Notas de aula de Matemática

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Notas de aula de matemática contendo: conjuntos, funções, números complexos e polinômios.
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Notas de aula de Matemática

  1. 1. Escola Preparat´ria da UFABC o Notas de aula de ´MATEMATICA Conjuntos Fun¸˜es co N´meros Complexos uPolinˆmios e Equa¸˜es Polinomiais o co Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigo thiagops@msn.com Santo Andr´ e 5 de janeiro de 2013
  2. 2. 2
  3. 3. Conte´ do u1 MMC, Fra¸˜es e N´ meros Decimais co u 7 1.1 N´meros primos . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 M´ınimo m´ltiplo comum (MMC) . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Fra¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Soma e subtra¸˜o de fra¸oes . . ca c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Multiplica¸˜o de fra¸˜es . . . . ca co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Divis˜o de fra¸˜es . . . . . . . a co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Fra¸˜es equivalentes . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 N´meros decimais . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Convers˜o de n´meros decimais a u para fra¸˜es co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Conjuntos 11 2.1 No¸˜es b´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . co a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Opera¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Diagrama de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Conjuntos Num´ricos . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.1 Subconjuntos de conjuntos num´ricos e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Intervalos de n´meros reais . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Equa¸˜es e Inequa¸˜es de 1o grau co co 19 3.1 Equa¸˜es de 1 co o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Inequa¸˜es . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Inequa¸˜es de 1o grau . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Equa¸˜es de 2o grau co 27 4.1 Equa¸˜es de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 27 4.1.1 Resolu¸˜o por Soma e Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 28 4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Fun¸˜es co 33 5.1 No¸˜o intuitiva . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Conceito matem´tico de fun¸˜o a ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.1 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2.2 Rela¸˜o . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3
  4. 4. 4 ´ CONTEUDO 5.2.3 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 34 5.2.4 Nota¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 35 5.3 Dom´ ınio, Contradom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Fun¸˜o constante e Fun¸˜o do primeiro grau ca ca 43 6.1 Fun¸˜o constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 43 6.1.1 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1.2 Gr´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 43 6.2 Fun¸˜o do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 44 6.2.1 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2.2 Gr´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 44 6.2.3 Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.2.4 Determina¸˜o da lei de associa¸˜o a partir do gr´fico . . . . . . . . . . . . . . . ca ca a 45 6.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 Fun¸˜o do segundo grau ca 55 7.1 Zeros da fun¸˜o quadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 55 7.2 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.3 Gr´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 56 7.3.1 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3.2 Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.3.3 V´rtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 56 7.3.4 Esbo¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 57 7.4 Valor m´ximo e m´ a ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 7.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 Inequa¸˜es de segundo grau co 63 8.1 Estudo do sinal de uma fun¸˜o do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 63 8.1.1 Se ∆ < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.1.2 Se ∆ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 8.1.3 Se ∆ > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 8.2 Inequa¸˜o de segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 64 8.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669 Equa¸˜o e Fun¸˜o Exponencial ca ca 69 9.1 Propriedades da potencia¸˜o ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 9.2 Equa¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 69 9.3 Fun¸˜o Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 70 9.3.1 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 9.3.2 Gr´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 70 9.4 Inequa¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 71 9.5 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
