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TEORIA DE C´OPULAS APLICADA AO
C´ALCULO DO VALOR EM RISCO
Rog´erio de Almeida Domingues
Orientador: Prof. Dr. Vladimir Bel...
GEST˜AO DE RISCOS
Risco ´e definido como a possibilidade de ocorrer algum acontecimento
desfavor´avel. Mais especificamente,...
CARTEIRA DE ATIVOS E RETORNO
Em finan¸cas uma carteira ´e a composi¸c˜ao de N ativos (A1, .., AN ) de
investimentos (a¸c˜oe...
EXEMPLO DE UMA CARTEIRA
Exemplo de uma carteira hipot´etica composto por 2 ativos:
Ativo (Ai ) Quantidade (Qi ) Pre¸co (Pi...
RISCO FINANCEIRO - VaR
O VaR ou Value-at-Risk (Valor em Risco) ´e uma medida de risco e pode
ser definida como o valor da p...
M´ETODOS PARA C´ALCULO DO VaR
Existem diversos m´etodos para c´alcular o VaR, os m´etodos abordados
nesse trabalho ser˜ao:...
VALIDAR UM MODELO DE VaR (Backtesting)
O nome dado ao processo de valida¸c˜ao de um modelo de VaR ´e
Backtesting, seu obje...
C´OPULAS
Uma c´opula C ´e uma fun¸c˜ao multivariada com distribui¸c˜oes marginais
uniformemente distribuidas em [0, 1] tal...
FAM´ILIAS DE C´OPULAS
Abordando o caso bivariado teremos:
C uma fun¸c˜ao c´opula e θ parˆametro que quantifica o grau de de...
FAM´ILIAS DE C´OPULAS EL´IPTICAS
Resultam diretamente do Teorema de Sklar onde C ´e uma distribui¸c˜ao
el´ıptica e as dist...
FAM´ILIAS DE C´OPULAS ARQUIMEDIANAS
Obtidas a partir de uma fun¸c˜ao geradora ϕ(.) espec´ıfica para cada c´opula.
C(u, v) =...
ESTIMAC¸ ˜AO DOS PARˆAMETROS DA C´OPULA
A principal metodologia de estima¸c˜ao utilizada ´e o m´etodo da m´axima
verossimi...
TESTE DE AJUSTE
Um teste de ajuste, de good-of-fit descreve a qualidade do ajuste de um
modelo estat´ıstico e o qu˜ao bem e...
C´OPULAS PARA ESTIMAR O VAR
Etapas para o c´alculo do VaR de uma carteira utilizando c´opulas:
APLICAC¸ ˜AO A DADOS REAIS
O teste emp´ırico deste trabalho foi dividido da seguinte forma:
DEFINIC¸ ˜AO DA CARTEIRA DE TESTE
Foram selecionados pre¸cos de fechamento di´arios das a¸c˜oes
PETR4,VALE5 de Jan/2010 at...
DADOS DA CARTEIRA
Estat´ıstica descritiva das s´eries de retorno
VALE PETR
M´edia -0.0003 -0.0008
Erro Padr˜ao 0.0006 0.00...
DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS
Parˆametros estimados das marginais dos retornos - VALE e PETR
DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS - PETR
Gr´aficos e resultados dos testes de Kolmogorov-Smirnov - PETR.
DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS - VALE
Gr´aficos e resultados dos testes de Kolmogorov-Smirnov - VALE.
DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA
Os parametros estimados e resultados do m´etodo IFM:
Normal t-Student Clayton Gumb...
DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA
Gr´aficos comparativos entre retornos emp´ıricos e retornos c´opula
DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA
Gr´aficos das curvas de n´ıvel das c´opulas geradas
C´ALCULO DO VAR
Definir a carteira com pesos wi constantes, os pesos ser˜ao 50%
PETR e 50% VALE5 , calcularemos o VaR95% e ...
RESULTADOS
Gr´afico da simula¸c˜ao para o Var99%
RESULTADOS
Gr´afico da simula¸c˜ao para o Var95%
VALIDAC¸ ˜AO DO MODELO - VaR
Resultado do Backtesting
C´opula t Simula¸c˜ao Hist´orica Delta Normal
Qt % Qt % Qt %
VaR99% ...
