ-la comoe e e x dy .J y =− 2 dx 1+ x ye fazer a substitui¸ao y = vx. Assim, ficamos com c˜ R d v . (vx) = − dx 1 + v2 dv v v+x =− dx 1 + v2A dv v x =− −v dx 1 + v2 dv v(2 + v 2 ) x =− dx 1 + v2que pode ser escrita como 1 + v2 dx 2) dv + =0 v(2 + v xque ´ uma equa¸ao diferencial separav´l. Integrando esta express˜o, temos e c˜ e a 1 + v2 dx dv + =c v(2 + v 2 ) xque, mediante a utiliza¸˜o de fra¸˜es parciais, resulta em ca co 1 1 ln |v| + ln(v 2 + 2) + ln |x| = co 2 4 17
  18. 18. Chamando co = ln |c1 |, temos 1 1 ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln |c1 | − ln |x| 2 4 . 1 1 |c1 | ln |v| + ln(v 2 + 2) = ln 2 4 |x| .SMultiplicando esta express˜o por 4, e agrupando os logaritimos, temos a c1 4 ln v 2 (v 2 + 2) = ln x .Jou c1 4 v 2 (v 2 + 2) = x R ycomo v = x , temos . y 2 y 2 c1 4 +2 = x x xA y 2 y 2 + 2x2 c1 4 = x2 x2 x y2 2 c1 4 4 (y + 2x2 ) = x x y 4 + 2x2 y 2 = c4 1e, definindo uma constante c = c4 , temos, finalmente, 1 y 4 + 2x2 y 2 = c (25)que ´ a solu¸˜o (impl´ e ca ıcita) da equa¸ao diferencial inicial. c˜ At´ agora vimos equa¸oes diferenciais que podem ser lineares. Vamos e c˜concentrar nossa aten¸ao nas equa¸oes lineares de primeira ordem. c˜ c˜ 18
  19. 19. 2.4 Equa¸˜es Diferenciais Lineares coDefini¸˜o 2.6 Se for poss´vel escrever uma equa¸˜o ordin´ria de primeira ca ı ca aordem na forma . dy + P (x)y = Q(x) (26) dxesta diferencial ser´ uma equa¸˜o linear. a ca Como exemplo, a equa¸ao c˜ .S dy 1 x2 + (x4 − 2x + 1)y = dx xpode ser calocada na forma .J dy x4 − 2x + 1 1 + 2 y= 3 dx x x Rou ainda, . dy 2 1 1 + x2 − + 2 y = 3 dx x x xque ´ linear, porque est´ no tipo da equa¸˜o 2.18. e a caA A equa¸ao (26) pode ser reescrita na forma c˜ [P (x)y − Q(x)] dx + dy = 0 (27)que ´ uma equa¸ao do tipo M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, onde M (x, y) = e c˜P (x)y − Q(x)eN (x, y) = 1. Esta equa¸ao n˜o ´ exata, pois c˜ a e ∂M (x, y) ∂N (x, y) = P (x) e =0 ∂y ∂xNo entanto, se utilizarmos um fator integrante, ela pode ser convertida numaequa¸ao diferencial exata. c˜Defini¸˜o 2.7 Um fator integrante µ(x, y) ´ uma fun¸˜o que, multiplicada ca e capela equa¸˜o diferencial ca M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0a transforma numa equa¸˜o diferencial exata, ou seja, na equa¸˜o ca ca µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 (28)que ´, por defini¸˜o, exata e ca 19
