Matemática financiera

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Matemática financiera

  1. 1. Curso básico de Matemáticas financieras Con énfasis en diagramas económicos y flujo de operación financiera La importancia de comprender los resultados provenientes de fórmulas y del proceso lógico matemático para hallarlos. Robin Bernardo Puche del Río Incluye22casosprácticosresueltos
  2. 2. Tabla de contenido Acerca del Autor 9 Introducción 10 CAPITULO 1: CONCEPTOS MATEMÁTICOS PREVIOS Generalidades 12 Exponentes 12 Máximo común divisor 15 Mínimo común múltiplo 17 Simplificación de fracciones algebraicas 20 Suma y resta de fracciones algebraicas 21 Multiplicación de fracciones algebraicas 23 División de fracciones algebraicas 24 Logaritmos naturales 24 Porcentajes 26 Operaciones con porcentajes 28 Promedio aritmético 32 Promedio ponderado 32 Promedio geométrico 34 Progresión aritmética 38 Progresión geométrica 42 Solución de ecuaciones lineales 44 Formulación de ecuaciones lineales para la solución de problemas financieros 47 CAPITULO 2: CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Definición de matemáticas financieras 60 Representación gráfica o Diagrama económico 61 Flujo de Operación financiera 62
  3. 3. CAPITULO 3: INTERÉS SIMPLE Definición 64 Valor futuro 64 Valor presente 65 Número de períodos 67 Tasa de interés 68 Anualidades o cuotas uniformes 68 Valor futuro de una anualidad vencida 69 Valor futuro de una anualidad anticipada 71 CAPITULO 4: INTERÉS COMPUESTO Definición 74 Valor futuro 74 Valor presente 92 Número de períodos 99 Tasa de interés 102 Anualidades 105 Valor futuro de una anualidad vencida 105 Anualidades variables o impropias 109 Anualidad vencida dado el valor futuro 112 Valor presente de una anualidad vencida 113 Anualidad vencida dado el valor presente 115 Anualidad anticipada 121 Valor futuro de una anualidad anticipada 121 Valor presente de una anualidad anticipada 123 Anualidad perpetúa 124 Valor presente de una anualidad perpetua vencida 124 Valor presente de una anualidad perpetua anticipada 126 Casos prácticos propuestos 127 CAPITULO 5: INTERÉS NOMINAL E INTERÉS EFECTIVO Interés nominal 132 Interés efectivo 132 Realidad financiera 132
  4. 4. Tasa de interés equivalente 140 Interés efectivo en base al interés cancelado o recibido por anticipado 143 Deducción de la tasa de interés nominal 146 Cálculo de la DTF 154 La retención en la fuente 158 Casos prácticos propuestos 161 CAPITULO 6: INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN Definición de inflación y deflación 166 Definición de devaluación y revaluación 166 Cálculo de la UVR 167 Casos de valor futuro y valor presente basados en la UVR 171 Tasa de interés real 174 Créditos en UVR 178 Rendimiento en moneda extranjera 182 Casos prácticos propuestos 185 CAPITULO 7: GRADIENTES Definición de gradiente 190 Valor futuro de un gradiente aritmético clásico 190 Valor presente de un gradiente aritmético clásico 196 Valor futuro de un gradiente geométrico 201 Valor presente de un gradiente geométrico 207 Cálculo del valor futuro y presente de gradientes anticipados 211 Casos prácticos propuestos 216 CAPITULO 8: EVALUACIÓN FINANCIERA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN Valor presente neto 222 Análisis financiero del VPN 233 Tasa interna de retorno (TIR) 235 Caso práctico para desarrollar en Microsoft Excel 240 _____
  5. 5. Casos prácticos propuestos 243 Solución de casos prácticos 249 FORMULARIO Y RELACIÓN DE TABLAS Y CUADROS Resumen de fórmulas básicas 341 Cuadro No. 1 349 Cuadro No. 2 350 Cuadro No. 3 351 Cuadro No. 4 352 Cuadro No. 5 353 Cuadro No. 6 354 Cuadro No. 7 355 Cuadro No. 8 356 BIBLIOGRAFÍA 357
  6. 6. Curso básico de Matemáticas financieras ________________ 9 ACERCA DEL AUTOR Robin Bernardo Puche del Río, nació en Barranquilla el 06 de julio de 1967. Actualmente casado, forma una hermosa familia junto a su esposa Gloria Guevara y sus dos hijos Fabricio Andrés y Diego José. En el año de 1985 graduó de bachiller académico en el colegio de San José y, durante su paso por la secundaria, demostró su interés por las matemáticas. Ingresó a la Universidad del Norte en el año de 1988 donde realizó tres semestres de Ingeniería de Sistemas. En 1990 realiza transferencia interna al Programa de Administración de Empresas, destacándose en el área Contable, Financiera y de Estadística inferencial. Su carisma como docente empezó a notarse, cuando junto al Dr Domingo Martínez, dirigió la asignatura de Estadística II en calidad de Monitor. Dos años después de su grado como profesional en Administración de Empresas, año 1996, ingresó a la Universidad del Norte como profesor catedrático para asumir la responsabilidad de orientar a los alumnos en las asignaturas de Contabilidad financiera I y Contabilidad financiera II. Los éxitos del Señor Robin en su actividad laboral pueden apreciarse desde sus inicios. Como asesor de microempresas zona norte de la Fundación Mario Santo Domingo (Estudiante en práctica), orientó, capacitó y realizó labores de recuperación de cartera que lo posicionaron dentro de la Organización como un empleado eficiente. En Macautos Ltda, año 1993, se desempeñó como jefe del Departamento de Garantías y del Taller eléctrico. Como funcionario del sector público, perteneció a la División de Evaluación y Monitoreo del Departamento Administrativo de Planeación Distrital durante el período 1995 – 1998, dejando su huella como activo participante, en la elaboración de la metodología para el Sistema de evaluación de gestión y resultados de la Administración pública ajustada al Programa de gobierno del entonces alcalde Edgar George. Durante su estancia en esta última entidad, fue fiel colaborador de las responsabilidades socio - económicas a cargo de la Directora Carmen Martín Bacci. En 1999 logró posicionarse en el mercado de asesorías para personas naturales y pequeños comerciantes. En este último logro, Robin Puche diseñó e implementó herramientas en Microsoft Excel para los diferentes estudios de costos a tenderos dueños y administradores de panaderías en la ciudad de Barranquilla. Su inquietud y actividad en el mercado bursátil permitió el conocimiento del manejo de portafolios de inversión, negociando a través de corredores, acciones y CDT's en la bolsa de valores.