  5. 5. ´CONTEUDO 510 Equa¸˜o, Inequa¸˜o e Fun¸˜o Logar´ ca ca ca ıtmica 75 10.1 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.1.1 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.1.2 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.1.3 Consequˆncias da defini¸ao . . . . . e c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.1.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 10.2 Propriedades de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 10.3 Equa¸˜es logar´ co ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.4 Fun¸˜o Logar´ ca ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.4.1 Dom´ ınio e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 10.4.2 Gr´fico . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 10.5 Inequa¸˜o Logar´ ca ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 10.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911 N´ meros Complexos u 85 11.1 Motiva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 11.2 Defini¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 11.2.1 Igualdade de n´meros complexos . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.2.2 Plano de Argand-Gauss ou Plano Complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.3 Opera¸˜es com n´meros complexos . . . . . . . . . . . . co u . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.3.1 Soma e subtra¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.3.2 Multiplica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.3.3 Divis˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 11.3.4 Potˆncias de i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.4 Forma trigonom´trica de um n´mero complexo . . . . . e u . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 11.4.1 Multiplica¸˜o e divis˜o na forma trigonom´trica ca a e . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 11.4.2 Potencia¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 11.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912 Polinˆmios e Equa¸˜es Polinomiais o co 93 12.1 Polinˆmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 12.1.1 Identidade de Polinˆmios . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 12.1.2 Soma, Subtra¸˜o e Multiplica¸˜o . . . . . . . . ca ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 12.1.3 Divis˜o de polinˆmios utilizando o algoritmo de a o Briot-Ruffini . . . . . . . . . . 94 12.1.4 Teoremas do Resto e de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 12.2 Equa¸˜es Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 12.2.1 Teorema da decomposi¸˜o . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 12.2.2 Teorema das ra´ ızes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 12.2.3 Rela¸˜es de Girard . . . . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 12.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A Respostas 101
  6. 6. 6 ´ CONTEUDO
  7. 7. Cap´ ıtulo 1MMC, Fra¸˜es e N´ meros Decimais co u1.1 N´ meros primos u– S˜o n´meros que tem dois divisores: o 1 e ele mesmo. a u– Divisor: um n´mero ´ divisor de outro quando o resto da divis˜o de um pelo outro ´ zero. u e a e– Alguns n´meros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41 u– Todo n´mero inteiro pode ser escrito como uma multiplica¸˜o de n´meros primos. u ca u1.2 M´ ınimo m´ ltiplo comum (MMC) u´E o menor n´mero natural m´ltiplo simultaneamente de outros dois ou mais n´meros. u u uExemplo 1.2.1 Calcule o MMC de 15 e 20.Calculamos os m´ltiplos de 15 e 20: uM´ltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, · · · uM´ltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, · · · u60 e 120 s˜o m´ltiplos comuns de 15 e 20, entretanto, 60 ´ o menor, logo, ´ o m´ a u e e ınimo m´ltiplo ucomum.Podemos usar o dispositivo pr´tico, onde ambos os n´meros s˜o fatorados com n´meros primos: a u a u 15, 20 2 15, 10 2 15, 5 3 5, 5 5 1, 1O MMC ´ a multiplica¸ao de todos os valores ` direita da barra vertical, ou seja, 2 · 2 · 3 · 5 = 60. e c˜ aExerc´ ıcio 1.2.1 Calcule MMC(20, 30), MMC(80, 120, 140), MMC(10, 12, 15).1.3 Fra¸˜es co ca e ca ´ a u ´A fra¸˜o ´, via de regra, representa¸˜o da parte de um todo. E uma divis˜o de dois n´meros. Erepresentada como abaixo numerador . denominador 7