  20. 20. Por exemplo, a equa¸˜o diferencial ca ydx + 2xdy = 0 .n˜o ´ exata, pois M (x, y) = y, N (x, y) = 2x e a e ∂M (x, y) ∂N (x, y) =1= =2 ∂y ∂x .SEntretanto, se multiplicarmos esta equa¸˜o por y, teremos ca y 2 dx + 2xydy = 0 .Je agora, M (x, y) = y 2 , N (x, y) = 2xy e ∂M (x, y) ∂N (x, y) = 2y = = 2y ∂y ∂x Re a equa¸ao diferencial torna-se uma equa¸ao exata, sendo µ(x, y) = y o seu c˜ c˜ .fator integrante. Se utilizarmos fatores integrantes, a equa¸ao diferencial linear (26) pode c˜ser resolvida atrav´s do seguinte teorema: eTeorema 2.3 A equa¸˜o diferencial linear caA dy + P (x)y = Q(x) dxtem um fator integrante na forma P (x)dx µ(x, y) = ee sua solu¸˜o ´ dada por ca e y(x) = e− P (x)dx e P (x)dx Q(x)dx + c (29)Demonstra¸˜o. Considere a equa¸ao diferencial (27). Vamos multipl´ a-la ca c˜ ıc´por um fator integrante µ(x) que a torne uma equa¸˜o exata, ou seja, ca [µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] dx + µ(x)dy = 0Por defini¸ao, a equa¸ao diferencial acima ´ exata, e assim, c˜ c˜ e ∂ ∂ [µ(x)P (x)y − µ(x)Q(x)] = [µ(x)] ∂y ∂x 20
  21. 21. que se reduz a dµ µP (x) = dx .que pode ser separada em dµ = P (x)dx µ .Se entegrada, resultando em ln |µ| = P (x)dx .J P (x)dx µ(x) = eAgora multiplicamos a equa¸˜o diferencial (26) pelo fator integrante, isto ´, ca e .R P (x)dx dy P (x)dx P (x)dx e +e P (x)y = e Q(x) dxo lado esquerdo pode ser reescrito, poisA d P (x)dx P (x)dx dy d P (x)dx e dy = e +y e dx dx dx d P (x)dx P (x)dx dy P (x)dx e y =e + ye P (x) dx dxe assim, a equa¸ao diferencial fica c˜ d P (x)dx P (x)dx e dy = e Q(x) dx P (x)dx P (x)dx d e y =e Q(x)dx P (x)dx P (x)dx d e y = e Q(x)dx P (x)dx P (x)dx e y= e Q(x)dx + cou, finalmente, 21
  22. 22. y(x) = e− P (x)dx e P (x)dx Q(x)dx + c . Vejamos agora um exemplo de aplica¸ao. Considere a equa¸ao diferencial c˜ c˜ dy 3 + y = 6x2 dx x .S 3Nesta equa¸ao, P (x) = c˜ x e Q(x) = 6x2 . Ent˜o, a µ(x) = exp P (x)dx .J 3 = exp dx x R = exp(3 ln |x|) . = eln|x | 3A µ(x) = x3multiplicando a equa¸ao diferencial por µ(x), temos c˜ dy x3 + 3x2 y = 6x5 dxO lado esuqerdo ´, na verdade, e d 3 dy (x y) = x3 + y(3x2 ) dx dxe a equa¸˜o diferencial fica ca d 3 (x y)6x5 dx d(x3 y) = 6x5 dx d(x3 y) = 6x5 dx 22
  23. 23. x3 y = x6 + c . c y(x) = x3 + x3que ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial inicial. Vejamos um outro exemplo e c˜ c˜ilustrativo. Considere a equa¸ao diferencial c˜ .S y 2 dx + (3xy − 1)dy = 0 (30)que pode ser colocada na forma .J dy y2 − =0 dx 1 − 3xyque ´ n˜o-linear em y. Esta equa¸ao tamb´m n˜o ´ exata, sep´ravel ou e a c˜ e a e a Rhomogˆnea. No entanto, como foi dito no in´ e ıcio deste cap´ ıtulo, ao definir .a equa¸ao (10), quando uma equa¸ao diferencial est´ na forma da equa¸˜o c˜ c˜ a ca(30), podemos interpretar que y = y(x) ou que x = x(y). Assim, vamostentar esta ultima interpreta¸˜o, ou seja, vamos escrever a equa¸ao como ´ ca c˜A dx 1 − 3xy − =0 dy y2ou ainda como dx 3 1 + x= 2 dy y yque ´ do tipo e dx + P (y)x = Q(y) dye ´ uma equa¸ao diferencial linear em x, podendo ser resolvida mediante a e c˜utiliza¸ao da equa¸˜o (29), com a substitui¸ao de x por y e y por x. O fator c˜ ca c˜integrante ´ e µ(y) = exp P (y)dy 3 = exp dy y 23