  7. 7. La importancia de comprender los resultados provenientes de fórmulas y del proceso lógico matemático para hallarlos ________________________ 10 INTRODUCCIÓN Este libro comprende una recopilación de conceptos y ejemplos prácticos propios y de otros autores con el objetivo de enfatizar en la importancia de comprender los resultados provenientes de fórmulas y el proceso lógico matemático para hallarlos. Para el logro de lo anteriormente expuesto, se propone especial atención en el Diagrama económico y el Flujo de operación financiera, conceptos de secuencia lógica visual y numérica respectivamente. Las matemáticas financieras es una herramienta que permite entender el valor del dinero en el tiempo y, en este orden de ideas, aspectos financieros como el valor presente, el valor futuro, el interés simple, el interés compuesto, la inflación, la tasa de interés real, el costo de los créditos y la formulación y evaluación financiera de proyectos de inversión. En este punto de la lectura, cabe aclarar que la creación del presente libro está encaminado en un curso básico para que el lector recuerde los conceptos matemáticos previos y se capacite en el área financiera con el propósito de la interpretación de resultados a corto, mediano y largo plazo provenientes de la identificación y análisis de las variables microeconómicas y macroeconómicas propias de los negocios. De acuerdo con lo anterior, la capacitación básica que pretende el contenido de este curso es desarrollar en el estudiante la asimilación eficiente de los conceptos, de tal forma que en la mayoría de los casos, no se requiera la aplicación mecánica de las respectivas fórmulas mediante la memorización de las mismas. La idea será entonces, ayudar a crear en el interesado una lógica matemática que esencialmente permita dominar y, económicamente hablando, el poder adquisitivo del dinero, el costo de oportunidad, la factibilidad de proyectos de inversión (rentabilidad), la capacidad y administración del riesgo financiero del inversionista, la racionalización del gasto y la indispensable visión de diversificar la colocación del dinero a la hora de invertir. Pretendiendo una introducción básica a las finanzas, este libro está dirigido a fortalecer la asignatura de matemáticas financieras y a sus materias afines como las finazas corporativas, mercado de capitales, evaluación de proyectos y finanzas a largo plazo. Gracias a su metodología, será útil para las finanzas personales de trabajadores independientes y para propietarios de empresas y funcionarios responsables de las finanzas. No menos importante, es necesario recalcar que lo primordial hoy en día es la velocidad de los resultados deseados sin dejar en segundo plano la calidad del producto o servicio que finalmente califican nuestros consumidores. Pero de acuerdo con lo anterior, la eficiencia solo se logra si poseemos el talento humano capaz de corregir los posibles errores de las herramientas informáticas de cálculo a una mayor velocidad. De acuerdo con lo anterior, una constante y renovada capacitación permitirán agilidad mental para el provecho de oportunidades y el equilibrio entre el beneficio económico de la empresa y el bienestar social de nuestro entorno. Agradezco a todos los colaboradores y especialmente al Departamento de Investigación de la Corporación Universitaria Reformada por el apoyo brindado para la publicación de este libro.
  8. 8. 11 Capítulo 1 Conceptos matemáticos previos El contenido de este capítulo pretende recordar y reforzar los conceptos matemáticos y algebraicos previos necesarios para el planteamiento correcto de las situaciones financieras y con ello, el camino apropiado para el cálculo de los resultados requeridos. Objetivos específicos: Comprensión y dominio eficiente de los siguientes conceptos:  Exponentes.  Máximo común divisor.  Mínimo común múltiplo.  Simplificación de fracciones algebraicas.  Suma y resta de fracciones algebraicas.  Multiplicación y división de fracciones algebraicas.  Logaritmo natural.  Porcentajes.  Operaciones con porcentajes.  Promedio aritmético.  Promedio ponderado.  Promedio geométrico.  Progresión aritmética.  Progresión geométrica.  Solución de ecuaciones lineales.  Formulación de ecuaciones lineales para la solución de problemas financieros.
