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TEOREMA DE REYNOLDS

El teorema de reynolds brinda una explicación a la inyección de fluidos para el desplazamiento de hidrocarburos en un sistema. Teniendo como base un sistema Newtoniano y Euleriano.

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TEOREMA DEL TRANSPORTE DE
REYNOLDS
ING. RICARDO HERNÁNDEZ VELÁZQUEZ
TEOREMADEL
TRANSPORTE
DEREYNOLDS
§ CUBRE LA NECESIDAD DE ESTABLECER LA FORMA EN
LA QUE SE COMPORTAN LAS PROPIEDADES EN UN
MEDIO CONTÍNUO, RELACIONANDO LAS
PROPIEDADES EXTENSIVAS CON LAS INTESIVAS Y EL
COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DENTRO DE UN
VOLUMEN DE CONTROL.
NECESIDADES
§ LAS LEYES DE LA FÍSICA EN SUS FORMAS MÁS SIMPLES
DESCRIBEN EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA
UTILIZANDO LA APROXIMACIÓN DE LAGRANGE
(CONSERVACIÓN DE MASA, MOMENTOY ENERGÍA).
§ NO ES POSIBLE MANTENER SIEMPRE LA LOCALIZACIÓN
DEL SISTEMA EN MUCHOS PROBLEMAS DE FLUIDOS.
§ LAS LEYES DE LA FÍSICA DEBEN MANTENERSE EN UN
MUNDO EULERIANO.
§ LA EXPERIENCIA FÍSICA APLICA PARA SISTEMAS, NO
PARA VOLÚMENES DE CONTROL:
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𝐹!"!#$%& = 𝑚!"!#$%& ⃗
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𝐹'().+$ ,(-#.() ≠ 𝑚'().+$ ,(-#.() ⃗
𝑎'().+$ ,(-#.()
ELTEOREMADE
REYNOLDSYLAS
PROPIEDADES
§ SE DEFINE COMO “B” COMO PROPIEDAD EXTENSIVA
(MASA, MOMENTO,VOLUMEN, ENERGÍA).
§ “b” COMO UNA PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A
LA PROPIEDAD “B”, ES DECIR 𝑏 =
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Y ES LA VERSIÓN
INTENSIVA DE DICHA PROPIEDAD.
𝐵#$#%&"' = $ 𝑝𝑏𝑑𝑉
§ LA PROPIEDAD INTENSIBA ”b” MULTIPLICADA POR LA
DENSIDAD
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, ES LA CANTIDAD DE LA PROPIEDAD
EN EL VOLUMEN DE CONTROL.
CUANDOt=0
§ EL SISTEMA Y EL VOLUMEN DE CONTROL ELEGIDO
POR EL ANÁLISIS COINCIDEN, ES DECIR, LA MASA EN
EL SISTEMA, COINCIDE CON EL SISTEMA DE
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ENELTIEMPO
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TEOREMA DE REYNOLDS

  • 1. TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS ING. RICARDO HERNÁNDEZ VELÁZQUEZ
  • 2. TEOREMADEL TRANSPORTE DEREYNOLDS § CUBRE LA NECESIDAD DE ESTABLECER LA FORMA EN LA QUE SE COMPORTAN LAS PROPIEDADES EN UN MEDIO CONTÍNUO, RELACIONANDO LAS PROPIEDADES EXTENSIVAS CON LAS INTESIVAS Y EL COMPORTAMIENTO DEL SISTEMA DENTRO DE UN VOLUMEN DE CONTROL.
