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02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA

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Aula sobre regressão Linear Simples.

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02 tópico 1 - regressão linear simples 01 - Econometria - Graduação - UFPA

1. 1. Econometria Ricardo Bruno N. dos SantosProfessores Adjunto da Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA
2. 2. O modelo de Regressão Linear SimplesA interpretação moderna da regressão A análise de regressão se ocupa do estudo dadependência de uma variável, a variável dependente, emrelação a uma ou mais variáveis, as variáveisexplanatórias, com vistas a estimar e/ou prever o valor médio(da população) da primeira em termo dos valores conhecidosou fixados (em amostragens repetidas) das segundas.
3. 3. O modelo de Regressão Linear SimplesA interpretação moderna da regressão
4. 4. O modelo de Regressão Linear SimplesA interpretação moderna da regressão
5. 5. O modelo de Regressão Linear SimplesA interpretação moderna da regressão
6. 6. O modelo de Regressão Linear SimplesConceito da Função de Regressão Populacional (FRP)
7. 7. O modelo de Regressão Linear Simples O significado do termo linear Qual a diferença entre a linearidade das variáveis e ados parâmetros?
8. 8. O modelo de Regressão Linear SimplesO Erro Estocástico
9. 9. O modelo de Regressão Linear SimplesO Erro Estocástico E (Yi | X i ) E [ E (Y | X i )] E (u i | X i ) E (Y | X i ) E (u i | X i ) E (u i | X i ) E (Y | X i ) E (Y | X i ) 0
10. 10. O modelo de Regressão Linear SimplesFunção de regressão Amostral (FRA) E quando tivermos não uma população, mas sim, apenasamostras de uma população. Na maior parte das situações práticasé impossível trabalhar com dados populacionais. O que teríamosagora são amostras de Y correspondentes a alguns X fixados.
11. 11. O modelo de Regressão Linear SimplesFunção de regressão Amostral (FRA)
12. 12. O modelo de Regressão Linear SimplesFunção de regressão Amostral (FRA) Acredita-se que as linhas das FRA representem a linhada FRP, porém, devido às variações amostrais, elas são, namelhor das hipóteses, aproximações da verdadeira regressãopopulacional. Como a FRA é uma aproximação da FRP podemosrepresentar a linha de regressão da FRA pela seguintenotação. ˆ Yi ˆ ˆ X 1 2 i Que assim como FRA pode ser representado por Yi ˆ ˆ X ˆ ui 1 2 i
13. 13. O modelo de Regressão Linear SimplesFunção de regressão Amostral (FRA) Assim, nosso principal objetivo passa a ser estimar aFRP com base na FRA.
14. 14. O modelo de Regressão Linear SimplesFunção de regressão Amostral (FRA) Fica a pergunta: A partir da FRA pode-se formular ummétodo ou regra que torne a aproximação entre FRA e FRP o“mais próximo”, possível? Em outras palavras, tornar osestimadores i’s chapéu mais próximos dos verdadeiros i’s.
15. 15. O Problema da Estimação: O Métododos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)
16. 16. O Método dos Mínimos QuadradosOrdinários (MQO) Aqui iremos estimar a FRP a partir da FRA da maneiramais acurada possível. Recorrendo a FRP de duas variáveis temos: Yi 1 2 Xi ui Porém como a FRP não pode ser observadadiretamente. Temos que estimá-la a partir da FRA: Yi ˆ ˆ X ˆ ui 1 2 i ˆ Yi ˆ ˆ u i , se n d o Yi o v a lo r e stim a d o d e Yi
17. 17. O Método dos Mínimos QuadradosOrdinários (MQO) Como determinar a Própria FRA? Para vermosisso, faremos o seguinte: Expressamos Yi como: ˆ ui Yi ˆ Yi Yi ˆ ˆ X 1 2 i Ou seja, os resíduos são simplesmente a diferençaentre os valores observados e estimados de Y. Agora nosso objetivo é estimar a FRA de tal forma quea mesma fique o mais próximo possível do Y observado.
18. 18. O Método dos Mínimos QuadradosOrdinários (MQO) Para tornar o valor de Y observado o mais próximo doestimado basta adotarmos o seguinte critério: ˆ ui ˆ (Yi Yi ) deve ser o menor possível. Embora intuitivamente seja um bom critério ele nãofunciona, pois a soma dos resíduos se anulam. Para resolveresse problema utilizamos a soma do quadrado dos resíduos. 2 ˆ i2 u ( Yi ˆ Yi ) 2 ( Yi ˆ ˆ X ) 1 2 i