  9. 9. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 12 CONCEPTOS MATEMÁTICOS PREVIOS GENERALIDADES Para el dominio correcto de las finanzas y para nuestro caso, el de las matemáticas financieras, es necesario que el estudiante más allá de la comprensión del problema financiero, maneje por lo menos el nivel elemental de las matemáticas y el conocimiento de los principios de álgebra con el objetivo de implementar apropiadamente las técnicas necesarias que debemos aplicar en las fórmulas financieras. Con las dos habilidades anteriores, la mayoría de los casos se reducirán entonces a la comprensión del problema financiero y a la capacidad de formular las ecuaciones correctas que lo identifican. De acuerdo con lo anterior, este breve capítulo estará dirigido a recordar los conceptos matemáticos elementales y los principios básicos de álgebra para la eficiente solución de problemas financieros que involucran la aplicación de las matemáticas financieras. EXPONENTES Los exponentes, llamados también potencias o índices, nos informarán en una operación matemática cuantas veces se multiplicará el número afectado por ese exponente. Así las cosas, la expresión 54 significará que el 5 se multiplicará 4 veces, es decir, la operación matemática sería la siguiente: 5 4 = 625 5 X 5 X 5 X 5 = 625 Comprendido lo anterior, es importante recordar al lector que la exponenciación o potenciación está relacionada estrechamente con el concepto de radicación cuando los exponentes son fraccionarios. De acuerdo a esto, podríamos afirmar la siguiente equivalencia: El numerador de un exponente será la potencia del radicando y, el denominador, el índice de la raíz. Ejemplos de esto son los siguientes: √ √ √ √ √
  10. 10. Conceptos matemáticos previos ________________ 13 Pero para dominar muchas de las operaciones que necesariamente se involucrarán en el estudio de las matemáticas financieras, al igual que el concepto anterior, el estudiante deberá recordar las leyes de los exponentes. Estas son: 1. Producto de dos o más potencias de la misma base: la cual se refiere a que los exponentes del producto se suman dejando la misma base por ser estas iguales. Ejemplo de esto será: a x a y a z = a x + y + z a 3 a 2 a 5 = a 3 + 2 + 5 = a 10 2 3 2 2 2 5 = 2 3 + 2 + 5 = 2 10 = 1,024 2. Cociente de dos potencias de la misma base: la cual se refiere a que los exponentes del cociente se restan dejando la misma base por ser estas iguales. Ejemplos de esto serán: a m / a n = a m – n a 5 / a 2 = a 5 - 3 = a 2 3 5 / 3 2 = 3 5 - 3 = 3 2 = 9 (a x b m) / (a y b n) = a x - y b m – n [ (a 4) (b 6) ] / [ (a) (b 5) ] = a 4 - 1 b 6 - 5 = a 3 b [ (5 4) (4 6) ] / [ (5) (4 5) ] = (5 4 - 1) (4 6 - 5) = 5 3 4 = 500 3. Potencia de una potencia: la cual se refiere a que el exponente de cada uno de los elementos que conforman la potencia se multiplica por el índice que eleva a esta. Ejemplos de esto serán: (a x) y = a x y (a 2) 3 = a (2) (3) = a 6 (4 2) 3 = 4 (2) (3) = 4 6 = 4,096 (a m b n) x = a m x b n x (a 2 b 3) 3 = a (2) (3) b (3) (3) = a 6 b 9 (5 2 2 3) 3 = 5 (2) (3) 2 (3) (3) = 5 6 2 9 = (15,625) (512) = 8,000,000 (a x / b y) m = a x m / b y m (a 4 / b 2) 2 = a (4) (2) / b (2) (2) = a 8 / b 4 (3 4 / 6 2) 2 = 3 (4) (2) / 6 (2) (2) = 3 8 / 6 4 = 6,561 / 1,296 = 5.0625
  11. 11. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 14 4. Conversión de exponente negativo a positivo y viceversa: la cual se refiere a que el exponente de una determinada variable o valor cambiará de signo si esta variable o valor la trasponemos del numerador al denominador o del denominador al numerador. Ejemplos de esto serán: a - m = 1 / a m Siempre y cuando a ≠ 0 3 - 2 = 1 / 3 2 = 1 / 9 (a m b - x) / (a - n b y) = (a m a n) / (b y b x) (a 2 b - 3) / (a - 4 b 5) = (a 2 a 4) / (b 5 b 3) = a 6 / b 8 (2 2 3 - 3) / (2 - 4 3 5) = (2 2 2 4) / (3 5 3 3) = 2 6 / 3 8 = 64 / 6,561 = 0.009754 Visto lo anterior, podremos demostrar de una forma sencilla el porqué toda variable o valor elevado a la cero será 1: a 0 = 1 a 0 = a m a – m a 0 = a m / a m a 0 = 1 Finalmente, veamos como podríamos calcular el valor de m de la siguiente ecuación: 3,200 = 6,000 / (1 + m) 5 Aplicando las leyes y equivalencias de los exponentes tenemos: 3,200 = 6,000 / (1 + m) 5 Eliminando denominadores: 3,200 (1 + m) 5 = 6,000 Sacando la raíz 5º ta a ambos miembros de la ecuación: [ 3,200 (1 + m) 5 ] 1 / 5 = [ 6,000 ] 1 / 5 5.023772 (1 + m) = 5.696790 5.023772 + 5.023772 m = 5.696790 5.023772 m = 5.696790 - 5.023772 5.023772 m = 0.673018 m = 0.673018 / 5.023772
  12. 12. Conceptos matemáticos previos ________________ 15 m = 0.133966 MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor (MCD) de dos o más números, será el producto de sus divisores comunes y, de acuerdo con lo anterior, el mayor divisor por el que se puede dividir cada uno de estos números. A manera de ejemplo, calculemos el MCD de 20 y 40: De acuerdo a la definición y a los divisores comunes encontrados anteriormente, el MCD de 20 y 40 será entonces 2 x 2 x 5 = 20 Otra forma de calcular el MCD sería descomponer por aparte cada número y encontrar los factores comunes de menor exponente para posteriormente hallar su producto. Siguiendo el anterior ejemplo, sería: De acuerdo a este método, podemos observar que el 2 y el 5 son factores comunes, pero si detallamos al divisor común 2, el de menor exponente es el 2 2, por consiguiente el MCD en este caso será; 2 2 x 5 = 4 x 5 = 20 Para comprender aún más este concepto, calculemos ahora el MCD de 12, 15 y 21
  13. 13. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 16 De acuerdo a los divisores comunes encontrados anteriormente, el MCD de 12, 15 y 21 será 3 El cálculo del MCD de 12, 15 y 21 de la otra forma sería: De acuerdo con lo anterior, podemos observar que el único factor común es el 3, por lo tanto el MCD, 3 Concluido lo anterior, podremos extender entonces el concepto a las expresiones algebraicas, donde las letras a escoger para calcular el MCD serán las comunes y, entre ellas, la de menor exponente. Ejemplos para calcular el MCD en expresiones algebraicas serán los siguientes: 1. Calcular el MCD de a2 x, ax2 De acuerdo al anterior ejemplo, las letras a y x son comunes, pero el menor exponente de ambas letras es 1, por lo tanto el MCD será: ax ____________________ 2. Calcular el MCD de 8am3n, 20x2m2 El MCD entre los números se hallará encontrando únicamente los factores (divisores) comunes: Analizando las letras de las expresiones algebraicas, observamos que la letra común es únicamente la m y su menor exponente el 2. De acuerdo con lo anterior, el MCD de las letras será m2 En conclusión, el MCD de 8am3n, 20x2m2 será 4m2 ____________________