  8. 8. 8 CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. MMC, FRACOES E NUMEROS DECIMAISObserva¸˜o importante: O denominador nunca pode ser igual a zero. N˜o existe divis˜o por ca a azero!1.3.1 Soma e subtra¸˜o de fra¸˜es ca co Se o denominador das fra¸˜es que se deseja somar for igual, mant´m-se o denominador e soma-se co eos numeradores.Exemplo 1.3.1 1 5 3 1+5+2 9 + + = = 4 4 4 4 4Exemplo 1.3.2 5 1 3 4 19 5 + 1 − 3 + 4 − 19 12 + − + − = =− 8 8 8 8 8 8 8 −12Importante: Escrever − 12 ´ o mesmo que escrever 8 e 8 ou 12 −8 . A primeira forma ´ mais usual. eSe os denominadores das fra¸˜es que se deseja somar forem diferentes, calcula-se o MMC dos denomi- conadores, que passa a ser novo denominador. Divide-se o novo denominador pelo antigo e multiplica-sepelo numerador.Exemplo 1.3.3 3 1 + 10 8Calculando o MMC: 10, 8 2 5, 4 2 5, 2 2 MMC = 40 5, 1 5 1, 1Voltando a soma de fra¸˜es co 3 1 12 + 5 17 + = = 10 8 40 40Exemplo 1.3.4 2 3 + 2 x xNeste caso, o MMC ´ o o valor de maior expoente, ou seja, x2 . Assim, a soma ´ igual a e e 2x + 3 . x21.3.2 Multiplica¸˜o de fra¸˜es ca coMultiplica-se o numerador de uma fra¸˜o pelo numerador da outra e o denominador de uma pelo cadenominador da outra.Exemplo 1.3.5 1 5 1×5 5 × = = 3 7 3×7 21
  9. 9. ´1.4. NUMEROS DECIMAIS 91.3.3 Divis˜o de fra¸oes a c˜Dividir duas fra¸˜es ´ o mesmo que multiplicar a fra¸˜o do numerador pelo inverso da fra¸˜o do deno- co e ca caminador. Na fra¸˜o inversa, o numerador torna-se denominador e o denominador torna-se numerador. caExemplo 1.3.6 3 4 3 7 21 2 = × = 7 4 2 81.3.4 Fra¸˜es equivalentes coToda fra¸˜o pode ser escrita de outra forma equivalente multiplicando-se ou dividindo-se o numerador cae o denominador pelo mesmo valor.Exemplo 1.3.7 1 ×2 2 ×3 6 = = 2 4 121.4 N´ meros decimais u1.4.1 Convers˜o de n´ meros decimais para fra¸oes a u c˜– Remover a v´ırgula e escrever o n´mero no numerador. u– O denominador ser´ m´ltiplo de 10 e depende do n´mero de casas decimais. Se forem 2 casas a u udecimais, o denominador ser´ 100, se forem 4 casas, ser´ 1000, assim sucessivamente. a aExemplo 1.4.1 5 137 894 2371 18 5= ; 0, 137 = ; 0, 00894 = ; 2, 371 = ; 1, 8 = 1 1000 100000 1000 10D´ ızimas peri´dicas o ca ˙Nota¸˜o: 1, 6666... = 1, 6 ; 1, 91919191 = 1, 91Exemplo 1.4.2 7 18 191 0, 777... = ; 0, 181818... = ; 0, 191191191... 9 99 9991.5 Exerc´ ıcios 87 5 10 1 1. Efetue os c´lulos: a (h) 1 + 9 + 81 − 9 −8 2 4 2 4 (i) x + x2 (a) 7 + 7 4 1 2 1 (j) x3 + x−1 (b) 3 + 9 y 9 1 (k) − x+2 + w x (c) 5 + 9 +5 7 8 (l) − x−2 − x−2 4 w (d) 10 − 4 1 (e) − 8 − 4 +2 2. Efetue os c´lculos: a 8 (f) − 1 + 2 1 3 −2− 2 5 +5 (a) 1 3 · 3 5 1 10 1 17 6 9 (g) 6 + 9 + 3 − 8 + 10 −7 (b) 9 · 6
  10. 10. 10 CAP´ ¸˜ ´ ITULO 1. MMC, FRACOES E NUMEROS DECIMAIS 8 10 1 (c) 1 · 4 · 2 (s) 4,878787... 1 (d) 6 4 (t) 6,199999... 5 7 4 · (u) 45,36767676... (e) 9 10 3 2 (v) 8,762323... 5 (f) 1 6 · 4 (w) 0,178178... 2 5 3. Efetue os c´lculos: a (x) 0,19801980... 1 2 2 5. Numa fruteira existem pˆssegos, laranjas e e (a) 7 + 3 · 4 2 (2+5)1 4 4 3 14 bananas. Se 5 das frutas s˜o pˆssegos e a e (b) 5 1 8 4 s˜o laranjas, quantas s˜o as frutas nessa a a (3+ 8 ) 7 7 4 9 1 2 fruteira? (c) 3 9 10 · 4 + 5 · 3 + 2 · 4 4 2 4 4. Escreva na forma de fra¸˜o ca 6. De uma d´ıvida, paguei os 7 e estou devendo, ainda, R$ 2100, 00. De quanto ´ a minha e (a) 0,0006 d´ ıvida? (b) 0,876 7. (PUC) O n´mero (0, 666...)2 ´ igual a: u e (c) 0,0028320 (a) 0, 3666... (b) 0, 363636... (c) 0, 444... (d) 8,6768759 (d) 0, 4000... (e) 0, 1333... (e) 1,9 8. (VUNESP) Seja R o n´mero real represen- u (f) 9,767 tado pela d´ ızima 0, 999.... Pode-se afirmar (g) 0,986 que: (h) 209,87 (a) R ´ igual a 1. e (i) 47,689 (b) R ´ menor que 1. e (j) 8,651 (c) R se aproxima cada vez mais de 1 sem (k) 2,0 nunca chegar. (l) 0,00000000001 (d) R ´ ultimo n´mero real menor que 1. e´ u (m) 0,6666... (e) R ´ um pouco maior que 1. e (n) 0,8888... 9. (UNICAMP) Uma lanchonete vende (o) 0,9999... hamb´rgeres a Cz$ 600, 00 cada um. u Sabendo-se que 1 desse pre¸o ´ o custo do 5 c e (p) 0,484848... p˜o e dos demais ingredientes e que 1 cor- a 3 (q) 0,2626262... responde `s outras despesas, calcue o lucro a (r) 9,8888... obtido na venda de cada hamb´rger. u