19. 19. O Método dos Mínimos QuadradosOrdinários (MQO) O princípio do MQO é escolher os estimadores de ˆ1e ˆ 2 de tal forma que, para qualquer amostra ou conjunto dedados, a uˆ i2 seja a menor possível.Aplicando um processo de otimização podemos verificarisso, levando em conta que m in ˆ i2 u ( ˆ1 , ˆ 2 )Considerando ˆ i2 u Q
20. 20. Cálculo dos estimadores por MQO
21. 21. Cálculo dos estimadores por MQO COM BASE NAS FÓRMULAS DOS BETAS CALCULEA REGRESSÃO, OS RESÍDUOS PARA OS DADOS DATABELA ABAIXO:
22. 22. Cálculo dos estimadores por MQO
23. 23. MQO: Propriedades Estatísticas do MQOi) Os estimadores de MQO são expressos unicamente em termos de quantidades observáveis (isto é, amostra) como X e Y. Portanto, podem ser calculados com facilidade.ii) São estimadores pontuais, isto é, dada a amostra, cada estimador proporciona apenas um único valor (ponto) do parâmetro populacional relevante.iii) Uma vez obtidas as estimativas de MQO para os dados amostrais, a linha de regressão amostral pode ser facilmente obtida, tendo as seguintes propriedades:
24. 24. MQO: Propriedades Estatísticas do MQO Y Yˆ
25. 25. MQO: Propriedades Estatísticas do MQO 2 (Yi ˆ ˆ X )X ˆ ui X i 0 1 2 i i
26. 26. MQO: Pressupostos do MQO1) Modelo de Regressão Linear. O modelo de regressão é linear nos parâmetros.2) Os valores de X são fixos em amostras repetidas. Ou seja, X é não estocástico.
27. 27. MQO: Pressupostos do MQO 3) O valor médio do termo de erro ui é zero. Dado ovalor de X, o valor médio, ou esperado, do distúrbio aleatórioui é zero. Ou seja, o valor médio condicional de ui é zero: E (u i | X i ) 0 Homocedasticidade ou variância igual de ui. A variânciade ui é a mesma para todas as observações, isto é, asvariâncias condicionais de ui são idênticas.Simbolicamente, temos: 2 var( u i | X i ) E [u i E ( u i | X i )] 2 E ( u i | X i ), e m d e co rrê n cia d e 3 2
28. 28. MQO: Pressupostos do MQO
29. 29. MQO: Pressupostos do MQO 5) Não há autocorrelação entre os termos de erro.Dados quaisquer dois valores de X, Xi e Xj (i≠j), a correlaçãoentre quaisquer ui e uj (i≠j) é zero. (MRLM) cov( u i , u j | X i , X j ) E {[ u i E ( u i )] | X i }{[ u j E ( u j )] | X j } E ( u i | X i )( u j | X j ) 0 6) Ausência de covariância entre ui e Xi ou E(ui|Xi)=0cov( u i , X i ) E [u i E ( u i )][ X i E ( X i )] E (u i ( X i E ( X i )), já q u e E ( u i ) 0 E (u i X i ) E ( X i ) E ( u i ), já q u e E ( X i ) é n ã o e sto cá stico E ( u i X i ) já q u e E ( u i ) 0 0 p o r h ip ó te se
30. 30. MQO: Pressupostos do MQO 7) O número de observações n deve ser maior que onúmero de parâmetros a serem estimados. Ou então, onúmero de observações n deve ser maior que o número devariáveis. (MRLM) 8) Variabilidade dos valores de X. Os valores de X emuma dada amostra não devem ser os mesmos. Técnicamente.Var(X) deve ser um número positivo finito. 9) O modelo de regressão está especificado da formacorreta. Ou então, não há viés ou erro de especificação nomodelo empregado na análise empírica. 10) Não há multicolinearidade perfeita. Isto é, não hárelações lineares perfeitas entre as variáveis independentes.(MRLM)
31. 31. MQO: Precisão nas Estimativas
32. 32. MQO: Precisão nas Estimativas
33. 33. MQO: Precisão nas Estimativas
34. 34. Todo o objetivo por trás da regressão é provar que osestimadores de MQO são MELNT (Melhor Estimador LinearNão Tendencioso). O Teorema de Gauss-Markov provaisso, logo, essa é a principal finalidade de tal teorema. Podemos demostrar isso através de um gráfico dedistribuição normal destinado apenas aos estimadores, logo:
35. 35. MQO: O coeficiente de Determinação R2 – umamedida da “qualidade do ajustamento” Na verdade o principal objetivo desse coeficiente émostrar o quanto de X consegue explicar em Y, pode-severificar isso no seguinte diagrama de Venn
36. 36. MQO: O coeficiente de Determinação R2 – umamedida da “qualidade do ajustamento”