Razones trigonometricas de angulos notables

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Razones trigonometricas de angulos notables

  1. 1. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES Son aquellos triángulos rectángulos donde b) Triángulo de 16º y 74º conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados. Como por ejemplo:1. Triángulo Notable de 45º k c) Triángulo de 8º y 82º 45ºk k 5 2k 82º k 45º k 8º 7k2. Triángulo Notable de 30º y 60º Ejercicios Resueltos 30º 30º 30º 2k 2k 2k 3 k 1. Calcular: E = Sen230º + Tg37º 60º 60º 60º Solución: k k k Reemplazando valores: 2  1 3 1 3 E       E 1  2  4 4 43. Triángulo Notables Aproximados sen 2 45º  cos60º 2. Evaluar: E  a) Triángulo de 37º y 53º csc30º Solución: Reemplazando: 2    2  1    2 1  2  2    4 2 1 1   E= 2 2 2 2 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  2. 2. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria 07. Determine el valor de “m” para que “x” sea m1 30º. cos2x  Práctica dirigida Nº 01 m1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 601. Calcular: E = (sen30º + cos60º)tg37º  9θ  a) 1 b) 2 c) 1/4 Sen3θ . Cos6θ . Csc     2   d) 3/4 e) 4/3 08. Sea: F  θ    9θ  Tg3θ . Sec6θ  Cot     2  02. Calcular Para evaluar:  = 10º  . sen 30º 3 . tg 60º F  a) 13 b) 6 /8 c) 15 10 . cos 37 º 2 . sec 45º a) 1 b) 1/2 c) -1/3 d) 15 / 7 e) 17 d) 2 e) 2/3 09. Del gráfico hallar: ctg03. Calcular: E  6tg30º sec 45º 3 sec 53º a) 1,6 a) 3 b) 5 c) 7 b) 1,7 45º d) 9 e) 11 c) 0,4 x+3 d) 0,6  e) 1,4 2x + 1 5x - 304. Calcular: E = sec37º + ctg53º - 2sen30º a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. Del gráfico, hallar Ctg  4 a) 505. Resolver: 7 b) 4 5xsen53º - 2sec60º = xtg45º + sec245º 5 2 c) 5 a) 1 b) 2 c) 3 53º  7 d) 1/2 e) 1/4 d) 10 5 e) 1 senx06. Indicar el valor de “x” en: 11. Del gráfico calcular: E  seny tg(2x - 5º) = sen230º + sen260º 4 2 a) 5 a) 15º b) 20º c) 25º x y 4 d) 30º e) 35º b) 5 2 c) 53º 45º 5 d) 4 2 e) 1 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  3. 3. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria 6. Hallar “x”. Tarea Nº 01 Siendo: Csc x 45º 1 Csc30º1. Calcular: E = (sec245º + tg45º) ctg37º - 2cos60º a) –1 b) –2 c) 1 d) 2 e) 3 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7. Determine tg  en el gráfico.2. Calcular: “x” a) 3 3xsec53º - tg45º = sec60º(sec45º + sen45º) csc30º 3 b) 3 30º a) 1 b) 2 c) 3 3 c) 2 d) 4 e) 5 3 d) 6 sec60º 3 3 3. Calcular: E = (tg60º + sec30º - sen60º) e) 2 a) 25/12 b) 25/24 c) 49/12 d) 49/24 e) 7/18 8. De la figura calcular a/b a) 1 b) 2 53º4. Calcular: a-b c) 5 Tg30º  Sec60º  Sen37º  Cos30º E d) 7 Sen 2 45º e) 8 a+b 3 11 3 3 3 a) b) c) 5 5 5 5 3 2 3 y d) e) 9. Del gráfico hallar 3 5 x5. Calcular: a) 1  45º b) 2 tg 2 c) 3 a) 2 b) 2 1 c) 2 1 d) 4  37º d) 1  2 e) 2 2 e) 6 x y y Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  4. 4. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS1. Razones Trigonométricas Recíprocas Ejercicios Resueltos Para un mismo ángulo, siempre se cumple: 1. Resolver el menor valor positivo de “x” Sen . Csc = 1 verifique: Sen5x = Cosx Cos . Sec = 1 Solución: Tg . Ctg = 1 Dada la ecuación: Sen5x = Cosx Luego los ángulos deben sumar 90º, entonces: Ejemplos: 5x + x = 90º 6x = 90º  Sen 10º . Csc10º = 1  Tg A . Ctg A = 1 .x = 15º.  