  24. 24. = exp3 ln|y | 3 . µ(y) = y 3Multiplicando o fator integrante pela equa¸ao diferencial, temos c˜ dx .S y3 + 3y 2 x = y dycomo .J d 3 dx (y x) = y 3 + x(3y 2 ) dy dyobtemos R d 3 (y x) = y . dy d(y 3 x) = ydyA d(y 3 x) = ydy y2 y3x = +c 2 1 c x(y) = + 3 2y yque ´ a solu¸ao da equa¸ao diferencial (30). Vejamos uma classe especial de e c˜ c˜equa¸oes diferenciais que podem ser transformadas em equa¸˜es lineares. c˜ co2.5 Equa¸˜o de Bernoulli caDefini¸˜o 2.8 Uma equa¸˜o diferencial da forma ca ca dy + P (x)y = Q(x)y n (31) dx´ chamada de equa¸˜o de Bernoulli de grau n.e ca 24
  25. 25. Um exemplo de uma equa¸ao diferencial de Bernoulli ´ a equa¸˜o c˜ e ca dy y y2 − =− (32) dx x x . 1 1pois P (x) = − x , Q(x) = − x e n = 2 Se na equa¸˜o de Bernoulli tivermos n = 0 ou n = 1, ent˜o a equa¸˜o ´ ca a ca ena verdade linear e pode ser resolvida mediante algum dos m´todos vistos. enos outros casos, a equa¸˜o diferencial ´ n˜o - linear e ela pode ser resolvida ca e a .Satrav´s do seguinte teorema: eTeorema 2.4 A equa¸˜o de Bernoulli n˜o-linear ca a dy + P (x)y = Q(x)y n .J dxsendo n = 0 ou 1, pode ser transformada numa equa¸˜o diferencial linear caatr´ves da mudan¸a de vari´veis a c a v = y 1−n .Rque resulta numa equa¸˜o diferencial linear em v. caDemonstra¸˜o. Primeiro, multiplicamos a equa¸˜o diferencial (31) por y −n , ca caou seja,A dy y −n + P (x)y 1−n = Q(x) (33) dxSe v = y 1−n , ent˜o, a dv d 1−n dy = (y ) = (1 − n)y −n dx dx dxe a equa¸˜o (33) fica ca 1 dv + P (x)v = Q(x) 1 − n dxou, de forma equivalente, dv + (1 − n)P (x)v = (1 − n)Q(x) dxChamando P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x) P1 (x) = (1 − n)P (x) e Q1 (x) = (1 − n)Q(x) 25
  26. 26. temos dv + P1 (x)v = Q1 (x) dx .que ´ linear em v. e Como exemplo, vamos resolver a equa¸ao diferencial (32), que ´ c˜ e dy y y2 − =− .S dx x xNeste caso, n = 2, e ent˜o, devemos multiplicar a equa¸ao por y −2 , ou seja, a c˜ dy y −1 1 .J y −2 − =− dx x xComo v = y 1−n = y −1 , temos dv d −1 dy R = (y ) = −y −2 dx dx dx .Fazendo a substitui¸ao, ficamos com c˜ dv v 1 − − =−A dx x xou ainda, dv v 1 + = dx x x 1que est´ na forma padr˜o das equa¸˜es diferenciais lineares, com P (x) = a a co x 1e Q(x) = x . O fator integrante ´ e µ(x) = exp P (x)dx dx = exp x = exp(ln |x|) µ(x) = x 26
