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Solucionario UNI- 2014-2 - Matemática

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11.08.2014
PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
2
MATRICES
1.	 Efectuando opera...

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3547SOLUCIONARIO
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PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA
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DESIGUALDADES
6.	
2 1 1
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO
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11.	 f(x) = 2000 – ...

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Solucionario UNI- 2014-2 - Matemática

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Solucionario del examen de Admisión de la Universidad Nacional de Ingeniería de Matemáticas, tomado el 11/08/2014.
Desarrollado por la Academia Saco Oliveros

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Solucionario UNI- 2014-2 - Matemática

  1. 1. 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO 2 MATRICES 1. Efectuando operaciones y despejando x 5x = 3A – 12(B+C) – 3x+A ( ) ( )1 3 8 4A 12 B C A B C 2 2 x x= − + → = − + 1 8 1 2 4 141 1 3 7 3 3 1 2 62 2 x  − −       = − =       − −        2 7 1 3 x   =   −  ∴ det(x) = 13 Respuesta 13 SISTEMA DE ECUACIONES 2. Mediante la regla de Cramer 2 2 1 1 s α β ∆ = = α + α − β + β β − α + 1 1 3 3 1 x − β ∆ = = −α − − β α + 1 3 1 1 3 y α − ∆ = = α + β − α − Luego: 1; 1 yx s x x y s ∆∆ = =− == ∆ ∆ CS = {(– 1; 1)} Respuesta – 1; 1 SERIES 3. 0 0 1 1 S 2 2 k k k k ∞ ∞ = =     = − +        ∑ ∑ 1 1 S 11 11 22 = +   −− −    2 8 S 2 3 3 = + = Respuesta S = 8 3 SERIES 4. Sea 3 3 3 3 1 1 1 1 S 1 ... 8 162 4 =+ + + + + Podemos escribir 3 3 3 0 3 1 1 2 S 12 2 11 2 k k ∞ =   = = =  −  − ∑ Respuesta 3 3 2 2 1− TEORÍA DE ECUACIONES 5. 1 1 1 1 a b x a b x += − + + a b+ a b ab − + = ( ) ( )x x a b+ + x2 +(a+b)x+ab = 0 (x+a)(x+b) = 0 x1 = – a (menor) x2 = – b (mayor) 1 2 x a x b = Respuesta a b MATEMÁTICA (PARTE 1)
  2. 2. 3547SOLUCIONARIO 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3 DESIGUALDADES 6. 2 1 1 1 2 1 3 1 1 3 3 x x x x x − < → − < − ∧ ≠ − |2x – 1|2 < |3x – 1|2 (5x – 2)x > 0 ∧ x ≠ 1 3 { }2 1 0 5 3 x x x< ∨ > ∧ ≠ 2 ; 0 ; 5 x ∈ −∞ ∪ + ∞ 2 S ; 0 ; 5 = −∞ ∪ + ∞ [ ]C 2 S 0; ; 5 a b   = =   ∴ 3a+5b = 2 Respuesta 2 FUNCIONES 7. y2 +2y = x+1 (y+1)2  = x+2 Como y > 0 y+1>1 (y+1)2 >1 x+2 > 1 x >–1 Dom (f)= 〈–1; +∞〉 Respuesta 〈1; +∞〉 8. (1; 2) (3; 4) y=x+1Y X y=x–1 (3; 2) (3; 0)(1; 0) a+b+c+d+e+f+g+h=16 Respuesta 16 9. f(ax+by) = af(x)+bf(y) a=0; y=1→ f(b) = bf(1) Como f(1) = 1 Entonces f(b) = b, ∀b ∈ Tenemos y2 +6y+9=n2 (y+3–n)(y+3+n) = 0 y1=n – 3 ∨ y2= –n–3 Respuesta n–3 10. R1={(x, y) ∈2 / y ≥ (x+1)log(x+1)(x) } y ≥ x; x>0 Y X R2={(x, y) ∈2 / y ≤ 1+log(x+2)} Y X Tenemos R1 ∩ R2 Y X Respuesta C