  • 3. NECESIDADES § LAS LEYES DE LA FÍSICA EN SUS FORMAS MÁS SIMPLES DESCRIBEN EL COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA UTILIZANDO LA APROXIMACIÓN DE LAGRANGE (CONSERVACIÓN DE MASA, MOMENTOY ENERGÍA). § NO ES POSIBLE MANTENER SIEMPRE LA LOCALIZACIÓN DEL SISTEMA EN MUCHOS PROBLEMAS DE FLUIDOS. § LAS LEYES DE LA FÍSICA DEBEN MANTENERSE EN UN MUNDO EULERIANO. § LA EXPERIENCIA FÍSICA APLICA PARA SISTEMAS, NO PARA VOLÚMENES DE CONTROL: ! ⃗ 𝐹!"!#$%& = 𝑚!"!#$%& ⃗ 𝑎!"!#$%& ! ⃗ 𝐹'().+$ ,(-#.() ≠ 𝑚'().+$ ,(-#.() ⃗ 𝑎'().+$ ,(-#.()
  • 4. ELTEOREMADE REYNOLDSYLAS PROPIEDADES § SE DEFINE COMO “B” COMO PROPIEDAD EXTENSIVA (MASA, MOMENTO,VOLUMEN, ENERGÍA). § “b” COMO UNA PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A LA PROPIEDAD “B”, ES DECIR 𝑏 = ! " Y ES LA VERSIÓN INTENSIVA DE DICHA PROPIEDAD. 𝐵#$#%&"' = $ 𝑝𝑏𝑑𝑉 § LA PROPIEDAD INTENSIBA ”b” MULTIPLICADA POR LA DENSIDAD " ( , ES LA CANTIDAD DE LA PROPIEDAD EN EL VOLUMEN DE CONTROL.
  • 5. CUANDOt=0 § EL SISTEMA Y EL VOLUMEN DE CONTROL ELEGIDO POR EL ANÁLISIS COINCIDEN, ES DECIR, LA MASA EN EL SISTEMA, COINCIDE CON EL SISTEMA DE CONTROL.
  • 6. ENELTIEMPO 𝑡 = 𝑡! + ∆𝑡 § EL VOLUMEN DE CONTROL PERMANECE ESTAIONARIO, PERO LA MASA EN EL SISTEMA HA CAMBIADO DE POSICIÓN.
  • 7. POSICIÓNDEL SISTEMAY VOLUMENDE CONTROLEN𝑡 = 𝑡! + ∆𝑡 I. SE OBSERVA SISTEMA (MATERIA) QUE ENTRA AL VOLUMEN DE CONTROL PARA LLENAR AL ESPACIO QUE HA DEJADO EL SISTEMA AL DESPLAZARSE. II. PORCIÓN DEL SISTEMA QUE HA DEJADO EL VOLUMEN DE CONTROL.
  • 8. § EN UN PUNTO INICIAL (t=0) 𝐵#$#%&"' 𝑡 = 𝐵)*+.-*.%/*+ 𝑡 § EN 𝑡 = 𝑡 + ∆𝑡 𝐵!"!#$%& 𝑡 + ∆𝑡 = 𝐵/().,(-#.() 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵0 𝑡 + ∆𝑡 + 𝐵00 𝑡 + ∆𝑡 DONDE: 𝐵0 𝑡 + ∆𝑡 →LA MASA QUE ENTRÓ AL VOLUMEN DE CONTROL. 𝐵00 𝑡 + ∆𝑡 →LA MASA QUE SALIÓ DEL VOLUMEN DE CONTROL
  • 9. ENTONCES ∆𝐵 𝑑𝑡 = 𝐵#$#%&"' 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵#$#%&"'(𝑡) 𝑑𝑡 𝐵!"!#$%& 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵!"!#$%&(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐵'().+(,#-() 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵'().+(,#-() 𝑡 − 𝐵. 𝑡 + ∆𝑡 + 𝐵..(𝑡 + ∆𝑡) 𝑑𝑡 § TOMANDO EL LÍMITE CUANDO dt→0, SIGNIFICA QUE EL VOLUMEN ANALIZADO SE REFIERE TANTO AL SITEMA COMO AL VOLUMEN DE CONTROL EN ESE INSTANTE. PARA LO QUE OCUPA UN VOLUMEN lim 1%→3 𝐵#$#%&"' 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵#$#%&"'(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐷𝐵#$#%&"' 𝐷𝑡 𝐷𝐵#$#%&"' 𝐷𝑡 → 𝐷𝐸𝑅𝐼𝑉𝐴𝐷𝐴 𝑀𝐴𝑇𝐸𝑅𝐼𝐴𝐿 lim 1%→3 𝐵)*+.-*.%/*+ 𝑡 + ∆𝑡 − 𝐵)*+.-*.%/*+(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜕𝐵)*+.-*.%/*+ 𝜕𝑡
  • 10. PARALOQUE CRUZAUNA FRONTERA lim 1%→3 −𝐵0(𝑡 + ∆𝑡) 𝑑𝑡 = −𝜌𝐴4𝑣4𝑏4 = 𝐵′&.%/' lim 1%→3 𝐵00(𝑡 + ∆𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴5𝑣5𝑏5 = 𝐵′#'+& RESULTANDO 𝐷𝐵#$#%&"' 𝐷𝑡 = 𝜕𝐵)*+.-*.%/*+ 𝜕𝑡 + 𝐵′#'+& − 𝐵′&.%/' DONDE: 6!*+*,-./ 6% →CAMBIO EN EL SISTEMA COMPLETO 7!012.415,612 7% →CAMBIOS DENTRO DEL VOLUMEN DE CONTROL 𝐵′#'+& 𝑦. 𝐵′&.%/' →LO QUE CRUZA LA FRONTERA (ENTRA O SALE).
