Estatística Descritiva

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Estatística Descritiva

  1. 1. CURSO DE ESTATÍSTICA I Ricardo Bruno N. dos Santos FACECON-PPGE (UFPA)
  2. 2. O Que é a Estatística? • A Estatística originou-se com a coleta e construção de tabelas de dados para o governo. • A situação evoluiu e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatística. • No século XIX, o desenvolvimento do cálculo de probabilidade e outras metodologias matemáticas, tais como a técnica de Mínimos Quadrados, foram fundamentais para o desenvolvimento da Estatística
  3. 3. O Que é a Estatística? • Somente no século XX a Estatística desenvolve-se como uma área específica do conhecimento a partir do desenvolvimento da Inferência Estatística; uma metodologia baseada em probabilidade que tem ampla aplicação nas ciências experimentais. • A Estatística hoje consiste num metodologia científica para obtenção, organização e análise de dados, oriundos das mais variadas áreas das ciência experimentais, cujo objetivo principal é auxiliar a tomada de decisões em situações de incerteza.
  4. 4. O Que é a Estatística? Etapa inicial da análise utilizada para descrever, organizar e resumir os dados coletados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito eficientes revigorou esta área da Estatística.
  5. 5. O Que é a Estatística? O que fazer com as observações que coletamos?
  6. 6. 6 QUALITATIVA QUANTITATIVA NOMINAL ORDINAL CONTÍNUA DISCRETA peso, altura, salário, idade número de filhos, número de carros sexo, cor dos olhos classe social, grau de instrução Variável: Qualquer característica associada a uma população. Classificação das variáveis: O Que é a Estatística?
  7. 7. 7 Amplitude, Intervalo-Interquartil, Variância, Desvio Padrão, Coeficiente de Variação. MEDIDAS DE DISPERSÃO: Mínimo, Máximo, Moda, Média, Mediana, Percentis MEDIDAS DE POSIÇÃO: O Que é a Estatística?
  8. 8. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Resumos numéricos são ferramentas importantes para descrever a distribuição de uma variável quantitativa. Agora você vai trabalhar com medidas de posição que, como o próprio nome indica, são medidas que indicam a localização dos dados. O objetivo não é o cálculo das medidas, mas, sim, explorar propriedades e relações entre três das principais medidas de posição. Média Aritmética Simples: é calculada somando-se os valores de todas as observações e dividindo-se essa soma pelo número de observações. Equivale a dividir o total das n observações em n partes iguais. Mediana: é o valor que divide o conjunto de dados em duas partes tais que abaixo e acima da mediana encontram-se 50% das observações. O cálculo da mediana requer que os dados estejam ordenados. Se o número de observações for ímpar, a mediana é o valor central; se o número de observações for par, a mediana é a média dos dois valores centrais.
  9. 9. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Moda: é o valor mais frequente. Média Amostral: A média amostral, aritmética, ou simplesmente média, é calculada somando-se os valores das observações da amostra e dividindo-se o resultado pelo número de valores. Assim, a média amostral é dada por: 𝒙 = 𝒙𝒊 𝒏 Média Populacional: A média populacional é calculada somando- se todos os valores da população e dividindo o resultado pelo total de elementos da população. Numa população de elementos, a média populacional é dada por 𝝁 = 𝒙𝒊 𝑵
  10. 10. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Mediana: Para calcular a mediana devemos, em primeiro lugar, ordenar os dados do menor para o maior valor. Se o número de observações for ímpar, a mediana será a observação central. Se o número de observações for par, a mediana será a média aritmética das duas observações centrais. Notação: 𝑥 Exemplo: Salários mensais iniciais para uma amostra de 12 graduados em Administração
  11. 11. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Percentis: Em estatística descritiva, o p-ésimo percentil Pk é o valor x (xk) que corresponde à frequência cumulativa de 𝑛 𝑝 100 , onde n é o tamanho amostral. 𝒊 = 𝒑 𝟏𝟎𝟎 𝒏 Calculando o p-ésimo percentil 1 – Arranje os dados na ordem ascendente (do menor para o maior) 2 – Calcule o índice 𝒊 = 𝒑 𝟏𝟎𝟎 𝒏 3 - (a) Se não for um inteiro, arredonde para cima. O próximo inteiro maior que i expressará a posição do p-ésimo percentil. - (b) Se i é impar, o p-ésimo percentil é a média dos valores dados nas posições i e i+1
  12. 12. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Exemplo: para os dados de salários o 85º percentil será: 𝑖 = 85 100 12 = 10,2 Arredondando para mais teríamos então a 11ª posição.
