Aplicaciones de derivadas

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Aplicaciones de derivadas

  1. 1. 1Profesora: Risley Rengifo
  2. 2. Incremento 2Profesora: Risley Rengifo Sea una función definida en un intervalo , entonces: )(xfy   21, xx 12 xxx  )()( 1212 xfxfyyy  Incremento de x Incremento de y o f(x) Si despejamos tenemos:2x 12 xxx  )()( 11 xfxxfy  En forma general se tiene )()( xfxxfy 
  3. 3. Profesora: Risley Rengifo 3 Razón (tasa) de cambio promedio qqr 30.030  Resolver Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son respectivamente, donde q es el número de unidades. Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de 40 a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida. 1005,4  qcy Razón de cambio promedio de y con respecto a x en el intervalo de x a x+x 12 12)()( xx yy x xfxxf x y        
  4. 4. 4Profesora: Risley Rengifo Razón (tasa) de cambio promedio La aceptación de cierto pisco dependerá del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo a la siguiente función donde A es la aceptación expresada en puntos y t es el tiempo en meses. Hallar la razón de cambio de la aceptación con respecto al tiempo dentro de 3 meses. , 1 15050 )(    t t tA Resolver x y dx dy x     0 lim Razón de cambio instantáneo de y con respecto a x
  5. 5. 5Profesora: Risley Rengifo Razón de cambio relativo y porcentual Resolver )( )( xf xf RCR   Razón de cambio relativo Razón de cambio porcentual 100 )( )(    xf xf RCP Supóngase que un fabricante vende un producto a : Donde p es el precio en dólares y q las cantidades. Además “ r ” es el ingreso total en dólares. a) Encuentre la razón de cambio relativo de r con respecto a q b) Cuando q =10 encuentre la razón de cambio relativo de r c) Encuentre la razón de cambio porcentual de r cuando q = 20 qp 3,030 
  6. 6. 6Profesora: Risley Rengifo Costo marginal Resolver dq dC C Costo marginal q C C Costo promedio La función de costo promedio de una fábrica que produce ventiladores de mano, está dada por: Donde está en dólares. Determine el costo marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado. q qqC 10000 504,0002,0 2  C
  7. 7. 7Profesora: Risley Rengifo Ingreso marginal Resolver dq dr r Ingreso marginal Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es a) Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras. b) Use la función r´ para estimar el incremento en el ingreso como resultado del aumento en la producción, de 100 a 101 lavadoras a la semana.        q r 1 120000
  8. 8. 8Profesora: Risley Rengifo Resolver dq dr U Utilidad marginal Utilidad marginal Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es: y la función de costo promedio es donde q es el número de unidades y, p y C se expresan en dólares por unidad. Halle la utilidad marginal e interprete el resultado. qp 2400  q qC 400 42,0  q ep 003.0 1000  
  9. 9. 9Profesora: Risley Rengifo Las ecuaciones de ingreso y de costo de cierto producto de un fabricante son y respectivamente, donde q es el número de unidades. Calcula los incrementos resultantes en el costo, el ingreso y la utilidad si q cambia de 40 a 42 unidades. Determina la tasa de cambio promedio de la utilidad por unidad extra producida. Ejercicios Sea la ecuación de demanda del producto de un fabricante, donde x es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halle la razón de cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5. Interprete el resultado. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es Evalúe la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500. (Suponga que p está dado en dólares) 1. 2. 3. q ep 003.0 1000   2 2500 qp  2 30,030 qqr  1005,4  qC
  10. 10. 10Profesora: Risley Rengifo La ecuación de la demanda de u producto está dada por en donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo. Determinar la función del ingreso marginal y evaluarla cuando q = 100 . Ejercicios El costo promedio de producción de “ q ” unidades es Calcule la razón de cambio del costo con respecto al número de unidades, cuando se producen 200 unidades. La función de demanda y costo para el producto de un fabricante son , respectivamente Halle la utilidad marginal de producir y vender 80 unidades, sabiendo que p y C están en dólares. Interprete el resultado. 4. 5. 6. 2 003,02,0500 qqp  q e C q 500/)103( 3000600    25 5000   q p 2 3,0500 qcy 

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