  • 11. GENERALIZANDO § EN LA FIGURA SE OBSERVA UN VECTOR UNITARIO @ 𝑛 SALIENDO DE LA SUPERFICIE dA Y PERPENDICULAR A ESTA. § OBSERVAR QUE EL VECTOR NORMAL A LA DIFERENCIAL DE SUPERFICIE dA, ASÍ COMO EL VECTOR. ̅ 𝑣 QUE DEFINE LA DIRECCIÓN Y VELOCIDAD DE LAS PARTÍCULAS MATERIALES QUE CRUZAN LA FRONTERA DEL VOLUMEN DE CONTROL, ESTO A TRAVÉS DE LA SUPERFICIE dA Y SU DIRECCIÓN SEÑALA SI LA PARTÍCULA MATERIAL EN ESTUDIO SALE O ENTRA AL VOLUMEN DE CONTROL.
  • 12. § SABIENDO QUE EL PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES ES UN NÚMERO ESCALAR, Y, QUE ⃗ 𝑣 ∘ 𝑛 > 0 POR QUE ⃗ 𝑣 SE DIRIGE HACIA AFUERA DE LA SUPERFICIE dA, Y, SE TENDRÁ UN NÚMERO ESCALAR NEGATIVO EN EL CASO DE QUE EL VECTOR ⃗ 𝑣 ENTRE AL VOLUMEN DE CONTROL POR LA SUPERFICIE dA, LLEGAREMOS A LA CONCLUSIÓN QUE: § SI ALGO ENTRA A TRAVÉS DE LA FRONTERA AL VOLUMEN DE CONTROL,TENDRA SIGNO NEGATIVO. § SI ALGO SALE DEL VOLUMEN DE CONTROL A TRAVÉS DE LA SUPERFICIE dA,TENDRÁ SIGNO POSITIVO.
  • 13. ELTEOREMADEL TRANSPORTEDE REYNOLDS 𝐷𝐵#$#%&"' 𝐷𝑡 = 𝜕 𝜕𝑡 G )*+.-*.%/*+ . 𝜌 𝑏𝑑𝑉 + H 89:.-*.%/*+ . 𝜌𝑏( ̅ 𝑣 ∘ @ 𝑛)𝑑𝐴 DONDE: 6!*+*,-./ 6% →CAMBIOS EN EL SISTEMA EN MOVIMIENTO. 7 7% ∭ )*+.-*.%/*+ . 𝜌 𝑏𝑑𝑉 →CAMBIOS EN EL VOLUMEN DE CONTROL. ∯ 89:.-*.%/*+ . 𝜌𝑏( ̅ 𝑣 ∘ @ 𝑛)𝑑𝐴 →LO QUE CRUZA LA FRONTERA DEL VOLUMEN DE CONTROL.
  • 14. CONCLUSIONES § 6!*+*,-./ 6% → PERSPECTIVA LAGRANGIANA. § 7 7% ∭ )*+.-*.%/*+ . 𝜌 𝑏𝑑𝑉 → PERSPECTIVA EULERIANA. § EL SISTEMA SE ASOCIA AL “PAQUETE MASA” EN MOVIMIENTO, QUE PASA A TRAVÉS DEL VOLUMEN DE CONTROL. § EL TRANSPORTE DE b (LA PROPIEDAD INTENSIVA ASOCIADA A LA PROPIEDAD EXTENSICA B) § RELACIONA LAS PERSPECTIVAS EULERIANA Y LAGRANGIANA