  11. 11. Cap´ ıtulo 2Conjuntos2.1 No¸˜es b´sicas co a– Os componentes de um conjunto s˜o chamados elementos. a– Normalmente, os conjunto s˜o representados por uma letra mai´scula. a u– Os elementos de um conjuntos s˜o representados entre chaves e separados por v´ a ırgula. Os n´meros un˜o precisam necessariamente estar em ordem (e.g. crescente). a ımbolo · · · .– Se os conjuntos forem infinitos pode-se colocar o s´Exemplo 2.1.1 A = {4, 7, 9} B = {1, 5, 9, 13, · · · }– Os conjuntos podem ser caracterizados por uma propriedade de seus elementos.Exemplo 2.1.2 Conjunto de todos os n´meros pares: {x|x ´ par} u e a e ımpares: {x|x ´ primo e ´Conjunto dos n´meros primos que s˜o tamb´m ´ u e ımpar} ımbolo | significa tal que. Pode-se, alternativamente, usar : como s´Nota: O s´ ımbolo.– Quando um elemento a est´ no conjunto A dizemos que a pertence a A e representamos a ∈ A. aDo contr´rio, se a n˜o for elemento do conjunto A, dizemos que a n˜o pertence a A e representamos a a aa ∈ A. /Exemplo 2.1.3 Para o conjunto B = {3, 7, 10, 11, 19, 31}: 7∈B 19 ∈ B 8∈B / 87 ∈ B / 31 ∈ B– Conjunto vazio ´ o conjunto que n˜o tem nenhum elemento, representa-se por ∅ ou { }. e a– Quando todos os elementos de um conjunto A s˜o tamb´m elementos de um conjunto B dizemos que a eA est´ contido em B (ou que A ´ subconjunto de B) e denotamos isso por A ⊂ B. Equivalentemente, a epodemos dizer tamb´m que B cont´m A (ou que B ´ superconjunto de A) e denotamos B ⊃ A. e e eExemplo 2.1.4 Sejam os conjuntos A = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16}, B = {4, 6}, C = {1, 16},D = {1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 15, 16}, E = {5} e F = ∅. S˜o v´lidas as rela¸˜es abaixo: a a co B⊂A A⊃C D⊂A A⊃D E⊂A F ⊂A F ⊂C C⊃DNota: Para o conjunto A do exemplo acima ´ errado escrever 1 ⊂ A, pois somente um conjunto pode eestar contido em outro, nunca um elemento. O correto seria 1 ∈ A ou {1} ⊂ A. 11
  12. 12. 12 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS2.2 Opera¸˜es coUni˜o: O conjunto A ∪ B (lˆ-se A uni˜o B) ´ formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. a e a eIntersec¸˜o: O conjunto A ∩ B (lˆ-se A intersec¸˜o B) ´ formado pelos elementos que pertencem ca e ca esimultaneamente a A e a B.Diferen¸a: A diferen¸a entre o conjunto A e o conjunto B (denotada por AB ou A−B) corresponde c cao conjunto formado pelos elementos de A que n˜o pertencem a B. aCompementar: Se o conjunto A est´ contido no conjunto U, ent˜o a opera¸˜o U A ´ denominada a a ca ecomplementar de B em rela¸ao a U. Representamos por U A ou A c˜ ¯ ou AC .Exemplo 2.2.1 Sejam os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 4, 9, 15}, C = {5, 6}, D = {15}. S˜o av´lidas as opera¸˜es: a co A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 15} A ∩ C = {2, 4} A C = {2, 3, 4} BD = {2, 4, 9} A ∪ D = {2, 3, 4, 5, 6, 15} A∩D =∅ A∪C =A AD =A2.3 Diagrama de Venn-Euler´E uma forma de repesentar conjuntos atrav´s de desenhos de regi˜es planas limitadas. e o Figura 2.1: Exemplos de Diagramas de Venn-Euler2.4 Conjuntos Num´ricos eNaturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · }Inteiros: Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }Racionais: Q = a |a, b ∈ Z e b = 0 bEm outras palavras, os n´meros racionais s˜o todos aqueles que podem ser escritos na forma de fra¸˜o. u a ca
  13. 13. ´2.5. INTERVALOS DE NUMEROS REAIS 13Obs.: D´ızimas peri´dicas e n´meros inteiros podem ser escritas em forma de fra¸˜o, logo s˜o n´meros o u ca a uracionais.Irracionais: S˜o os n´meros que n˜o podem ser escritos na forma de fra¸˜o. Comp˜em esse conjunto a u a ca oas d´ ızimas n˜o peri´dicas. N˜o possui s´ a o a ımbolo pr´prio para representa¸˜o, ent˜o representamos o o ca aconjunto por R Q ou R − Q.Exemplo 2.4.1 S˜o n´meros irracionais: a u √ √ 2 = 1, 414213456... 3 = 1, 73205080807... π = 3, 141592654... e = 2, 718281828... 0, 873365829171471... ´ ´Reais: E o conjunto formado por todos os n´meros racionais e irracionais. E representado por R. u Figura 2.2: Diagrama de Venn-Euler que representa os conjuntos num´ricos e2.4.1 Subconjuntos de conjuntos num´ricos ePodemos usar os s´ ımbolos “*”, “+” e “-”. O primeiro s´ ımbolo indica a exclus˜o do zero do conjunto, ao segundo indica a exclus˜o dos elementos negativos e o terceiro indica a exclus˜o dos elementos a apositivos.Exemplo 2.4.2 N∗ = {1, 2, 3, 4, · · · } Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, · · · } R∗ = {x ∈ R|x < 0} − R∗ = {x ∈ R|x = 0}2.5 Intervalos de n´ meros reais uSejam os n´meros reais a, b, c, d, tais que a < b < c < d: u– O intervalo contido entre os n´meros a e b ´ representado por {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} = [a, b] se a e b u eestiverem inclusos no intervalo, caso contr´rio representamos por {x ∈ R|a < x < b} =]a, b[. a – Se apenas a pertence ao intervalo, representamos por {x ∈ R|a ≤ x < b} = [a, b[. Se apenas bpertence ao intervalo, representamos por x ∈ R|a < x ≤ b} =]a, b].
