Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)

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Dois exercícios de demonstração usando o Princípio da Indução Finita.

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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Exercícios - Princípio da Indução Finita (PIF)

  1. 1. Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo. ( ) ∑ [ ]ResoluçãoPIF1)Testando a propriedade para , temos: ( ) ( ) [ ]P(1) é verdadeira.PIF2) ( )Hipótese indutiva - ( ) * + ( )(( ) ) ( )( )Tese – ( ) ( ) * + * +Precisamos provar que ( ) ( ).Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que ( ) ( ) [ ] ( )Desenvolvendo o lado direito da igualdade: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )O polinômio pode ser reescrito como ( ) ( ) .1Temos, então: ( ) ( ) ( )( ) [ ]Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) éverdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.1 Chega-se a esta conclusão fazendo a divisão do polinômio por ( ) e por ( ) e verificando que o resto é opolinômio nulo. Foi utilizado o algoritmo de Briot-Ruffini.
  2. 2. Demonstrar que a seguinte proposição é válida para todo n inteiro positivo. ∑ ( )Resolução:PIF1)Testando a propriedade para , temos: ( ) ( )P(1) é verdadeira.PIF2)Hipótese indutiva - ( ) ( ) ( )Tese – ( ) ( ) ( )( )Precisamos provar que ( ) ( ).Assumindo a hipótese indutiva ( ) como verdadeira, temos que ( ) ( )( ) ( )( )Desenvolvendo o lado direito da igualdade: ( ) ( )( ) ( ) * ( )+ ( )Assim, provamos que ( ) ( ) e concluímos que a propriedade P(n) éverdadeira e válida para n inteiro positivo maior que 1.

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