3. Agnaldo Souza Pereira
Cláudio Barros Vitor
Jefferson Pereira de Oliveira
CálculoII
4.º
Período
Manaus 2007
4. FICHA TÉCNICA
Governador
Eduardo Braga
Vice–Governador
Omar Aziz
Reitora
Marilene Corrêa da Silva Freitas
Vice–Reitor
Carlos Eduardo S. Gonçalves
Pró–Reitor de Planejamento
Osail de Souza Medeiros
Pró–Reitor de Administração
Fares Franc Abinader Rodrigues
Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários
Rogélio Casado Marinho
Pró–Reitora de Ensino de Graduação
Edinea Mascarenhas Dias
Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa
José Luiz de Souza Pio
Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado)
Carlos Alberto Farias Jennings
Coordenador Pedagógico
Luciano Balbino dos Santos
NUPROM
Núcleo de Produção de Material
Coordenador Geral
João Batista Gomes
Editoração Eletrônica
Helcio Ferreira Junior
Revisão Técnico–gramatical
João Batista Gomes
Pereira, Agnaldo Souza.
P436c Cálculo II / Agnaldo Souza Pereira, Cláudio Barros Vitor,
Jefferson Pereira de Oliveira. - Manaus/AM: UEA, 2007. -
(Licenciatura em Matemática. 4. Período)
92 p.: il. ; 29 cm.
Inclui bibliografia.
1. Cálculo - Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II.
Oliveira, Jefferson Pereira de. III. Série. IV. Título.
CDU (1997): 517.2/.3
6. PERFIL DOS AUTORES
Agnaldo Souza Pereira
Bacharel em Física - UFRJ
Mestre em Física - UFRJ
Licenciado em Física - FTESM
Doutor em Física - UFRJ
Cláudio Barros Vitor
Licenciado em Matemática – UFAM
Pós-graduado em Didática e Metodologia do Ensino Superior - UNESC
Jefferson Pereira de Oliveira
Licenciado em Matemática – UCSal
Pós-Graduado em Instrumentação para o Ensino da Matemática - UFF
9. Cálculo II – Funções de várias variáveis
Além das contribuições em ciências exatas,
D’Alembert também participou, com Denis
UM BREVE HISTÓRICO
Diderot, da elaboração de Enciclopédia, uma
das maiores obras do Iluminismo.
Ao contrário do que faria supor sua infância
humilde, D’Alembert freqüentava lugares e fes-
tas elegantes, onde conheceu a escritora Julie
de Lespinasse, por quem se apaixonou.
Quando D’Alembert se tornou famoso por suas
realizações intelectuais, sua mãe biológica
apresentou-se, mas ele, que viveu na casa
paterna até os 48 anos, disse-lhe: “Sou filho do
artesão e de sua mulher. Você é, no máximo,
minha madrasta.”
Jean Le Rond D’Alembert faleceu aos 76 anos
de idade, em 1783, como um célebre cientista
Jean Le Rond D’Alembert nasceu em 16 de e renomado homem de cultura.
novembro de 1717, em Paris. Era filho ilegítimo
da marquesa Claudine Guerin de Tencin,
escritora, e do cavaleiro Louis-Camus
Destouches, oficial do exército francês.
Logo após o nascimento, foi abandonado por
sua mãe nas escadarias da Capela de Saint
Jean Le Rond, de onde foi levado para um
orfanato, à espera de adoção.
O bebê recebeu o nome do santo protetor da
capela, e foi adotado por um humilde artesão e
sua esposa. Seu pai biológico, mesmo não
reconhecendo a paternidade, custeou-lhe a
educação por meio de uma pensão.
Aos 12 anos de idade, D’Alembert ingressou no William Rowan Hamilton nasceu em Dublin,
Colégio Mazarin, onde estudou Filosofia, Artes em 8 de agosto de 1805. Seus pais morreram
e Direito, e formou-se advogado em 1738, aos deixando o pequeno órfão aos cuidados de um
21 anos de idade. Mais tarde, passa a interes- tio, que o educou dentro de uma severa linha
sar-se por Medicina e Matemática, sendo que de comportamento, dando-lhe uma educação
seu primeiro trabalho matemático é publicado abrangente, com forte ênfase em línguas
em 1739, no qual ele apresenta correções de estrangeiras. O pequeno Hamilton, aos 5 anos
erros que encontrou em um dos livros usado de idade, lia e recitava Homero em grego; aos
em sua formação. Aos 24 anos de idade, 8 anos, já falava fluentemente o italiano e o
D’Alembert já era célebre por seu trabalho em francês. Aos 10 anos de idade, aprendeu a lín-
Cálculo Integral, e aos 26 anos, ele publica seu gua árabe. Seu interesse pela matemática
Tratado de Dinâmica, com importantes con- surgiu aos quinze anos de idade, ao conhecer
tribuições à ciência da mecânica. um jovem norte-americano chamado Zertah
Deixou também contribuições para a teoria das Colburn, que possuía fantástica habilidade para
equações diferenciais, em que se destaca o realizar cálculos mentais. Ingressou no Trinity
método de solução de D’Alembert para resolver College, em 1824, tendo sido o primeiro coloca-
equações diferenciais não-homogêneas por do entre 100 candidatos no concurso de admis-
meio de uma equação auxiliar. são. Aos 22 anos, ainda estudante, já era dire-
9
10. UEA – Licenciatura em Matemática
tor de um observatório. Hamilton dedicou-se à
leitura das obras de Newton e de Laplace, e
TEMA 01
criou sua própria formulação da mecânica, con-
hecida hoje como mecânica hamiltoniana, que INTRODUÇÃO
é tremendamente importante em todos os cam-
pos da física moderna, notadamente na física O conceito de função de várias variáveis está
quântica. Sua vida particular não foi das mais intimamente ligado aos fenômenos mais com-
tranqüilas; ele teve sérios problemas com o plexos no campo da matemática aplicada à fí-
alcoolismo. Após terrível luta contra o vício, sica e à engenharia. Se um meteorologista, por
convence-se de que a única solução seria exemplo, tiver de determinar o comportamento
nunca mais ingerir nenhum tipo de bebida futuro da temperatura de uma região, ele preci-
alcoólica. sará de um conjunto de dados atmosféricos,
como pressão do ar, velocidade dos ventos e
Por dois anos, Hamilton manteve-se sóbrio,
umidade do ar.
mas durante uma discussão com o astrônomo
George Airy, que debochou de seu hábito de Podemos ver, claramente, que a temperatura
beber apenas água durante festas e do ar depende de várias outras grandezas, de
forma que, quando esse conjunto de variáveis
solenidades, Hamilton voltou a beber e caiu,
se altera, ela também se altera, ou seja, ela é
afundando-se ainda mais no vício. Apesar da
uma função que depende de várias outras var-
desordem em que estava mergulhada sua vida
iáveis.
privada, Hamilton ainda se mantinha firme na
competição matemática. Contribuiu para o Ainda como exemplo, podemos enxergar o
desenvolvimento do cálculo, sendo de sua preço de um produto com sendo dependente
do preço da matéria-prima, do preço de mão-
autoria o termo gradiente para designar o vetor
de-obra e do custo do transporte, pois se esses
que aponta na direção de maior variação de
elementos variam, o preço final do produto va-
uma função escalar. Hamilton também realizou
riará também.
pesquisas em ótica e soluções numéricas de
equações diferenciais. O homem que amava os Matematicamente, uma função de N variáveis é
representada como sendo uma função
animais e que foi chamado “o novo Newton”
f = f(x1, x2, x3,..., xN). O domínio dessas funções
morreu em 1865, deixando uma obra inacaba-
é o RN, sendo que N pode variar desde N = 1
da, que foi publicada por seu filho no ano
até N = ∞. Vejamos, a seguir, alguns exemplos
seguinte.
de funções de várias variáveis, começando com
o caso mais simples, a função de duas variá-
veis.