  3. 3. 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO 4 FUNCIONES 11. f(x) = 2000 – 1000e–0,001x I. Es creciente: f ‘(x) = 0 – 1000e–0,001x (–0,001) f ‘(x) > 0 II. f(0) = 2000 – 1000e–0,001(0) f(x) = 2000 – 1000 = 1000 III. lim f(x) = lim (2000 – 1000e–0,001x ) x→+∞ x→+∞ = 2000 Entonces: VVV Respuesta VVV FUNCIONES 12. I. Sea A= 0 0 0 a b c d e f           → AT = 0 0 0 a b d c e f           A=AT → b=0 y c=0 ∧ e=0 (F) II. A= 0 0 0 a b c d e f           → AT = 0 0 0 a b d c e f           A=–AT → A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0           (V) III. (V) Respuesta FVV MATRICES 13. N = 111111(3) Expresándolo en base 9 con cambio de base especial N = 444(9) Piden multiplicar N consigo mismo 4 4 4(9) × 4 4 4(9) 1 8 8 7(9) 1 8 8 7(9) 1 8 8 7(9) 2 2 1 6 6 7(9) Ahora: N × N = 221667(9) Expresando dicho producto en base 3 con cambio de base especial N × N = 20201202021(3) Suma de digitos: 2+0+2+0+1+2+0+2+0+2+1=12=110(3) Respuesta 110(3) IRRACIONALES 14. I. Si y ∈ {0} y x ∈ , entonces por propiedad de clausura y x ∈. (V) II. Si a y b son irracionales, entonces a+b y a × b son racionales. → si tomamos, a= 2 y b= 2, no se cumple. (F) III. Si a ∈  y b es irracional, entonces a × b es irracional. → si tomamos, a=0, a × b=0, no se cumple. (F) Respuesta VFF
  4. 4. 3547SOLUCIONARIO 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 5 RADICACIÓN EN N 15. Dato: 1 7 a b c d 9 1 3 3 1 1 2 3 × 3 = 6 9 – 7 a 2 6 3 × 3 = 7 8 9 6 9 2 6 6 1 × 1 = 2 6 6 1 – 8 b c 7 8 9 – 2 6 d 9 2 6 6 1 – – – e Observe: 8+69=77=7a → a=7 26+789=815=8bc → b=1 y c=5 e+2661=26d9 → e=8 y d=6 Piden E = e+d – c+b – a E = 8+6 – 5+1 – 7 ∴ E = 3 Respuesta 3 MAGNITUDES PROPORCIONALES 16. Dato: (y – 4) IP (x2  – 4) Respecto a sus valores se cumple: (y – 4)(x2  – 4)=k’ Para el par ordenado: (–1; –2) → x=–1 ∧ y=–2 Reemplazando  2  –6 –3 (–2 – 4)((–1) – 4) 18k k′ ′= → = Ahora: (y – 4)(x2  – 4)=18 2 18 – 4 – 4 y x = ∴ 2 18 4 – 4 y x = + Respuesta 2 18 4 – 4 y x = + PROMEDIOS 17. Dato: a ∈ ∧ b ∈, a>b Además: 2 2 MA( ; ) – MH( ; ) 1 a b ab a b a b a b + + =  – (a+b)2  – 4ab=2(a+b) a2 +b2  + 2ab – 4ab=2(a+b) a2 +b2  – 2ab=2(a+b)   2 4 8 ( – ) 2( )a b a b= + (a – b)2 es cuadrado perfecto y piden el menor valor de 2 2 a b+ 8 – 4 a b a b + =  =  a=6 b=2 ∴ 2 2 2 2 6 2 40 2 10a b+ = + = = Respuesta 2 10 REGLA DE INTERÉS 18. Tenemos C=S/. N r %=6 % I=S/. 825 t= años C=S/. (N+7125) r%=10 % I=S/. 1850 t= años donde 1850=(N+7125)10 %· t 8250=N·6 % · t Dividimos y simplificamos 37 N 7125 55 2N + =
  5. 5. 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO 6 74N=55N+55×7125 19N=55×7125 N=55×375=20 625 Piden suma de montos M1=20 625+825=21 450 M2=27 750+1850=29 600 ∴ M1+ M2=51 050 Respuesta 51 050 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 19. N.º de hijos N.