OBSERVAC¸ ˜OES E CONCLUS˜AO
O n´umero de janelas e amostras tamb´em podem ser extrapolados.
Testes com outras c´opulas.
Te...
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  1. 1. TEORIA DE C´OPULAS APLICADA AO C´ALCULO DO VALOR EM RISCO Rog´erio de Almeida Domingues Orientador: Prof. Dr. Vladimir Belitsky IME-USP Agosto, 2014
  2. 2. GEST˜AO DE RISCOS Risco ´e definido como a possibilidade de ocorrer algum acontecimento desfavor´avel. Mais especificamente, ´e a possibilidade de perda financeira. Tipos de Riscos Cr´edito: Perdas com devedores; Operacional: Perdas com sistemas inadequados, falha da gerˆencia, controles defeituosos, fraude; Financeiro: Perdas decorrentes de mudan¸cas nos pre¸cos e nas taxas do mercado financeiro; Outros
  3. 3. CARTEIRA DE ATIVOS E RETORNO Em finan¸cas uma carteira ´e a composi¸c˜ao de N ativos (A1, .., AN ) de investimentos (a¸c˜oes). Onde Pi,t ´e o pre¸co do ativo i no dia t, Qi,t a quantidade do ativo do ativo Ai no dia t e Tc,t o total da carteira no dia t. O retorno da carteira c no dia t ser´a: Rc,t = N i=1 wi,tRi,t
  4. 4. EXEMPLO DE UMA CARTEIRA Exemplo de uma carteira hipot´etica composto por 2 ativos: Ativo (Ai ) Quantidade (Qi ) Pre¸co (Pi ) Valor (Vi ) Peso (wi ) A1 2500 24,00 60.000,00 60% A2 2000 20,00 40.000,00 40% Total Tc R$ 100.000,00 Simula¸c˜ao de um dia de mercado para a carteira: Data Dia (t) Pre¸co de A1 Pre¸co de A2 01/01/2000 t − 1 24,00 20,00 02/01/2000 t 23,60 20,15 Retorno -1,67% 0,75% Rc,t = w1R1,t + w2R2,t = 60%(−1, 67%) + 40%(0, 75%) = −0, 70% Em valor monet´ario ser´a: Tc,t ∗ Rc,t = 100.000, 00(−0, 70%) = −700, 00
  5. 5. RISCO FINANCEIRO - VaR O VaR ou Value-at-Risk (Valor em Risco) ´e uma medida de risco e pode ser definida como o valor da perda m´axima prov´avel do valor de uma carteira de ativos. Defini¸c˜ao Formal: Dado um n´ıvel de confian¸ca p ∈ (0, 1), VaRp(X) ´e o limiar tal que a vari´avel aleat´oria X assume valor menor ou igual que VaRp(X) com a probabilidade 1 − p. Supondo por exemplo p = 0.95, podemos dizer que: Temos 95% de certeza de que n˜ao perderemos mais que 0,7% do total da carteira no pr´oximo 1 dia.