Exemplo 1
Volume de um cilindro
Figura 1 – O volume de um
cilindro é função de duas variáveis, r e h.
O volume de um cilindro, de altura h e raio de
base r, é expresso por VCIL = πr2h. Como o
valor do volume muda se mudarmos um dos
valores de r e h, fica clara a dependência do
10
11. Cálculo II – Funções de várias variáveis
volume com as variáveis r e h. Podemos, então, O volume do paralelepípedo de largura x, pro-
classificar VCIL como uma função de duas va- fundidade y e altura z é dado por
riáveis.
V = xyz
Em razão disso, podemos simbolizar o volume
Assim como nos exemplos anteriores, pode-
de um cilindro como:
mos ver que a mudança do conjunto de valo-
VCIL = VCIL(r,h) res (x,y,z) tem como conseqüência a mudança
do valor do volume do paralelepípedo, uma
Exemplo 2
vez que ele é função das dimensões deste sóli-
Área de um retângulo do. Ou seja:
V=V(x,y,z)
Exemplo 4:
Potencial elétrico de uma carga elétrica pun-
tiforme
Figura 2 – A área de um retângulo
Considere uma carga elétrica puntiforme Q,
é função de duas variáveis, a e b.
posicionada na origem de um sistema de três
eixos coordenados. A intensidade do potencial
Outro exemplo de função de duas variáveis
elétrico em qualquer ponto do espaço depen-
que podemos buscar nos domínios da geo-
derá das coordenadas (x, y, z) deste ponto, ou
metria é a área de um retângulo de lados a e b.
seja, de sua posição. A figura 4 abaixo ilustar
sabendo que a área da superfície retangular é
dada por: essa situação.
S = ab,
em que a e b são as varáveis, pois podem
assumir valores arbitrários, determinando um
único valor de S para cada par de valores (a,b).
Podemos escrever s como uma função de duas
variáveis:
S = S(a,b).
Figura 4 – Potencial elétrico gerado em
Continuando nossa seqüência de exemplos,
todos os pontos do espaço por uma carga elétrica Q.
vamos analisar alguns casos de função de três
variáveis. Elas são essenciais em problemas
que descrevem fenômenos tridimensionais,
como o volume de um paralelepípedo, o es-
coamento de um gás ou a distribuição de tem- Vemos que cada valor de U(x,y,z) depende de
peraturas em uma sala. um conjunto de três coordenadas (x,y,z), que
localizam o ponto P no espaço.
Exemplo 3
Para resumir as idéias expostas, vamos con-
Volume de um paralelepípedo
ceituar as funções de duas e três variáveis.
Função de duas variáveis
Uma função de duas variáveis é uma regra que
associa a cada par ordenado (x,y) de um con-
junto D um único valor real designado por
z = f (x,y). O conjunto D é o domínio da
Figura 3 – O volume de um função, e o conjunto imagem é o conjunto dos
paralelepípedo é função de três variáveis, x,y e z. valores possíveis de f.
11
12. UEA – Licenciatura em Matemática
Função de três variáveis b) No ponto B(2,7): T(2,7) = 0,01 (22 + 72)2 =
Uma função de três variáveis é uma regra que 0,01 (4+49)2 =28,09 oC ∴ T(21,3) = 28,09
oC.
associa a cada tripla ordenada (x,y,z) de um
conjunto D um único valor real designado por c) No ponto C(4,1): T(4,1) = 0,01 (42 + 12)2 =
z = f (x,y,z). O conjunto D é o domínio da fun- 0,01 (16+1)2 =2,89 oC ∴ T(4,1) = 2,89 oC.
ção, e o conjunto imagem é o conjunto dos va- d) No ponto D( , ): T( , )= 0,01(( )2+
lores possíveis de f.
( )2)2 = 0,01(3+2)2 = 0,25 oC ∴ T( , )=
Essas definições são facilmente extensíveis ao 0,25oC.
caso de várias variáveis:
Função de várias variáveis
Uma função de várias variáveis é uma regra
que associa a cada N–upla ordenada
(x1,x2,...,xN), de um conjunto D, um único valor 1. A superfície de um lago é representada por
real designado por de f = f (x1,x2,...,xN). O con- uma região D em um plano –xy, de modo que
junto D é o domínio da função, e o conjunto a profundidade sob o ponto correspondente a
imagem é o conjunto dos valores possíveis de (x,y) é dada por f(x,y) = 300 –2x2 – 3y2, em que
f. x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se uma
bóia está na água no ponto (4,9), determine a
Exemplo 5 distância entre ela e o fundo do lago.
O potencial elétrico U no ponto
2. Um objeto está em um sistema coordenado re-
P(x,y,z) é dado por , ache o valor tangular tal que a temperatura T no ponto
P(x,y,z) seja dada por
do potencial elétrico no ponto P(1,5,4).
T(x,y,z) = 0,04x2 – 0,01y2 + 0,16 z2, em que T é
Solução: expressa em oC, e x,y, e z em metros. Determi-
Para achar o valor da função U(x,y,z) em ne a diferença de temperatura entre os pontos
P(1,5,4), basta substituir os valores das coor- A(1, 2,5 ,3) e B(5,6,2). R : –7,34 oC .
denadas do ponto P na equação da função, e
,
achar U(1,5,4).
Exemplo 6
Uma chapa de metal plana está em um
plano–xy, de modo que a temperatura T em
(x,y) seja dada T em (x,y) seja dada por T =
0,01(x2 + y2)2 em que T é expresso em oC , e x
e y em centímetros. Ache o valor da temperatu-
ra no pontos A(0,1; ,3), B(2,7) ,C(4,1) e D(
, ).
Solução:
Como no problema anterior, basta substituir os
valores das coordenadas de cada ponto na
equação da função T(x,y), e achar os valores
correspondentes.
a) No ponto A(1,3): T(1,3) = 0,01 (12 + 32)2 =
0,01 (1+ 9)2 =1 oC ∴ T(1,3) = 1 oC.
12
13. Cálculo II – Funções de várias variáveis
TEMA 02
DOMÍNIO E IMAGEM
Mais sobre domínio e imagem das funções
de várias variáveis
Sabemos que o domínio de uma função é o Figura 6 – Domínio e imagem
conjunto numérico no qual a função toma va- de uma função de duas variáveis.
lores para a variável independente, e que a
Podemos ver, no diagrama, a função fazendo a
imagem de uma função é o conjunto numérico
correspondência entre elementos do domínio
dos valores assumidos pela função. No caso da
e elementos pertencentes ao conjunto ima-
função de uma variável, temos a variável inde-
gem. É importante notar que os elementos do
pendente x, cujos valores permitidos perten-
domínio são pares ordenados de valores; isso
cem a um dado conjunto numérico (domínio),
faz que funções de duas variáveis sejam apli-
e a variável dependente y(x), que expressa os
cadas a problemas envolvendo grandezas que
valores numéricos assumidos pela função, va-
variam sobre superfícies. Ainda podemos ob-
lores esses, que pertencem a um segundo con-
servar que o conjunto de todos os pontos do
junto numérico (imagem).
domínio, que é um conjunto de vários pares
O diagrama abaixo representa o conceito de fun- ordenados, é uma figura plana, contida no
ção por um diagrama como uma correspondên- plano xy (o domínio é uma subdivisão do plano
cia entre dois conjuntos numéricos. xy). O conjunto imagem, por sua vez, também
é uma superfície formada de todos os pontos
de coordenadas (x,y,z) relacionados pela fun-
ção, como pode ser visto na figura 7, abaixo.