º de familias 0-2 1200 3-6 400 7-9 150 10-12 30 13-15 15 Distribución uniforme 4-6 → 300 familias 7-9 → 150 familias 10-11 → 20 familias ∴ De 4 a 11 hijos → 470 familias Respuesta 470 PROBABILIDADES 20. I. Sean A, B y C eventos (F) P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –   P(A ∩ B)+P(B ∩ C)+  P(A ∩ C) – P(A ∩ B ∩ C) Sabemos que por el principio inclusión y exclusión P(A ∪ B ∪ C) = P(A)+P(B)+P(C) –   P(A ∩ B) – P(B ∩ C) –   P(A ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C) II. Sean (F) S = {(x; y) / x, y ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}} B = {(x; y) ∈ S / 1+y x} → P(B) = 5 12 1 1 2 3 4 5 6 Y 2 3 54 6 X B P(B) = 10 36 = 5 18 III. Si B ⊂ A, entonces (V) P(AB) = P(A) – P(B)–  ( ) ( ) ( ) A B P A B n n = Ω ( ) ( ) ( ) ( ) A B pues B A n n n − = ⊂ Ω ( ) ( ) ( ) ( ) A Bn n n n = − Ω Ω = P(A) – P(B) Respuesta F F V COORDENADAS POLARES 21. Tenemos la ecuación polar de la cónica r = 8 4 + 3cos q que es equivalente a r = 2 1 + 3 4 cos q = ρe 1 + e cos q de donde determinamos que la excentrici- dad (e) de la cónica es 3 4 .
  6. 6. 3547SOLUCIONARIO 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 7 Entonces, la ecuación polar dada repre- senta a una elipse. Respuesta Elipse R.T. POSICIÓN NORMAL 22. (cot q)2tan q = 2 3 2 3 2 cot q = 2 3 para x = 2 y = –3 r = 13 E = 3 – 2 13 + 2 – 3 13 E = – 12 13 Respuesta – 12 13 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 23. cos2 x – cos x – 1 = 0 cos x = 1 – 5 2 ≅ –0,61 p 22p 3 5p 6 –0,5 –0,61 p 0 X Y x p 2 x 5p 6 Respuesta p 2 x 5p 6 LONGITUD DE ARCO 24. A B C x y D r 1 – r E F p 4 rad p 4 rad  x = pr 4  y = p 4 (1 – r) y = p 4 – pr 4 Luego x + y = p 4 Respuesta p 4 RT DE ÁNGULOS MÚLTIPLES 25. M = sen4 p 2 + sen42p 7 + sen43p 7 Como sen4 q = 3 8 – 1 2 cos 2q + 1 8 cos 4q Nos piden M = 9 8 – 1 2 cos  2p 7 + cos  4p 7 + cos  8p 7 + cos6p 7
  7. 7. 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO 8 1 8 cos  4p 7 + cos  8p 7 + cos  12p 7 cos6p 7 cos2p 7 M = 9 8 – 1 2 cos  2p 7 + cos  4p 7 + cos  6p 7 + 1 8 cos  2p 7 + cos  4p 7 + cos  6p 7 M = 9 8 – 3 8 cos  2p 7 + cos  4p 7 + cos  6p 7 Pues cos  2p 7 + cos  4p 7 + cos  6p 7 = – 1 2 M = 9 8 – 3 8 – 1 2 → M = 21 16 Respuesta 21 16 NÚMERO DE VUELTAS DE UNA RUEDA 26. 5,5 cm r = 0,5 cm6 cm A B O 60° Como se sabe, el número de vueltas (n) que gira una rueda, está dado así 2 n r = π l donde l: longitud de la trayectoria descrita por el centro de la rueda r: radio de la rueda para el problema: (5,5) 3 2 (5,5) n π × = π n = 6 11 No hay clave Nota: Si consideramos el gráfico que r = 0,5 cm r = 6 cm A B O 60° Tendremos que 6 3 2 (0,5) n π × = π → n = 2 De esa manera la clave correcta sería la B. Respuesta 2 RESOLUCIÓN EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 27. α αα A C B a Q atanα atanα atanα M P 1 1 a x θ AQM ~ MCP: AQ = CP = a
  8. 8. 3547SOLUCIONARIO 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 9 AQB: tan 2 tan cot a a a θ = α + α → 1 tan 2tan cot θ = α + α PCB: cotα = x Así: 1 tan 2 x x θ = + Si θ es máximo, entonces tanθ también es máximo, y esto se da cuando 2 2x x x = → = Respuesta: 2 POLÍGONO REGULAR 28. R 60º  α A C B Sea O: centro Piden: α Dato:  = R Si AC =  = R, entonces: AC = L6 AC 60ºm = Por teorema 60º 30º 2 α= = Respuesta: 30º POLIEDRO REGULAR 29. x P S Q B C D d d d R A Piden: m entre  CS y  BD QS//BD → m entre CS y BD= m entre QS y CS=x ∆ QSC: equilátero ∴ x=60º Respuesta 60º SÓLIDOS GEOMÉTRICOS(PIRÁMIDE-CONO) 30. 9 Base de la pirámide inscrita en la base del cono 1 A B O C D 1 2 2 4 5 Pide E=Vcono–Vpirámide