  14. 14. Conceptos matemáticos previos ________________ 17 3. Calcular el MCD de 15a2b3c3, 24ab2c4x, 36b4x2c3 El MCD entre los números se hallará encontrando únicamente los factores (divisores) comunes: Analizando las letras de las expresiones algebraicas, observamos que las letras comunes son la b y la c y el menor exponente de estas el 2 y el 3 respectivamente. De acuerdo con lo anterior, el MCD de las letras será b2c3 En conclusión, el MCD de 15a2b3c3, 24ab2c4x, 36b4x2c3 será 3b2c3 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números será sencillamente el más pequeño de los múltiplos comunes entre los números. De acuerdo con lo anterior, una forma simple de comprender el anterior concepto sería observar el análisis al calcular por ejemplo el mínimo común múltiplo de 2 y 3: Los múltiplos de 2 son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, … Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, … Se puede detallar que los múltiplos comunes de los números 2 y 3 son el 6, el 12, el 18 y otros más si continuamos la lista de múltiplos, pero lo importante aquí es destacar que el múltiplo común más pequeño entre el 2 y el 3 es el 6. De acuerdo con lo anterior, el MCM de 2 y 3 será entonces, 6 Para comprender aún más este concepto, calculemos ahora el MCM de 12 y 18 Una forma práctica para calcular el MCM sería entonces: _____
  15. 15. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 18 De acuerdo al análisis anterior el MCM de 12 y 18 será 2 2 x 3 2 = 4 x 9 = 36, es decir, el múltiplo común más pequeño entre el 12 y el 18 es 36. Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 ….. Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72, …… ____________________ Concluido lo anterior, podremos extender entonces el concepto a las expresiones algebraicas, donde las letras a escoger para calcular el MCM serán las comunes y no comunes y, entre ellas, la de mayor exponente. Teoría de mucha importancia para la solución de ecuaciones. Ejemplos para calcular el MCM en expresiones algebraicas serán los siguientes: 1. Calcular el MCM de 2ab2, 4a2b, 8a3 El MCM entre los números será: Analizando las letras de las expresiones algebraicas, observamos que las letras comunes y no comunes involucradas en las expresiones algebraicas son la a y la b y el mayor exponente de estas el 3 y el 2 respectivamente. De acuerdo con lo anterior, el MCM de las letras será a3b2 En conclusión, el MCM de 2ab2, 4a2b, 8a3 será 8a3b2 ____________________ 2. Calcular el MCM de 18a3, 24b2, 36ab3 _____
  16. 16. Conceptos matemáticos previos ________________ 19 El MCM entre los números será: Analizando las letras de las expresiones algebraicas, observamos que las letras comunes y no comunes involucradas en las expresiones algebraicas son la a y la b y el mayor exponente de estas el 3 para ambas variables. De acuerdo con lo anterior, el MCM de las letras será a3b3 En conclusión, el MCM de 18a3, 24b2, 36ab3 será 72a3b3 ____________________ 3. Calcular el MCM de 10 (x + y), 6x2, 9x3y - 9xy3 Para el anterior ejercicio lo primero que debemos hacer es preocuparnos por factorizar la expresión 9x3y - 9xy3. Esto es: 9x3y - 9xy3 9xy (x2 - y2) 9xy (x + y) (x - y) Hallado lo anterior, calcular el MCM de 10 (x + y), 6x2, 9x3y - 9xy3 será lo mismo que calcular el MCM de 10 (x + y), 6x2, 9xy (x + y) (x - y)
  17. 17. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 20 Analizando las letras de las expresiones algebraicas, observamos que las letras comunes y no comunes involucradas en las expresiones algebraicas son la x, la y e igualmente, las expresiones (x + y) y (x - y) donde el mayor exponente de x es 2; el de y, 1; el correspondiente a la expresión (x + y); 1 y el de la expresión (x - y); 1. De acuerdo con lo anterior, el MCM de la parte literal será: x2y (x + y) (x - y) En conclusión, el MCM de 10 (x + y), 6x2, 9xy (x + y) (x - y) será 90 x2y (x + y) (x - y) SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Reducir o simplificar una fracción significa reducirla a su más simple expresión sin que esta cambie su valor y, para que esta tarea sea fácil, debemos recordar las leyes de los exponentes, el MCD y para ciertos ejercicios, los casos de factorización. Ejemplos de esto, serán los siguientes: 1. Simplificar a su más simple expresión: 9x2y3 / 24a2x3y4 9x2y3 / 24a2x3y4 Dividiendo ambos miembros de la fracción por 3 y restando los exponentes de las letras: 3x-1y-1 / 8a2 Pasando las letras con exponente negativo al denominador para cambiar su signo, tenemos: 3 / 8a2xy ____________________ 2. Simplificar a su más simple expresión: 8mn3x2 / 24m4n2x2 8mn3x2 / 24m4n2x2 Dividiendo ambos miembros de la fracción por 8 y restando los exponentes de las letras: m-3n / 3 Pasando las letras con exponente negativo al denominador para cambiar su signo, tenemos: n / 3m3 ____________________ 3. Simplificar a su más simple expresión: 21a8b10c12 / 63a4bc2 21a8b10c12 / 63a4bc2 a4b9c10 / 3 ____________________
  18. 18. Conceptos matemáticos previos ________________ 21 4. Simplificar a su más simple expresión 3ab / (2a2x + 2a3) 3ab / (2a2x + 2a3) Sacando factor común al denominador, tenemos: 3ab / 2a2(x + a) 3a-1b / 2(x + a) 3b / 2a(x + a) ____________________ 5. Simplificar a su más simple expresión (x2 - 2x – 3) / (x – 3) (x2 - 2x – 3) / (x – 3) Factorizando el numerador de la fracción, tenemos: (x - 3) (x + 1) / (x – 3) x + 1 ____________________ 6. Simplificar a su más simple expresión (x2 - y2) / (x2+ 2xy + y2) (x2 - y2) / (x2+ 2xy + y2) Factorizando el numerador y denominador de la fracción, tenemos: (x + y) (x - y) / (x + y)2 (x + y)-1(x - y) (x – y) / (x + y) SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para sumar fracciones algebraicas será necesario recordar los conceptos del MCM, las leyes de los exponentes y, en general, comprender la necesidad de simplificar la expresión algebraica que se obtenga como resultado de la suma o de la resta de dos o más fracciones algebraicas. Para dominar la anterior operación, deberemos seguir los siguientes pasos: 1. Reducir al máximo las fracciones dadas 2. Calcular el MCM de los denominadores de las fracciones algebraicas 3. Dividir el MCM hallado anteriormente entre el denominador de cada fracción algebraica 4. El cociente de cada división multiplicarlo por su respectivo numerador 5. Sumar o restar las expresiones resultante de los pasos 3 y 4 y dicha suma dividirla entre el MCM 6. Simplificar en lo posible la fracción algebraica resultante del paso anterior.