  14. 14. 14 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS– O conjunto dos n´meros que s˜o maiores que a ´ representado por {x ∈ R|x > a} =]a, +∞[, quando u a ea n˜o pertence ao conjunto. Caso perten¸a, {x ∈ R|x ≥ a} = [a, +∞[. a c– O conjunto dos n´meros que s˜o menores que a ´ representado por {x ∈ R|x < a} =]−∞, a[, quando u a ea n˜o pertence ao conjunto. Caso perten¸a, {x ∈ R|x ≤ a} = [−∞, a[. a c– O conjunto de todos os n´meros reais ´ representado simplesmente por R ou ] − ∞, +∞[. u e– O intervalo contido entre os n´meros a e b e o entre os n´meros c e d ´ representado por u u e{x ∈ R|a ≤ x ≤ b ou c ≤ x ≤ d} = [a, b]∪[c, d]. Neste caso, a, b, c e d tamb´m pertencem ao conjunto. e– O intervalo contido entre os n´meros a e c, em que um n´mero b entre ambos n˜o pertence, ´ repre- u u a esentado por {x ∈ R|a ≤ x ≤ b e x = b} = {x ∈ R|a ≤ x < b ou b < x ≤ c} = [a, b[ ∪ ]b, c] = [a, c] {b}Observa¸˜o: {x ∈ R|x < a ou x > b} n˜o ´ o mesmo que {x ∈ R|a > x > b}. Esta ultima ´ ca a e ´ elogicamente incoerente e, portanto, inexistente.Exemplo 2.5.1 Usando a nota¸˜o de colchetes represente os subconjuntos de R abaixo. ca– n´meros maiores que 6: ]6, +∞[ u– n´meros menores que −4: ] − ∞, −4[ u– n´meros maiores ou iguais a 98: [98, +∞[ u– n´meros entre 34 (inclusive) e 65: [34, 65[ u– n´meros entre 89 e 100 (inclusive) e entre 109(inclusive) e 178, excluindo os n´meros 97 e 171: u u( ]89, 100] ∪ [109, 178[ ) {97, 171}Exemplo 2.5.2 Usando a nota¸˜o de chaves represente os subconjuntos de R abaixo. ca– [2, +∞[ −→ { x ∈ R|x ≥ 2}– ] − 4, +∞[ −→ { x ∈ R|x < −4}– ] − ∞, 15[∪[19, +∞] −→ { x ∈ R|x < 15 ou x ≥ 19}– R {−3, −2, −1} −→ { x ∈ R|x = −3 e x = −2 e x = −1}– [4, 8] 5 −→ { x ∈ R|4 ≤ x ≤ 8 e x = 5}2.6 Exerc´ ıcios 1. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, tervalos abaixo. B = {4, 5}, C = {1, 2, 8, 11, 14}, D = {3, 4} (a) ] − ∞, 4[ e E = {10, 11} e F = {7, 8}. (b) [1, 2] (a) A ∩ B (f) AF (c) {x ∈ R|x ≤ 70} (b) A ∪ C (d) {x ∈ R|x < 1 e x = 0} (g) B ∪ D (c) B ∩ D (e) ( [−10, 22] ∪ [21, +∞[ ) {20, 26} (h) A ∪ F (d) A F (f) {x ∈ R| − 3 ≤ x < 10 ou 11 ≤ x ≤ (e) B D (i) C ∩ E 14 e x = 12} 2. Representa na reta dos n´meros reais os in- u (g) ] − ∞, +∞[
  15. 15. 2.6. EXERC´ ICIOS 15 3. Escreva os conjuntos abaixo na nota¸˜o de ca (a) {1, 3, 5, 15, 30} (d) {3, 5, 30, 45} colchetes. (b) {1, 3, 15, 30} (a) {x ∈ R|x < 10} (c) {1, 15, 30, 45} (e) {3, 5, 15, 30, 45} (b) {x ∈ R|2 ≤ x < 14} 9. (EFOA-MG) Seja R o conjunto dos n´meros u (c) {x ∈ R∗ | − 10 < x ≤ 11} reais, N o conjunto dos n´meros naturais e u Q o conjunto dos n´meros racionais. Qual a u (d) {x ∈ R+ | − 15 < x < 40 e x = 0 e x = afirmativa falsa? 4} (e) {x ∈ R|x ≥ 89} (a) Q ∪ N ⊂ R (d) Q ∩ R = Q 4. Sendo A =]−7, 0[, B =]−∞, 2], C = [−2, 4], (b) Q ∩ N ⊂ R D =] − 3, +∞[ e E = [−4, 1[, apresentar: (c) Q ∪ N = R (e) Q ∩ R = ∅ (a) B − C (d) (B − E) ∪ A 10. (UCS-RS) Se A = {x ∈ Z| − 3 < x ≤ 3} e (b) A ∩ E B = {x ∈ N|x2 < 25}, ent˜o (A ∪ B) − (A ∩ a B) forma o conjunto: (c) A − (D − C) (e) (B − D) ∩ C (a) {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} 5. (FGV) Dados os conjuntos A = {x ∈ R| − 1 ≤ x < 3} e B = {x ∈ R|2 < x ≤ 6}, (b) {−2, −1, 4} assinale a alternativa correta: (c) {0, 1, 2} (a) A ∪ B = {x ∈ R| − 1 < x < 6} (d) {−2, −1, 0, 4} (b) B − A = {x ∈ R|3 ≤ x ≤ 6} (e) {0, 1, 2, 3} (c) A ∩ B = {x ∈ R|2 ≤ x ≤ 3} 11. (FUVEST) O n´mero x n˜o pertence ao in- u a (d) A − B = {x ∈ R| − 1 ≤ x < 2} tervalo aberto de extremos −1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se ent˜o concluir a (e) n.d.a que: 6. (FATEC) Se A =] − 3, 2] ∪ [3, 6[ e RB = ] − ∞, 1[, ent˜o A ∩ B ´ igual a: a e (a) x ≤ −1 ou x > 3(d) x > 3 (b) x ≥ 2 ou x < 0 (a) ]1, +∞[ (d) ]1, 2] ∪ [3, 6[ (c) x ≥ 2 ou x ≤ −1(e) n.d.a. (b) [1, 2] ∪ [3, 6[ (c) ]2, 3[∪[6, +∞[ (e) ] − ∞, 6[ 12. (Cesgranrio-RJ) A intersec¸˜o do conjunto ca de todos os inteiros m´ltiplos de 6 com o u 7. (MACK) Se R = [−3, 1[, T = {x ∈ R| − 1 ≤ conjunto de todos os inteiros m´ltiplos de u 5 x < 2} e S = −2, 4 , ent˜o S − (R ∩ T ) ´ o a e 15 ´ o conjunto de todos os m´ltiplos de: e u intervalo: (a) 3 (c) 30 (e) 90 (a) ] − 2, −1] (d) [−1, 1[ (b) 18 (d) 45 5 (b) 1, [ 4 (c) ] − 2, +∞[ 5 (e) ] − 2, −1[∪ 1, 4 [ 13. (Mack-SP) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizavam os pro- 8. (URRN) Dos conjuntos abaixo aquele que dutos A ou B, sendo que algumas delas uti- possui precisamente dois divisores de 15 e lizam A e B. O produto A ´ usado por 12 e trˆs m´ltiplos de 15 ´: e u e dessas pessoas e o produto B, por 10 delas.