Figura 5 – Diagrama representando
o conceito de função: é
uma correspondência entre conjuntos numéricos.
Ao analisarmos o diagrama, vemos que a re-
lação representada entre o conjunto A e o con-
junto B associa a cada elemento de A um ele-
mento de B. A correspondência entre os ele-
Figura 7 – Domínio e gráfico de
mentos associados é representada pelas setas
uma função de duas variáveis.
que partem do conjunto A (que é o domínio da
função) e chegam ao conjunto B (imagem da
função). Vamos, agora, ampliar esses concei- Exemplo 7
tos para as funções de duas variáveis. 1. Determine o domínio da função
O domínio de uma função de duas variáveis é
um conjunto formado por todos os pares de .
valores (x,y) em que a função toma valores. Ve- Para achar o domínio, devemos achar o con-
jamos o diagrama seguinte, semelhante ao junto de pares (x,y) para os quais é possível
que foi feito para a função de uma única va- realizar a operação indicada. No presente ca-
riável: so, a operação é . Essa operação é
13
14. UEA – Licenciatura em Matemática
uma radiciação, e só tem sentido no conjunto
dos números reais se 16 – x2 – y2 ≥ 0. Assim,
todos os pares de valores (x,y), que obedecem
à desigualdade acima, pertencem ao domínio
daquela função:
16 – x2 – y2 ≥ 0 ∴ –x2 – y2 ≥ – 16,
portanto, x2 + y2 ≤ 16 .
Figura 9 – Domínio da função
Essa é uma equação que representa os pontos
de um círculo de raio 4, centrado na origem. z(x,y) = ln(1 – x2 – y2)
Exemplo 9
3. Determine o domínio da função
Nesse caso, encontramos duas condições a
serem atendidas:
1.a O denominador deve ser sempre diferente
de zero.
2.a O radicando x + y + 1 deve ser sempre
Figura 8 – Domínio da função maior que zero.
Para atender à 1.a condição, impomos a
restrição x – 1 = 0 x = 1.
Em seguida, para atender à 2.a condição,
impomos a restrição x + y + 1> 0.
Exemplo 8 y > –1–x, y>–x–1. Dessa forma, podemos
2. Determine o domínio da função concluir que os pontos para a função
z(x,y) = ln(1 – x2 – y2). está definida são aque-
Seguindo a mesma linha de raciocínio seguida
les que possuem abscissa diferente de zero
no item anterior, o domínio da função é o con- e estão acima da reta y = –x – 1.
junto dos pares (x,y) que possibilitam o cálcu-
Os pontos pertencentes a essa região es-
lo de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) no conjunto dos tão representados no gráfico da figura 10.
reais. As linhas tracejadas são aquelas que não
Como sabemos que só existem logaritmos para possuem pontos do domínio: a reta vertical
x =1 e a reta inclinada y = –x –1.
números maiores que zero, podemos dizer
que o domínio de z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é for-
mado por todos os pares (x,y) que obedecem
a
1–x2–y2 > 0 .
Assim, 1–x2–y2 > 0 x2 + y2 < 1.
O domínio da função z(x,y) = ln(1 – x2 – y2) é o
conjunto de todos os pares de valores (x,y)
contidos no interior de um círculo de raio 1
centrado na origem, excluindo-se os pontos da
Figura 10 – Domínio da função
circunferência (pois na circunferência temos
x2 + y2 =1 ). A representação geométrica está
na figura 9, a seguir.
14
15. Cálculo II – Funções de várias variáveis
TEMA 03
1. Determine e faça o esboço do domínio das
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS
funções abaixo:
VARIÁVEIS
a) z(x,y) = ln(9 – x2 – 9y2)
b) Assim como no caso das funções de uma va-
c) z(x,y) = 4x + y
2
riável, em que um gráfico no plano –xy apre-
d) senta, visualmente, a relação entre os valores
do par ordenado, também no caso das fun-
e)
ções de duas variáveis podemos expressar
f) graficamente a relação entre o par ordenado
(x,y) e a função f(x,y): o gráfico de uma função
g) z(x,y) = xln(y2 – x) de duas variáveis será uma superfície em R3.
h) Noutras palavras, podemos dizer que assim
como o gráfico de uma função de uma única
i) z(x,y) = x2 ln(x – y + z)
variável é uma curva de equação f(x), o gráfico
j)
de uma função de duas variáveis será uma
l) superfície S com equação z(x,y). Podemos ver
a superfície S acima ou abaixo do domínio D
m) da função. É importante notar que a superfície
que representa o domínio da função, pode ser
vista como uma projeção do gráfico de z(x,y)
sobre o plano –xy. Os gráficos fornecem-nos
um meio rápido e eficiente para estudar o com-
portamento de uma função e avaliar suas ca-
racterísticas. Vamos, agora, ver alguns exem-
plos de gráficos de funções de duas variáveis,
(i) z(x,y) = 100e–(x2 + y2)
15
17. Cálculo II – Funções de várias variáveis
ser descritos sobre o plano do papel por meio
de um conjunto de curvas, em que cada curva
corresponde a um corte do morro ou da mon-
tanha a uma dada altura, que fica registrada
sobre a curva de nível correspondente. Na car-
tografia, então, os pontos de uma curva de
nível é a curva formada por todos os pontos
que estão a uma mesma altura, ou seja: h =
constante.
Dessa forma, podemos encarar as curvas de
(ix)
nível como tendo sido obtidas cortando-se o
morro ou a montanha em fatias paralelas a um
plano horizontal. Veja a figura abaixo:
(x)
O aspecto visual desses gráficos não esconde
o fato de que é bem difícil traçá-los manual-
mente. Esses exemplos foram traçados com o
auxílio de um programa de computador. Com
os programas computacionais, podemos en-
xergar o comportamento do gráfico em qual-
quer região do domínio da função, mas nesses
exemplos é preferível ver o comportamento em De forma geral, é importante notar que, onde
pontos próximos à origem, pois em várias apli- as curvas de nível estiverem mais próximas
cações torna-se importante saber o compor- umas das outras, a superfície será mais incli-
tamento da função para valores pequenos das nada, e onde as curvas forem mais espaçadas,
variáveis. a superfície será mais plana.
Apesar do exposto acima sobre a dificuldade Saindo um pouco da cartografia, podemos di-
de traçado desses gráficos sem o auxílio com- zer que, de forma mais geral, uma curva de
putacional, já era possível traçá-los manu- nível é obtida pela junção dos pontos corres-
almente com o auxílio das curvas de nível, for- pondentes a um valor constante de uma dada
madas pelas interseções do gráfico de uma grandeza. As curvas de nível de uma função
função de duas variáveis com um plano hori- f de duas variáveis são as curvas com
zontal. As curvas de nível são um recurso que equação f(x,y) = k, onde k é uma constante.
foi tomado emprestado da cartografia; por As figuras seguintes comparam os gráficos e
meio delas, um morro ou uma montanha pode as curvas de nível de algumas funções.
17
18. UEA – Licenciatura em Matemática
Figura 15 – Gráfico e curvas de nível da função
Figura 13 – Gráfico e curvas de nível da função
z(x,y) = x2 – 3y2
Figura 14 – Gráfico e curvas de nível da função
Figura 16 – Gráfico e curvas de nível da função
z(x,y) = 100e–(x2 + y2)
18
19. Cálculo II – Funções de várias variáveis
TEMA 04
1. Estabeleça a correspondência correta entre as LIMITES E CONTINUIDADE PARA
equações e as curvas de nível de cada função FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
dada por z = f(x,y).
a) f(x,y) = x2 – y2 Assim como nas funções de uma única variáv-
el, os conceitos de limite e continuidade de
b) uma função de várias variáveis estão inti-
mamente ligados. Na teoria das funções de
c) f(x,y) = (x – 2)2 + (y + 3)2 uma única variável, dizemos que a função é
d) f(x,y) = x2 + y2 contínua num dado valor xo se no limite em que
x = xo, f(x) = f(xo), seja por valores de x maiores
que xo, ou por valores de x menores que xo. Se
a função tender para valores diferentes con-
1. forme x se aproxime de xo pela direita ou pela
esquerda, a função é dita descontínua. Veja-
mos os gráficos abaixo:
2.