  9. 9. 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO 10 = π ⋅ − ⋅ 221 1 E 1 4 5 2 4 5 3 3 ( )= π − 4 5 E 2 3 Respuesta ( )= π − 4 5 E 2 3 m3 RECTAS Y PLANOS 31. D B A C H 60º 30º 36 3 5 72 536 5 De los datos, el  DBH es notable de 30º y 60º. En el gráfico ∆ = ×ADC 72 AC S 5 2 ∆ = ×ABC 36 AC S 5 2 ∴ ∆ ∆ = ADC ABC S 2 S Respuesta 2 32. Vx 6 6 2 2 2 2 a a b b O Piden: Vx máximo Vx=6ab + = =2 2 2 4 16a b Empleando medias ≥MA MG + ≥ 2 2 2 2 2 a b a b + ≤ 2 2 2 a b ab ≤ 8ab ≤6 48ab → ≤V 48x ∴ Vx máximo =48 Respuesta 48 TRIÁNGULOS CONGRUENTES 33. θ θ 2θ x θ θ 30º 30º A B E a a H l l l C a B Piden: x Dato: ∆ ABCD: equilátero
  10. 10. 3547SOLUCIONARIO 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 11 Se deduce: BE=EC (T. mediatriz) ∆ BEC ≅ ∆ ECO (L-L-L) En “C”: 3θ=60º θ=20º ∆ AED: medida del ) exterior = + θ = 20º 30º 50º x x Respuesta 50º CUADRILÁTERO 34. A B C D L θ θ w w β α x Piden: x Dato: α – β=24º  ABCL: θ + β + w + x=360º Propiedad x=θ+β+w Sumando 2x + α = 360º + β 2x + α – β = 360º 2x + 24º = 360º ∴ x=168º Respuesta 168º TEMA A LA IZQUIERDA Y EN MAYÚSCULAS 35. A B T h l t l + t l + t M C K2r K1r r Teorema de Poncelet ATB: l+h=K1r+2r BTM: t+h=l+ +2K2r Sumando 2h=K1r+2r+2K2r ATB: hK1r 2h  2K1r Reemplazando K1r+2r+2K2r2K1r 2r+2K2r2K1r 2(1+K2)K1 2 1 K 1 1 K 2 + ∴ Respuesta 2 1 K 1 1 K 2 + ∴ RELACIONES METRICAS 36. A P O B R R R /2 R /2 R /2 R /2 O' R 2 4 2
  11. 11. 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 3547SOLUCIONARIO 12 Piden: R O’ P O: T. de Pitágoras (O’P)2 =(3R/2)2 – (R/2)2  O’ P= R 2 Por teorema R 2 4 2 R 4 = = Respuesta 4 CIRCUNFERENCIA 37. B E C DFA x t a b l m n Piden: EF=x Datos: ¾¾ AB+CD=30 → a+b=30 ¾¾ BC+AD=50 → m+n+l+t=50 Teorema de Pitot ABEF: a+b=m+l FECD: x+b=n+t Sumando a+b+2x=m+n+t+l → 30+2x=50 ∴ x=10 Respuesta 10 PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS 38. A B C D E 2a a a 2a 5k 3k 3 5 x T Piden: AB=x Dato: BD // AE Teorema: CD // BE D BTE: TD=5k y DE=3k D ATE: Corolario = → = 8 5 4,8 3 k x x k Respuesta 4,8 ÁNGULO DIEDRO 39. D C B A H 6 12 12 60º x T 66 3 Piden: d (C; D ABD)=x D ABC: equilátero AH=BH=6 y CH=6 3  CTH (notable de 30º y 60º) ∴ x=9 Respuesta 9
  12. 12. 3547SOLUCIONARIO 11.08.2014 PRIMERA PRUEBA DE ADMISIÓN UNIVERSIDAD NACIONAL DEL INGENIERÍA 13 LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA 40.  =AC L ? R=2r 2r 2r aa r r O′ CA O Del gráfico  =α → =αAC AC L (2 )(2 ) L 4 ..... (1)r r En el D OAO′: por el teorema de cosenos + − α= = 2 2 2 (2 ) (2 ) 7 cos 2(2 )(2 ) 8 r r r r r También   α= → α=     15 15 sen arcsen 8 8 Reemplazando en (1)    =    AC 15 L 4 arcsen 8 r Respuesta       15 4 arcsen 8 r

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