  19. 19. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 22 Ejemplos de sumas y restas de fracciones algebraicas serán los siguientes: El MCM de los denominadores será: 15a2b2 y de acuerdo a esto: = = = Respuesta. ____________________ Factorizando los denominadores que lo requieren: El MCM de los denominadores será: (a - 5) (a + 1) 2 por lo tanto: = = R/. ____________________ Factorizando los denominadores, tenemos: Simplificando la factorización, tenemos: = = = Respuesta. ____________________
  20. 20. Conceptos matemáticos previos ________________ 23 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar fracciones algebraicas será necesario recordar las leyes de los exponentes y, en general, comprender la necesidad de simplificar la expresión algebraica que se obtenga del producto de dos o más fracciones algebraicas. Para dominar la anterior operación, deberemos seguir los siguientes pasos: 1. Descomponer en lo posible los términos de las fracciones que se van a multiplicar. 2. Multiplicar entre si los numeradores y denominadores de las fracciones algebraicas. 3. Simplificar en lo posible la fracción algebraica resultante del paso anterior. Ejemplos de multiplicación de fracciones algebraicas serán los siguientes: ( ) ( ) ( ) Multiplicando los numeradores y denominadores entre sí: = Respuesta. ____________________ ( ) ( ) Descomponiendo en factores las expresiones requeridas: * + * + Multiplicando los numeradores y denominadores entre sí: = Respuesta. ____________________ ( ) ( ) ( ) Factorizando las expresiones requeridas:
  21. 21. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 24 * + * + * + Multiplicando la expresión: = Respuesta. DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para dividir fracciones algebraicas será necesario recordar las leyes de los exponentes y, en general, comprender la necesidad de simplificar la expresión algebraica que se obtenga como resultado de la razón de dos fracciones algebraicas. Para dominar la anterior operación, deberemos seguir los siguientes pasos: 1. Descomponer en lo posible los términos de las fracciones que se van a dividir. 2. Multiplicar el numerador de una fracción por el denominador de la otra y, el denominador de la misma, por el numerador de la otra fracción. 3. Simplificar en lo posible la fracción algebraica resultante del paso anterior. Ejemplo de división de fracciones algebraicas será el siguiente: = = = R/. LOGARITMOS NATURALES Los logaritmos naturales o informalmente conocido como logaritmos neperianos (en honor a su descubridor John Neper) son los que tienen como base la constante e, por lo tanto de acuerdo con lo anterior, el logaritmo natural de cualquier número será la potencia a la que se debe elevar
  22. 22. Conceptos matemáticos previos ________________ 25 la constante e (de valor aproximado 2.71828182 ...) para obtener ese número. Así las cosas, podremos afirmar la siguiente equivalencia: ln (x) = log e (x) Las propiedades de los logaritmos naturales serán las siguientes: 1. ln (1) = 0 2. ln (e) = 1 3. ln (e) n = n 4. ln (ab) = ln (a) + ln (b) 5. ln (a/b) = ln (a) / ln (b) = ln (a) - ln (b) 6. ln (a m) = m ln (a) 7. ln (a 1 / m ) = ln (a) / m Cuando una variable se encuentra como exponente en una ecuación y deseamos hallar su valor, la aplicación del concepto de logaritmo natural será el correcto para obtener el resultado deseado. Ejemplos de la aplicación del logaritmo natural serán los siguientes: 1. De la ecuación: 81 = 9X despeje el valor de X 81 = 9X Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación: ln 81 = ln ( 9X ) Calculando el logaritmo natural de ambos miembros de la ecuación: 4.394449155 = X ln 9 4.394449155 = X (2.197224577) x = 4.394449155 / 2.197224577 x = 2 Respuesta. ____________________ 2. De la ecuación: 3,200 m = 6,000 m - 1 despejar m 3,200 m = 6,000 m – 1 ln (3,200 m) = ln (6,000 m - 1) m ln 3,200 = (m - 1) ln 6,000 8.070906 m = 8.699514 (m - 1) 8.070906 m = 8.699514 m - 8.699514 8.070906 m - 8.699514 m = - 8.699514 - 0.628608 m = - 8.699514 m = - 8.699514 / - 0.628608 m = 13.839330
