Matriks dan penerapannya dalam bidang ekonomi

38,614 views

Published on

4 Comments
16 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
38,614
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
1,129
Comments
4
Likes
16
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matriks dan penerapannya dalam bidang ekonomi

  1. 1. MATRIKS DAN PENERAPANNYA DALAM BIDANG EKONOMI1. Definisi dan Notasi Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangandalam susunan itu disebut anggota dlaam matriks tersebut. Beberapa contoh matriks adalah , , , , . Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garisvertical) yang dikandungnya. Misalnya matriks pada contoh mempunyai ukuran 3baris dan 2 kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 2(ditulis 3 2). Dalam suatuuraian ukuran, angka pertama selalu menyatakan jumlah baris dan angka kedua selalumenyatakan jumlah kolom. Selanjutnya pada contoh secara berurutan matriksmempunyai ukuran 1 3, 3 3, 2 1, dan 1 1. Untuk penamaan pada matriks,kita akan menggunakan huruf besar untuk menyatakan matriks dan huruf kecil untukmewakili bilangan; jadi kita boleh menuliskan atau Anggota pada baris i dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakansebagai . Dan sebuah matriks umum m n ditulis sebagai .
  2. 2. 2. Operasi – Operasi Matriks a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang samadan anggota berpadanannya sama. Dalam notasi matriks, jika A = [aij] dan B = [bij]mempunyai ukuran sama, maka A=B jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij atau secarasetara, aij = bij untuk semua i dan j.Jika A = [aij] dan B = [bij] mempunyai ukuran sama maka dan Contoh operasi penjumlahan matriks: Contoh operasi pengurangan matriks b. Perkalian Matriks Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n, makahasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagaiberikut. Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari AB, pilih baris i darimatriks a dan kolom j dari matriks B. kalikan anggota-anggota yang berpadanan daribaris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. A B = AB m r r n m n di dalam di luar
  3. 3. Tinjau matriks-matriks Karena matriks A matriks 2 3, dan matriks B adalah matriks 3 4, makahasil kali AB adalah sebuah matriks 2 4. Selanjutnya kita mengalikan anggota-anggota berpadanan dengan cara: (1.4) + (2.0) + (4.2) = 12 (1.1) (2.1) + (4.7) = 27 (1.4) + (2.3) + (4.5) = 30 (1.3) + (2.1) + (4.2) = 13 (2.4) + (6.0) + (0.2) = 8 (2.1) - (6.1) + (0.7) = 4 (2.4) + (6.3) + (0.5) = 26 (2.3) + (6.1) + (0.2) = 12 Jadi, bila dituliskan:A B menjadi =Jika ada sebarang scalar c dan matriks A,maka hasil kali cA adalah matriks yangdiperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c. Dalam notasi matriks, jikaA = [aij] maka (cA)ij = c(A)ij = caij . Contoh: Matriks , kita mendapatkan bahwa 2A = .3. Transpos suatu matriks Jika A adalah sebarang matriks m n , maka transpos A dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai matriks n m yang didapatkan dengan mempertukarkan
  4. 4. baris dan kolom dari A; yaitu, kolom pertama dari adalah baris pertama dari A,kolom kedua dari adalah baris kedua dari A, dan seterusnya. Contoh: maka, maka, Sifat-Sifat Transpos Matriks Jika ukuran matriks-matriks di bawah ini adalah sedemikian sehinggaoperasi yang dinyatakan bias dilakukan, maka: a. ((A)T)T = A b. (A+B)T = + dan (A – B)T = – c. (kA)T = kAT , dengan k adalah sebarang skalar d. (AB)T =4. Invers dari Sebuah Matriks Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks B yangberukuran sama bias didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I. maka A disebutbias dibalik dan B disebut invers dari A. Contoh: Matriks adalah invers dari Karena
