Educacion Matematica 5 basico

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Educacion Matematica 5 basico

  1. 1. TEXTO PARA EL ESTUDIANTE Quinto básico Elizabeth Sánchez Escobar Profesora de Educación General Básicacon mención en Educación Matemática. Carmen Muñoz Droguett Profesora de Educación General Básica.
  2. 2. PRESENTACIÓN Entrada de Unidad La Unidad se inicia con un cómic y algunas preguntas para iniciarte en un nuevo contenido, situándote en el contexto y activar los conocimientos que ya posees al respecto. Practica jugando Sintetizando lo aprendido Esta página es una entretenida actividad En estas páginas encontrarás mapas conceptuales, que deberás realizar en grupos de 4 a 5 esquemas o resúmenes, que relacionan y sintetizan integrantes, para aplicar los contenidos los contenidos abordados en la Unidad. En algunas aprendidos y reflexionar en torno a ellos. ocasiones deberás completarlos. Los siguientes íconos son para señalar el trabajo que debes aplicar en dichas actividades. Este símbolo te invita a realizar un proceso de metacognición, es decir, a hacer consciente el proceso que sigues para resolver una situación (estrategias y habilidades) y así te darás cuenta de la forma en que aprendes. Cada vez que aparezca este ícono deberás realizar la actividad en parejas. Cuando aparezca este ícono las actividades debes desarrollarlas en grupos de 4 a 6 integrantes.4
  3. 3. Proyecto en equipo En estas páginas pondrás en práctica los conceptos aprendidos en la Unidad a través del trabajo en equipo. Incluye una Coevaluación que evalúa tu desempeño y el de tus compañeros y compañeras, para así retroalimentar el trabajo realizado en el grupo. ¿Qué aprendí? En estas páginas encontrarás actividades semejantes a las abordadas en la Unidad, que evalúan todos o la mayoría de los contenidos matemáticos trabajados en ella. Incluye una Autoevaluación que evaluará tu percepción y tu actitud frente al aprendizaje logrado. AL DISCO DURO De manera directa y de fácil comprensión, en esta sección encontrarás una síntesis de los AHORA TÚ principales conceptos necesarios para lograr el dominio de los objetivos o temas planteados. En esta sección deberás desarrollar actividades con un compañero o compañera donde deberán aplicar lo CONEXIÓN CON aprendido, exponiéndolo En esta sección tendrás la oportunidad de relacionar el contenido abordado en la Unidad con luego en el diario mural de otras materias o áreas del conocimiento, con Internet u otros medios tecnológicos. la sala de clases.MÁS DE UN CAMINOPresenta diferentes estrategias de resolución para que elijas la que se acomode a tuestructura de pensamiento y razonamiento. ¿SABÍAS QUE...?INGRESA A LA PÁGINA WEB_ Aquí encontrarás datos curiososEn esta sección encontrarás páginas Web, donde ubicarás material complementario o de del tema abordado en laprofundización de los temas tratados. Unidad. 5
  4. 4. ÍNDICEUNIDAD 1 / NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 8“Publicando en el colegio” Leyendo y escribiendo números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Comparando y ordenando números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Componiendo y descomponiendo números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Representando fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fracción de un número natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Comparando fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Fracción de un número natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Fracciones equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Relacionando fracciones decimales con números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ordenando y comparando números decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Sintetizando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Proyecto en equipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Que aprendí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40UNIDAD 2 / MÚLTIPLOS, DIVISORES Y FACTORES PRIMOS 42“Nuestra pequeña cruz roja” Recordando la multiplicación y múltiplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Números primos y compuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Factores primos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Nuevas formas de multiplicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Divisores y máximo común divisor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Repartos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Sigamos ejercitando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Resolviendo situaciones a través de un diagrama, esquema o dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Resolviendo situaciones a través de una tabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Redondeando para resolver situaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Sintetizando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Proyecto en equipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Que aprendí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70UNIDAD 3 / NÚMEROS Y OPERATORIA 72 “Proyecto América: Feria turística escolar” Adición y sustracción de números naturales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Aproximación o redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 De número natural a fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Recogiendo información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Fracciones con distinto denominador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Sustracción de fracciones con distinto denominador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Sumando y restando decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Sintetizando lo aprendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Proyecto en equipo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Que aprendí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
  5. 5. UNIDAD 4 / ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA 100 “De paseo por la geometría” Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ángulos rectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Medición de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Relacionando dos ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Ángulos entre rectas paralelas cruzadas por una transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Polígonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Ángulos interiores y exteriores de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Ángulos interiores de un cudrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Sintetizando lo aprendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Proyecto en equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Que aprendí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132UNIDAD 5 / DATOS Y AZAR 134 “Tiempo de elecciones” Gráficos y tablas de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Gráficos por computador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 ¿Qué probabilidades tengo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Sintetizando lo aprendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Proyecto en equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Que aprendí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150UNIDAD 6 / GEOMETRÍA 152 “Recorriendo una feria especial” Perímetro de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Polígonos y sus medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Área de un polígono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Practica jugando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Sintetizando lo aprendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Proyecto en equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Que aprendí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Material recortable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 7
  6. 6. UNIDAD 1 / NÚMEROS NATURALES, “Publicando en el colegio”Carlos participa en la editorial de su colegio, llamada “La Lupa”. Su misión esinvestigar y crear artículos interesantes para colocarlos en los boletines y revistas dela editorial. A veces también participa en la creación de diccionarios o almanaques.1 ¿Alguna vez has utilizado diarios, revistas, diccionarios o almanaques como fuentes de investigación para realizar tus proyectos o tareas escolares? ¿Cuáles? ¿Con qué frecuencia?2 ¿Crees que la Matemática está presente en alguno de estos textos? ¿En cuáles? ¿Por qué?3 Observa un diario, una revista y un diccionario. ¿En qué partes podemos encontrar la Matemática? Indícalas. Comenta. En esta Unidad aprenderás a: ● Conocer y descubrir en tu vida, distintos tipos de números: naturales, fracciones y decimales. ● Leer, escribir y ordenar distintos tipos de números. ● Descomponer y componer los números en forma aditiva. ● Comparar y establecer equivalencias entre fracciones, naturales y decimales. ● Ubicar fracciones en la recta numérica entre dos números naturales. ● Interpretar información basándose en representación de fracciones. ● Relacionar fracción decimal con número decimal.