3.
Figura 17 – Continuidade de
uma função de uma variável.
4.
A definição de continuidade da função de uma
2. Uma chapa plana de metal está situada em um variável diz que, se o limite de f(x), quando x
plano–xy de modo que a temperatura T (em 0C) tende a xo por valores maiores que xo, coincide
no ponto (x,y) é inversamente proporcional à com o limite de f(x) quando x tende a xo por val-
distância da origem. ores maiores que xo, então f(x) é dita contínua
a) Descreva as isotérmicas. em x = xo. Resumindo, uma função é con-
siderada contínua quando os limites laterais
b) Se a temperatura no ponto P(4,3) é de 400C,
são iguais, o que significa que a imagem f(x)
ache a equação da isotérmica para uma
de todo x nas vizinhanças de x = xo tende ao
temperatura de 200C.
limite f(xo) quando x tende a xo. Dizer que os
limites laterais são iguais também significa que
3. Deve-se construir uma usina de incineração de
o limite da função está bem definido em x = xo,
lixo para atender a duas cidades.
ou seja, o limite existe em x = xo.
Cada cidade gostaria de maximizar sua distân-
Por outro lado, a definição de função descontí-
cia à usina, mas, por motivos econômicos, a nua diz que a função possui uma descontinui-
soma da distância de cada cidade à usina não dade em x = xo, se os limites laterais não são
pode exceder M quilômetros. Mostre que as coincidentes.
curvas de nível para localização da usina são
Dizer que os limites laterais não são coinci-
elipses.
dentes significa que se x tende a xo por valores
maiores que xo, a função tende ao valor Lo, e
quando x tende a xo por valores menores que
19
20. UEA – Licenciatura em Matemática
xo, a função tende ao valor L1> Lo. Se os limites Podemos ver que, se um ponto (P1, ou P2) per-
laterais são diferentes, não se pode afirmar que tencente ao domínio da função e contido em
a imagem f(x) de todo x, nas vizinhanças de xo, uma vizinhança circular centrada em Po aprox-
tende a f(xo) quando x tende a xo. Nessa situ- imar-se de Po ao longo de qualquer caminho
ação, dizemos que o limite não está definido contido no círculo, também sua imagem, per-
em x = xo, ou seja, não existe o limite da correrá pontos da superfície-imagem até
função em alcançar o ponto B, imagem de Po.
x = xo. Veja a figura 18 abaixo: Noutras palavras, se um ponto P nas vizinhan-
,
ças de Po, dirigir-se a Po de forma que sua
imagem f(P) dirija-se para f(Po), por um cami-
nho totalmente contido sobre a superfície do
gráfico da função, qualquer que seja o cami-
nho seguido para atingir Po, dizemos que f(Po)
é o limite da função quando P tende a Po.
Isso equivale a dizer que existe o limite da fun-
ção em P = Po, pois para qualquer caminho
que se use para chegar até Po, alcançaremos o
mesmo valor final para f(P).
Figura 18 – Descontinuidade de
uma função de uma variável. (f(P) = f(Po)). Simbolicamente:
A figura 18 acima ilustra os conceitos formu-
lados sobre a descontinuidade de uma função Ou ainda, usando as coordenadas de P=P(x,y)
de uma única variável.
e Po=Po(xo,yo):
Podemos ver, claramente, no gráfico, a diferen-
ça de comportamento dos limites da função
quando x tende a xo pela direita (por valores
Assim como no caso da função de uma única
maiores que xo) e pela esquerda (por valores
variável, a existência do limite garante a con-
menores que xo).
tinuidade de f(x,y) na região considerada. Por
A extensão dessas idéias para o campo das outro lado, se o valor do limite de f(x,y) em P=
funções de duas variáveis é imediata. Conside- Po depender do caminho seguido para se atin-
remos a figura 19 abaixo: gir o ponto Po, o limite da função não estará
definido em Po e, da mesma forma que para
uma única variável, diremos que a f(x,y) é des-
contínua no ponto P = Po. Ou seja: se achar-
mos pelo menos dois caminhos diferentes, ao
longo dos quais f(P) atinge limites diferentes,
quando P se aproxima do mesmo ponto Po,
então o limite não está definido em P = Po.
Dizemos, então, que não existe o limite de f(P)
em P = Po, e que Po é um ponto de descon-
tinuidade da função. A noção de continuidade
é essencial para o cálculo de funções de várias
variáveis, pois, assim como no universo das
funções de uma única variável, permite definir
a existência das derivadas no contexto das
funções de várias variáveis. A figura 20, a se-
Figura 19 – Continuidade de guir, ilustra a idéia de descontinuidade de fun-
uma função de duas variáveis. ção de duas variáveis.
20
21. Cálculo II – Funções de várias variáveis
TEMA 05
DERIVADAS PARCIAIS
As definições dadas até aqui não são exclusi-
vas das funções de duas variáveis, são co-
muns a todas as funções de várias variáveis. O
fato de usarmos as funções de duas variáveis
deve-se à facilidade de visualização que elas
apresentam, pois podemos ver seus gráficos
como superfícies em um espaço tridimen-
sional. Avalie a dificuldade de se visualizar uma
função de 20 variáveis, por exemplo!
Figura 20 - Descontinuidade da
função de duas variáveis. Um caso simples de função de mais de duas
variáveis é o custo de um produto que envolva
mais de dois ingredientes em sua fabricação,
cada um com seu preço, o que se refletirá no
preço de custo do produto.
Por exemplo: o custo final kf de um bolo de
1. Ache o limite
chocolate, que envolve, em sua fabricação, pó
a) de chocolate, ovos, farinha de trigo, açúcar,
leite e fermento, dependerá dos preços desses
ingredientes e pode ser escrito na forma fun-
b) cional
kf = Ax1 + Bx2 + Cx3 + Dx4+ Ex5+ Fx6
c) em que A,B,C,D,E e F são constantes que re-
presentam as quantidades utilizadas de cada
d) ingrediente, e x1, x2, x3, x4, x5, e x6 representam
os preços de cada ingrediente.
e) Assim, fica claro que o custo final é uma função
de seis variáveis,
kf = kf(x1, x2, x3, x4, x5, x6).
2. Mostre que o limite não existe.
Não podemos desenhar um gráfico dessa fun-
a) ção, cujo domínio é hexadimensional, para po-
dermos enxergar, de uma única vez, o compor-
b) tamento dessa função. Analisemos o compor-
tamento da função custo total quando o preço
de apenas um ingrediente, digamos, o açúcar,
c)
varia, enquanto os demais preços permane-
cem constantes.
d)
É razoável supor que o custo total variará com
a mesma rapidez com que varia o preço do açú-
e) car. Se, agora, o único preço variável for o do
fermento, enquanto todos os demais preços
estiverem estacionados, novamente podemos
21
22. UEA – Licenciatura em Matemática
dizem que o custo total variará com a mesma No exemplo anterior, a variação no custo de
taxa de variação do fermento, pois ele estará nosso bolo de chocolate, devido à variação no
sendo o único responsável pela variação do preço do açúcar, é dada por
custo final do bolo.