  27. 27. Multiplicando a equa¸˜o diferencial por este fator integrante, temos ca dv x +v =1 dx .Como d dv (xv) = x + v dx dx .Sobtemos d (xv) = 1 dx .J d(xv) = dx R d(xv) = dx . xv = x + cA c v(x) = 1 + xLembrando que v = y −1 , temos y = v , ou seja, 1 1 x+c = y(x) x x y(x) = x+cque ´ a solu¸˜o da equa¸ao diferencial de Bernoulli (32). e ca c˜3 Equa¸oes Diferenciais Ordin´rias Lineares c˜ a de Ordem Superior: T´cnicas Fundamen- e taisPassaremos ` discuss˜o das equa¸oes diferencias ordin´rias de ordem supe- a a c˜ arior, em especial as equa¸˜es diferencias de segunda ordem. co 27
  28. 28. Defini¸˜o 3.1 Uma equa¸˜o diferencial linear ordin´ria de ordem n ´ ca ca a euma equa¸˜o que pode ser posta na forma da equa¸˜o (6), que ´ ca ca e dn y dn−1 y dy ao (x) + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = b(x) . dx n dx dxonde a0 (x) n˜o ´ identicamente nulo. Se b(x) = 0, a equa¸˜o acima escreve- a e case na forma .S dn y dn−1 y dy ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 (34) dx dx dxe ´ chamada homogˆnea, enquanto que a equa¸˜o diferencial (6) ´ dita n˜o e e ca e ahomogˆnea. Se n = 2, ent˜o a equa¸˜o diferencial (6) se reduz ` equa¸˜o e a ca a ca .Jn˜o homogˆnea a e d2 y dy ao (x) 2 + a1 (x) + a2 (x)y = b(x) (35) dx dx Renquanto que a equa¸˜o diferencial homogˆnea (34) se reduz a ca e . d2 y dy ao (x) 2 + a1 (x) + a2 (x)y = 0 (36) dx dx Como exemplo, as equa¸oes diferencias c˜A d3 x d2 x − t2 2 + xt = cos t (37) dt3 dte d2 y dy x 2 + 3x3 − 4xy = ex (38) dx dxs˜o equa¸oes diferencias lineares n˜o-homogˆneas. A equa¸ao (37) ´ de ordem a c˜ a e c˜ en = 3, ao passo que a equa¸˜o (38) ´ de ordem n = 2. As equa¸oes diferenciais ca e c˜homogˆneas correspondentes s˜o e a d3 x d2 x dx − t2 2 + 2t + xt = 0 dt3 dt dte d2 y dy x 2 + 3x3 − 4xy = 0 dx dx Vamos nos concentrar inicialmente no estudo da equa¸ao diferencial ho- c˜mogˆnea (34) e 28
  29. 29. 3.1 Equa¸˜es Diferenciais Homogˆneas de Ordem Su- co e periorApesar da aparente simplicidade, n˜o h´ um modo geral de resolu¸ao da a a c˜equa¸ao diferencial (34). Existem apenas casos particulares, desenvolvidos c˜ .para serem usados em situa¸oes espec´ c˜ ıficas. Um desses casos ocorre quandoos coeficientes ai na equa¸ao (34), que ´ c˜ e dn y dn−1 y dy .S ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 dx dx dxs˜o na verdade constantes num´ricas e n˜o fun¸˜es de x. Neste caso, existe a e a coum m´todo razoavelmente simples, que ser´ discutido. No entanto, antes e a .Jde apresentarmos o modo de resolver equa¸oes diferenciais homogˆneas com c˜ ecoeficientes constantes, ´ preciso definir alguns conceitos que ser˜o necess´rios e a adepois, em particular os conceitos de dependˆncia e independˆncia linear. e eDefini¸˜o 3.2 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , a express˜o ca co a .R c1 f 1 + c2 f 2 + . . . + cn f n (39)onde c1 , c2 , . . . , cn s˜o constantes, ´ uma combina¸˜o linear f1 , f2 , . . . , fn . a e caPor exemplo,A 5 ln x − 2 cos 2x + 4x2´ uma combina¸˜o linear de f1 (x) = ln x, f2 (x) = cos 2x e f3 (x) = x2 .e caDefini¸˜o 3.3 Seja a combina¸˜o linear de f1 , f2 , . . . , fn ca ca c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0 (40)Se nesta combina¸˜o linear especial pelo menos um dos cj for diferente de cazero, dizemos que as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o linearmente dependentes, ou co aLD. Em particualr, duas fun¸˜es f1 (x) e f2 (x) s˜o linearmente dependentes co ase, quando c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0 (41)pelo menos c1 ou c2 puder ser diferente de zero. Por exemplo, as fun¸˜escof1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x s˜o LD, pois na combina¸˜o linear a ca c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + c3 f3 (x) = 0 c1 (x) + c2 (2x) + c3 (3x) = 0 29
  30. 30. 1se tomarmos c1 = 3, c2 = −2 e c3 = 3 , veremos que a igualdade ´ satisfeita. eDefini¸˜o 3.4 Quando o unico modo de ter a combina¸˜o linear ca ´ ca c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x) = 0 .for o de escolher c1 = c2 = . . . = cn = 0, as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn s˜o co alinearmente independentes, ou LI. Em particular, as fun¸˜es f1 e f2 s˜o LI co ase, para se ter .S c1 f1 (x) + c2 f2 (x) = 0´ necess´rio que c1 = c2 = 0. Como exemplo, as fun¸˜es f1 (x) = ex ee a co .Jf2 (x) = sin x s˜o LI, pois, para que a c1 ex + c2 sin x = 0´ preciso que c1 = c2 = 0.e RDefini¸˜o 3.5 Dadas as fun¸˜es f1 , f2 , . . . , fn , onde cada uma possui deri- ca co .vadas pelo menos at´ a ordem (n − 1), o determinante e f1 f2 ... fn f1 f2 ... fnA W (f1 , f2 , . . . , fn ) = . . . . ... . . . (42) . . . (n−1) (n−1) (n−1) f1 f2 . . . fn´ chamado Wronskiano dessas fun¸˜es. Se o Wronskiano de f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)e cofor nulo, essas fun¸˜es s˜o LD, e se n˜o for, elas s˜o LI. co a a a Vejamos um exemplo. Vamos calcular o Wronskiano das fun¸oes dadas c˜no exemplo da defini¸ao 4.3, que s˜o f1 (x) = x, f2 (x) = 2x e f3 (x) = 3x. c˜ aTemos trˆs fun¸oes e precisamos achar suas derivadas at´ a ordem 2, ou seja, e c` e f1 (x) = 1 f2 (x) = 2 f3 (x) = 3 f1 (x) = 0 f2 (x) = 0 f3 (x) = 0 Agora, calculamos o Wronskiano f1 f2 f3 W = (f1 , f2 , f3 ) = f1 f2 f3 f1 f2 f3 30