  7. 7. FRACCIONES Y DECIMALESCarlos y su equipo editorial están revisando diarios y revistas.Observa qué les sucedió. ¡Miren! Aquí aparece un artículo sobre la extinción de los dinosaurios. Se parece a los números del carné de ¡Uff! Ese número identidad. es muy largo... Lo único que sé es ¿Quién sabe que son varios ¡Porque los miles cómo leerlo? millones de años. tienen 4 cifras y este número tiene 8! ¿Cómo lo sabes?1 ¿Por qué crees que tuvieron tantas dificultades para leer este número?2 ¿Te ha pasado alguna vez lo mismo que les ocurrió a ellos? ¿Cuándo? ¿Cómo resolviste esa situación?3 ¿Por qué será necesario conocer este nuevo ámbito numérico? Comenta tus respuestas con tu curso. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 9
  8. 8. Leyendo y escribiendo números naturales AL DISCO DURO Los números de 7 a 9 cifras pertenecen a una familia llamada “millones”. Las posiciones son: CMi DMi UMi CM DM UM C D U Centena de Decena de Unidad de Centena Decena de Unidad de Centena Decena Unidad Millón Millón Millón de Mil Mil Mil Grupos de Grupos de Grupos de Grupos de Grupos de Grupos de Grupos de Grupos de Grupos de 100.000.000 10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1 Todos lo números naturales además de su valor absoluto (valor que indica la cantidad que representa un dígito) tienen un valor relativo, el cual cambia dependiendo de la posición en que se encuentra el dígito. Para leer un número debemos hacerlo de izquierda a derecha, considerando el valor de posición, ya que éste determina el valor que toma el dígito dentro del número. Ejemplo: 7.079.700 UMi CM DM UM C D U 7 0 7 9 7 0 0 siete millones setenta y nueve mil setecientos El dígito 7 tiene distintos valores en este número: El 7 ubicado en la unidad de millón tiene un valor de siete millones (7.000.000). El 7 ubicado en la decena de mil tiene un valor de setenta mil (70.000). El 7 ubicado en la centena tiene un valor de setecientos (700). Lean y comenten 1 Busquen en diarios, boletines y/o revistas, noticias o mensajes que contengan números de 7 o más cifras. 2 Pinten la 7ª, 8ª y 9ª cifra de cada número con color rojo, contando desde la derecha a la izquierda. 3 a) ¿Cuántas noticias o mensajes encontraron con datos mayores que millón? b)¿Cuántas noticias o mensajes encontraron con datos mayores que diez millones y menores que 100 millones? c) ¿Cuántas con datos mayores que cien millones? d)¿Qué estrategia utilizaron para saber cuál noticia o mensaje tenía datos mayores que un millón, diez millones y cien millones? e) ¿Todas las noticias o mensajes que encontraron contenían el mismo tipo de información? Clasifíquenlas.10 UNIDAD 1
  9. 9. Éste es uno de los artículos que seleccionó el equipo de Carlospara que aparezca en el diario del lunes.LA BASURA, UN RECURSO QUE SE BOTASegún estimaciones de la El problema de la basura seComisión Nacional del mide en dos aspectos: unoMedio Ambiente es que cada vez existen(CONAMA), en Chile se menos espacios para botargeneraban, en 1996, la basura (basurales) y otro285.263.000 kg de basura es que se pierdencada mes. Esta cantidad se importantes recursos por norepartía de la siguiente saber aprovechar y reciclarmanera: 138.000.000 kg eran estos desperdicios.producidos en las casas, Por ejemplo, en papel, cada78.250.000 en industrias y año se deja de ganarfábricas, 68.106.000 en la 16.000.000.000 de pesos,construcción y 907.000 kg 1.100.000.000 en vidrio yen los hospitales. 516.000.000 en latas de aluminio. Fuente: Adaptado de www.ecoeduca.cl/pageset/Preguntas_Respuestas/residuos.asp1 ¿Cuál es el título del artículo?2 ¿Cuántos kilogramos de basura generaba Chile cada mes en 1996? ¿SABÍAS QUE...?3 ¿En qué rubro se generaba menor cantidad de basura? La gente comúnmente4 ¿En qué rubro se generaba mayor cantidad de basura? utiliza la palabra “kilo” para referirse a la5 ¿Qué estrategia utilizaste para dar respuesta a estas preguntas? unidad de masa de Explica. “kilogramo”.6 ¿Qué sugerencias harías para revertir esta situación? Escríbelas en tu cuaderno y comenta.¡Practica!1 Construye en tu cuaderno una recta numérica y ubica las cantidades aproximadas de basura que aparecen en el artículo publicado.2 Define los intervalos y el número de inicio.3 Escribe con palabras la cantidad de basura generada en 1996, en la mitad del año.4 ¿Cómo se lee la cantidad de pérdida por no reciclar el papel? NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 11
  10. 10. Comparando y ordenando números naturales Sí, imagínate que de Santiago a Arica hay 2.074 km, aproximadamente. ¿Te imaginas cuántas veces tendríamos que ir de aquí allá ¡Uff! ¡Qué lejos está para igualar la distancia de la la Tierra del Sol! Tierra al Sol? ¡Tendríamos que Para igualar la ir 72.131 veces! distancia de la Tierra al Sol tendríamos que caminar ¡1.496 millones Y si lo comparáramos de cuadras! con las cuadras que caminamos diariamente, debemos recordar que en diez cuadras recorremos aproximadamente 1 km. PLANETA DISTANCIA AL SOL EN KILÓMETROS Tierra 149.600.000 Marte 227.900.000 Mercurio 57.900.000 Venus 108.200.000 1 ¿Qué artículo interesante podría escribir Carlos con esta información? ¿SABÍAS QUE...? Sugiérele tres ideas. Escríbelas en tu cuaderno. En 1995, a la empresa 2 De acuerdo con la información de la tabla, ¿cuál planeta está más Modern Times Group lejos del Sol? ¿Cuál planeta está más cerca del Sol? Explica cómo lo (MTG) se le ocurrió la supiste. idea de distribuir en el 3 Compara la distancia de los planetas al Sol con otros referentes que te metro de Estocolmo (Suecia) un “diario sean conocidos, tal como lo hizo Carlos. Comenta tus respuestas con gratuito”. Debido a su tu curso. gran aceptación, MTG masificó la idea a los ¡Practica! metros de otros países, 1 Compara las siguientes cantidades, cópialas en tu cuaderno y luego donde actualmente los distribuye con una coloca el signo > o < según corresponda: circulación de 4.500.000 a) 5.490.000 ________ 5.940.000 ejemplares diarios, entre b) 12.300.120 ________ 17.300.500 los cuales está Chile. hhttp://en.wikipedia.org/wiki/ c) 7.892.000 ________ 7.592.000 Modern_Times_Group d) 25.000.000 ________ 31.000.00012 UNIDAD 1