  23. 23. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 26 PORCENTAJES Para entender este concepto es importante definir que el porcentaje de un número es la centésima parte de él. Así las cosas, podemos afirmar entonces que 5% = 5 /100 = 0.05. De acuerdo al anterior ejemplo podremos concluir que aplicar un x% a un número es equivalente a multiplicar el número por x y dividir entre 100 (lo mismo que multiplicar por 0.01). A manera de ejemplo, observe a continuación el cálculo de los siguientes porcentajes: 1. 25% de $ 8,000 25 ($ 8,000) / 100 = $ 2,000 Procedimiento que puede realizarse también de la siguiente forma: 25 ($ 8,000) (0.01) = $ 2,000 Pero este procedimiento podríamos simplificarlo de la siguiente forma: 25 (0.01) ($ 8,000) = 0.25 ($ 8,000) = $ 2,000 De acuerdo con lo anterior, por simple inspección sería: 0.25 ($ 8,000) = $ 2,000 ____________________ 2. 3% de $12,000 0.03 ($ 12,000) = $ 360 ____________________ 3. 42% de $ 6,849,215 0.42 ($ 6,849,215) = $ 2,876,670.3 ____________________ 4. 1% de 5,000 0.01 (5,000) = 50 ____________________ 5. 0.02% de 36,000 0.0002 ( 36,000) = 7.2 ____________________ Comprendido el anterior concepto podríamos deducir entonces que el anterior procedimiento puede aplicarse idénticamente para el cálculo de tasas diferentes a la centésima parte. En este orden de ideas, para aquellas que como el Gravamen a los movimientos financieros (GMF) aplica un 4 x 1,000. Un ejemplo clásico de esta tasa sería el siguiente:
  24. 24. Conceptos matemáticos previos ________________ 27 Si el Sr Luis Fernando Cortázar retira de su cuenta de ahorros (no inscrita como exenta del gravamen) la suma de $ 2,450,000, cuál será la deducción por el GMF ? (4 / 1,000) ($ 2,450,000) = $ 9,800 Lo que por simple inspección puede calcularse de la siguiente forma: 0.004 ($ 2,450,000) = $ 9,800 Ahora, si analizamos con mayor detenimiento la tasa anterior, podremos descubrir que aplicar una tasa del 4 x 1000 será lo mismo que aplicar una tasa del 0.4%. Veamos el siguiente procedimiento de comprobación: 4 / 1,000 = 0.004 0.4% = 0.4 / 100 = 0.004 Deducido el anterior cálculo, podremos concluir las siguientes equivalencias:  1 / 1,000 = 0.001 = 0.1% = 0.1 / 100 = 0.001  15 / 1,000 = 0.015 = 1.5% = 1.5 / 100 = 0.015  0.5 / 1,000 = 0.0005 = 0.05% = 0.05 / 100 = 0.0005  2 / 10,000 = 0.0002 = 0.02% = 0.02 / 100 = 0.0002 Para finalizar la comprensión del concepto de porcentajes, veamos entonces la relación existente entre las siguientes expresiones porcentuales y sus correspondientes valores enteros o decimales:  28% = 0.28 Se dividió 28 entre 100  0.002 = 0.2% Se multiplicó 0.002 por 100  1% = 0.01 Se dividió 1 entre 100  0.5 = 50% Se multiplicó 0.5 por 100  0.004 = 4 por mil Se multiplicó 0.004 por 1,000  4 por mil = 0.004 Se dividió 4 entre 1,000  2 = 200% Se multiplicó 2 por 100  100% = 1 Se dividió 100 entre 100
  25. 25. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 28 OPERACIONES CON PORCENTAJES Un concepto básico generalmente olvidado por los estudiantes e importante para las matemáticas financieras es el cálculo de la proporción en que varía un determinado valor. De la anterior fórmula podemos deducir lo siguiente:  Si P variación < 0, entonces la variación es negativa, es decir, el valor disminuyó en esa proporción.  Si P variación > 0, entonces la variación es positiva, es decir, el valor aumentó en esa proporción. De acuerdo con lo anterior y para una mayor comprensión del concepto, veamos la aplicación de este en los siguientes ejemplos: 1. La Dra Rosa Hernández, invirtió en un negocio la suma de $ 2,000,000 y dentro de un mes obtuvo la suma de $ 2,500,000. Cual fue la variación de su capital durante este tiempo ? El anterior resultado significa entonces que la variación del capital fue del 25% en un mes, es decir, su capital se incrementó en un 25% durante este tiempo. ____________________ 2. El número de demandas ejecutivas instauradas por una entidad financiera durante el año 2011 fue de 250, mientras que las registradas durante el año 2012 fueron de 200. Cual fue la variación de demandas ejecutivas del año 2012 con respecto a las reportadas durante el año 2011 ?