  31. 31. x 2x 3x W = (x, 2x, 3x) = 1 2 3 0 0 0 . W = (x, 2x, 3x) = 0 .Se as fun¸oes s˜o LD, como j´ hav´ c˜ a a ıamos mostrado. Vamos calcular agora oWronskiano das fun¸˜es dadas no exemplo da defini¸˜o 3.4, que s˜o LI. As co ca a xfun¸oes s˜o f1 (x) = e e f2 (x) = sin x. Suas derivadas s˜o c˜ a a .J f1 (x) = ex f2 (x) = cos xe o Wronskiano ´ e f1 f2 R W = (f1 , f2 ) = . f1 f2 ex sin x W = (ex , sin x) = ex cos xA W = (ex , sin x) = ex cos x − ex sin x W = (ex , sin x) = ex (cos x − sin x)que ´ diferente de zero, e portanto as fun¸˜es s˜o LI. e co aTeorema 3.1 A equa¸˜o diferencial linear homogˆnea ordin´ria (34) ca e a dn y dn−1 y dy ao (x) n + a1 (x) n−1 + . . . + an−1 (x) + an (x)y = 0 dx dx dxsempre possui n solu¸˜es linearmente independentes, e a sua solu¸˜o geral ´, co ca ea combina¸˜o linear dessas n solu¸˜es, na forma ca co f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) + . . . + cn fn (x)Em particular, se n = 2, a solu¸˜o geral ´ ca e f (x) = c1 f1 (x) + c2 f2 (x) 31
  32. 32. Um modo de se verificar as solu¸oes f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) s˜o LI ´ calcu- c˜ a elar o seu Wronskiano. Se n˜o for nulo, ent˜o a combina¸ao linear das solu¸˜es a a c˜ co´ a solu¸ao geral da equa¸˜o diferencial. Por exemplo, a equa¸˜o diferenciale c˜ ca ca d2 y . +y =0 dx2pode ser resolvida se y(x) = cos x ou se y(x) = sin x. O Wronskiano destasfun¸oes ´ c˜ e .S cos x sin x W = (cos x, sin x) = − sin x cos x .J W = (cos x, sin x) = cos2 x + sin2 x R W = (cos x, sin x) = 1 .que ´ diferente de zero, e as fun¸oes s˜o LI. Portanto, a solu¸˜o geral da e c˜ a caequa¸ao diferencial ´ c˜ eA f (x) = c1 cos x + c2 sin x Vamos agora partir para o m´todo de resolu¸ao de equa¸oes diferencias e c˜ c˜homogˆneas com coeficientes constantes. e3.2 Equa¸˜es Diferencias com Coeficientes Constantes coAs equa¸˜es diferenciais homogˆneas com coeficientes constantes s˜o as equa¸oes co e a c˜diferencias na forma dn y dn−1 y dy ao n + a1 n−1 + . . . + an−1 + an y = 0 (43) dx dx dxonde a0 , a1 , . . . , an s˜o constantes reais. Esta equa¸ao pode ser transformada a c˜numa outra, atrav´s da substitui¸ao e c˜ y(x) = emxLembrando que dy = memx dx 32
  33. 33. d2 y = m2 emx dx2 . d3 y = m3 emx dx3 .S . . .=. . . dn y = mn emx .J dxna equa¸ao diferencial (43) fica c˜ ao mn + a1 mn−1 emx + . . . + an−1 memx + an emx = 0 .Rou emx ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0Como emx = 0, ficamos comA ao mn + a1 mn−1 + . . . + an−1 m + an = 0 (44)que ´ um polinˆmio de grau n em m, chamado de equa¸ao caracter´ e o c˜ ıstica da mxequa¸ao diferencial (43). Se y(x) = e ´ solu¸ao de (43), ent˜o m deve ser c˜ e c˜ asolu¸ao de (44), ou seja, m ´ uma raiz do polinˆmio. Como um polinˆmio de c˜ e o ograu n tem n ra´ ızes, temos n valores de m, que correspondem as n solu¸oes ´ c˜da equa¸˜o