Cos(x+y).Sec(x+y) = 1  Csc(x + y – z). Sen(x + y – z) = 1 2. Resolver “x” el menor positivo que verifique: Sen3x – Cosy = 0 Tg 2y . Ctg30º – 1 = 02. Razones trigonométricas de Ángulos Solución: Complementarios Nótese que el sistema planteado es equivalente a: Si:  y  son dos ángulos complementarios, siempre se cumple que:  Sen3x = Cosy  3x + y = 90º (R.T. complementarios)  Tg2y . Ctg30º = 1  2y = 30º  c (R.T. recíprocas) sen = cos a .y = 15º. tg = ctg sec = csc  Reemplazando en la primera igualdad: 3x + 15º = 90º b 3x = 75º Es decir:  +  = 90º .x = 25º. 3. Si: Sen 9x – Cos 4x = 0, Ejemplos: Tg7x calcular: P  Ctg6x  Sen20º = Cos 70º  Tg 50º = Ctg 40º Solución:  Sec 80º = Csc10º Del Dato: Sen 9x = Cos 4x 9x + 4 x = 9 0 º 13x = 9 0º Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  5. 5. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria Pero: 7x + 6 x = 13x 7x + 6 x = 90º sen10º 2tg20º 3sec40º 7. Calcular: E    Entonces: R.T.(7x) = Co–R.T.(6x) cos80º ctg70º csc50º Tg7x a) 1 b) 2 c) 0 Luego: 1 d) -1 e) -2 Ctg6x  P=1 8. Si: Sec7x = Csc4x 2Senx Tg3x Calcular: E   Cos10x Ctg8x Práctica Dirigida Nº 02 a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 1. Poner V o F según convenga: 9. Calcular: cos(x + y) a) sen20º = cos70º ( ) Si: Sen(x – 5º) . Csc(25º - x) = 1 b) tg10º . ctg10º = 1 ( ) Sen(y + 10º) = Cos(y + 20º) c) sec(x + 40º) = csc(50º - x) ( ) 2 1 d) tg(x + y) . ctg(x + y) = 1 ( ) a) 2 b) c) 2 2 e) tg20º = ctg20º ( ) 3 3 d) e) 5 2 2. Señale el valor de “x” Si: Sen2x . Csc40º = 1 10. Simplificar: a) 10º b) 5º c) 15º Tg10º  Tg20º  Tg30º ........ Tg80º E d) 20º e) 40º Ctg10º  Ctg20º  Ctg30º ........ Ctg80º 3. Sabiendo que: Tg 5x . Ctg(x + 40º) = 1 1 1 a) 1 b) c) Calcular: Cos3x 2 3 3 2 1 2 d) e) a) 1 b) c) 2 2 2 2 2 d) 3 e) 3 11. Determine “x” : tg 1 5º 4. Hallar “x” sec(2x - 8) = sen 40º csc 40º + Si: Cos(3x – 12º) . Sec(x + 36º) = 1 ctg 75º a) 12º b) 24º c) 36º a) 17º b) 20º c) 28º d) 48º e) 8º d) 30º e) 34º 5. Determine “x” en: Sen(3x + 25º) . Csc(x + 35) = 1 a) 5º b) 8º c) 10º d) 15º e) 20º 6. Calcular: E = (7tg10º - 2ctg80º) (ctg10º + tg80º) a) 5 b) 14 c) 10 d) 12 e) 8 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz
  6. 6. I.E 10214 – LA RAMADA – SALAS Matemática 4º de Secundaria Tarea Nº 02 7. Si: Sen3x = Cos14x Calcular: 1. Señale el valor de “x” 2 sec x E  tg5x tg12x  Si: Sen3x . Csc54º = 1 csc 16x a) 10º b) 12º c) 14º a) 1 b) 2 c) 3 d) 16º e) 18º d) 4 e) 5 2. Sabiendo que: Tg3x . Ctg(x + 40º) = 1 8. Si: Sec(4x – 10º) = Csc(40º - x) Calcular: cos3x 3x 1 2 Calcular: E  tg2 3x  csc a) 1 b) c) 2 2 2 3 4 a) 3 b) 4 c) 5 d) e) 5 5 d) 6 e) 7 3. Señale el valor de “x” 9. Determine el valor de “x” en : Si: Cos(2x – 10º) . Sec(x + 30º) = 1 Tg(x – 10º) = Tg1º Tg2º Tg3º ……. Tg89º a) 10º b) 20º c) 30º a) 30º b) 45º c) 55º d) 40º e) 50º d) 65º e) 75º 10. Si: sen(x – 20º) = cos(y - 30º) 4. Si: Sen(3x – 10º) . Csc(x + 10º) = 1 Calcular: Calcular: xy xy E = Sec6x . Tg8x . Tgx Sen( )  Cos( ) 4 2 a) 1 b) 2 c) 3 Cos(x  y  85º)  Sen(x  y  120º) 3 2 3 d) e) a) 1/2 b) 2 c) -1 2 3 d) 0 e) 1 5. Calcular: 11. Calcular : E = (4Sen2º + 3Cos88º) Csc2º  3 sen(  x) tg(  x) E 5  8 a) 14 b) 13 c) 11 3  d) 9 e) 7 cos(  x) ctg(  x) 10 8 6. Simplificar: a) 2 b) 3 c) 1 2sen10º 3tg30º 5 sec 20º E   d) 0 e) 1/2 cos80º ctg60º csc 70º a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz

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