  11. 11. MÁS DE UN CAMINOPara comparar números grandes de igual cantidad de cifras debemos alinearlos y luego fijarnosen el dígito que está ubicado en la primera posición de izquierda a derecha. Si éstos son iguales,debemos fijarnos en el dígito ubicado en la posición inmediatamente siguiente (de izquierda aderecha) y así sucesivamente, hasta que en alguna posición los dígitos sean distintos.Ejemplo: Tenemos las siguientes cantidades: 25.700.800 y 29.600.000. Queremos saber cuál número es mayor, entonces: DMi UMi CM DM UM C D U 2 5 7 0 0 8 0 0 2 9 6 0 0 0 0 0En este caso, el valor de posición mayor corresponde a la Decena de Millón. Aquí tenemos elmismo dígito: 2, en todas las cantidades. Entonces, observamos el dígito que está en laposición inmediatamente siguiente, la cual es UMi. Aquí tenemos 5 y 9. Como sabemos que9 > 5, entonces decimos que el número mayor es aquél que tiene al 9 en la posición de UMi,o sea, el número mayor es 29.600.000.En caso de que los números grandes tengan distinta cantidad de cifras, es mayor el que tienemás cifras significativas. ¡Lean y comenten!1 Observen lo que escribió Antonia en su artículo para el periódico. Los planetas y el Sol L os planetas se formaron hace unos 4.500 millones de años, al km de distancia, el cual se demora aproximadamente 59 días en girar en torno a mismo tiempo que el Sol. él, o a Júpiter que está a Debido a la gravedad y a 778.330.000 km y que lo las colisiones, los planetas rodea aproximadamente se fueron distanciando de en 10 días, o también, a este astro. nuestro planeta Tierra que Actualmente, mantiene 149.600.000 km encontramos por ejemplo, de distancia a esta a Mercurio a 57.910.000 estrella.2 Respondan en su cuaderno, de acuerdo al artículo. a) Escriban los números pertenecientes a la familia de los millones. b)Ordénenlos de mayor a menor. c) ¿Qué planeta tiene mayor distancia que 45 millones; pero menor distancia que 67 millones? d)¿Qué planeta tiene mayor distancia que 98 millones; pero menor distancia que 200 millones? e) ¿Qué planeta tiene mayor distancia que 800 millones; pero menor distancia que 990 millones?3 Revisen y comenten sus respuestas con el curso. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 13
  12. 12. Componiendo y descomponiendo números naturales El equipo editorial decidió colocar en la revista un reportaje a la señora Juanita, quien se ganó un premio de $ 12.532.405 en el “Raspa y Suerte”. AHORA TÚ En parejas, inventen un boleto de “Raspa y Suerte”. Para ello, decidan si el boleto será ganador o no y qué premio tendrá. (Recuerden que los 10.000.000 Dos millones 10.000.000 1 DMi + 2 UMi + 2.000.000 cuatrocientos + 2.000 + 5 CM +3 DM boletos ganadores + 400 pesos + 400 + 5 pesos + 2 UM + 4 C + 5 U mil deben tener la cifra + 5 pesos repetida 3 veces, Doce millones expresada de Doce millones 1 DMi quinientos $2.900.400 diferentes maneras). quinientos + 2 UMi treinta y dos mil Luego, pínchenlo en treinta y dos mil + 4C+5U cuatrocientos el diario mural e cuatrocientos cinco pesos inviten a sus cuatro pesos Doce millones 2 millones Doce millones compañeros y + 632 mil + 900 mil + 532 mil compañeras a $12.532.405 + 404 pesos + 400 pesos + 405 pesos descubrir si son ganadores. 1 Encuentra el raspe ganador de la señora Juanita. Éste debe tener el monto del premio repetido tres veces. Márcalo. ¿Qué estrategia utilizaste para saberlo? 2 ¿Pudiste leer todos los números? ¿Qué diferencias hay entre cada número? MÁS DE UN CAMINO Un número se puede expresar de diferentes maneras: • Con cifras: 25.780.612 • Con palabras: veinticinco millones setecientos ochenta mil seiscientos doce • En forma abreviada: 25 millones + 780 mil + 612 • Según el nombre de la posición en que se encuentran: 2 DMi + 5 UMi + 7 CM + 8 DM + 6 C + 1 D + 2 U • En forma extendida o desarrollada: 20.000.000 + 5.000.000 + 700.000 + 80.000 + 600 + 10 + 2 ¡Practica! 1 Con la información del ejercicio anterior, descompone en tu cuaderno los números ordenados de acuerdo a: - la forma abreviada según el nombre de la posición. - la forma extendida o desarrollada.14 UNIDAD 1
  13. 13. ¡Practica!Copia en tu cuaderno los siguientes ejercicios y responde. 1 Escribe el nombre de la posición del dígito destacado: a) 18.512 __________________________________ b) 315.698 __________________________________ c) 2.324.129 __________________________________ d) 1.084.221 __________________________________ 2 Escribe el valor que tiene el dígito destacado según su posición: a) 322.554 __________________________________ b) 1.642.308 __________________________________ c) 840.000 __________________________________ d) 5.772.320 __________________________________ 3 Escribe tres números con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 donde el valor del 4 corresponda a 40.000, 400.000 y 4.000.000. 4 Completa la tabla con una V si la afirmación es verdadera o una F, si es falsa. Justifica las falsas. a) En el número 36.000.907, el dígito 6 tiene un valor de 6 millones. b) En el número 154.598.000, el dígito 9 ocupa la posición de la centena de mil. c) En el número 80.020.111, el dígito 8 tiene un valor de 8.000.000 d) En el número 214.496.600, el dígito 1 ocupa la posición de la decena de millón. e) El número 226.600.000 se escribe en palabras como “doscientos veintiséis mil seiscientos”. f) El número 28.000.200 se escribe en palabras como “veintiocho mil doscientos”.INGRESA A LA PÁGINA WEB_Si quieres saber más sobre la equivalencia de las distintas posiciones de un número en el sistema denumeración decimal, utiliza el siguiente buscador de la red: http://www.icarito.cl. Haz clic donde dice“El buscador” y se abrirá una nueva ventana. Escribe en el casillero “equivalencia de númerosnaturales” y aprieta el botón “Búsqueda”. Obtendrás un sitio con explicaciones y ejemplosrelacionados al tema. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 15