diferencial (43). Precisamos apenas separar os casos de ra´ ca ızesreais e distintas, ra´ reais e repetidas e ra´ complexas. ızes ızes3.2.1 Ra´ ızes Reais e DistintasSe as ra´ de (44) s˜o reais e distintas, ent˜o as solu¸˜es s˜o ızes a a co a em1 x , em2 x , . . . , emn xque s˜o LI, e a solu¸ao geral ´ a c˜ e y(x) = c1 em1 x + c2 em2 x + . . . + cn emn (45)Como exemplo, considere a equa¸ao diferencial c˜ 33
  34. 34. d2 (y) dy 2 + 5 + 6y = 0 dx dx .Substituindo y(x) = emx , temos m2 emx + 5memx + 6emx = 0 .S m2 + 5m + 6 = 0que ´ a equa¸˜o caracter´ e ca ıstica neste caso. As ra´ s˜o ızes a .J m1 = −2 , m2 = −3que s˜o diferentes, e as solu¸oes s˜o a c˜ a R e−2x , e−3x .que s˜o LI e formam a solu¸˜o geral a ca y(x) = c1 e−2x + c2 e−3xA3.2.2 Ra´ ızes Reais e RepetidasVamos considerar a equa¸ao diferencial c˜ d2 (x) dy 2 − 4 + 4x = 0 (46) dt dx Sua equa¸ao caracter´ c˜ ıstica ´e m2 − 4m + 4 = 0que possui a raiz dupla m = 2. Ent˜o, as solu¸oes seriam e2t e e2t . No a c`entanto, essas solu¸oes n˜o s˜o LI, como ´ f´cil de verificar, j´ que elas s˜o c` a a e a a a 2tiguais. A fun¸˜o e ´ uma solu¸ao, como pode ser visto se a substituirmos ca e c˜na equa¸ao diferencial c˜ d2 2 d 2 (e t) − 4 (e2t ) + 4(e2t ) = 0 dt dt 4e2t − 8e2t + 4e2t = 0 34
  35. 35. 0=0mas falta mais uma, pois uma equa¸˜o diferencial de ordem 2 tem duas ca .solu¸oes. Para achar a outra vamos tentar tomar c˜ x = e2t y .Se ver se isso resolve o problema. Temos ent˜o a dx dy dy = 2e2t y + e2t = e2t 2y + dt dt dt .Je d2 x dy dy d2 y = 2e2t 2y + + e2t 2y + + 2 dt2 dt dt dt .R d2 x 2t dy d2 y = 2e 4y + 4 + 2 dt2 dt dtsubstituindo tudo isso na equa¸ao (46), o resultado ´ c˜ eA dy d2 y dy e2t 4y + 4 + 2 − 4e2t 2y + + 4e2t y = 0 dt dt dtou dy d2 dy 4y + 4 + 2 − 4 2y + + 4y = 0 dt dt dt d2 dy 2 + (4 − 4) + y (4 − 8 + 4) = 0 dt dt d2 =0 dt2 A equa¸˜o diferencial acima ´ bastante simples de resolver. Chamamos ca e dy w= dte temos 35
  36. 36. dy =0 dt . w=conde a soma c ´ uma constante que pode ser tomada como sendo c = 1 sem eperda de generalidade. Agora, .S dy =1 dt .J dy = dt y =t+d Rem que d ´ outra constante, que neste caso pode ser tomada como sendo e .d = 0. O resultado ´ y = t, e a outra solu¸ao da equa¸ao diferencial (46) ´ e c˜ c˜ e te2tAque LI em rela¸ao a solu¸ao e2t . A solu¸˜o geral fica c˜ ` c˜ ca x(t) = c1 e2t + c2 te2t = e2t (c1 + c2 t) O procedimento acima ´ absolutamente geral, e quando uma equa¸ao e c˜diferencial tem uma raiz mi que se repete k vezes, as solu¸˜es associadas a coessa raiz s˜o a emi x , xemi x , x2 emi x , . . . , xk−1 emi xe a solu¸˜o geral fica ca c1 + c2 x + c3 x2 + . . . + ck xk−1 emi x Se houver mais de uma rais repetida, repete-se o procedimento acimapara cada uma delas. Por exemplo, se uma equa¸ao diferencial tiver uma c˜equa¸ao caracter´ c˜ ızes s˜o m = 1, 1, 1, −3, −3, 4 a solu¸ao geral ıstica cujas ra´ a c˜dessa equa¸ao diferencial ser´ c˜ a y(x) = c1 ex + c2 x + c3 x2 ex + c4 e−3x + c5 xe−3x + c6 e4xe todas as fun¸oes acima s˜o LI, como deveria ser. c˜ a 36
