Geometria analítica

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Fonte de pesquisa para turmas do 3 ano do ensino médio

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Geometria analítica

  1. 1. Geometria analítica
  2. 2. Introdução A geometria analítica também chamada de geometria da posição, trabalhacom o sistemas de coordenadas cartesianas. Os estudos iniciais estão ligadosao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema decoordenadas cartesianas.
  3. 3. DISTÂNCIA ENTRE PONTOS NO PLANO É sempre interessante saber qual é a distância de um ponto ondeestamos, até determinado local, por exemplo, um supermercado ou umaescola, não é verdade? Essa informação é-nos útil para tomar certas decisões,tais como, qual meio de transporte utilizar, qual o tempo de deslocamento etc.Ferramentas como o GPS ou o Googlemaps, na Internet, auxiliam-nos a fazeressas estimativas. Mas como fazemos na prática sem a utilização dessastecnologias? Uma vez que já sabemos como localizar pontos no plano através de umsistema de coordenadas, surge uma pergunta muito natural: como calcular adistância entre pontos localizados, conforme um determinado sistema? Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto P até a origem O (queno caso é o raio do ponto, nas coordenadas polares). Para isto, utilizaremos oTeorema de Pitágoras, veja Para localizarmos o ponto P, escolhemos o trajeto cartesiano. A partir daorigem, andamos x unidades para a direita e y unidades para cima. Estamoscaminhando pelos eixos! Dessa forma, como os eixos são perpendiculares,formamos um triângulo retângulo. Com isto, calcular a distância d é uma tarefa
  4. 4. simples. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que em qualquer triânguloretângulo, o quadrado da hipotenusa d é igual à soma dos quadrados doscatetos x e y. Isto é, Agora que já sabemos como calcular a distância de um ponto P qualquerà origem do sistema, vamos calcular a distância entre pontos de mesmasordenadas ou de mesmas abscissas. Esses casos irão nos auxiliar a calcular ocaso geral, a distância entre dois pontos quaisquer do plano. Considere os pontos P(x,y) e Q(x’,y) de mesma ordenada, observe afigura abaixo: A distância entre eles será dada por d = = Calculamosa distância em módulo para garantir que d seja um número real não negativo. Analogamente, temos o mesmo raciocínio para pontos de mesmaabscissa, veja:
  5. 5. Neste caso, temos que a distancia entre os pontos P(x,y) e Q(x,y’) é dadapelo número real não negativo: d = = A partir de agora, consideremos a distância entre dois pontos P e Q pord=d(P, Q), para ficar mais claro o que estamos calculando. Quando temospontos quaisquer, não necessariamente com mesmas abscissas ou ordenadas,o procedimento a ser adotado é similar. Consideramos o ponto R(x’,y) que tem mesma abscissa que o ponto Q emesma ordenada que o ponto P, formando assim um triângulo PQR, retânguloem R. Pelo Teorema de Pitágoras temos: “o quadrado da hipotenusa é igual àsoma dos quadrados dos catetos”
  6. 6. ExemploDados os pontos A (2,-3) e B (4,5), determine a distância entre eles.xa: 2xb: 4ya: -3yb: 5 EXERCÍÍCIIOS EXERC C OS 01. Sejam os ponto A(-3, 1) e B(4, 3). A distância entre eles é 02. A distância entre A(1, 3) e B(5, 6) é: 03. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. O valor de y é: 04. Qual o ponto do eixo das ordenadas que eqüidista dos pontos A(2, -1) e B(6, 3)? 05. O comprimento da circunferência de diâmetro CD, sendo C(2, 1) e D(10, 7) é AS RETAS E SUAS REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICAS Até agora, já falamos um pouco da história da geometria analítica, delocalização de pontos, de como calcular a distância entre eles e, para fechar,vamos discutir um pouco sobre as possíveis formas de representar uma reta,não só através de seu esboço no plano cartesiano, como também de formaalgébrica. Vamos lá? Existem diversos tipos de representações algébricas para as retas: aequação fundamental, a reduzida, a geral e também a paramétrica. É claro que
  7. 7. o que está em jogo aqui não é saber a nomenclatura ou decorar cada equação.Muito mais importante do que isso é entender que característica da reta cadarepresentação privilegia, ou seja, quais informações da reta podem serrapidamente recuperadas por cada tipo de equação.Sempre podemos associar a uma reta, uma equação com uma utilidadeespecífica. Por exemplo, a forma fundamental dá-nos um ponto da reta e seucoeficiente angular; a forma reduzida explicita o coeficiente angular e o linear; aforma geral tem esse nome porque permite a representação de qualquer retado plano, seja ela horizontal, vertical ou oblíqua; e, finalmente, a paramétricapermite o estudo de cada variável em função de um só parâmetro real, além dedeixar explícito o vetor diretor da reta. Mais uma vez, é interessante enfatizar a ponte que é feita entre aGeometria e a Álgebra através da Geometria Analítica. As retas são objetosgeométricos e podem ser entendidas através de equações, objetosessencialmente algébricos. Ao fixar um sistema de coordenadas no plano, podemos associar asretas desse plano às equações. Mas o que isso quer dizer? Chama-se equaçãode uma reta r no plano a expressão algébrica de igualdade que envolva asvariáveis x e y, a qual será satisfeita se, e somente se, o ponto (x,y) pertencer àreta r. Sabemos que as retas são gráficos de funções afins. E que estasrepresentam diversos fenômenos naturais e/ou cotidianos a nossa volta. Porexemplo: o crescimento de uma planta, o montante acumulado em regime dejuros simples ou, até mesmo, a área de um retângulo do qual sabemos suabase. Como saber se, em um determinado fenômeno, o modelo matemático a