;
Se em outra situação, os preços do açúcar e
do fermento estiverem variando, e os preços e a variação no custo do bolo, devido às vari-
dos demais ingredientes estiverem fixos, a taxa ações combinadas dos preços do açúcar e do
de variação do custo total será a soma da taxa fermento, é dada por
de variação do preço do açúcar com a taxa de
variação do preço do fermento, ingredientes .
responsáveis pela variação do custo final do
produto. A taxa de variação de uma função de
N variáveis, em relação a uma de suas varáveis Interpretação Geométrica das Derivadas
xj em particular, é chamada derivada parcial da Parciais
função em relação a xj, e é definida pela razão Quando precisamos subir uma elevação, co-
incremental: mo um pequeno morro, sempre procuramos
subir pelo lado menos íngreme, para poupar
esforço. O formato geométrico da elevação é
tal que o dispêndio de energia depende da
O símbolo chama-se “D-rond” (pronuncia–se
encosta que escolhermos para subir.
derron), que significa D-redondo, em francês.
Na encosta mais íngreme, a inclinação é maior,
No caso do bolo do exemplo anterior, a deriva-
fazendo que cada metro percorrido na hori-
da parcial do custo final (kf) da iguaria em re-
zontal resulte numa grande elevação vertical,
lação ao preço do açúcar (x4) e do fermento
tornando a subida é mais abrupta. A figura 21
(x6) são definidas, respectivamente, como:
mostra um gráfico da função
,
Notemos que a definição de derivada parcial é representando um morro. Podemos observar
similar à definição da derivada da função de que, se subirmos o morro ao longo do eixo y,
uma única variável, envolvendo o limite da fun- faremos um esforço maior, pois ao longo desse
ção em um dado ponto. Para que a derivada da caminho, a elevação é mais pronunciada, mais
função de N variáveis possa existir no ponto íngreme, mas se subirmos ao longo do eixo x,
considerado, é necessário que exista o limite da o esforço será menor.
função naquele ponto, ou seja, é preciso que a Com esse exemplo, vemos que a taxa de va-
função seja contínua no ponto. O incremento riação de uma função de duas variáveis pode
diferencial (df) no valor da função de N variá- depender do caminho. Nesse caso, a taxa de
veis, devido ao incremento no valor de apenas variação da altura em relação à distância ho-
uma de suas variáveis, é dado por rizontal depende do caminho escolhido.
.
De forma mais geral, o incremento diferencial (df)
no valor da função de N variáveis, devido a incre-
mentos em todas as suas variáveis, é dado por
22
23. Cálculo II – Funções de várias variáveis
1. Para determinar , devemos olhar para
f(x,y) como se y fosse uma constante, e
derivar f(x,y) em relação a x.
2. Para determinar , devemos olhar para
f(x,y) como se x fosse uma constante, e
derivar f(x,y) em relação a y.
3. No caso de N variáveis, para determinar
, devemos olhar para f(x1, x2, ..., xj,..., xN)
Figura 21 – Crescimento diferenciado da função.
em cada direção. A distância como se todas as variáveis diferentes de xj,
fossem constantes, e derivar f(x1, x2, ..., xj,..., xN)
entre as curvas de nível mostra que o crescimento
em relação a xj.
desta função é mais veloz ao longo do eixo y,
do que ao longo do eixo x.
Exemplo 10
A análise das curvas de nível do morro também 1. Ache as derivadas parciais de
mostra que as curvas atravessadas pelo eixo–y
f(x,y) = 1–3x4–2 sen(xy).
estão mais próximas umas das outras do que
as atravessadas pelo eixo–x, ou seja, a ele- Solução:
vação é mais íngreme ao longo do eixo–y do Em relação a x, encaramos y como uma
que ao longo do eixo–x.
Vemos, novamente, que a taxa de variação da constante: .
altura em relação a x depende da direção que
se segue até o alto do morro. De fato, se se- Em relação a y, encaramos x como uma
guirmos um terceiro caminho, oblíquo, indica-
do pela seta pontilhada, a inclinação terá outro
comportamento, diferente daqueles sobre x e y. constante .
Resumindo o que acabamos de discutir, se
chamarmos a altura de cada ponto de z(x,y) a
inclinação da função z(x,y) em cada ponto de- Exemplo 11
penderá da direção de deslocamento sobre o Ache as derivadas parciais .
plano–xy. Particularmente, ao longo do eixo–x,
a tangente do ângulo de inclinação será dada Solução:
por
Em relação a x, encaramos y como uma cons-
e para um percurso ao longo do tante :
eixo–y, será dada por
Em relação a y, encaramos x como uma cons-
tante:
Como se Calculam as Derivadas Parciais de
uma Função?
Até aqui, estivemos preocupados com a cons- 3) Ache as derivadas parciais de
trução conceitual das derivadas parciais; pas-
semos, agora, a ver como se determina a
derivada parcial de uma função em relação a
uma de suas variáveis. A regra é simples: Solução:
23
24. UEA – Licenciatura em Matemática
Em relação a cada variável, encaramos todas Regra da Cadeia
as demais como constantes, e efetuamos a Freqüentemente, nos problemas aplicados às
derivação em relação à variável considerada: ciências naturais, surge a dependência das va-
riáveis, e da própria função, em relação ao
tempo. Assim, em vez de acompanharmos ape-
nas a variação de f(x1, x2, ..., xj,..., xN), podemos
também acompanhar sua variação em relação
ao tempo, ainda que esta dependência não
esteja explícita na fórmula da função.
Se o tempo não aparecer explicitamente na ex-
pressão matemática da função, mas souber-
mos como uma (ou mais) das variáveis se com-
porta em relação a ele, podemos determinar a
variação temporal da função como um todo
por meio da regra da cadeia:
1. Ache as Derivadas Parciais Primeiras de f.
a) f(x,y) = 2x4y3 – xy2 + 3y + 1
Exemplo:
b) f(x,y) = (x3 – y2)5
Um circuito elétrico simples consiste em um
c) resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo
d) instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5
V/min, enquanto r é de 40 Ohms e decresce à
e) f(x,y) = xey + ysen(x) razão de 2 ohms/min. Use a lei de ohm,
f) f(x,y) = ey + ln(xy)
, e a regra da cadeia para achar a taxa à
g)
qual a corrente I (em ampères) varia.
2
h) f(x,y,z) = 3x z + xy 2
SOLUÇÃO:
i) f(x,y,z) = x2y3 z4 + 2x – 5yz
j) f(r,s,t) = r2e2s cos(t)
l) f(x,y,z) = xet – yex + ze–y Substituindo valores:
m) V=80, , R= 40, e , obtemos:
2. A lei dos gases ideais pode ser enunciada
como PV = nKT, em que n é o número de mo-
léculas do gás, V é o volume, T é a tem-
peratura, P é a pressão e k é uma constante.
Mostre que:
3. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda
a) ψ(x,t) =sen(akt)sen(kx)
24
25. Cálculo II – Funções de várias variáveis
TEMA 06
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 1. Verifique que
a) f(x,y) = xy4 – 2x2y3 + 4x2 – 3y
Analogamente ao que ocorre no caso de uma
única variável, também para várias variáveis é b)
possível determinar derivadas de ordem supe-
rior à primeira. c) f(x,y) = x3e–2y + y–2 cos(x)
O cálculo é realizado da mesma forma como é d)
realizado na derivada ordinária: encarando to-
das as variáveis como constantes, menos a va-
e)
riável em relação à qual se está derivando. O
símbolo para a derivada parcial de ordem m é
2. Uma função de x e y é dita harmônica se
em todo o domínio de f. Prove
Assim: que a função dada é harmônica.
é a derivada parcial de segunda ordem a)
b) f(x,y) = e–xcos(y) + e–ycos(x)
de f em relação a x;
2
é a derivada parcial de terceira ordem 3. Se w(x,y) = e–c t sen(cx), mostre que
de f em relação a y; para todo número real c.