  14. 14. Representando fracciones El colegio de Martín y Lorena tiene elecciones de Centro de Alumnos y a ellos les tocó ser vocal de mesa, es decir, entregar el papel del voto y chequear que el alumno no haya votado antes. Para los estudiantes que no sabían cómo iban las votaciones, hicieron el siguiente cartel con figuras que están divididas en partes iguales: RESUMEN PAR CIAL DE VOTOS Cantidad de vo tos que lleva hasta el momento el candidato A . Cantidad de vo tos que lleva hasta el momento la candidata B . Cantidad de vo tos que lleva hasta el momento el candidato C ¿SABÍAS QUE...? . La Constitución Política Cantidad de vo de la República de tos que lleva hasta el momento Chile consagra el la candidata D . derecho a voto para los chilenos y chilenas mayores de 18 años. Es un acto voluntario; sin embargo, para poder ejercer este 1 ¿De qué otra forma lo podrían haber expresado? ¿Qué otras derecho, uno debe regiones podrían haber utilizado? Dibuja al menos tres ejemplos inscribirse en los en tu cuaderno. registros electorales. 2 Si te pidieran escribir numéricamente las representaciones de http://www.senado.cl/prontus4 Martín y Lorena, ¿cómo las escribirías? ¿Por qué lo harías así? _senado/antialone.html?page= http://www.senado.cl/prontus4 Explica. _info_general/site/artic/200407 3 Lorena también representó lo siguiente: 05/pags/20040705105909.html ¿Qué crees que significa lo representado? Comenta. 4 Revisa tu trabajo con tu curso.16 UNIDAD 1
  15. 15. Fracción de un número naturalLa editorial La Lupa ha seguido de cerca la elección del nuevocentro de alumnos. Toda la comunidad estudiantil participóen las elecciones. Démosle un aplauso al candidato ganador, su nuevo Presidente del Centro de Alumnos, que recibió cinco octavos de los votos. ¡Y también felicitemos a la candidata B, que recibió dos octavos de los votos! mmm... Significa que dividieron el entero en 8 partes iguales, pero el entero aquí son 600, porque ésta es la ¿Cinco octavos cantidad total de votos. Entonces de los votos? ¿Y deberíamos preguntarnos ¿qué cuánto es eso? fracción es 375 de 600? ¿Y eso será más o menos de la mitad de votos?Para responder esta RESULTADOS VOTACIONES 5º Bpregunta Mané y sus TOTAL DE ESTUDIANTES = 600amigas elaboraron el GANADOR: 375 VOTOS = 5 DE LOS 600 VOTOS.siguiente 8papelógrafo que fue 2 2° LUGAR: 150 VOTOS = DE LOS 600 VOTOS.revisado y aprobado 8por su profesora. 1 3° LUGAR: 50 VOTOS = DE LOS 600 VOTOS. 12 1 4° LUGAR: 25 VOTOS = DE LOS 600 VOTOS. 241 Construye en tu cuaderno una recta numérica con los resultados de la votación. Numérala de 25 en 25 hasta 600.2 Debajo de los valores obtenidos en la elección escribe la fracción que le corresponda.3 Ordena las fracciones de menor a mayor. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 17
  16. 16. AL DISCO DURO La palabra fracción significa “parte de la unidad o conjunto de partes iguales de un todo”. Algunos de sus sinónimos son: trozos, pedazos, partes, fragmentos, entre otros. Sus términos son: numerador y denominador. 1 Numerador indica las partes que se toman o consideran del entero. 2 Denominador indica las partes en que se ha dividido el entero. El nombre de cada fracción está determinado por el denominador. Por lo tanto, al leer una fracción debemos nombrar el numerador y agregarle la palabra que le corresponde a su denominador. Por ejemplo, en estas regiones que están divididas en partes iguales, las fracciones representadas por la parte pintada se leen y escriben así: Un medio Un quinto Un octavo 1 1 1 2 5 8 (1 de 2) (1 de 5) (1 de 8) Un tercio Un sexto Un noveno 1 1 1 3 6 9 (1 de 3) (1 de 6) (1 de 9) Un cuarto Un séptimo Un décimo 1 1 1 4 7 10 (1 de 4) (1 de 7) (1 de 10) Las fracciones que tienen el denominador Fracción Se lee... mayor a 10 se leen agregándole al 1 denominador la terminación avo. “Un décimo” 10 Ejemplo: 2 1 “Un centésimo” La fracción se lee “dos treceavos” 100 13 Las fracciones que tienen denominador 10, 1 “Un milésimo” 100, 1.000 ... es decir, una potencia de diez, 1.000 reciben nombres especiales como se describen 1 en la tabla. “Un diezmilésimo” 10.000 Ahora vuelve a las representaciones de arriba e 1 “Un cienmilésimo” 100.000 indica cómo se leen y escriben las fracciones de las partes NO pintadas. ... ...18 UNIDAD 1
  17. 17. Comparando fraccionesEl director del colegio le envió a Carlos el gráfico que muestralos resultados finales de las votaciones para el Centro deAlumnos, para que lo publique en el diario. Recuento de votos … y entonces ¿quién ganó? A 3 10 B 5 10 1 C 10 1 10 D1 ¿Qué respuesta le darías a Carlos? Escríbela en tu cuaderno. ¿Cómo lo supiste? Explica paso a paso.2 ¿Qué fracción de votos obtuvo cada candidato? Escríbelo. A B C D3 ¿Qué tienen en común estas fracciones? Explica.4 Ordena los candidatos desde el que obtuvo menos al que obtuvo más votos. Escríbelo en tu cuaderno. ¿En qué te fijaste para ordenar las fracciones? Explica paso a paso5 Completa. Para ordenar y comparar fracciones de ________________ denominador, debemos fijarnos en los ___________________. Será mayor la fracción que tenga _________________ mayor. Ejemplo: 7 es mayor que 7 , porque es _______ que .6 Lee, representa y resuelve. 2Alfredo está leyendo Harry Potter y la piedra filosofal. El lunes leyó 5 dellibro. El martes leyó 1 y el miércoles terminó de leerlo. ¿Qué día leyómás? ¿Por qué? 5 NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 19
  18. 18. Lean y comenten 1 Compara las siguientes fracciones, colocando un signo > ó <, según corresponda. 5 3 a) 7 7 8 6 b) 11 11 1 3 c) 6 6 7 9 d) 9 9 2 Utilizando las tiras de fracciones, respondan en su cuaderno. 1 a) ¿Qué tiras de fracciones son menores que 2 ? 1 b)¿Qué tiras de fracciones son iguales que 2 ? 1 c) ¿Qué tiras de fracciones son mayores que 2 ? 3 Copien en su cuaderno la siguiente tabla y completen anotando una fracción que cumpla la condición pedida. <1 = 1 >1 2 2 2 4 Comenten su trabajo con su curso. ¿SABÍAS QUE...? Sólo en 1949 las chilenas lograron un voto político, y en 1952 lograron sufragar por primera vez en una elección presidencial, producto de una constante lucha y de abrirse paso al mundo laboral como telegrafistas, empleadas de comercio, matronas y, sobre todo, como profesoras. Fuente: http://icarito. latercera.cl/enc_virtual/efem/marzo/dia_mujer/chile/pag1.htm20 UNIDAD 1