  8. 8. ser adotado tem graficamente o comportamento retilíneo? Estes sãofenômenos onde acréscimos iguais de x correspondem acréscimos iguais paraf(x). Veja: A EQUAÇÃO FUNDAMENTAL Toda reta indica uma direção e esta forma um ângulo de inclinação comrelação ao eixo horizontal. Nesta altura, um conceito relevante é o decoeficiente angular de uma reta. Essa informação é privilegiada pela chamadaequação fundamental, a qual é obtida a partir do coeficiente angular e umponto qualquer que pertença à reta. O coeficiente angular m de uma reta é o quociente entre uma dadavariação em y(Δy) pela variação correspondente em x(Δx). Devido ao fato docoeficiente angular ser definido como uma razão, esta só está bem definida,quando o denominador é diferente de zero. Logo, precisamos que haja apossibilidade de variar a coordenada x. Se a abscissa de todos os pontos da
  9. 9. reta for constante, a variação em x é nula e; portanto, o coeficiente angulardesta reta não está bem definido. Retas com essa característica são chamadasde retas verticais. (x0, y0) (x1, y1) 2. Se a reta for decrescenteComo a tangente é uma função que só depende do ângulo e não do triânguloformado, temos que essa razão ΔΔyx é constante na reta dada. Portanto, apartir de um ponto qualquer (x0, y0) de uma reta r e de seu coeficiente angulartemos que qualquer ponto (x,y) da reta pode ser expresso pela equação:
  10. 10. Como é a Equação Fundamental da reta r Esta equação exprime a condição para que o ponto (x,y) pertença à reta r. Note que se a reta é vertical, seu ângulo de inclinação é de 90° e suatangente não está definida; logo, não temos equação fundamental para retasverticais. Este é um argumento algébrico para o fato de retas verticais nãopossuírem coeficiente angular. Se a reta é horizontal, temos ângulo deinclinação nulo e, assim, a tangente desse ângulo é nula também. A equaçãofundamental fica definida por y = y0, nesse caso.Analisando o sinal do coeficiente angular, obtemos uma informaçãogeométrica, a saber, a posição relativa da reta no plano. Quando o coeficienteangular de uma reta é positivo, temos que o ângulo de inclinação é agudo eisto quer dizer que a reta é crescente. Se o coeficiente angular for negativo,temos um ângulo de inclinação obtuso e, assim, a reta é decrescente.Como mencionado anteriormente, o gráfico de uma função afim é dado poruma reta. Neste caso, o coeficiente angular é conhecido como taxa de variaçãoda função. Um exemplo de grandeza física que é definida como taxa devariação é a velocidade média de um corpo em movimento. Digamos que umautomóvel iniciou seu percurso no ponto O, como nos mostra a figura abaixo.Ao descrevermos o trajeto do automóvel pela função s(t), onde s(t) nos dá adistância percorrida pelo automóvel no tempo t, a razão nos dá a velocidademédia do objeto no percurso.
  11. 11. Se quisermos saber a velocidade instantânea do objeto num determinadoperíodo de tempo t0, devemos calcular um limite de taxas de variação. Estelimite é chamado de derivada da função s no ponto t0. A EQUAÇÃO REDUZIDA Se a reta não for vertical, essa terá interseção com o eixo y. A ordenadadesta interseção b chamamos de coeficiente linear da reta, isto é, o ponto (0,b)é um ponto da reta r. Note que podemos calcular o coeficiente angular dequalquer reta a partir de dois pontos. Imagine que queremos utilizar um pontoqualquer (x,y) e o ponto d é a interseção com o eixo y (o,b). Deste modo,temos:Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficienteangular m = tg(α):Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, emque m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o
  12. 12. eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax+ by + c = 0:Onde: A EQUAÇÃO GERAL Para determinarmos a equação geral de uma reta utilizamos osconceitos relacionados a matrizes. Na determinação da equação na forma ax +by + c = 0 aplicamos a regra de Sarrus utilizada na obtenção do discriminantede uma matriz quadrada de ordem 3 x 3. Para utilizarmos uma matriz nessadeterminação da equação feral devemos ter no mínimo dois pares ordenados(x,y) dos possíveis pontos alinhados, por onde a reta irá passar. Observe amatriz geral da determinação da equação geral:Na matriz temos os pares ordenados que devem ser informados: (x1, y1) e(x2, y2) e um ponto genérico representado pelo par (x, y)
  13. 13. ExemploVamos determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) eB(–2, 5).[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0–3x – y – 1 = 0A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dadapela expressão: –3x – y – 1 = 0.
  14. 14. Posições relativas entre retas Retas paralelasDadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2Para essas retas, temos as seguintes possibilidades: a1 a2 PARALELAS DISTINTAS b1 b2 a1 a2 PARALELAS COINCIDENTES b1 b2
  15. 15. Exercícios1) Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 4y – 3 = 0 sejam paralelas.2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(3, -3) e é paralela à reta 2x – 3y -6 = 03) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 2) e é paralela à reta 4x – y + 1 = 0 Retas perpendicularesDadas duas retas r e s não-verticais dadas pelas equações: (r) y = a1x + b1 (s) y = a2x + b2Para essas retas, temos a seguinte possibilidade: 1 a1 PERPENDICULARES a2Exercícios1) Determine o valor de “k” para que as retas 3x - 5y + 10 = 0 e kx + 3y – 21 = 0 sejam perpendiculares.2) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular à reta de equação x + 3y - 12 = 0.3) Obtenha a equação da mediatriz do segmento de reta AB, sendo A(3, 2) e B(7, 4).
  16. 16. Avaliação será feita da seguinte maneira:1º A avaliação da aprendizagem será feita sempre no final de cada aulacom perguntas e exercícios.2º Trabalho em grupo;3º Prova.

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