  6. 6. M´ETODOS PARA C´ALCULO DO VaR Existem diversos m´etodos para c´alcular o VaR, os m´etodos abordados nesse trabalho ser˜ao: VaR Delta-normal No modelo Delta-normal assume-se que os retornos financeiros (R) s˜ao normalmente distribu´ıdos, o valor do retorno de perda m´axima R∗ , ser´a: Prob(R ≤ R∗ ) = 1 − p = Prob(Z ≤ z) Pode-se obter a normaliza¸c˜ao de R∗ , fazendo z = R∗ −µ σ . R∗ = zσ + µ = VaRp(R) VaR por Simula¸c˜ao Hist´orica No modelo por simula¸c˜ao hist´orica o VaRp(R) ser´a o 1 − p quantil da distribui¸c˜ao real de retornos. VaR com Fun¸c˜ao C´opula
  7. 7. VALIDAR UM MODELO DE VaR (Backtesting) O nome dado ao processo de valida¸c˜ao de um modelo de VaR ´e Backtesting, seu objetivo ´e verificar se o n´umero de vezes em que o retorno real da carteira excede o VaR est´a de acordo com o n´ıvel de confian¸ca adotado. Seja N o n´umero de observa¸c˜oes da amostra, e Ri o retorno emp´ırico da carteira referente `a observa¸c˜ao i, pode-se calcular o n´umero de excessos E da seguinte maneira: E = N i=1 1I {Ri < VaRp(R)} (1) Onde 1I ´e a fun¸c˜ao indicadora. Um bom modelo apresenta a seguinte caracter´ıstica: lim N→∞ ( E N ) = 1 − p (2)
  8. 8. C´OPULAS Uma c´opula C ´e uma fun¸c˜ao multivariada com distribui¸c˜oes marginais uniformemente distribuidas em [0, 1] tal que: 1) C : [0, 1]n → [0, 1] 2) C tem fun¸c˜oes marginais Ci , tal que Ci (u) = C(1, ..., 1, u, 1, ..., 1) = u ∀u ∈ [0, 1] Teorema de Sklar: F(x1, ..., xn) = C(F1(x1), ..., Fn(xn)) onde F ´e uma fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao n-dimensional com fun¸c˜oes marginais F1, ..., Fn Corol´ario do Teorema de Sklar: C(u1, ..., un) = F(F−1 1 (u1), ..., F−1 n (un)) ∀ u = (u1, ..., un) ∈ [0, 1]n .
  9. 9. FAM´ILIAS DE C´OPULAS Abordando o caso bivariado teremos: C uma fun¸c˜ao c´opula e θ parˆametro que quantifica o grau de dependˆencia (coeficiente de correla¸c˜ao) entre as distribui¸c˜oes marginais. C(u1, u2, θ) C´opulas El´ıptica Derivadas a partir de distribui¸c˜oes el´ıpticas C´opula Normal (Gaussiana) C´opula t-Student C´opulas Arquimedianas Derivadas de uma fun¸c˜ao geradora ϕ(.) espec´ıfica para cada c´opula. C´opula Gumbel C´opula Clayton C´opula Frank
  10. 10. FAM´ILIAS DE C´OPULAS EL´IPTICAS Resultam diretamente do Teorema de Sklar onde C ´e uma distribui¸c˜ao el´ıptica e as distribui¸c˜oes marginais podem ou n˜ao ser el´ıpticas.
  11. 11. FAM´ILIAS DE C´OPULAS ARQUIMEDIANAS Obtidas a partir de uma fun¸c˜ao geradora ϕ(.) espec´ıfica para cada c´opula. C(u, v) = ϕ−1 (ϕ(u) + ϕ(v))
  12. 12. ESTIMAC¸ ˜AO DOS PARˆAMETROS DA C´OPULA A principal metodologia de estima¸c˜ao utilizada ´e o m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca (MV), e esta estima¸c˜ao pode ser feita por meio de trˆes abordagens distintas: MVE (M´axima Verossimilhan¸ca Exata): Faz a estima¸c˜ao dos parˆametros das distribui¸c˜oes marginais e da c´opula de forma simultˆanea. IFM(Inferˆencia para as Marginais): 1) Obtemos os estimadores dos parˆametros das marginais; 2) Obtemos os estimadores dos parˆametros da c´opula. MVC (M´axima Verossimilhan¸ca Canˆonica): 1) Estima¸c˜ao das marginais sem assumir qualquer tipo de forma param´etrica para elas, utilizando suas distribui¸c˜oes emp´ıricas; 2) Posteriormente, estimamos os parˆametros da c´opula atrav´es do m´etodo da m´axima verossimilhan¸ca.
  13. 13. TESTE DE AJUSTE Um teste de ajuste, de good-of-fit descreve a qualidade do ajuste de um modelo estat´ıstico e o qu˜ao bem ele se encaixa um conjunto de observa¸c˜oes. H0 : C ∈ C0 (C0 a fam´ılia que se deseja verificar se a c´opula C faz parte.) Vers˜oes dos testes de Cram´er-von Mises e Kolmogorov-Smirmov. No software R, dentro do pacote c´opula a fun¸c˜ao gofCopula realiza estes testes.