  16. 16. 16 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS O n´mero de pessoas que utilizam ambos os u 17. (Unifenas-MG) O tipo sangu´ ıneo de uma produtos ´: e pessoa ´ classificado segundo a presen¸a, no e c sangue, dos ant´ıgenos A e B. Podemos ter: (a) 5 (c) 6 (e) 7 Tipo A: pessoas que tˆm s´ o ant´ e o ıgeno A. (b) 3 (d) 8 Tipo B: Pessoas que tem s´ o ant´ o ıgeno B. Tipo AB: pessoas que tˆm A e B. e 14. (FGV) Sendo A = {{1}, {2}, {1, 2}} pode-se Tipo O: pessoas que n˜o tˆm A nem B. a e afirmar que: Em 55 amostras de sangue, observamo que (a) {1} ∈ A / (d) 2 ∈ A 20 apresentam o ant´ ıgeno A, 12 apresentam (b) {1} ⊂ A B e 7 apresentam ambos os ant´ ıgenos. O n´mero de amostras de sangue tipo O ´: u e (c) {1} ∩ {2} ⊂ A (e) {1} ∪ {2} ∈ A (a) 5 (c) 25 (e) 7 15. Considere as seguintes senten¸as: c – Nenhum esportista ´ pregui¸oso. e c (b) 16 (d) 30 – Jo˜o ´ marciano. a e 18. (Unifor-CE) Uma escola rec´m instalada e – Todos os marcianos s˜o pregui¸osos. a c tem apenas classes de 1o e 2o ano. No to- Admitindo que as trˆs senten¸as s˜o verda- e c a tal, a escola tem 129 alunos, sendo que o 1o deiras, verifique qual das senten¸as a seguir c ano tem 25 alunos a mais que o 2o . Nessas ´ certamente verdadeira: e condi¸˜es, o n´mero de alunos do 1o ano ´: co u e (a) Todos os pregui¸osos s˜o marcianos. c a (a) 51 (c) 77 (e) 87 (b) H´ pelo menos um esportista que ´ a e (b) 52 (d) 82 marciano. 19. (Fafi-BH) No curso de matem´tica noturno a (c) Alguns marcianos s˜o esportistas. a ´ existem 70 alunos matriculados em Algebra (d) Jo˜o n˜o ´ esportista. a a e ´ III e Algebra IV. Seis desses alunos est˜o a 16. (FGV) Uma empresa entrevistou 300 de seus matriculados nas duas disciplinas ao mesmo ´ tempo e 37 alunos cursam Algebra III. Com funcion´rios a respeito de trˆs embalagens, a e A, B e C, para o lan¸amento de um novo c base nas informa¸˜es acima, o n´mero de co u ´ alunos matriculados em Algebra IV ´:e produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem A, 120 indicaram a (a) 32 (c) 34 (e) 35 embalagem B, 90 indicaram a embalagem C, (b) 39 (d) 40 30 indicaram as embalagens A e B, 40 indi- caram as embalagens A e C, 50 indicaram as 20. (PUC-MG) Em uma classe de 45 meninas, embalagens B e C, 10 indicaram as 3 embala- cada uma delas ou tem cabelos pretos ou gens. Dos funcion´rios entrevistados, quan- a olhos castanhos, 35 tˆm cabelos pretos e 20 e tos n˜o tinham preferˆncia por nenhuma das a e tˆm olhos castanhos. O n´mero de meninas e u 3 embalagens? que tˆm cabelos pretos e olhos castanhos ´: e e (a) Os dados est˜o incorretos; ´ imposs´ a e ıvel (a) 5 (c) 15 (e) 25 calcular. (b) 10 (d) 20 (b) Mais de 60. 21. (Unisinos - RS) Numa pesquisa, realizada (c) 55 em alguns col´gios, sobre a prepara¸˜o dos e ca (d) Menos de 50. alunos para o concurso vestibular, foram ob- (e) 80 tidos os seguintes resultados:
  17. 17. 2.6. EXERC´ ICIOS 17 358 alunos cursaram pr´-vestibular. e milh˜es de litros de biod´ no segundo se- o ısel 110 contrataram professor particular. mestre de 2009. Considerando-se essa es- 54 est˜o em ambas as situa¸˜es anteriores. a co timativa, para o mesmo volume da mistura 36 est˜o em nenhuma das situa¸˜es anterio- a co final d´ ısel/biod´ consumida no segundo se- ısel res. mestre de 2009, qual seria o biod´ com a ısel Com base nesses dados, o n´mero de alunos u adi¸˜o de 3%? ca consultados foi: (a) 27,75 milh˜es de litros. o (a) 378 (c) 450 (e) 514 (b) 37 milh˜es de litros. o (b) 414 (d) 510 (c) 231,25 milh˜es de litros. o (d) 693,75 milh˜es de litros. o 22. (ENEM-1998) Uma escola de ensino m´dio e tem 250 alunos que est˜o matriculados na a (e) 888,00 milh˜es de litros. o 1a , 2a ou 3a s´rie. 32% dos alunos s˜o ho- e a 24. (ENEM-2010) Uma escola recebeu do go- mens e 40% dos homens est˜o na 1 e a a s´rie, verno uma verba de R$ 1000,00 para enviar 20% dos alunos matriculados est˜o na 3a se- a dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor rie sendo 10 alunos homens. Dentre os alu- da escola pesquisou que tipos de selos deve- nos da 2a s´rie, o n´ e ımero de mulheres ´ igual e riam ser utilizados. Conclui que, para o pri- ao n´mero de homens. u meiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ A tabela abaixo pode ser preenchida com as 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo informa¸˜es dadas: co seriam necess´rios trˆs selos, um de R$ 0,65, a e um de R$ 0,60 e um de R$0,20. O diretor so- 1a 2a 3a T otal licitou que se comprassem selos de modo que M ulher a b c a+b+c fossem postados exatamente 500 folhetos do Homem d e f d+e+f segundo tipo e uma quantidade restante de T otal a+d b+e c+f 250 selos permitisse