  13. 13. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Quartis: Na estatística descritiva, um quartil é qualquer um dos três valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa 1/4 da amostra ou população. Assim, no caso duma amostra ordenada, primeiro quartil (designado por Q1/4) = quartil inferior = é o valor aos 25% da amostra ordenada = 25º percentil segundo quartil (designado por Q2/4) = mediana = é o valor até ao qual se encontra 50% da amostra ordenada = 50º percentil, ou 5º decil. terceiro quartil (designado por Q3/4) = quartil superior = valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados = valor aos 75% da amostra ordenada = 75º percentil à diferença entre os quartis superior e inferior chama-se amplitude inter-quartil.
  14. 14. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Exemplo 1: Amostra: 6, 47, 49, 15, 42, 41, 7, 39, 43, 40, 36 Amostra ordenada: 6, 7, 15, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 47, 49 Q1/4 = 15 Q2/4 = 40 Q3/4 = 43 Exemplo 2: Amostra ordenada: 7, 15, 36, 39, 40, 41 Q1/4 = 15 Q2/4 = (39+36)/2 = 37.5 Q3/4 = 40
  15. 15. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central
  16. 16. Medidas de posição: Medidas de Tendência CentralBox Plot (Diagrama de Caixa) Em estatística descritiva, diagrama de caixa, ou boxplot, box plot, é um gráfico no qual o: - eixo vertical representa a variável a ser analisada; - eixo horizontal um fator de interesse. O diagrama de caixa é uma ferramenta para localizar e analisar a variação de uma variável dentre diferentes grupos de dados. O diagrama de caixa procura obter as seguintes informações: - Calcular a mediana e os quartis ( o quartil inferior contém 25% ( 1/4) das menores medidas e o quartil superior contém 75 ( 3/4) de todas as medidas); - Plotar um símbolo onde se localiza a mediana e uma caixa, daí o nome de diagrama de caixas, onde a base representa o quartil inferior ( 25% ou 1/4) dos menores valores), e o topo da caixa o quartil superior (75% ou 3/4) dos valores observados. A caixa portanto representa 50% de todos os os valores observados ,concentrados na tendência central dos valores, eliminando os 25% menores valores e 25% maiores valores ( 75% - 25% = 50%); - Um segmento de reta vertical conecta o topo da caixa ao maior valor observado e outro segmento conecta a base da caixa ao menor valor observado, este segmento denomina-se Whisker, ou fio de bigode.
  17. 17. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Média Geométrica: Este tipo de média é calculada multiplicando- se todos os valores e extraindo-se a raiz de índice n deste produto. Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6. Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n. Neste exemplo teríamos a seguinte solução 𝑮 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒙𝒊 𝟏 𝒏 = 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 . . . 𝒙 𝒏 𝟏 𝒏 = 𝒏 𝒙 𝟏 𝒙 𝟐 … 𝒙 𝒏
  18. 18. Medidas de posição: Medidas de Tendência Central Média Harmônica: é o número de membros dividido pela soma do inverso dos membros 𝐻 = 1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 −1 −1 Pode-se então estabelecer que: 𝐻 ≤ 𝐺 ≤ 𝑥
  19. 19. A origem das médias Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que viveu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média. Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro; em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):
  20. 20. A origem das médias Logo
  21. 21. MEDIDAS DE DISPERSÃO
  22. 22. Medidas de dispersão As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos dados apenas a nível pontual, sem ilustrar outros aspectos referentes à forma como os dados estão distribuídos na amostra. As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média.
  23. 23. Medidas de dispersão Qual a importância das medidas de dispersão na prática? Vejamos o exemplo das notas de três turmas (A, B e C) Essa tabela será o nosso mote para no final avaliar qual foi a melhor turma. Turma A Turma B Turma C 4 5 2 5 6 3 6 6 8 7 6 8 8 7 9
  24. 24. Medidas de dispersão Amplitude total: é a diferença entre o menor e o maior valor observado. 𝑨𝑻 = 𝑿𝒊 𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒊 𝒎𝒊𝒏 Verifica-se que a amplitude como medida de dispersão é limitada. Essa medida só depende dos valores extremos, ou seja, não é afetada pela dispersão dos valores internos. Quais os resultados para as notas das turmas? Amplitude interquartil: é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro.