  26. 26. Conceptos matemáticos previos ________________ 29 El anterior resultado significa entonces que la variación de demandas ejecutivas instauradas por la entidad financiera fue del -20% en el año 2012, es decir, el número de demandas instauradas disminuyó en el año 2012 en un 20%. ____________________ 3. Si las ventas de un producto son durante el mes de enero 1,200 unidades diarias y el departamento de mercadeo de la empresa proyecta incrementar esta cantidad en un 40% para el mes de febrero, cual es el número de unidades vendidas del producto que se deben reportar durante este último mes ? De acuerdo al caso anterior, debemos calcular el valor final: El anterior resultado significa entonces que la meta que los promotores de ventas deberán cumplir será de 1,680 unidades diarias durante el mes de febrero. ____________________ 4. Si el número de estudiantes a finales del año 2012 de una institución de educación superior fue de 3,240 estudiantes como resultado de su estrategia de promoción a nivel nacional, cual era la población estudiantil a finales del año 2011 si el incremento reportado a finales del 2012 por el esfuerzo del departamento de mercadeo fue del 170% ? Despejando de la fórmula base, tenemos:
  27. 27. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 30 El anterior resultado significa entonces que las estadísticas a finales del año 2011 eran de 1,200 estudiantes. ____________________ 5. Si el 30% de la población de un pequeño pueblo corresponde a la población femenina, cuál será la población total del pueblo si la cantidad de mujeres que habitan en este es de 12,000 ? Para solucionar el anterior problema debemos aplicar regla de tres de la siguiente forma: 0.30 12,000 1 X X = [ (1) (12,000)] / 0.30 = 40,000 ____________________ 6. Si el valor facturado de un producto que se compró a $ 15,000 incluye un 16% de IVA, cual es el valor del producto antes del impuesto ? Sea X = valor del producto antes del impuesto X + 0.16 X = 15,000 1.16 X = 15,000 X = 15,000 / 1.16 X = 12,931.03 ____________________ 7. Si Diego Guzmán tiene actualmente un salario de $ 1,200,000 mensuales y el incremento para el nuevo año es del 7%, cuál será el nuevo salario del Sr Guzmán ? $ 1,200,000 + 0.07 ($ 1,200,000) $ 1,200,000 (1 + 0.07) 1.07 ($ 1,200,000) $ 1,284,000 ____________________ 8. En 5 años las ventas de una empresa se incrementaron 420%. Si el valor de referencia de las ventas (valor de las ventas al inicio de los 5 años) eran de $ 3,500,000, cual es el nivel de ventas actual ?
  28. 28. Conceptos matemáticos previos ________________ 31 $ 3,500,000 + 4.2 ($ 3,500,000) $ 3,500,000 (1 + 4.2) 5.2 ($ 3,500,000) $ 18,200,000 ____________________ 9. Si un almacén de cadena ofrece un descuento del 10% por la compra de sus productos y un descuento adicional del 20% si cancela con tarjeta de crédito, cual es el descuento total que ofrece el almacén a los clientes que compren con tarjeta de crédito ? Sea X = valor de la compra antes de los descuentos (X - 0.10 X) Valor de la compra con descuento del 10% (X - 0.10 X) - 0.20 (X - 0.10 X) Valor de la compra con descuento del 20% adicional Solucionando la anterior operación, tenemos: 0.90 X - 0.20 (0.90 X) 0.90 X - 0.18 X 0.72 X Como el valor de la compra después de los descuentos es el 72% del valor antes de los descuentos, el descuento total que obtuvo el cliente fue: X - 0.72 X 0.28 X Esto es, un descuento total del 28% ____________________ 10. Si el incremento de mercancías en primera instancia de un negocio fue del 18% y posteriormente del 12%, cual fue el incremento total de mercancías ? Sea X = inventario de mercancías inicial (X + 0.18 X) Inventario de mercancías con incremento del 18% (X + 0.18 X) + 0.12 (X + 0.18 X) Inventario de mercancías con incremento del 12% adicional Solucionando la anterior operación, tenemos: 1.18 X + 0.12 (1.18 X) 1.18 X + 0.1416 X
  29. 29. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 32 1.3216 X Como el inventario de mercancías después de los incrementos es el 132.16% del inventario de mercancías inicial, el incremento total de mercancías fue: 1.3216 X - X = 0.3216 = 32.16% Esto es, un incremento total del 32.16% PROMEDIO ARITMÉTICO El promedio aritmético (media aritmética) es la sumatoria de un conjunto de datos dividido entre el número total de estos. De acuerdo con lo anterior, el promedio aritmético de las notas de un curso de 10 alumnos cuyos valores son 4.0, 3.5, 2.6, 5.0, 4.2, 3.0, 4.8, 2.0, 3.8 y, 4.6 será: PROMEDIO PONDERADO Cuando los elementos de una muestra o población de datos no tienen la misma importancia, calcular su promedio a través del método anterior sería un error. En este caso, lo que tendríamos que hacer es aplicar el peso correspondiente de acuerdo a la importancia a cada elemento de la muestra o población, para posteriormente sumar los resultados obtenidos y estos, dividirlos por la sumatoria de los pesos especificados. Para mayor comprensión, observemos los siguientes ejemplos: 1. Si las notas para el primer período académico de una asignatura son 4.0, 5.0 y 3.0 correspondientes a una evaluación escrita, un trabajo de investigación y a la participación activa en clase respectivamente, cuál será la nota definitiva si aplicamos el promedio aritmético ?