  37. 37. 3.2.3 Ra´ ızes ComplexasO procedimento a ser seguido quando as ra´ s˜o complexas ´ idˆntico aos ızes a e eanteriores. Se as ra´ complexas forem distintas, segue-se o caso das ra´ ızes ızesdistintas. Se aparecerem ra´ ızes complexas repetidas, segue-se o caso das .ra´ ızes repetidas. As unicas diferen¸as s˜o que, se z = a + bi ´ raiz de uma ´ c a eequa¸ao, ent˜o z = a + bi, que ´ complexo conjugado, tamb´m ´ raiz, ou seja, c˜ a ¯ e e eelas aparecem aos pares. A outra diferen¸a ´ que, usando a rela¸ao de Euler c e c˜ .S eiθ = cos θ + i sin θpodemos expressar, dependendo da necessidade, as exponenciais complexascomo soma de senos e cossenos, para facilitar a “visualiza¸ao”do resultado. c˜ .J Como exemplo, a equa¸ao diferencial c˜ d2 y dy = −6 + +25y = 0 dx2 dx Rtem uma equa¸˜o caracter´ ca ıstica dada por . m2 − 6m + 25 = 0que tem as ra´ complexas ızesA m1 = 3 + 4i, m2 = 3 − 4ique s˜o conjugadas, como esperado. A solu¸ao segue o caso de ra´ reais e a c˜ ızesdistintas, ou seja, as fun¸oes c˜ e(3+4i)x e(3−4i)xformam uma solu¸˜o geral ca y(x) = c1 e(3+4i)x c2 e(3−4i)xque s˜o LI, como deveria ser. Para expressar a solu¸ao na forma de senos a c˜e cossenos, ´ prefer´vel transformar as solu¸˜es antes de formar a solu¸ao e e co c˜geral, isto ´, e y(1) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e4xi = e3x (cos 4x + i sin 4x) y(2) = e(3+4i)x = e3x−4xi = e3x e−4xi = e3x (cos 4x − i sin 4x) 37
  38. 38. e a solu¸˜o fica ca y(x) = k1 y1 + k2 y2 . = k1 e3x (cos 4x + i sin 4x) + k2 e3x (cos 4x − i sin 4x) = e3x [(k1 + k2 ) cos 4x + i (k1 − k2 ) sin 4x] .S y(x) = e3x (c1 cos 4x + c2 sin 4x) .Jque ´ a solu¸ao geral, com c1 = k1 + k2 e c2 = i(k1 − k2 ), expressa em senos e c˜e cossenos. J´ a equa¸ao diferencial a c˜ d4 x d3 x d2 x dx R − 4 3 + 14 2 − 20 + 25x = 0 dt4 dt dt dt .tem uma equa¸˜o caracter´ ca ıstica m4 − 4m3 + 14m2 − 20m + 25 = 0Acujas solu¸oes s˜o c˜ a m = 1 + 2i, 1 − 2i, 1 + 2i, 1 + 2i, 1 − 2ique s˜o repetidas. Ent˜o, as solu¸oes s˜o a a c˜ a e(1+2i)t , te(1+2i)t , e(1−2i)t , te(1−2i)te a solu¸˜o geral fica ca x(t) = (c1 + c2 t)e(1+2i)t + (c3 + c4 t)e(1−2i)t Na forma de senos e cossenos, temos x1 = e(1+2i)t = et+2it = et (cos 2t + i sin 2t) x2 = te(1+2i)t = tet (cos 2t + i sin 2t) x3 = e(1−2i)t = et−2it = et (cos 2t − i sin 2t) 38

×