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Aplicación de Matrices y 
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Aplicación de Matrices y Determinantes 
Introducción 
La matriz es un conjunto rectangular de elementos que se representan...
A = 5 3 B = 4 6 A-B = 1 -3 
2 1 3 2 -1 -1 
Producto.- el producto en las matrices se puede dar de dos maneras, sea para un...
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Ensayo 002 aplicación de matrices y determinantes

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Aplicación del uso de matrices en diferentes campos del conocimiento (sumamente breve)

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Ensayo 002 aplicación de matrices y determinantes

  1. 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA Matemática Aplicación de Matrices y Determinantes Medina Hidalgo Raúl Clemente C.I. 19008216321 24 de octubre del 2014
  2. 2. Aplicación de Matrices y Determinantes Introducción La matriz es un conjunto rectangular de elementos que se representan encerrándolos dentro de un paréntesis. Las determinantes es una función exclusiva de las matrices cuadradas y son muy útiles para estudiar más a profundidad las matrices, un determinante es un número real asociado mediante la función determinante. Las matrices tiene una amplia gama de utilidades, entre las que destacan está la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la propiedad de estas de despejar incógnitas mediante razonamiento y aplicación de matemáticas elementales las ha hecho meritorias de su ampliado uso en diferentes áreas, como economía, arquitectura, ingeniería, construcción, etc. Análisis Una matriz es un conjunto de números con forma cuadrada o rectangular, con a como valor constante, n de columnas y m de filas, cada número trae por nombre elemento de la matriz 2x2 3x3 m x n a11 a12 a21 a22 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 A32 a33 a11 a12 … a 1 n a21 a22 … a2n ... … … … am1 am2 … amn Las matrices se las emplea principalmente como método de solución para sistemas de ecuaciones lineales, convirtiendo estos de su expresión algebraica a una matriz aumentada. Sistema lineal Matriz aumentada 3x - 2y + z = 5 x + 3y – z = 0 -x + 4z = 11 3 -2 1 5 1 3 -1 0 -1 0 4 11 Las matrices se pueden sumar o restar siempre y cuando tengan la misma cantidad de filas y columnas o mejor dicho, dimensión. Si A = [a ij] B = [b ij] matrices de la misma dimensión y teniendo c como cualquier número real Suma.- la suma A + B es la matriz m x n obtenida al sumar sus elemento correspondientes A = 5 3 B = 4 6 A+B = 9 9 2 1 3 2 5 3 Resta.- la resta A – B es la matriz m x n obtenida al restar los elementos de las matrices 0correspondientes, tal como en el ejemplo anterior pero sustrayendo Nota: si no hay variables en el sistema lineal se reemplaza con “0” en la matriz aumentada
  3. 3. A = 5 3 B = 4 6 A-B = 1 -3 2 1 3 2 -1 -1 Producto.- el producto en las matrices se puede dar de dos maneras, sea para un número real c o para otra matriz, siempre y cuando la cantidad de filas y columnas de esta lo permita. A = 4 8 c = 3 Ac = 12 24 2 3 6 9 A = 3 2 B = 1 3 A*B = (3+6) (9+4) = 9 13 1 4 3 2 (1+12) (3+8) 13 11 Una determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada (2x2, 3x3, 4x4 etc.) a b 1 4 c d = ad – bc 2 6 = 1*6 – 4*2 = 2 determinante = 2 Desarrollo Para resolver la matriz se puede emplear el método más común conocido como método de eliminación de “Gauss-Jordan” (el método “Gauss” solo consiste en convertir a 0 las cifras inferiores a la forma escalonada) que consiste primero en convertir el número superior izquierdo a 1 y los números que están bajo este a 0, en la segunda fila o renglón, el número que está a la derecha del uno se lo convierte en uno también, así mismo los números superiores e inferiores se los convierte a 0, así sucesivamente hasta completar la forma escalonada. Para la eliminación de Gauss se necesita conocer las reglas básicas de las operaciones en los renglones o filas, citadas a continuación: 1.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro 2.- multiplicar un renglón por un número diferente a 0, y, si el caso requiere sumar el resultado al renglón que lo requiera 3.- intercambiar los renglones. En ocasiones se necesita determinar la cantidad de material a emplear y el costo del mismo, o se necesita calcular las cantidades nutricionales que se va a aportar, a continuación, se presenta un ejemplo de aplicación de matrices en un problema de tipo nutricional. Ejemplo de aplicación. Método de eliminación Gauss-Jordan (tomado de: Pre cálculo Matemática para el cálculo, James Stewart) Análisis nutricionales usando un sistema de ecuaciones lineales Un nutriólogo está ejecutando un experimento con estudiantes voluntarios. Desea alimentar a uno de sus individuos con una dieta diaria que consiste en una combinación de tres alimentos comerciales dietéticos: Minical, LiquiFast y SlimQuick. Por lo que se refiere al experimento, es importante que la persona consuma todos los días exactamente 500 mg de
  4. 4. potasio, 75g de proteína y 1150 unidades de vitamina D. Las cantidades de estos nutrientes en una onza de cada alimento se proporcionan en la tabla, ¿Cuántas onzas de cada alimento debe de comer la persona todos los días para que cumpla con las cantidades exactas de los nutrientes? MiniCal LiquiFast SlimQuick Potasio (mg) 50 75 10 Proteína (g) 5 10 3 Vitamina D (unidades) 90 100 50 Sean x, y y z Las cantidades de los productos nutricionales a consumir, sería 50x mg de potasio del MiniCal, 75y mg de LiquiFast y 10z mg de SlimQuick, para tener un total de 50x + 75y + 10z mg de potasio en total, puesto que requerimos 500 mg de potasio, tenemos la primera ecuación, hacemos lo mismo con el resto de valores dándonos: Al dividir la primera ecuación para 5 y la tercera para 10 obtenemos el sistema siguiente 10x + 15y + 12z = 500 5x + 10y + 3z = 75 9x + 10y +5z = 1150 50x + 75y + 10z = 500 Potasio 5x + 10y + 3z = 75 Proteína 90x + 100y +50z = 1150 Vitamina D Mediante la eliminación Gauss- Jordan en la matriz aumentada obtenemos. Matriz aumentada Resolución mediante eliminación Gauss-Jordan 10 15 2 100 5 10 3 75 9 10 5 115 Conclusiones y recomendaciones  La resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices resulta interesante al limitarse a operaciones elementales de las matemáticas y al razonamiento lógico.  El uso de matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones resulta producente, acorta y simplifica el proceso de despeje de variables.  Es recomendable utilizar las matrices y determinantes para la resolución de problemas de aplicación, incentiva al razonamiento, además de resultar, de cierta manera, desafiante, pero algo entretenida. Bibliografía - Educar Editores Ltda. (1982). MemoFichas Matemática. Librería Selecciones, S.A. Quito Ecuador. - James Stewart, Lothar Redlin y Salem Watson. (2017). PreCalculo Matemáticas para el cálculo. CENGAGE Learning. - Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. (2013). Algebra Intermedia. CENGAGE Learning. 1 0 0 5 0 1 0 2 0 0 1 10 Por tanto… X = 5 Y = 2 Z = 10 MiniCal: 725 LiquiFast: 370 SlimQuick: 630

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