  25. 25. Medidas de dispersão Variância: A variância de um conjunto de dados (amostra ou população) é uma medida de “VARIABILIDADE ABSOLUTA”. Ela mede a variabilidade do conjunto em termos de desvios quadrados em relação à média aritmética. É uma quantidade sempre NÃO NEGATIVA e expressa em unidades quadradas do conjunto de dados, sendo de difícil interpretação. 𝜎2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝜇 2 𝑁 𝑠2 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 − 1 Populacional Amostral
  26. 26. Medidas de dispersão Desvio Padrão: É uma outra medida de dispersão mais comumente empregada do que a variância, por ser expressa na mesma unidade de medida do conjunto de dados. Mede a "DISPERSÃO ABSOLUTA" de um conjunto de valores e é obtida a partir da variância. Trata-se da raiz quadrada da variância 𝜎 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝜇 2 𝑁 𝑠 = 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 − 1
  27. 27. Medidas de dispersão Coeficiente de variação: É uma medida de “VARIABILIDADE RELATIVA”, útil para comparar a variabilidade de observações com diferentes unidades de medida. 𝑐𝑣 = 𝜎 𝑥 (100)
  28. 28. Medidas de dispersão
  29. 29. Medidas de dispersão Vamos avaliar qual a melhor Turma. Na sua opinião qual turma é melhor.
  30. 30. Medidas de dispersão Vamos usar: Excel R
  31. 31. Distribuição de Frequências Organização dos dados: Os métodos utilizados para organizar dados compreendem o arranjo desses dados em subconjuntos que apresentem características similares. mesma idade (ou “faixa etária”), mesma finalidade, mesma escola, mesmo bairro, etc Os DADOS AGRUPADOS podem ser resumidos em tabelas ou gráficos e, a partir desses, podemos obter as estatísticas descritivas já definidas: média, mediana, desvio, etc. Dados organizados em grupos ou categorias/classes são usualmente designados “DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA”.
  32. 32. Distribuição de Frequências Uma distribuição de frequência é um método de se agrupar dados em classes de modo a fornecer a quantidade (e/ou a percentagem) de dados em cada classe. Com isso, podemos RESUMIR e VISUALIZAR um conjunto de dados sem precisar levar em conta os valores individuais. Construindo assim uma SÍNTESE dos DADOS QUANTITATIVOS. Uma distribuição de frequência (absoluta ou relativa ) pode ser apresentada em TABELAS ou GRÁFICOS.
  33. 33. Distribuição de Frequências Uma distribuição de frequência agrupa os dados por classes de ocorrência, resumindo a análise de conjunto de dados grandes. Tipos de Frequência Simples Absolutas Relativas Acumuladas Crescente Absolutas Relativas Decrescente Absolutas Relativas
  34. 34. Distribuição de Frequências Eventos Altura Aluno1 1,60 Aluno2 1,69 Aluno3 1,72 Aluno4 1,73 Aluno5 1,73 Aluno6 1,74 Aluno7 1,75 Aluno8 1,75 Aluno9 1,75 Aluno10 1,75 Aluno11 1,75 Aluno12 1,76 Aluno13 1,78 Aluno14 1,80 Aluno15 1,82 Aluno16 1,82 Aluno17 1,84 Aluno18 1,88
  35. 35. Distribuição de Frequências Como construir uma distribuição de frequência a partir dessas informações? Primeiro reduzir o número de linhas da tabela, para isso temos que calcular o NÚMERO DE CLASSES. O Número de classes pode ser representado pela letra (k). Para o cálculo do número de classes pode-se utilizar algumas regras como: 1) Regra de Sturges (Regra do Logaritmo) 𝑘 = 1 + 3,3log(𝑛) 2) Regra da Raiz Quadrada 𝑘 = 𝑛 3) Bom Senso! Podemos decidir qual o melhor número de classes, muitos afirmam que devemos ter classes entre os tamanhos 5 a 20.
  36. 36. Distribuição de Frequências
  37. 37. Distribuição de Frequências Existem várias maneiras de apresentarmos o intervalo de classes: iguais ou diferentes entre si. Porém, sempre que possível, deveremos optar por intervalos iguais, o que facilitará os cálculos posteriores. Mas mesmo com intervalos iguais, as distribuições poderão apresentar-se da seguinte forma: 0 -- 10: compreende todos os valores entre 0 e 10, exclusive os extremos. 0 |--|10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive os extremos. 0 --|10: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 10 e exclusive o 0. 010: compreende todos os valores entre 0 e 10, inclusive o 0 e exclusive o 10. Como optaremos por este último tipo (010), pode-se definir como intervalo de classe a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. Portanto, no exemplo, 10 – 0 = 10 é o intervalo ou amplitude da classe que será representado pela letra h.
