Sistemas de equações lineares

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Sistemas de equações lineares

  1. 1. MELHOR GESTÃO MELHOR ENSINORafael de Freitas Manço.Gisele de Oliveira MartinsConceição.
  2. 2. Conteúdos e temas: sistemas de equações; métodosde resolução ( adição e substituição); representaçãográfica de uma equação linear com duas variáveis ;análise das soluções de um sistema linear (algébricae gráfica).Competências e habilidades: Traduzir um problemapara a linguagem algébrica na forma de um sistema;resolver sistemas de equações por diferentes métodos,representar uma equação com duas incógnitas noplano cartesiano, interpretar graficamente a soluçãode um sistema.
  3. 3. Objetivos: Que o aluno seja capaz de resolver problemasenvolvendo duas equações do 1º grau,de relacionar aspropriedades geométricas de figuras planas com o sistemaenvolvido e interpretar a solução obtida ( algebricamentee geometricamente).Recursos materiais e tecnológicos: Utilização do softwareGeogebra e do papel quadriculado para representar asequações do sistema .Justificativa:O aluno pode se deparar com situaçõesproblemas cuja representação algébrica envolve mais de umaequação do primeiro grau, a partir disso, é necessário umaabordagem sobre o tema sistemas de equações lineares paraa resolução do problema em questão.
  4. 4. ATIVIDADE 1:Equações e incógnitas.Considere o problema seguinte:A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual é a idade decada um deles?• Nesse primeiro momento o aluno deverá escrever a expressãoalgébrica que traduz o problema,sendo x a idade de João e y aidade de Maria o problema pode ser escrito assim:x+y=28• Em seguida o professor pode sugerir aos alunos que construamuma tabela com os valores possíveis para a idade de cada umdeles.
  5. 5. João (x) Maria (y)1 272 263 254 245 236 227 218 209 1910 1811 1712 1613 1514 14João (x) Maria (y)15 1316 1217 1118 1019 920 821 722 623 524 425 326 227 1Os resultados possíveis
  6. 6. • Com a atividade anterior o aluno vai perceber que ,considerando apenas as informações contidas no enunciado,oproblema apresenta mais de uma solução.Em termos algébricos , uma equação pode ter mais de umasolução dependendo do domínio, podem haver infinitassoluções.•Em seguida o professor pode fornecer mais uma informaçãoa respeito das idades de João e Maria, pedindo para que osalunos escrevam a equação correspondente à novainformação, delimitando assim o número de soluções.
  7. 7. 2) Resolva o problema sabendo que João é 4 anos mais velhoque Maria.O problema agora passa a ser expresso por duas equações , sãoelas:428yxyxObservando a tabela, o único par que satisfaz a equação é o parx= 16 e y=12.João (x) Maria (y)16 12Isto deixa claro ao aluno que o sistema ( que nada mais é queum conjunto de equações)assim formado possui solução única.
  8. 8. •Outras informações poderiam ser dadas a respeito das idades deJoão e Maria, de modo que não exista um par de números inteirosque satisfazem o sistema , como por exemplo a idade de Maria é odobro da idade de João (neste caso o sistema possui soluções nãointeiras).Para chegar à solução do sistema neste caso, podemos recorrer a ummétodo de resolução chamado de “método da substituição”.•O método da substituição consiste em isolar uma variável em umadas equações e substituir o resultado na outra equação do sistema,obtendo – se assim uma equação de primeiro grau, resolvido aequação vamos obter o valor de uma das variáveis, a outra pode serencontrada por simples substituição.
  9. 9. ATIVIDADE 2: As balanças e o método da substituição.Vamos começar propondo o seguinte problema:Precisamos descobrir o “peso” de dois objetos e temos asseguintes informações:Os dois objetos “pesam” conjuntamente 2500 gramas.Um dos objetos “pesa” 500 gramas a mais do que o outro.Para resolver este problema, denotamos de x e y(os alunospodem ficar livres na escolha das variáveis) o “ peso” de cadaobjeto.
  10. 10. 1º Passo: A primeira informação pode ser traduzida para linguagemalgébrica através da expressão x+y = 2500. Em seguidarepresentamos o problema como mostra a figura a seguir:2º Passo: De maneira análoga, traduzimos para a linguagemalgébrica a segunda informação ( x=y+500) e representamosconforme a figura:
  11. 11. 3º Passo:Fazemos a substituição,trocando o objeto x pelo seuequivalente ,y mais 500 gramas. Em seguida, tiramos 500 gramas decada lado mantendo a equivalência.Em linguagem algébrica, (y+500) +y = 2500 ou y+y-500 = 2500 - 500
  12. 12. 4º Passo: Se dois objetos y “pesam” 2000 gramas, um objeto y“pesará” 1000 gramas.Em linguagem algébrica, 2y = 2000, ou y = 1000.Como o objeto x “pesa” o mesmo que o objeto y mais500 gramas, então seu “peso” é de 1500 gramas.•Consideremos ser extremamente relevante a representação doproblema por meio de figuras em conjunto com as expressõesalgébricas para melhor compreensão dos alunos.
  13. 13. •O professor poderá propor outros problemas paraque os alunos se familiarizem com este método deresolução.
  14. 14. Destacamos a importância da utilização do software Geogebra narepresentação gráfica de sistemas de equações tendo como relevantecontribuição a possibilidade de discussão do número de soluções de umsistema de equações Lineares sendo que:•A representação gráfica de sistemas lineares tem como resultado umconjunto de retas•Se as retas se interceptam em um único ponto o sistema tem soluçãoúnica isto é, é um sistema possível e determinado;•Se as retas são paralelas, isto é , não há ponto de intersecção entre elas, o sistema é impossível;•Se as retas são coincidentes, há infinitas soluções para o sistema.
  15. 15. Abaixo está a representação gráfica do problema 22discutido em sala:

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