4. Mostre que ψ(x,t) satisfaz a equação da onda
é a derivada parcial de quarta ordem de
f em relação a w;
a) ψ(x,t) = sen(akt)sen(kx)
e da mesma forma para outras ordens.
b) ψ(x,t) = (x – at)4 + cos( x + at)
É necessário salientar que, nas aplicações da
matemática às ciências naturais, as derivadas 5. Quando um poluente, como o óxido nítrico, é
mais importantes são as de segunda ordem, emitido por uma chaminé de h metros de
que dão origem à maior parte das equações altura, a concentração C(x,y) em do po-
diferenciais da física, da química, e da enge-
luente em um ponto a x quilômetros da cha-
nharia.
miné e à altura de y metros pode ser represen-
Existe também o caso em que a função é deri- tada por
vada sucessivamente em relação a variáveis di-
ferentes, a chamada derivada cruzada:
Como as variáveis são inde-
em que a e b são constantes positivas que
pendentes entre si, podemos ver que: dependem das condições atmosféricas e da
taxa de emissão de poluente. Suponha que
.
25
26. UEA – Licenciatura em Matemática
Calcule e interprete e no ponto (2,5).
5. Mostre que qualquer função dada por
satisfaz a
equação de Laplace em três dimensões
.
6. A capacidade vital V dos pulmões é o maior
volume de ar que pode ser exalado após uma
inalação de ar. Para um indivíduo do sexo mas-
culino de x anos de idade e y centímetros de
altura, V pode ser aproximado pela fórmula
V = 27,63y – 0,112xy. Calcule e interprete
a)
b)
7. A análise de certos circuitos elétricos envolve a
fórmula , onde I é a corrente, V é
a voltagem, R a resistência, L a indutância e
uma constante positiva. Calcule e interprete
e .
26
29. Cálculo II – Derivada direcional
Já para o movimento exclusivo sobre o eixo y,
podemos escrever um vetor deslocamento
TEMA 01
→
dy = dy^
y
Para o caso em que o movimento é oblíquo e
VETOR GRADIENTE E DERIVADAS recebe contribuições tanto do deslocamento
DIRECIONAIS ao longo de x quanto de y, podemos escrever
um vetor deslocamento
→
Retomemos o exemplo da inclinação do morro dr = dxx + dy^
^ y
Podemos resumir os três casos em uma só
dado pela equação notação se enxergarmos dz como resultado de
um produto escalar entre os deslocamentos e
na figura 22 abaixo. um novo vetor, de forma que
para deslocamentos sobre o eixo x.
para deslocamentos sobre o eixo y.
Figura 22 – Crescimento diferenciado para deslocamentos oblíquos.
da função em cada direção. →
O vetor ∇ z definido pelas igualdades acima é
escrito como
Vemos, nas curvas de nível, que é mais fácil
subir ao longo do eixo x que ao longo eixo y.
Podemos dizer que quando subimos ao longo
do eixo-x, o acréscimo dz na altura para cada
e chama-se gradiente da função z(x,y). A pro-
dx percorrido é jeção do gradiente em uma direção cujo uni-
tário^ faz um ângulo com a direção do gradi-
u
ente, fornece-nos a derivada da função na
direção de^ a chamada derivada direcional,
u,
e se subirmos ao longo do eixo y, teremos Du, como mostra a figura 23 a seguir :
acréscimos na subida dados por:
Para uma direção oblíqua, em que não estare-
mos ao longo de nenhum dos eixos, teremos
contribuições das duas variáveis:
→ → →
Duf = ∇ f .^ =|∇ f||^
u u|cos(θ) = |∇ f| cos(θ)
→
Podemos notar da igualdade Duf = |∇ f|cos(θ)
Note que para o movimento exclusivo sobre o
que o maior valor da derivada direcional ocorre
eixo x, podemos escrever um vetor desloca- quando θ = 0, ou seja, a maior derivada dire-
mento cional é o próprio gradiente, o que nos revela
→ ^
dx = dxx uma importantíssima propriedade do gradiente:
29
30. UEA – Licenciatura em Matemática
O gradiente aponta na direção de maior vari- a) Ache a taxa de variação de T em P na dire-
ação da função. ção de ^+ ^
x y.
Embora tenhamos apresentado o gradiente b) Em que direção T aumente mais rapida-
em um exemplo bidimensional, ele é tridimen- mente em P?
sional em sua forma mais geral: c) Em que direção a taxa de variação é zero?
3. O potencial elétrico V em (x,y,z) é dado por
V= x2 + 4y2 +9z2
Devemos também assinalar que o gradiente
está definido para uma função f escalar; não a) Ache a taxa de variação de V em P(2-1,3) na
existe gradiente de vetor, embora em várias direção de P para a origem.
aplicações seja importante saber o gradiente b) Ache a direção que produz a taxa máxima
do módulo de um vetor. de variação de V em P.
Duas das aplicações mais importantes do gra- c) Qual a taxa máxima de variação em P?
diente na física estão na mecânica e no eletro-
magnetismo. Na mecânica, podemos definir a 4. A temperatura T(x,y,z) é dada por
→
força conservativa, F como simétrica ao gra- T = 4x2 – y2 +16z2.
diente da energia potencial mecânica W:
→
a) Ache a taxa de variação de Tem P(4,-2,1) na
→
F = –∇ W direção de 2^+ 6^ – 3z..
x y ^
No eletromagnetismo, de forma similar, define- b) Em que direção T aumenta mais rapida-
→
se o campo elétrico E gerado por um potencial mente em P?
elétrico φ:
→ →
c) Qual é esta taxa máxima de variação?
E = –∇ φ
d) Em que direção T decresce mais rapidamen-
te em P?
e) Qual é esta taxa de variação?
1. Ache a derivada direcional de f em P na dire-
ção indicada
a) f(x,y) = x2 – 5xy + 3y2;
b) f(x,y) = x2ln(y);
P(5,1), ^ = –^+ 4^
u x y
c) f(x,y,z) = z2exy;
P(–1,2,3), ^ = 3^ +^– 5^
u x y z
d)
;
2. Uma chapa de metal está situada no plano xy,
de modo que a temperatura T em (x,y) seja in-
versamente proporcional à distância da ori-
gem, e a temperatura em P(3,4) é 100oF.
30
31. Cálculo II – Derivada direcional
O gráfico de g(x,y) = k é uma curva c no plano-
xy. A curva C pode ser escrita em termo de
TEMA 02
componentes x =h(t) e y = m(t), em que t é um
parâmetro, como o tempo em problemas de
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
mecânica, mas que, em geral, pode ser um
ângulo ou outra grandeza conveniente.