o envio do m´ximo poss´ a ıvel de folhetos do primeiro tipo. O valor de a ´: e Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? (a) 10 (c) 92 (e) 120 (a) 476 (c) 923 (e) 1538 (b) 48 (d) 102 (b) 675 (d) 965 23. (ENEM-2009) Uma resolu¸˜o do Conselho ca 25. (ENEM-2010) Um dos grandes problemas Nacional de Pol´ ıtica Energ´tica (CNPE) es- e da polui¸˜o dos manaciais (rios, c´rregos e ca o tabeleceu a obrigatoriedade de adi¸˜o de ca outros) ocorre pelo h´bito de jogar ´leo utili- a o biod´ ao ´leo d´ comercializado nos pos- ısel o ısel zado em frituras nos encanamentos que est˜o a tos. A exigˆncia ´ que, a partir de 1o de e e interligados com o sistema de esgoto. Se isso julho de 2009, 4% do volume da mistura fi- ocorrer, cada 10 litros de ´leo poder˜o con- o a nal seja formada por biodisel. At´ junho de e taminar 10 milh˜es (10 o 7 ) de litros de ´gua a 2009, esse percentual era de 3%. Essa me- pot´vel. a dida estimula a demanda de biodisel, bem Suponha que todas as fam´ ılias de uma ci- como possibilita a redu¸˜o da importa¸˜o de ca ca dade descartem os ´leos de frituras atrav´s o e disel de petr´leo. o dos encanamentos e consomem 1000 litros de Estimativas indicam que, com a adi¸˜o de ca o ´leo e frituras por semana. 4% de biod´ ao d´ set˜o consumidos 925 ısel ısel a Qual seria, em litros, a quantidade de ´gua a
  18. 18. 18 CAP´ ITULO 2. CONJUNTOS pot´vel contaminada por semana nessa ci- a • Para a farofa, calcule quatro colheres dade? de sopa por convidado. (a) 10− 2 (c) 104 (e) 109 • Uma garrafa de vinho serve seis pes- (b) 103 (d) 106 soas. 26. (ENEM-2011) Vocˆ pode adaptar as ativida- e • Uma garrafa de cerveja serve duas. des do seu dia a dia de uma forma que possa • Uma garrafa de espumante serve trˆs e queimar mais calorias do que as gastas nor- convidados. malmente, conforme a rela¸˜o seguinte: ca – Enquanto vocˆ fala ao telefone, fa¸a aga- e c Quem organiza festas faz esses c´lculos em a chamentos: 100 calorias gastas em 20 minu- cima do total de convidados, independente tos. do gosto de cada um. – Meia hora de supermercado: 100 calorias. Um anfitri˜o decidiu seguir essas dicas ao se a – Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 ca- preparar para receber 30 convidados para a lorias. ceia de Natal. Para seguir essas orienta¸˜es co – Passear com o cachorro: 200 calorias em a ` risca, o anfitri˜o dever´ dispor de a a 30 minutos. – Tirar o p´ dos m´veis: 150 calorias em 30 o o (a) 120 kg de carne, 7 copos americanos e minutos. meio de arroz, 120 colheres de sopa de – Lavar roupas por 30 minutos: 200 calo- farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cer- rias. veja e 10 de espumante. Uma pessoa deseja executar essas ativida- (b) 120 kg de carne, 7 copos americanos e des, por´m, ajustando o tempo para que, em e meio de arroz, 120 colheres de sopa de cada uma, gaste igualmente 200 calorias. farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cer- A partir dos ajustes, quanto tempo a mais veja e 10 de espumante. ser´ necess´rio para realizar todas as ativi- a a dades. (c) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de (a) 50 minutos. (d) 120 minutos. farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cer- (b) 60 minutos. veja e 10 de espumante. (c) 80 minutos. (e) 170 minutos. (d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 27. (ENEM-2011) Observe as dicas para calcu- 120 colheres de sopa de farofa, 5 gar- lar a quantidade certa de alimentos e bebidas rafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de para as festas de fim de ano: espumante. • Para o prato principal, estime 250 gra- (e) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e mas de carne para cada pessoa. meio de arroz, 120 colheres de sopa de • Um copo americana cheio de arroz farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cer- rende o suficiente para quatro pessoas. veja e 10 de espumante.
  19. 19. Cap´ ıtulo 3Equa¸˜es e Inequa¸oes de 1o grau co c˜3.1 Equa¸˜es de 1o grau coObjetivo: Calcular o valor da inc´gnita que satista¸a a igualdade (solu¸˜o da equa¸˜o). Em outras o c ca capalavras, isolar a inc´gnita. oConjunto solu¸˜o: Corresponde ao conjunto cujos elementos s˜o a solu¸˜o da equa¸˜o. Tamb´m ´ ca a ca ca e echamado de conjunto verdade.Exemplo 3.1.1 Exemplo 3.1.4 10x − 6 2x + 5 = 0 5x + 8 = 2 2x = −5 2(5x + 8) = 10x − 6 5 x=− 10x + 16 = 10x − 6 2 S = −5 10x − 10x = −6 − 16 2 0x = −22Exemplo 3.1.2 S=∅ −7y + 28 = 0 −7y = −28 × (−1) Exemplo 3.1.5 28 2x − 1 3x + 2 7y = 28 ⇒ y = ⇒y=4 = 7 3 2 S = {4} 2(2x − 1) = 3(3x + 2)Exemplo 3.1.3 4x − 2 = 9x + 6 4x − 9x = 6 + 2 2(2x + 3) = 4x + 6 −5x = 8 4x + 6 = 4x + 6 8 x=− 4x − 4x + 6 − 6 = 0 ⇒ 0x = 0 5 S=R S = −8 5 19