  19. 19. AL DISCO DUROPara comparar fracciones es importante que el referente, también llamado unidad o entero,sea del mismo tamaño o medida.Es por eso que:Si las fracciones comparadas tienen igual denominador, debemos fijarnos en sus numeradores.La que tenga el numerador mayor será la fracción mayor.Ejemplo: 3 2¿Cuál de estas fracciones, y , es mayor? 7 7Ambas tienen denominador 7, entonces nos fijamos en los numeradores: 3 y 2.¿Cuál es mayor: 3 o 2? 3 2Respuesta: el 3, por lo tanto la fracción es mayor que . 7 7Si las fracciones comparadas tienen igual numerador, debemos fijarnos en sus denominadores.La que tenga el denominador menor será la fracción mayor.Ejemplo: 5 5¿Cuál de estas fracciones y es mayor? 4 9Ambas tienen numerador 5, entonces nos fijamos en los denominadores: 4 y 9.¿Cuál es menor: 4 o 9? 5 5Respuesta: el 4, por lo tanto la fracción es mayor que . 4 9Si las fracciones comparadas tienen distinto numerador y denominador, debemosamplificarlas o simplificarlas, es decir, transformarlas a fracciones equivalentes, de modo deobtener fracciones de igual denominador o de igual numerador y así poder compararlas.Ejemplo:¿Cuál de estas fracciones, 7 y 3 , es mayor? 8 6Como tienen los numeradores y denominadores distintos, las transformamos en fraccionesequivalentes. Para ello:Nos preguntamos, ¿hay algún número que multiplicado o dividido por 7 me dé 3 ? 8 6La respuesta es NO, entonces ...La siguiente pregunta es: ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los denominadores 8 y 6? Larespuesta es 48, entonces amplificamos cada fracción, de modo de obtener como denominador48, obteniendo: 7 x 6 = 42 y 3 x 8 = 24 8 6 48 6 8 48... y ahora comparamos las fracciones equivalentes: 42 y 24 , entonces la fracción 42 es 48 48 48mayor que 24 y como 42 es equivalente a 7 y 24 es equivalente a 3 48 48 8 48 6nuestra respuesta final sería: la fracción 7 es mayor que 3 . 8 6 NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 21
  20. 20. ¡Practica! 1 Compara las siguientes fracciones utilizando el método anterior y responde en tu cuaderno. 15 15 a) ¿Cuál de estas fracciones, 2 y 7 , es mayor? 9 6 b) ¿Cuál de estas fracciones, 21 y 21 , es menor? 30 41 c) ¿Cuál de estas fracciones, 8 y 8 , es menor? 9 9 d) ¿Cuál de estas fracciones, 5 y 3 , es mayor? 2 3 e) ¿Cuál de estas fracciones, 5 y 4 , es mayor? 8 6 f) ¿Cuál de estas fracciones, 2 y 4 , es mayor? 2 Comprueba tus comparaciones representando gráficamente cada par de fracciones. MÁS DE UN CAMINO El método del “Producto cruzado” también nos sirve para comparar dos fracciones y determinar cuál de ellas es mayor. Ejemplo: 3 6 2 4 ¿Cuál de estas fracciones, y , es mayor? ¿Cuál de estas fracciones, y , es menor? 5 7 5 9 3 6 2 4 Entonces: Entonces: 5 7 5 9 Ê Ë Ê Ë Ì Ì 3x7 ¿>o<? 5x6 2x9 ¿>o<? 5x4 Ê Ë Ê Ë Ì Ì Ê Ë Ê Ë Ì Ì 21 30 18 20 Como: 21 < 30 Como: 18 < 20 3 6 2 4 Por lo tanto, < Por lo tanto, < 5 7 5 9 6 2 Respuesta: la fracción es mayor que la Respuesta: la fracción es menor que la 7 5 3 4 fracción . fracción . 5 9 3 Utilizando el método del “Producto cruzado” compara las siguientes , fracciones y responde en tu cuaderno. 4 11 6 7 a) 12 y 7 ¿Cuál es mayor? b) 7 y 6 ¿Cuál es mayor? 36 1 21 21 c) 21 y 2 ¿Cuál es menor? d) 7 y 6 ¿Cuál es menor?22 UNIDAD 1
  21. 21. AL DISCO DUROEn una recta numérica, cada segmento entre dos números naturales representa 1 unidad. Porlo tanto, para ubicar una fracción en la recta numérica primero debemos dividir los segmentos derecta de cada unidad en tantas partes equivalentes como indique el denominador de la fracción.Ejemplo: 5Si la fracción es , cada unidad se divide en tres partes equivalentes, es decir, en tercios. 3 0 1 2 1 4 5 2 7 8 3 3 3 3 3 3 6 3 3 9 3 3 3La recta numérica también nos sirve para comparar fracciones. Para ello debemos representarcada fracción y luego fijarnos cuál de ellas está más lejos del cero en la recta numérica, la queserá la mayor fracción.Ejemplo: 5 1¿Cuál de estas fracciones es mayor: ó ? 8 2Representamos cada una por separado: 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 1 2 1 2 3 2 2 2 Y luego, las representamos juntas, entonces: 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 5 1 Por lo tanto, la fracción es mayor que . 8 2 NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 23
  22. 22. ¡Practica! 1 Ubica en una recta numérica las siguientes fracciones: 6 12 9 18 12 21 8 , 4 , 3 , 4 , 5 y 8 . Luego, ordénalas de mayor a menor. 2 Lee las siguientes situaciones y respóndelas utilizando la recta numérica. a) Angélica y Pablo se compraron cada uno el mismo chocolate. Si 3 1 Angélica regaló 4 de su chocolate y Pablo regaló 2 de chocolate a sus amigos, ¿quién regaló más chocolate? 1 3 b) Para la fiesta, María llevó 8 kg de queso, Gustavo llevó 4 kg 1 de queso y Fernando llevó 1 2 kg de queso. ¿Quién llevó más queso a la fiesta? c) La señora Luisa para hacer un queque usó 1 kilogramo de harina y 4 para hacer las galletas utilizó 4 kg de harina. ¿Para qué producto utilizó más harina? d) Patricio y Marcelo se compraron las mismas bebidas. Patricio se ha 3 2 tomado 5 de la suya, en cambio Marcelo se ha tomado 3 . ¿Quién ha tomado menos bebida? Trabajo en equipo Traigan diferentes objetos a la clase; por ejemplo: botones, tazos, piedras, palos de fósforo, etcétera, y formen cinco grupos que contengan el mismo tipo de elemento con las siguientes cantidades: 10, 11, 12, 13, 14 y 15. 1 Tomen el grupo de 10 objetos y colóquenlo al centro de la mesa. Repártanse la misma cantidad de objetos. ¿Qué estrategia utilizaron para hacerlo? Expliquen. 2 Respondan: ¿Cuántos objetos tiene cada uno? ¿Qué fracción representa del total? ¿Cuántos objetos equivalen a la mitad? 3 Repitan lo mismo con los otros grupos de objetos. ¿Lograron repartirse todos los objetos? ¿Les sobraron? Elaboren una tabla con sus respuestas. 4 Tomen nuevamente el grupo de 10 objetos y repártanselos de manera que uno de ustedes tenga la mitad de ellos. Luego, respondan: ¿A qué fracción equivale esa cantidad? ¿Qué fracción del total tienen los demás compañeros o compañeras? Repitan lo anterior con otros grupos de objetos. 5 Realicen una puesta en común con su curso.24 UNIDAD 1