Muitas vezes, em problemas de aplicações, →
devemos achar os extremos de uma função de Seja r (t) = x x + y^ = h(t)^ + m(t)^ o vetor
^ y x y
várias variáveis sujeita a um vínculo. Tomemos, posição do ponto P(x,y) vem C (veja a figura
como exemplo, o problema de acharmos o 24, acima), e suponhamos que o ponto Po(xo,yo),
maior volume de uma caixa retangular sem em que f(x,y) tem um extremo, corresponda a
→
tampa, de lados x, y e z, cuja superfície total t = to, isto é, r (to) = xo^ + yo^ = h(to)^ +
x y x
^ Definindo F de uma variável t por
m(to) y.
seja de 12m2. Podemos ver que a função a ser
maximizada é o volume F(t) =f(h(t),m(t)),
V = xyz, e o vínculo (restrição) é que a área vemos que, quando t varia, obtemos valores
total seja de 12m2, ou seja, 2xz+2yz+xy =12. f(x,y) correspondem a (x,y) em C, isto é, f está
sujeita ao vínculo g(x,y) = k; dessa forma, esta-
Do que já vimos até aqui, podemos dizer que a
mos considerando apenas os valores de f(x,y)
expressão 2xz+2yz+xy =12 representa uma
que estão sobre pontos da curva C. Como
curva de nível para a função superfície da cai-
f(xo,yo) é um extremo de f, segue-se que F(to) =
xa, pois representa todos os pontos de coor-
f(h(to),m(to)) é um extremo deF(t). Assim, F’(to)
denadas (x,y,z) para os quais o valor da função
= 0. Se encaramos F como uma função com-
é constante e igual a 12.
posta, então, pela regra da cadeia,
O método dos multiplicadores de Lagrange
fornece-nos uma ferramenta eficiente para
resolver problemas dessa natureza, com base
no conceito de curva de nível (g(x,y) = k) e de Fazendo t = to, temos:
gradiente de uma função. Comecemos com as
funções de duas variáveis: em termos gerais, o
vínculo aplicado à função, cujos extremos
procuramos, restringe os valores das coor- →
denadas (x,y) àqueles pertencentes à curva de Isso mostra que o vetor ∇ f(xo,yo) é perpen-
→
nível correspondente ao vínculo, ou seja, só dicular ao vetor r’(to) tangente a C.
→
nos interessaremos pelos valores da função Entretanto ∇ g(xo,yo) também é perpendicular a
→
que corresponderem a pontos que estiverem r’(to) porque C é uma curva de nível para g.
→ →
sobre a curva de nível que traduz o vínculo. Como ∇ f(xo,yo) e ∇ g(xo,yo) são perpendicula-
Vejamos a figura res ao mesmo vetor, são paralelos entre si, isto
→ →
é, ∇ f(xo,yo) = λ∇ g(xo,yo) para algum λ. O
número λ é chamado multiplicador de Lagran-
ge. Voltemos, agora, ao problema da caixa com
que abrimos esta discussão: sejam x, y e z o
comprimento, a largura e a altura, respectiva-
mente, da caixa em metros.
Exemplo 1
Achar a caixa sem tampa de maior volume com
superfície total de 12m2.
Solução:
Figura 24 – Curva de nível C,
representando g(x,y) =k, e a representação em Buscamos maximizar o volume V= xyz sujeito
→ →
termos do parâmetro t, mostrando que ∇f = λ∇g à restrição g(x,y,z) = 2xz+2yz+xy =12.
31
32. UEA – Licenciatura em Matemática
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, pro-
→ ,
curamos os valores de x, y, z e tais que ∇ V =
→
λ∇ g e g(x,y,z) = 12. Partindo dessas condi-
ções, geramos as equações: ,
e x2+y2 = 1
Elas resultam em:
(8) 2x = 2x
e 2xz+2yz+xy = 12, (9) 4y = 2y
ou seja: (10) x2+y2 = 1
(1) yz = (2z+y) A equação (8) dá-nos x = 0 ou =1. Se x = 0,
então a equação (10) y = ±1. Se = 1, então a
(2) xz = (2z+x)
equação (9) dá-nos y = 0; assim, a equação
(3) xy = (2x+2y) (10) fornece x = ±1. Portanto os valores
(4) 2xz+2yz+xy =12 extremos de f(x,y) ocorrem nos pontos (0,1),
(0,-1),(1,0), e (-1,0). Calculando f(x,y) nesses
Para resolver esse sistema de equações, va-
quatro pontos, temos:
mos lançar mão de alguns truques: observe
que se multiplicarmos (2) por x, (3) por y e (4) f (0,1) = 2
por z, os lados esquerdos dessas equações f(0,–1) = –2
ficam iguais. Assim temos que:
f(1,0) = 1
(5) xyz = (2xz+xy)
f(–1,0) = 1
(6) xyz = (2yz+xy)
Portanto o valor máximo de f(x,y) no círculo
(7) xyz = (2xz+2yz) x2+y2 = 1 é f(0,±1) = 2, o valor mínimo é
Vê-se que 0 porque = 0 implicaria em ter yz = f(±1,0) = 1.
xz = xy = 0 em (1), (2) e (3), contradizendo a
equação (4). De (5) e (6) temos: 2xz+xy =
2yz+xy que nos dá x = y. De (6) e (7) temos:
2yz+xy = 2xz+2yz, que dá 2xz = xy e portan-
to y = 2z. Se substituirmos
1. Utilize os multiplicadores de Lagrange para
x = y =2z em (4), teremos:
determinar os valores máximo e mínimo da
4z2+4z2+4z2 = 12 função sujeita à restrição dada:
sabendo que x, y, e z são todos positivos, a) f(x,y) = x2-y2 ; x2+y2 =1
temos que z =1, x = 2 e y = 2.
b) f(x,y,z) = xyz; x+y+z =100
Exemplo 2 c) f(x,y) = x2y ; x2+ 2y2 = 6
Determine os valores extremos da função d) f(x,y,z) = x+y+z ; x2+ y2+z2 = 25
f(x,y) = x2 + 2y2 no círculo x2 + y2 = 1. e) f(x,y,z) = x2+ y2+z2; x-y+z =1
Solução: f) f(x,y,z) = 2x+ 6y+10z; x2+ y2+z2 = 35
Devemos achar os valores extremos de f (x,y)
sujeita à restrição g(x,y) = x2 + y2 = 1. 2. Deve-se construir uma caixa retangular fechada
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, re- de 2m3 de volume. Se o custo por metro qua-
→ →
solvemos as equações ∇ f = λ∇ g, g(x,y) = 1, drado do material para os lados, o fundo e a
que podem ser escritas como: tampa é R$ 200, R$ 400,00 e R$ 300,00,
32
33. Cálculo II – Derivada direcional
respectivamente, ache as dimensões que mini-
mizam o custo.
3. Deve-se construir um depósito com tampa, em
forma de cilindro circular reto e com área de
superfície fixa. Mostre que o volume é máximo
quando h = 2R.
4. Utilize multiplicadores de Lagrange para provar
que o retângulo com área máxima, com perí-
metro constante p, é um quadrado.
5. Determine as dimensões de uma caixa retan-
gular de volume máximo tal que a soma de
suas doze arestas seja um constante c.
6. Determine as dimensões da uma caixa retan-
gular de maior volume se sua superfície total é
dada como 64m2.
33
37. Cálculo II – Integrais de linha
INTRODUÇÃO
A integral de linha é uma generalização natural TEMA 01
da integral definida , em que o intervalo
CAMINHOS E CURVAS
[a, b] é substituído por uma curva, e a função
Seja g uma função vectorial que toma valores
integranda é um campo escalar ou um campo
em IRn e cujo domínio é um intervalo I ⊂ IR. À
vetorial definido e limitado nessa curva.
medida que a variável independente t percorre I,
As integrais de linha são de uma importância os correspondentes valores da função g(t) per-
fundamental em inúmeras aplicações, nomea- correm um conjunto de pontos de IRn, que con-
damente, em ligação com energia potencial, stitui o contradomínio da função. Se a função
fluxo do calor, circulação de fluidos, etc. tomar valores em IR2 ou em IR3, é possível visu-
alizar, geometricamente, esse contradomínio.
No que se segue, começaremos por apresen-
tar os conceitos de curva e de comprimento de Exemplo 1
uma curva; em seguida, daremos a definição
Seja g : IR → IR2 a função definida por:
de integral de linha. Depois de enunciarmos as
propriedades fundamentais da integral de linha, g(t) = (1 – 2t,1 +t) = (1, 1) + t(–2, 1)
veremos a sua aplicação ao cálculo do trabal- O contradomínio de g é a reta que passa pelo
ho realizado por uma força. ponto (1, 1) e tem a direção do vetor (–2, 1).
Se a função g é contínua em I, o contradomínio
de g chama-se uma curva, mais concreta-
mente, a curva descrita por g.