  14. 14. C´OPULAS PARA ESTIMAR O VAR Etapas para o c´alculo do VaR de uma carteira utilizando c´opulas:
  15. 15. APLICAC¸ ˜AO A DADOS REAIS O teste emp´ırico deste trabalho foi dividido da seguinte forma:
  16. 16. DEFINIC¸ ˜AO DA CARTEIRA DE TESTE Foram selecionados pre¸cos de fechamento di´arios das a¸c˜oes PETR4,VALE5 de Jan/2010 at´e jan/2014.
  17. 17. DADOS DA CARTEIRA Estat´ıstica descritiva das s´eries de retorno VALE PETR M´edia -0.0003 -0.0008 Erro Padr˜ao 0.0006 0.0006 Mediana 0.0000 0.0000 Desvio Padr˜ao 0.018 0.0201 Variˆancia 0.0003 0.0004 Curtose 4.7095 4.9817 Intervalo 0.168 0.1827 Min -0.0962 -0.0966 Max 0.0718 0.0862 Contagem 1000 1000 Medidas de dependˆencia entre as s´eries de retorno Coef. Valor pearson 0.541849 kendall 0.375226 spearman 0.528964
  18. 18. DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS Parˆametros estimados das marginais dos retornos - VALE e PETR
  19. 19. DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS - PETR Gr´aficos e resultados dos testes de Kolmogorov-Smirnov - PETR.
  20. 20. DISTRIBUIC¸ ˜OES MARGINAIS - VALE Gr´aficos e resultados dos testes de Kolmogorov-Smirnov - VALE.
  21. 21. DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA Os parametros estimados e resultados do m´etodo IFM: Normal t-Student Clayton Gumbel Frank parˆametro 0.5460 0.5527 0.8584 1.5230 3.8846 Std. Error 0.0195 0.0219 0.0595 0.0380 0.2156 loglikelihood 177.00 185.60 147.40 161.20 168.80 df 7.9698 Teste de adapta¸c˜ao - goodness-of-fit: Normal t-Student Clayton Gumbel Frank statistic 0.0101 0.0104 0.0238 0.0243 0.0193 parameter 0.4990 0.0300 0.1370 1.1860 1.9190 p-value 0.9575 0.9665 0.3581 0.3232 0.3721
  22. 22. DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA Gr´aficos comparativos entre retornos emp´ıricos e retornos c´opula
  23. 23. DETERMINAC¸ ˜AO DA FUNC¸ ˜AO DE C´OPULA Gr´aficos das curvas de n´ıvel das c´opulas geradas
  24. 24. C´ALCULO DO VAR Definir a carteira com pesos wi constantes, os pesos ser˜ao 50% PETR e 50% VALE5 , calcularemos o VaR95% e VaR99% da carteira.
  25. 25. RESULTADOS Gr´afico da simula¸c˜ao para o Var99%
  26. 26. RESULTADOS Gr´afico da simula¸c˜ao para o Var95%
  27. 27. VALIDAC¸ ˜AO DO MODELO - VaR Resultado do Backtesting C´opula t Simula¸c˜ao Hist´orica Delta Normal Qt % Qt % Qt % VaR99% 6 0.8% 7 0.9% 9 1.2% VaR95% 32 4.3% 33 4.4% 26 3.5%
  28. 28. OBSERVAC¸ ˜OES E CONCLUS˜AO O n´umero de janelas e amostras tamb´em podem ser extrapolados. Testes com outras c´opulas. Teoria de c´opulas tamb´em se aplica a outros tipos de risco, como o de cr´edito, o operacional e o integrado. Adaptar modelos para a Volatividade (ARCH , GARCH). O modelo de c´opula pode ser utilizado como m´etodo para c´alculo do VaR de uma carteira de a¸c˜oes. A teoria de c´opulas ´e uma ferramenta de grande importˆancia para a gest˜ao de riscos financeiros devido a sua grande flexibilidade de modelagem

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