  23. 23. Fracción de un número natural Lean y comenten1 Representa con diagramas cada expresión. EXPRESIONES “Compré tres kg y medio de tomates”. “Compré una bebida de 1 litro y medio”. “Ocupé 1 kg de azúcar en el queque”. 2 “Llevo viajando 4 horas y un cuarto”.2 ¿Cuántos enteros utilizaron en cada una? ¿A qué fracción equivalen?3 Escriban una conclusión en su cuaderno. AL DISCO DUROEntre los tipos de fracciones encontramos:FRACCIÓN PROPIA: es aquella que es menor que un entero. Su numerador es menor que eldenominador.Ejemplo: 2 El entero se dividió en 3 partes congruentes y 3 se consideraron sólo 2 de ellas, es decir, menos de un entero.FRACCIÓN IMPROPIA: es aquella que es mayor que un entero. Su numerador es mayor que eldenominador.Ejemplo: 8 Un entero 5 Parte de otro enteroFRACCIÓN EQUIVALENTE A LA UNIDAD: es aquélla donde se considera todo el entero. Sunumerador y su denominador son iguales.Ejemplo: 4 4 = 1 El entero se dividió en 4 partes congruentes y se consideraron las 4 partes, es decir, el entero completo. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 25
  24. 24. MÁS DE UN CAMINO Una fracción impropia también se puede escribir como número mixto, es decir, como “números formados por números naturales y números fraccionarios a la vez”. Ejemplo: 2 La fracción impropia 17 se puede escribir como número mixto, quedando como 3 , lo cual se 5 5 lee “3 enteros dos quintos”. Si queremos transformar un número mixto a fracción impropia debemos: “multiplicar el denominador por el entero y luego, sumarle el numerador, obteniendo el numerador de la fracción impropia y se mantiene el denominador que aparecía en el número mixto”. Ejemplo: 2 3 transformado a fracción impropia: 5 Ë 3 2 5 Ì Ê Ë Ì 5 5 5 2 17 porque + + + = 3x5+2 Ê 5 5 5 5 5 Ê Ë Ì 15 +2 Ê Ë Ì 17 17 Por lo tanto: 5 ¡Practica! 1 Observa las representaciones gráficas considerando que cada entero se ha dividido en partes iguales y escribe en tu cuaderno la fracción impropia y el número mixto que le corresponde: a) b) c) 2 Transforma las fracciones impropias a número mixto y viceversa. Trabaja en tu cuaderno. 27 1 3 a) 6 b) 1 2 c) 2 8 2 13 29 d) 8 9 e) 1 10 f) 226 UNIDAD 1
  25. 25. Fracciones equivalentes Lean y comenten1 Copien las tiras de fracciones de la página 196 y píntenlas con los siguientes colores: Color la tira que representa Color la tira que representa El entero Los sextos Los medios Los séptimos Los tercios Los octavos Los cuartos Los novenos Los quintos Los décimos2 Recorten las tiras de fracciones. Si lo desean, pueden forrarlas con cinta adhesiva para que queden más resistentes.3 Utilizando las tiras de fracciones, respondan en su cuaderno. a) ¿Cuántos cuartos cubren completamente un medio del entero? b) ¿Cuántos sextos cubren completamente un medio del entero? c) ¿Cuántos octavos cubren completamente un medio del entero? d) ¿Cuántos décimos cubren completamente un medio del entero? e) ¿Pueden cubrir completamente un medio del entero con otras tiras de fracciones? ¿Cuáles? f) ¿Cuántos medios cubren completamente dos enteros? g) ¿Cuántos cuartos cubren completamente dos enteros? h) Escriban todas las respuestas anteriores en expresión fraccionaria. i) ¿Qué relación observan entre los numeradores de estas fracciones? j) ¿Qué relación observan entre los denominadores de estas fracciones? Escriban sus conclusiones. k) Comenten todo su trabajo con su curso. AL DISCO DURO Se llaman fracciones equivalentes a aquellas que aunque se escriben diferente representan la misma cantidad de un conjunto o una región. Ejemplo: 2 1 Comerse de una pizza, es equivalente a comerse de ella. 8 4 Todas las fracciones que son equivalentes entre sí reciben el nombre de “Familia de fracciones equivalentes” y se ubican en el mismo punto en la recta numérica. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 27
  26. 26. MÁS DE UN CAMINO Una forma de saber si dos o más fracciones son equivalentes es representándolas gráficamente, cuidando que la medida del entero que tomemos sea la misma para ambas y luego superponiendo las regiones. Si éstas coinciden, son fracciones equivalentes. Ejemplo: 3 1 ¿Las fracciones y serán equivalentes? 6 2 Nuestro entero será: Representemos 3 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 6 Representemos 1 1 1 2 2 2 Ahora, superponemos cada tira. 1 1 1 6 6 6 1 2 Respuesta: Como ambas tiras coinciden, podemos concluir que las fracciones 3 y 1 6 2 son equivalentes. Otra forma de saberlo es amplificando (multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número natural) o simplificando (dividir el numerador y el denominador por un mismo número natural) una de las fracciones, de modo de obtener una fracción igual a la otra, es decir, equivalente. Siguiendo con el ejemplo anterior: Amplificando: Simplificando: La pregunta que debemos hacernos es: La pregunta que debemos hacernos es: ¿Por qué número natural podemos ¿Por qué número natural podemos multiplicar el numerador y el dividir el numerador y el denominador de la fracción 1 para que denominador de la fracción 3 para que 2 6 se transforme en 3 ? se transforme en 1 ? 6 2 La respuesta sería: “por 3”, porque: La respuesta sería: “por 3”, porque: 1x3=3y 3:3=1y 2 x 3 = 6, entonces 6 : 3 = 2, entonces 1x3 3 3:3 1 = = 2x3 6 6:3 2 Por lo tanto, las fracciones 1 y 3 Por lo tanto, las fracciones 3 y 1 2 6 6 2 son equivalentes. son equivalentes.28 UNIDAD 1