  38. 38. Distribuição de Frequências Largura das classes (amplitude das classes (h)): É a segunda etapa da construção de uma distribuição de frequência para dados quantitativos. Recomenda-se que a largura seja a mesma para cada uma das classes. 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 = 𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒𝑠 Para o exemplo das alturas temos: 1,88−1,60 5 = 0,056 Que arredondando transforma-se em 0,06
  39. 39. Distribuição de Frequências Obs. 1: Na amplitude das classes (h), observe que aumentamos uma unidade, não seguindo, portanto, as regras de arredondamento. Esta é uma regra que deve ser sempre seguida no cálculo da amplitude da classe. Você saberia me dizer por quê? Obs. 2: Deve-se conservar o número de casas decimais dos dados observados. Por exemplo, se os dados se referem à massa de indivíduos em kg e forem expressos com uma casa após a vírgula (por exemplo, 60,5 kg), então a amplitude deverá ter uma casa após a vírgula. Obs. 3: Usando o bom-senso e a experiência, poderá ser conveniente , quando possível, a utilização da amplitude de um intervalo de classe igual a 10 ou 5, facilitando as operações posteriores.
  40. 40. Distribuição de Frequências Para os dados das alturas teremos: 1,59 --| 1,66 1,66 --| 1,72 1,72 --| 1,78 1,78 --| 1,84 1,84 --| 1,90
  41. 41. Distribuição de Frequências Ponto Médio das Classes (𝑿𝒊): É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Assim, se a classe for 0--|10, teremos 0+10 2 = 5, que será o ponto médio da classe. Limites de Classe: São os números extremos de cada intervalo: sendo assim, temos um limite inferior e um superior. Se a primeira classe tiver um intervalo de notas de 0 até 10, o 0 será o limite inferior enquanto que o 10 será o limite superior desta classe.
  42. 42. Distribuição de Frequências Frequência Acumulada (𝑭𝒊): Corresponde à soma das freqüências de determinada classe com as anteriores. No exemplo, vejamos como fica a frequência acumulada de cada classe: Altura Fi 1,59 --| 1,66 1 1,66 --| 1,72 2 1,72 --| 1,78 10 1,78 --| 1,84 4 1,84 --| 1,90 1 Total 18
  43. 43. Distribuição de Frequências Frequência relativa ( 𝒇𝒊 ):Corresponde ao quociente entre a freqüência absoluta da classe e o total de elementos. 𝑓𝑖 = 𝑓𝑖 𝑛 Altura Fi fi 1,59 --| 1,66 1 0,06 1,66 --| 1,72 2 0,11 1,72 --| 1,78 10 0,56 1,78 --| 1,84 4 0,22 1,84 --| 1,90 1 0,06 Total 18 1,00
  44. 44. Distribuição de Frequências Distribuições cumulativas: São as somas das ocorrências de dados cumulativamente às classes. Também é importante mostrar os termos em percentuais tanto na relativa quanto na acumulada Altura Fi fi %fi FA %FA 1,59 --| 1,66 1 0,06 5,56 0,06 5,56 1,66 --| 1,72 2 0,11 11,11 0,17 16,67 1,72 --| 1,78 10 0,56 55,56 0,72 72,22 1,78 --| 1,84 4 0,22 22,22 0,94 94,44 1,84 --| 1,90 1 0,06 5,56 1,00 100,00 Total 18 1,00 100,00
  45. 45. Distribuição de Frequências Gráficos: Histograma: Também conhecido como Distribuição de Frequências ou Diagrama das Frequências, é uma representação gráfica na qual um conjunto de dados é agrupado em classes uniformes, representado por um retângulo cuja base horizontal são as classes e seu intervalo e a altura vertical representa a frequência com que os valores desta classe estão presente no conjunto de dados . É uma das Sete Ferramentas da Qualidade. O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de classe e a sua altura à respectiva frequência. Quando o número de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribuição de frequência passa para uma distribuição de densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. Podem indicar se uma distribuição aproxima-se de uma FUNÇÃO NORMAL, como pode indicar mistura de populações quando se apresentam bimodais.
