Sucesión de Fibonacci

1. SUCESIÓN
DE
FIBONACCI
Javier Vidondo y
Ernesto Sarrablo

2. Leonardo de Pisa
También llamado Fibonacci, fue un matemático italiano de
inicios del siglo XIII.
Nacido en Pisa pero criado en Argelia, tras su paso por el norte
de África introdujo el sistema numérico árabe.
Con la publicación del libro Liber Abaci en 1202, revolucionó la
aritmética, la descomposición en factores primos y la
divisibilidad.
Trabajó en la contabilidad de la República de Pisa.
Sin embargo, su mayor aportación al mundo de las
matemáticas fue la famosa sucesión de Fibonacci.

3. La sucesión de Fibonacci se define recurrentemente como 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2 ∀𝑛 ≥ 2 con 𝑓0 = 0, 𝑓1 = 1.
Se sitúa su origen en la literatura india entorno al s.III a.C, relacionado con el Changas (estudio de la métrica
del sánscrito) publicado por el matemático indio Pingala.
Sin embargo, fue Fibonacci quien la popularizó tras usarla como solución en un problema de conejos.
Fórmula y descubrimiento

4. Número áureo
El número áureo 𝜑 se encuentra muy ligado a la sucesión
de Fibonacci. Se define 𝜑 =
1+ 5
2
≈ 1,618033 … , que
resuelve la ecuación de segundo grado 𝑥2
= 𝑥 + 1. Otra
forma de representarlo es como la razón entre dos
segmentos de recta a y b (
𝑎+𝑏
𝑎
=
𝑎
𝑏
).
Sin embargo, este número ha cobrado especial
importancia debido a su estrecha conexión con la
sucesión de Fibonacci. Entre otras relaciones, destacan:
 lim
𝑛→∞
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛
= 𝜑
 𝑓𝑛 =
1
5
𝑎𝑛
− 𝛽𝑛
con 𝑎 =
1+ 5
2
= 𝜑, β =
1− 5
2
=
−1
𝜑

5. Propiedades
La sucesión de Fibonacci tiene diversas características curiosas:
 𝑓1
2
+ ⋯ + 𝑓𝑛
2
= 𝑓𝜂𝑓𝑛+1
 𝑓𝑛 =
𝑓𝑛−1+𝑓𝑛−2
2
 𝑚𝑐𝑑 𝑓𝑛, 𝑓𝑚 = 𝑓𝑚c ⅆ 𝑛,𝑚
 𝑓𝑛+1
2
+ 𝑓𝑛
2
= 𝑓2𝑛+1
 𝑓1 + 𝑓2 + ⋯ + 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛+2 − 1
 𝑚𝑐𝑑 𝑓𝑛+1, 𝑓𝑛 = 1
 𝑆𝑖 𝑚𝑐𝑑 𝑚, 𝑛 = 𝑑, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚𝑐𝑑 𝜑𝑚, 𝜑𝑛 = 𝜑𝑑
 𝑆𝑖 𝑟 > 0, 𝜑𝑛 |𝜑𝑛𝑟
 𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑇𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐹𝑖𝑏𝑜𝑛𝑎𝑐𝑐𝑖

6. Espiral de Fibonacci
Como resultado de unir esquinas opuestas de
cuadrados de lado un número de la sucesión de
Fibonacci, se genera una espiral. Esta es una
aproximación muy cercana a la llamada espiral áurea
(crecimiento 𝜑), ya que
𝑓𝑛+1
𝑓𝑛
= 𝜑 ⇔ 𝑛 → ∞.
Esta espiral dorada aparece representada en la
naturaleza dando forma a galaxias, plantas, animales,
etc.

7. Conjunto de Mandelbrot
Se trata del fractal más famoso. Dado un punto cualquiera 𝑐 ∈ ℂ en el plano complejo, los puntos que pertenecen al
conjunto de Mandelbrot son aquellos cuya sucesión recursiva 𝑧𝑛+1 = 𝑧𝑛
2
+ 𝑐, 𝑧0 = 0 ∈ ℂ, está acotada. Si la sucesión no
está acotada, entonces no pertenecen al conjunto.
La cantidad de antenas (ramificaciones) entre dos componentes hiperbólicos (discos obviando el central) sigue la
sucesión de Fibonacci.

8. Estrategia de Fibonacci
Se trata de uno de los métodos más efectivos a la hora de jugar a la ruleta. Consiste en partir de
un número de la sucesión de Fibonacci, hacer apuestas de 1 a 1 y subir una posición en la
sucesión si pierdes y bajar dos posiciones si ganas (hasta 1 €).
Con esta estrategia las pérdidas son progresivamente más lentas. Sin embargo, a largo plazo
estas se acabarán acumulando.

9. Naturaleza
La secuencia de Fibonacci se puede encontrar en múltiples aspectos biológicos como la distribución de las ramas de un
árbol, la implantación de semillas en los girasoles, etc. Sin embargo, el caso más conocido es la reproducción de ciertas
especies como conejos o abejas.
Los zánganos no tienen padre. Cada zángano tiene madre (la abeja reina), 2 abuelos (los padres de la madre), 3
bisabuelos, 5 tatarabuelos, etc.

10. Arte
La espiral de Fibonacci ha sido empleada recurrentemente en el arte como símbolo de la
perfección, la armonía y el dinamismo de la vida. Destaca especialmente su uso en pintura (desde
el renacimiento hasta el surrealismo del siglo pasado), escultura, arquitectura, etc.

11. Importancia
La sucesión de Fibonacci ha cobrado especial relevancia en el mundo de las matemáticas. Es sin
duda, el mayor legado (o al menos el más conocido) de Leonardo de Pisa. Además, se muestra en
las escuelas como ejemplo habitual de la aplicación cotidiana de las matemáticas, por muy
utópica que parezca. Debido a su fácil comprensión, sirve como rechazo de la idea preconcebida
de la dificultad de las matemáticas y acerca a los estudiantes a convertir dicho temor en pasión
absoluta.

12. Bibliografía
https://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci
https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/fibonacci.pdf
http://assets.press.princeton.edu/chapters/s8446.pdf
https://plus.maths.org/content/os/issue40/features/devaney/index
https://www.casino.org/roulette/strategy/fibonacci/