  20. 20. 20 CAP´ ¸˜ ¸˜ ITULO 3. EQUACOES E INEQUACOES DE 1o GRAUExemplo 3.1.6 Exemplo 3.1.10 w+1 w−3 − =1 2(x + 1) 3 4 =2 4(w + 1) − 3(w − 3) x+1 =1 12 4w + 4 − 3w + 9 2=2 =1 12 w + 13 =1 S = R {−1} 12 w + 13 = 12 ⇒ w = −1 S={-1} Exemplo 3.1.11Exemplo 3.1.7 2(x + 1) =1 x+3 x+1 =0 x x + 3 = 0x 2=1 x = −3 S={-3} S=∅Exemplo 3.1.8 3x + 7 Exemplo 3.1.12 =2 x−1 y+1 y+2 4 3x + 7 = 2(x − 1) + = 1 3 93x + 7 = 2x − 2 ⇒ 3x − 2x = −2 − 7 ⇒ x = −9 S = {−9} 9(y + 1) + 3(y + 2) 4 = 9 9Exemplo 3.1.9 5x + 10 3x − 7 9y + 9 + 3y + 6 = 4 = −4 x x 5x + 10 3x − 7 − 4x 11 = 9y + 3y = 4 − 6 − 9 ⇒ 12y = −11 ⇒ y = − x x 12 5x + 10 = −x − 7 17 6x = −17 ⇒ x = − ⇒ S = − 17 6 S = − 11 12 63.2 Inequa¸˜es coPara a e b n´meros reais, tem-se que: u– a < b (a ´ menor que b) e– a = b (a ´ igual a b) e– a > b (a ´ maior que b) ePropriedadesSendo a, b e c n´meros reais, tem-se as propriedades: u
  21. 21. ¸˜3.3. INEQUACOES DE 1o GRAU 21 – Se a > b e b > c, ent˜o a > c a – Para c < 0:– Se a > b, entao a ± c > b ± c – Se a > b, ent˜o ac < bc a– Para c > 0: – Se a < b, ent˜o ac > bc a – Se a > b, ent˜o ac > bc a – Se a < b, ent˜o ac < bc a3.3 Inequa¸˜es de 1o grau coObjetivo: Calcular o intervalo de valores que satista¸a a desigualdade (solu¸˜o da inequa¸˜o). Em c ca caoutras palavras, isolar a inc´gnita. oExemplo 3.3.1 4x − 4 + 24 − 24x > 3x + 4 − 2x 4x − 2 > 6 −21x > −16 × (−1) 16 4x > 8 21x < 16 ⇒ x < 21 x>2 S = x ∈ R|x < 16 21 S = {x ∈ R|x > 2} Exemplo 3.3.4Exemplo 3.3.2 4(x + 1) + x < 5x + 7 3 − 5x ≤ 10 4x + 4 + x < 5x + 7 −5x ≤ 7 × (−1) 5x + 4 < 5x + 7 ⇒ 4 < 7 7 5x ≥ −7 ⇒ x ≥ − 5 S=R S = x ∈ R|x ≥ − 7 5 Exemplo 3.3.5Exemplo 3.3.3 −3(x − 1) > −3x + 5 x − 1 4(1 − x) x 2−x + > + −3x + 3 > −3x + 5 3 2 4 6 4(x − 1) + 24(1 − x) 3x + 2(2 − x) 3>5 > 12 12 4(x − 1) + 24(1 − x) > 3x + 2(2 − x) S=∅Exemplo 3.3.6 A diferen¸a entre um inteiro positivo e seu ter¸o ´ menor do que 15. Quais os va- c c elores poss´ ıveis desse n´mero? uSeja x o n´mero inteiro em quest˜o, temos que seu ter¸o ´ x . Assim, u a c e 3 x x+ < 15 3 3x − x < 15 3 45 2x < 45 ⇒ x < ⇒ x < 22, 5 2 ıveis valores s˜o 1, 2, 3, 4, · · · , 22.Os poss´ a
  22. 22. 22 CAP´ ¸˜ ¸˜ ITULO 3. EQUACOES E INEQUACOES DE 1o GRAUExemplo 3.3.7 (ESPM-Adap.) Suponha que o faturamento F , em reais, obtido na venda de n ar-tigos seja dado por F = 2, 5n e que o custo C, em reais, da produ¸˜o dos mesmos n artigos seja caC = 0, 7n + 360. Nessas condi¸˜es, para evitar preju´ co ızo, o n´mero m´ u ınimo de artigos que devem serproduzidos e vendidos ´: ePara evitar preju´ o faturamento obtido deve ser maior ou igual ao custo de produ¸˜o dos n objetos, ızo, caou seja, F ≥ C. Assim, 2, 5n ≥ 0, 7n + 360 2, 5n − 0, 7n ≥ 360 1, 8n ≥ 360 360 n≥ ⇒ n ≥ 200 1, 8O n´mero m´ u ınimo de artigos que devem ser produzidos para evitar preju´ ´ 200. ızo e3.4 Exerc´ ıcios 1. Resolva, em R, as equa¸˜es abaixo. co da idade dele, d´ 100 anos. Qual a minha a idade? (a) 3x − 5 = 13 (b) 3x + 5 = 2 6. Uma casa com 260m2 de ´rea construida a possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual (c) x − (2x − 1) = 23 x−1 x 1 ´ a ´rea de cada quarto, se as outras de- e a (d) + 3 = 4 2 pendˆncias da casa ocupam 140m2 ? e x−2 4x−3 (e) 3 = 2 + 7 7. A popula¸˜o de uma cidade A ´ o triplo da ca e (f) 2(x + 5) + x2 = x(x + 2) popula¸˜o da cidade B. Se as duas cidades ca 2x 7x (g) 5 = 4 juntas tˆm uma popula¸˜o de 100000 habi- e ca x−1 (h) x−1 = 1 tantes, quantos habitantes tem a cidade B? x+1 6(x+1) x−9 x−2 (i) 3x + x + 3x = 9x +8 8. Resolva, em R, as inequa¸˜es abaixo: co 2. Um pai tem 46 anos e seu filho tem 16 anos. (a) 3x − 6 < 0 Daqui a quantos anos a idade do pai ser´ o a √ √ dobro da idade de seu filho? (b) 2x − 32 > 0 √ √ (c) 5x + 125 ≥ 0 3. Uma caixa d’´gua com capacidade para 3000 a litros est´ com 1000 litros de ´gua. Outra a a (d) − −2x+3 − 5 −x−2 −1 > 2 7 4 de 1000 litros est´ com 300 litros. Se cada a (e) 2x−11 − −2x−12 ≤2 4 −5 uma receber 10 litros por minuto, em quan- 7−3x (f) −x − 2 ≤x+3 tos minutos a primeica caixa ter´ o dobro da a 1 quantidade de ´gua da segunda caixa? a (g) 4(−x − 1) − 3 x + 7 ≤x−1 (h) −3(−4x − 4) + x > 2 + 3x 4. Obtenha trˆs n´meros inteiros e consecuti- e u 4x−3 2 1 vos sabendo que a soma dos dois menores (i) − − 3 + 7 +x ≤ 5 −4x−3 excede de 10 unidades o maior. (j) − 3x + 1 − 7 + 3x < 0 5. Meu irm˜o ´ cinco anos mais velho que eu. a e 9. (FUVEST) (a) Calcule x tal que 1 − 3 x 2 = 1 4 O triplo da minha idade, somando ao dobro (b) Resolva a inequa¸˜o 1 − x < 1 . ca 3 2 4

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