  46. 46. Distribuição de Frequências Passos para a construção do histograma: 1) Na abscissas, distribua as classes 2) Na ordenada da esquerda, as frequências absolutas 3) Construa um gráfico de barras para as frequências 4) Construa um gráfico de linha para a frequência acumulada (utilize a escala da direita)
  47. 47. Distribuição de Frequências
  48. 48. Distribuição de Frequências Ogivas 0 5 10 15 20 1,59 --| 1,66 1,66 --| 1,72 1,72 --| 1,78 1,78 --| 1,84 1,84 --| 1,90
  49. 49. Distribuição de Frequências Gráfico de Pizza
  50. 50. Distribuição de Frequências Média Ponderada de uma Frequência: 𝒙 = 𝑭𝒊 𝒙 𝒇 Onde: 𝒙 – Ponto Médio da Classe 𝒇𝒊 - Frequência acumulada 𝒇 - n
  51. 51. Distribuição de Frequências Altura Fi fi %fi FA %FA Ponto Médio x*fi 1,59 1,65 1 0.06 5.56 0.06 5.56 1,62 1.62 1,65 1,71 1 0.06 5.56 0.11 11.11 1,68 1.68 1,71 1,77 10 0.56 55.56 0.67 66.67 1,74 17.4 1,77 1,83 4 0.22 22.22 0.89 88.89 1,80 7.2 1,83 1,89 2 0.11 11.11 1.00 100.00 1,86 3.72 Total 18 1,00 100,00 8,75 31,62 Média 1,7564 Média real 1,7589
  52. 52. Distribuição de Frequências Podemos além da média, encontrar a mediana e a moda para distribuições de frequência, bem como a variância e o desvio padrão.
  53. 53. Distribuição de Frequências Para dados agrupados em intervalos de classes, você pode calcular a moda por meio do método de Czuber, que se baseia na influência das classes adjacente na moda deslocando-se no sentido da classe de maior frequência. A expressão que você utilizará é: 𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + 𝑑1 𝑑1 + 𝑑2 × 𝑐 Li : limite inferior da classe modal; 𝑑1 : diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente anterior; 𝑑2 : diferença entre a frequência da classe modal e a imediatamente posterior; e c : amplitude da classe modal Para a tabela de alturas temos: 1.71 + 9 9+6 × 0,06 = 1,746 ≅ 1,75
  54. 54. Distribuição de Frequências Quando os dados estão agrupados na mediana, devemos encontrar a classe mediana. Se os dados estão agrupados em intervalos de classe, como no caso do número de casa por rua, utilizaremos a seguinte expressão: 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 + 𝑛 2 − 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎𝑐 𝑓 𝑚𝑒𝑑 × 𝑐 li : limite inferior da classe mediana; n : número total de elementos; 𝑓𝑎𝑛𝑡𝑎𝑐 : frequência acumulada anterior à classe mediana; 𝑓 𝑚𝑒𝑑 : frequência absoluta da classe mediana; e c: amplitude da classe mediana.
  55. 55. Distribuição de Frequências Porém é importante definir a classe mediana, para tanto devemos usar a seguinte fórmula (n/2) para definir a classe mediana Utilizando os dados das alturas teremos: Classe mediana = 18 2 = 9 logo temos que examinar o 9º elemento, onde o mesmo se encontra na classe 1,71--|1,77 Aplicando a fórmula da mediana temos: 𝑀𝑑 = 1,71 + 18 2 − 0,11 10 × 0,06 = 1,763 ≅ 1,76
  56. 56. Distribuição de Frequências Em um conjunto de dados, a mediana, a moda e a média não necessariamente devem apresentar o mesmo valor. Uma informação importante é que a mediana não é influenciada pelos valores extremos. Comparando os resultados encontrados para uma amostra em relação às medidas de posição estudadas e verificando a inter-relação entre elas, você pode concluir que seus valores podem nos dar um indicativo da natureza da distribuição dos dados, em função das regras definidas pela Figura seguinte:
  57. 57. Distribuição de Frequências
  58. 58. Distribuição de Frequências Com relação a Variância para dados agrupados em classes, pode-se utilizar a seguinte expressão a partir dos desvio padrão: 𝑠 = 1 𝑛 − 1 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑓𝑎 Onde n – Nº de Observações 𝑥𝑖 − 𝑥 2 - Os desvios em torno da média ao quadrado. Onde 𝑥𝑖 são os pontos médios de cada classe; 𝑓𝑎 - Frequências absolutas de cada classe. Para as alturas temos: 𝑠 = 1 18 − 1 { 1,62 − 1,76 2 × 1 + 1,68 − 1,76 2 × 1 + 1,74 − 1,76 2 × 10 + 1,8 − 1,76 2 × 4 + [ 1,86 − 1,76 2 × 2] s=0,058 𝑠2 = 0,03

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