  27. 27. ¡Practica!Trabaja en tu cuaderno1 Utilizando la amplificación o la simplificación, encuentra 6 fracciones equivalentes a: 24 a) 60 = { } 3 b) 6 = { } 4 c) 15 = { } 80 d) 160 = { }2 Observa las fracciones equivalentes. Completa la tabla determinando si se amplificó o simplificó la primera fracción, y por qué número natural se hizo, para obtener la segunda fracción. FRACCIONES EQUIVALENTES ¿Se amplificó o simplificó? ¿Por qué número natural? a) 2 y 4 3 6 b) 40 y 4 30 3 c) 8 y 32 14 56 d) 25 y 5 15 33 Demuestra gráficamente si las siguientes fracciones son equivalentes y luego completa con un SÍ o un NO las oraciones. 6 9 a) Las fracciones 9 y 6 ______ son equivalentes. 9 6 b) Las fracciones y 8 ______ son equivalentes. 12 15 3 c) Las fracciones 20 y 4 ______ son equivalentes. 6 4 d) Las fracciones 18 y 12 ______ son equivalentes. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 29
  28. 28. MÁS DE UN CAMINO Un método eficaz para saber si dos fracciones son equivalentes es el “producto cruzado”, que consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y viceversa. Si sus productos son iguales, significa que las fracciones son equivalentes. Ejemplo: ¿Las fracciones 2 y 10 serán equivalentes? 3 15 Entonces: 2 10 ¿ 2 x 15 = 3 x 10 ? 3 15 Ê Ë Ê Ë Ì Ì 30 30 Como 30 = 30 Entonces, las fracciones 2 y 10 son equivalentes. 3 15 ¡Practica! 1 Utilizando el método de “producto cruzado” comprueba si las , siguientes fracciones son equivalentes. Trabaja en tu cuaderno. 1 3 6 9 2 8 1 4 a) 2 y 5 b) 9 y 7 c) 7 y 28 d) 2 y 8 2 Lee y resuelve en tu cuaderno. Cinco estudiantes del 5º B midieron las palmas de sus manos con una 1 1 1 regla. Las medidas que obtuvieron fueron: 10 2 cm, 11 2 cm, 10 2 cm, 1 1 12 2 cm y 11 2 cm. Si quieren ordenar las medidas de menor a mayor, ¿cuál sería el orden? a) Confecciona una recta numérica definiendo los intervalos para ubicar y marcar las medidas en el orden mencionado. b) ¿Cuáles fueron tus referentes para ubicar las cantidades? c) ¿En qué te basaste para ordenar de mayor a menor? Explica. Lean y comenten 1 Completa en tu cuaderno la recta numérica con las siguientes cantidades. Trabaja con las “tiras de fracciones”. 3 5 4 3 2 6 1 1 8 5 3 8 3 5 4 2 2 2 0 1 4 3 4 15 6 2 3 2 ¿En qué se basaron para ubicar 4 ? Expliquen. ¿Cómo descubrieron la ubicación de cinco enteros? Expliquen. ¿Qué método utilizaron para completar la recta numérica? Expliquen.30 UNIDAD 1
  29. 29. Relacionando fracciones decimales con números decimalesPedro y Juan realizaron una colecta durante una semana enlos recreos, a la entrada y salida del colegio. El objetivo erareunir fondos y realizar actividades con la nueva directiva. DINERO RECAUDADO $ 350.000 SE DESTINARÁ PARA: ¿A qué destinaron 1 IMPLEMENTOS DEPORTIVOS = 0,1 más dinero? 10 1 PREMIOS PARA ACTIVIDADES DEPORTIVAS = 0,01 100 No sé. EL RESTO SE DEPOSITARÁ PARA NUEVOS PROYECTOS. DEJA TUS SUGERENCIAS EN LA CAJA A LA ENTRADA DEL COLEGIO. Lo que yo sé es que una parte de 10 es más que tener una parte de 100.1 ¿Cómo podríamos averiguar qué cantidad es mayor? ¿Qué métodos conoces?2 Traza en tu cuaderno un cuadrado de diez cuadraditos por lado. Divídelo trazando líneas verticales cada dos cuadraditos. Luego en forma horizontal, cada cinco cuadritos. Pinta un rectángulo de los 10 que hay.3 Traza el mismo cuadrado debajo del anterior y repártelo en cien cuadraditos. Pinta un cuadradito de los 100 que hay.4 Compara ¿cuál representa la cantidad mayor? ¿Por qué? Explica.5 ¿Qué pasaría si representáramos en un cuadrado con las mismas 1 dimensiones que el anterior 1.000 = 0,001? Explica.6 Ordena de menor a mayor: 0,01- 0,1- 0,001 NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 31
  30. 30. AL DISCO DURO Los décimos, centésimos y milésimos se pueden escribir en forma de fracción (decimal) o en forma de número decimal. Esta región está dividida en 10 partes iguales. Cada parte es un DÉCIMO de la región. Forma de fracción Forma decimal 1 0,1 10 Esta región está dividida en 100 partes iguales. Cada parte es un CENTÉSIMO de la región. Forma de fracción Forma decimal 1 0,01 100 Esta región está dividida en 1.000 partes iguales. Cada parte es un MILÉSIMO de la región. Forma de fracción Forma decimal 1 0,001 1.000 ¡Practica! 1 Completa la tabla. Representación Fracción Nº decimal Se lee 15 100 Ciento veinticinco milésimos 2 ¿Qué relaciones puedes establecer entre las fracciones decimales y los números decimales según la información de la tabla anterior? 3 ¿Por qué crees tú que ambos números llevan escrita la palabra decimal? Explica. 4 Si tuvieras que explicarle a un amigo o amiga qué es un número decimal, ¿qué le dirías?32 UNIDAD 1
  31. 31. Ordenando y comparando números decimalesPaula y sus amigos han recibido los resultados de una pruebade Comprensión de la sociedad. Están comparando sus notasy evaluando la situación. ¡Uf! Me salvé, tengo Con este 3,8 que me un 5,6. Paula, ¿qué saqué estoy perdido. nota obtuviste? Un 7,0. Valió la Necesito llegar a 4,6 pena poner para no dar examen. ¡Tanto que estudié atención en clases. ¿Cuánto me faltaría? y me saqué un 6,0. Yo quería un 7,0! 5,6 Patricio 7,0 Carolina 3,8 Paula 6,0 Pedro1 ¿Han vivido esta situación alguna vez? ¿Con cuál de estos estudiantes te identificas? ¿Por qué?2 ¿Con cuántas décimas más Pedro llegaría a un 4,6?3 El profesor dijo que no darán examen los alumnos que en la próxima prueba tengan nota sobre 4,5. Escribe en tu cuaderno 10 notas que salvarían a Pedro de dar el examen.4 Copia y completa la siguiente tabla en tu cuaderno. - Compara las notas obtenidas por los estudiantes de este grupo. - Marca con una X el nombre de quien corresponda para cada situación. Situación Patricio Paula Carolina Pedro Su nota es seis enteros y 10 décimas. Obtuvo 14 décimas menos que Paula. Le faltaron diez décimas para obtener lo que quería. Su nota también se lee tres enteros y veintiséis décimos. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 33