Exemplo 2
A função f : IR → IR3 definida por:
f (t) = (2t – 2 sent, 2 – 2 cos t, t) é contínua em IR.
Temos apresenta a hélice descrita por f , isto é,
o seu contradomínio.
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38. UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 3 g (I) é a curva representada por g, e que g é
uma representação paramétrica da curva C;
O traço da curva é como os pontos da curva são da forma g (t),
com t ∈ I, a variável t é, habitualmente, designa-
da por parâmetro da representação paramétri-
o segmento de reta de extremidade inicial
ca considerada. Se g é um caminho definido
(–1,0,2) e final (7,6,4).
num intervalo fechado e limitado I = [a, b], os
pontos g (a) e g (b) chamam-se extremos do
Exemplo 4
caminho g, respectivamente, o ponto inicial e o
O arco de parábola y = x2, x∈[0,2] pode ser ponto final do caminho g.
representado, parametricamente, por
, ou seja, é o traço da
curva γ : [0,2] → IR2, dada por γ(t) = (t,t2).
As propriedades da função g podem ser uti-
lizadas para investigar as propriedades geo-
métricas do seu gráfico. Em particular, a deri-
vada g’ = (g’1,g’2,g’2,...g’n) está relacionada
com o conceito de tangência, tal como no caso
das funções reais de variável real. Veja-se qual
Exemplo 5
o comportamento do quociente
A curva
quando h → 0. Esse quociente é o produto do
Tem por traço a cúbica vetor g(t + h) – g(t) pelo escalar . Como tal,
o numerador, g(t + h) – g(t), é paralelo ao vetor
. Como já foi visto no Cálculo
Diferencial em IRn, no caso de existir o limite de
quando h → 0, tem-se
g (t + h) − g (t )
lim = g ' (t )
h→0 h ,e, se g’(t) = 0, o
Observe que, elimidando-se o parâmetro t,
vetor g’(t) pode ser visto, geometricamente,
obtemos , logo (x,y) pertence ao traço
como o vetor tangente à curva g no ponto g(t).
de γ se, e só se, .
Definição 1
Chama-se caminho em IRn qualquer função
contínua definida num intervalo (limitado ou
não) de números reais I e com valores em IRn.
O contradomínio de um caminho chama-se cur-
va ou arco.
Se g : I → IRn é um caminho, diz–se que C =
38
39. Cálculo II – Integrais de linha
Definição 2 Exemplo 7
Seja C ⊂ IRn uma curva parametrizada pelo ca- A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência
minho g : I → IRn. Se, para t ∈ I, a derivada g’(t) C1 de equação (x – 1)2 + y2 – 1, situado no 1.o
existe e é diferente do vetor nulo, a reta que quadrante, com o segmento de reta C2, que
passa por g(t) e tem a direção do vetor g’(t) une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec-
designa-se por reta tangente a C no ponto g(t). cionalmente de classe C1.
Com efeito, trata-se de uma curva que não é de
Definição 3
classe C1 (não existe reta tangente no ponto (1,
Diz-se que um caminho g : I → IRn é de classe
1)), mas é a união de duas curvas de classe C1.
C1 se a função g é de classe C1 em I2. Um con-
junto C ⊂ IRn é uma curva de classe C1 se
existe um caminho de classe C1 que represen-
ta, parametricamente, C.
Exemplo 6
O caminho g : [–1, 1] → IR2 tal que g(t) = (t, t3),
define uma curva de classe C1 pois g’(t) =
(1, 3t2) é uma função contínua em t∈[–1, 1].
Lembrando
Seja r um natural. Diz-se que um campo escalar
f é uma função de classe Cr num conjunto aber-
to S quando admite derivadas parciais contí-
nuas até a ordem r em todos os pontos de S. No
caso de S não ser um conjunto aberto, diz–se
que f é de classe Cr em S se existir uma função
g de classe Cr num aberto que contenha S, tal
que f (x) = g(x), ∀x∈S. Sendo g : I ⊂ IR → IRn
uma função vetorial em que g = (g1, . . . , gn) ,
diz-se que g é Cr em I quando gi é de classe Cr
em I, qualquer que seja i=1,..., n.
Definição 4
Um caminho g : [a, b] → IRn diz-se seccional- Definição 5
mente de classe C1 se o intervalo [a, b] puder
Sendo g : I → IRn um caminho, diz-se que g
ser decomposto num número finito de subin-
tervalos em cada um dos quais o caminho é de é um caminho fechado se I é um intervalo
classe C1. Uma curva diz-se seccionalmente de fechado e limitado de extremos a e b e g(a)
classe C1 se existir um caminho seccionalmen- = g(b). Diz-se que o caminho não-fechado g
te de classe C1 que a parametrize. é um caminho simples quando g é injetiva
Conclui-se que um caminho seccionalmente (isto é, g não assume o mesmo valor em
de classe C1 não pode deixar de ser contínuo. quaisquer dois pontos distintos de I). O
caminho fechado g diz-se um caminho sim-
Exemplo 4
A união C = C1 ∪ C2 do arco de circunferência ples se g for injetiva no interior de I. Um con-
C1 de equação (x – 1)2 + y2 = 1, situado no 1.o junto C ⊂ IRn é uma curva fechada ou uma
quadrante, com o segmento de reta C2, que curva simples se existe, respectivamente,
une os pontos (1, 1) e (2, 0), é uma curva sec- um caminho fechado ou um caminho sim-
cionalmente de classe C1. ples que o representa parametricamente.
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40. UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 8
A função g : [0, 8π] → IR3 definida por
g(t) = (cost, sen t, t) é um caminho simples que
representa um arco de hélice cilíndrica.
Entre as diferentes representações paramé-
tricas de uma curva, interessa identificar aque-
las que correspondem apenas a uma mudança
de escala do parâmetro.
Definição 6
Exemplo 9
Sejam α : I → IRn e β : J → IRn dois caminhos
Uma circunferência centrada na origem e de
em IRn.
raio 2 tem por equação cartesiana a expressão
x2 + y2 = 4. Nesse caso, uma representação Os caminhos α e β dizem-se equivalentes se
paramétrica dessa circunferência pode ser da- existe uma função bijetiva e continuamente
da pela função f:[0, 2π] → IR2, diferenciável φ : I → J, tal que φ’ (t) ≠ 0 em
com f (t) = (2 cos t, 2 sent). Esse é um exemp- todos com exceção dum número finito de pon-
lo de um caminho simples e fechado. tos t∈I e α(t) = β [φ(t)], em todos os pontos de
I. Se φ’(t) ≥ 0, diz-se que os caminhos têm o
mesmo sentido; se φ’(t) ≤ 0, diz-se que os ca-
minhos têm sentidos opostos; no primeiro ca-
so, diz–se que a função φ preserva o sentido;
no segundo caso, que inverte o sentido.
Exemplo 11
Considerem-se os caminhos α : [0,1] → IR2,
com α(t) = (t, t3) e β : [4, 6] → IR2, com
definidos no exemplo
10 e a função φ : [0, 1] → [4, 6] tal que φ(t) =
Exemplo 10 2t + 4. Essa função é bijetiva, continuamente
A curva representada na figura abaixo pode ser diferenciável e tem derivada não nula em todo
definida, parametricamente, pelo caminho o seu domínio (φ’(t) = 2, ∀t∈[0, 1]). Por outro
α : [0,1] → IR2, com α(t) = (t, t3) . Outras repre- lado,
sentações paramétricas da mesma curva são,
por exemplo, β : [4, 6] → IR2, com
, com
Pode-se, então, concluir que α e β são cami-
λ(t) = (tgt,tg t).
3 nhos equivalentes com o mesmo sentido.
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