  5. 5. danUntuk dapat mencari invers dapat kita perhatikan rumus berikut ini: , dapat dibalik jika ad – bc ≠ 0, di mana inversnya bias dicari denganrumus: =5. Determinan Sebuah Matriks Pada pembahasan di atas kita membahas bahwa sebuah matriks , dapat dibalik jika ad – bc ≠ 0. Ekspresi ad – bc muncul begitu seringdalam matematika hingga ekspresi ini diberi nama, yaitu determinan dari matriks A(2 2) dan dinyatakan sebagai symbol det(A). Menghitung sebuah determinan mulanya dari menghitung permutasi.Permutasi himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,…, n} adalah susunan biangan-bilanganbulat ini dalam suatu urutan tanpa penghilang atau pengurangan. Untuk menyatakansuatu permutasi umum dari himpunan {1, 2, 3,…, n}, kita akan menuliskan {j1, j2,…,jn}. di sini j1 adalah bilangan bulat pertama dalam permutasi, j2 adalah yang kedua,dan seterusnya. Suatu pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi {j1, j2,…,jn} bilamana suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Totaljumlah pembalikan yang terjadi dlaam suatu permutasi bias didapatkan sebagaiberikut: (1) cari jumlah bilangan bulat yang lebih kecil dari j1 dan yang mengikuti j1dalam permutasi tersebut; (2) cari jumlah bilangan bulat yang lebih kecil dari j2 danyang mengikuti permutasi tersebut. Teruskan proses menghitung ini untuk j3,…, jn – 1.
  6. 6. Total dari jumlah – jumlah ini adalah total jumlah pembalikan dalam permutasitersebut.Contoh: Jumlah pembalikan dalam permutasi (6, 1, 3, 4, 5, 2) adalah : 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8. Jumlah pembalikan dalam permutasi (2, 4, 1, 3) adalah : 1 + 2 + 0 = 3. Untuk menghitung determinan suatu matriks kita dapat mendaftarkan semuahasil kali dasar dari suatu matriks A(n n). kita akan memberikan makna pada setiaphasil kali dari n anggota dari A, yang dua di antaranya tidak ada yang berasal daribaris atau kolom yang sama. Berikut adalah hasil kali bertanda dari matriks – matriks berordo 2 2 dan3 3. a. Hasil Kali Permutasi Jumlah Hasil Kali Dasar Klasifikasi Dasar Terkait Pembalikan Bertanda (1,2) 0 genap (2,1) 1 ganjilMengacu pada tabel di atas kita peroleh: =
  7. 7. b. Hasil Kali Permutasi Jumlah Hasil Kali Dasar Klasifikasi Dasar Terkait Pembalikan Bertanda (1,2,3) 0 genap (1,3,2) 1 ganjil (2,1,3) 1 ganjil (2,3,1) 2 genap (3,1,2) 2 genap (3,2,1) 3 ganjilMengacu pada tabel di atas kita peroleh: = .Lebih mudah lagi, kita dapat menghitung dengan menjumlahkan hasil kali padapanah kanan dan mengurangkannya dengan hasil kali pada panah kiri.(a)
  8. 8. Contoh :Hitung determinan dari A= dan B=Penyelesaian:Dengan menggunakan metode panah di atas kita peroleh:Det (A) = (3)( 2) – (1)(4) = 10Det (B) = (45) + (84) + (96) – (105) – ( 48) – ( 72) = 240.
  9. 9. Penerapan Matriks pada Bidang Ekonomi1. Suatu perekonomian hipotesa yang sederhana terdiri dari dua industri A dan B yang dinyatakan dalam tabel berikut (data dalam puluhan juta dolar produk): Input Permintaan Jumlah Produsen A B akhir output A 14 6 10 35 B 7 18 15 48Tentukanlah vektor output perekonomian jika permintaan akhir berubah menjadi16untuk A dan 20 untuk B.Penyelesaian:Koefisien input I–A= dalam bentuk sederhana menjadi
  10. 10. Jika C1 = 16, dan C2 = 10 maka vektor output menjadi:

×