  32. 32. AL DISCO DURO Los números decimales son números con coma que nos permiten expresar cantidades de forma más precisa. Todo número decimal posee dos partes, una parte entera a la izquierda de la coma y una parte decimal a la derecha de la coma. Ejemplo: 2, 035 Parte Parte decimal entera La parte decimal de un número decimal tiene las siguientes posiciones: D U , d c m Dm Cm decena unidad coma décimo centésimo milésimo Diez milésimo Cien milésimo Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera tal cual como se leen los números naturales y luego, la parte decimal diciendo el nombre de la posición que ocupa la última cifra. Ejemplo: NÚMERO DECIMAL LECTURA DESCOMPOSICIÓN 25, 038 Veinticinco enteros, treinta y ocho milésimos 2D + 5U + 0d + 3c + 8 m 151, 2 Ciento cincuenta y un enteros, dos décimos 1C+ 5D+ 1U + 2d 0, 86 Ochenta y seis centésimos 8d + 6c ¡Practica! 1 En tu cuaderno, ordena de menor a mayor las notas obtenidas por los estudiantes. ¿SABÍAS QUE...? 2 Ubícalas en una recta numérica. Copia el modelo. El inventor de los números decimales fue un matemático, 3 4 5 6 7 científico e ingeniero belga-holandés llamado Simón Stevin, hace 3 Marca en ella las notas y para cada una escribe cómo se leen y luego cuatro siglos. descomponlas según el valor posicional de sus dígitos. Trabajo en equipo Observa las equivalencias 14 7 = 2 = 7,0 1 Representen con diagramas y comprueben si esta relación de igualdad es verdadera o falsa. Expliquen.34 UNIDAD 1
  33. 33. MÁS DE UN CAMINOPara comparar números decimales debemos alinearlos según su valor posicional y luegofijarnos en la PARTE ENTERA de cada número.Ejemplo: 3,1 y 2,971 Es mayor 3,1 ya que está formado por 3 unidades y el otro sólo por 2.Si la parte entera es igual, se deben comparar los DECIMALES. Será mayor el decimal quetenga más décimos.Ejemplo: 3,25 y 3,101 Es mayor 3,25; ya que tiene 2 décimos y el otro número sólo tiene 1.Si la parte entera y los décimos son iguales; entonces se deben comparar los CENTÉSIMOS.Será mayor el número que tenga más centésimos.Ejemplo: 15,239 y 15,28 Es mayor 15,28; ya que tiene 8 centésimos y el otro número sólo tiene 3.Si la parte entera, los décimos y los centésimos son iguales; entonces se deben comparar losMILÉSIMOS y así sucesivamente.En el caso que al comparar dos números decimales no tengan igual cantidad de dígitosdespués de la coma, estos deben igualarse, colocando tantos ceros a la derecha del númerocomo cifras en la parte decimal tenga el otro número.Ejemplo: 10,9 y 10,148 10,900 es mayor que 10,148 ¡Practiquen!1 Recorten las tarjetas de la página 75.2 Formen todos los números decimales, con 3 cifras después de la coma, posibles de armar con ellas. Escríbanlos en el cuaderno y respondan: a) ¿Cuál es el mayor número decimal que formaron? b) ¿Cuál es el menor número decimal que formaron? c) ¿Cómo lo supieron? Expliquen paso a paso.3 Jueguen a “Números desafiantes”. Para ello: a) El primer jugador debe formar un número que tenga 3 cifras decimales, utilizando todas las tarjetas, leerlo en voz alta y decir al otro jugador una condición para que éste forme un número decimal mayor o menor al suyo. Ejemplo: “Forma un número decimal mayor en dos unidades al mío”. b) El otro jugador debe formar el número decimal pedido, según la condición dada por el primer jugador. Si el número formado es correcto, ganan un punto ambos jugadores y le toca el turno al segundo jugador. Si es incorrecto, el primer jugador debe repetir el procedimiento. c) Gana el juego quien acumule más puntos. Observaciones: Las condiciones deben ir aumentando la exigencia, por ejemplo, “forma un número decimal menor en 2 décimos ¡Manos a la obra! NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 35
  34. 34. R A C I C A J U G N D O P T A “Buscando equivalencias” Materiales • 26 tarjetas de fracciones y decimales. 1 3 5 7 9 2 4 10 10 2 10 4 10 6 10 8 10 1 5 3 5 5 10 10 10 10 10 5 5 5 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 Instrucciones 8 Revuelvan las tarjetas y pónganlas boca 1 Antes de jugar copien en una cartulina las abajo. tarjetas que aparecen en la página 189 y 9 Juegan tres niños, el cuarto será el juez, que péguenlas en una cartulina para que evaluará la jugada de sus compañeros. queden firmes y durables. 10 Por turno cada participante saca una tarjeta 2 En una hoja de block tracen una recta y la ubica en le recta numérica, el juez dará numérica del 0 al 1 y marquen desde 0 100 puntos si la respuesta es correcta, de lo nueve rayitas hasta el 1. contrario le dará una segunda oportunidad 3 Poner en el centro de la mesa la hoja de y si acierta le otorgará 50 puntos, de no ser block y las tarjetas con las cantidades a la así pierde su jugada y deberá devolver la vista. tarjeta, revolviéndola con las otras. 4 Jueguen con un set de tarjetas, no más de 11 El alumno que obtenga el mejor puntaje cuatro estudiantes. será el juez del próximo juego. 5 Ubiquen las tarjetas bajo la recta numérica buscando equivalencias. Sugerencia: confeccionen tarjetas con otras equivalencias, de uno a dos, de dos a tres, etc. 6 Pídanle a su profesora que revise lo que Recreen el juego aumentando el grado de hicieron. dificultad. 7 Copien en una hoja la recta numérica con la ubicación correcta de las tarjetas. Reflexionemos. ¿En qué se fijaron para encontrar equivalencias? Expliquen. ¿Qué método ocuparon? ¿Por qué?36 UNIDAD 1
  35. 35. SINTETIZANDO LO APRENDIDO 1 Observa el esquema que sintetiza lo que has aprendido en esta unidad. NÚMERO nos sirven para Comunicar e interpretar información Números naturales Números racionales existen familias de Miles Millones Miles de (tienen (tienen más millones más de 3 de (tienen más de Fracciones Decimales cifras) 6 cifras) 10 cifras) Propias Decimales Impropias 2 Explícale a un compañero o compañera el esquema. Luego cópialo en tu cuaderno. 3 Escribe en tu cuaderno un ejemplo para cada uso de los números. CONEXIÓN CON Estudio y Comprensión de la Naturaleza Uno de los pasos del Método Científico es la etapa de comunicar los resultados; por ello, en muchas oportunidades se emplean los gráficos, ya que a las personas de ciencia les permite inferir, predecir acontecimientos y llegar a establecer conclusiones. NÚMEROS NATURALES, FRACCIONES Y DECIMALES 37

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