  30. 30. Conceptos matemáticos previos ________________ 33 2. De acuerdo al ejercicio anterior, cuál sería la nota definitiva si el profesor asigna para la evaluación escrita una importancia del 40%, para el trabajo de investigación una importancia del 10% y para la participación activa en clase una importancia del 50% ? El procedimiento para obtener la nota definitiva será el siguiente: Promedio ponderado = 3.60 / 1.00 = 3.60 De acuerdo al resultado anterior, podemos concluir que no es lo mismo aplicar el promedio aritmético simple que el concepto de promedio ponderado. 3. Si el número de unidades adquiridas y el valor pagado por cada una de ellas de un producto a lo largo de seis meses fueron los que se discriminan a continuación, cual fue el costo promedio de los productos adquiridos ? De acuerdo a la información anterior, los cálculos a realizar serán los siguientes:
  31. 31. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 34 Calculado lo anterior, el costo promedio del producto será entonces: 1,631,000 / 1,230 = 1,326.02. Visto esto, no se debe cometer el error de realizar lo siguiente: PROMEDIO GEOMÉTRICO El promedio geométrico o media geométrica de una cantidad de números (n) será la raíz enésima del producto de todos los números utilizados en la muestra (n). De acuerdo con lo anteior, el promedio geométrico de 4, 5, 3, 10, 2 y 1, será: En este punto de la lectura, cabe aclarar que el promedio geométrico solo será relevante si todos los valores involucrados en la fórmula son positivos. Si cualquiera de ellos es 0, por lógica, sabremos que el promedio geométrico será 0 y, si algunos de los elementos es negativo o existe un número impar de estos, el promedio geométrico será negativo o sencillamente inexistente en los números reales. Ejemplos apropiados para aplicar correctamente el promedio geométrico serían los siguientes:
  32. 32. Conceptos matemáticos previos ________________ 35 1. Si para los seis primeros meses de un año, la inflación (IPC) que se reportó en un país fue del 0.91%, 0.60%, - 0.27%, 0.50%, 0% y 0.40% respectivamente, calcule: a). Inflación acumulada al mes de junio. b). Inflación mensual promedio del primer semestre del año. Para la solución del inciso a), realizamos el siguiente procedimiento: IPC acumulado = (1 + IPC enero) (1 + IPC febrero) (1+ IPC marzo) ( 1 + IPC abril) (1 + IPC mayo) (1 + IPC junio) – 1 IPC acumulado = (1 + 0.0091) (1 + 0.0060) (1 - 0.0027) (1 + 0.0050) (1 + 0) (1 + 0.0040) – 1 IPC acumulado = (1.0091) (1.0060) (0.9973) (1.0050) (1) (1.0040) – 1 IPC acumulado = 1.021545 – 1 IPC acumulado = 0.021545 = 2.15% Para la solución del inciso b), realizamos el siguiente procedimiento: IPC promedio mensual del primer semestre = [ (1.0091) (1.0060) (0.9973) (1.0050) (1) (1.0040) ] 1 / 6 - 1 IPC promedio mensual del primer semestre = (1.021545) 1 / 6 - 1 IPC promedio mensual del primer semestre = 1.003559 - 1 = 0.003559 = 0.36% Cabe aclarar, que un error común sería hallar la respuesta del inciso b) utilizando la media aritmética. Veamos cual sería su resultado utilizando este procedimiento: IPC promedio mensual del primer semestre = (0.0091 + 0.0060 - 0.0027 + 0.0050 + 0 + 0.0040) / 6 IPC promedio mensual del primer semestre = (0.0214) / 6 = 0.003566 = 0.36% En esta ocasión la diferencia es mínima (0.003559 vs 0.003566), pero debe quedar claro que es recomendable para valores relativos que representen crecimiento, utilizar el promedio geométrico siempre y cuando en su muestra no existan valores que impliquen en la fórmula la presencia del valor cero o un número impar de valores negativos. ____________________ 2. Al iniciar una inversión se depositaron $ 7,000,000. Si al cabo del primer semestre el capital ascendió a $ 14,000,000 y a finales del segundo semestre descendió a $ 10,000,000, cual fue el rendimiento promedio de la inversión y cual el rendimiento acumulado desde el inicio hasta finales del segundo semestre ? Para la solución del anterior caso, realizamos el siguiente procedimiento:
  33. 33. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 36 Calculemos primero la variación que tuvo la inversión desde su inicio hasta finales del primer semestre: Calculemos ahora la variación que tuvo la inversión desde el inicio del segundo semestre hasta finales de este: De acuerdo a los cálculos anteriores, el rendimiento promedio de la inversión fue: El rendimiento acumulado hasta finales del segundo semestre será el siguiente: Para finalizar, veamos que pasaría si utilizáramos el promedio aritmético para obtener el rendimiento promedio de la inversión: ____________________
  34. 34. Conceptos matemáticos previos ________________ 37 3. Del ejercicio anterior, cuál sería el rendimiento promedio de la inversión si el valor del capital desciende nuevamente a $ 7,000,000 a finales del segundo semestre ? En esta ocasión, realizamos el siguiente procedimiento: Calculemos primero la variación que tuvo la inversión desde su inicio hasta finales del primer semestre: Calculemos ahora la variación que tuvo la inversión desde el inicio del segundo semestre hasta finales de este. De acuerdo a los cálculos anteriores, el rendimiento promedio de la inversión sería: El rendimiento acumulado hasta finales del segundo semestre sería el siguiente: Para finalizar, veamos que pasaría si utilizáramos el promedio aritmético para obtener el rendimiento promedio de la inversión:
  35. 35. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 38 De acuerdo con lo anterior, podremos concluir entonces que la media aritmética es un mal indicador del rendimiento histórico, ya que mientras el promedio geométrico nos deja claro que la inversión no reportó rendimiento desde su inicio hasta finales del segundo semestre, la media aritmética nos informa erróneamente un valor correspondiente al 25%. En pocas palabras, podremos afirmar que aunque no en todos, en algunos casos como este, la media aritmética produce resultados contrarios a la intuición. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Una progresión aritmética es una sucesión de números donde a partir del segundo número de la sucesión cada uno de ellos difiere del anterior en una cantidad fija. Del anterior concepto podemos incluir las siguientes características: 1. Si el número de términos n en la sucesión es finito, la sucesión será finita 2. Si no existe un último número en la sucesión, esta será infinita 3. La diferencia común entre los números sucesivos se llamará diferencia y se denotará por la letra d 4. El primer término de una sucesión aritmética se denotará por la letra p 5. El último término de una sucesión aritmética se denotará por la letra u Expuesta la anterior definición y características de una sucesión aritmética, podremos concluir que la fórmula para calcular el enésimo término de una sucesión aritmética será: De acuerdo con lo anterior, la fórmula para calcular el último término de una sucesión aritmética finita será entonces la siguiente: Finalmente, la fórmula para calcular la suma de los n términos de una progresión aritmética será: Concluido lo anterior, veamos los siguientes casos prácticos: 1. Dada la sucesión: 6, 13, 20, 27,…, calcule su octavo término.
  36. 36. Conceptos matemáticos previos ________________ 39 Observando que el primer término de la sucesión es 6 y que la diferencia común entre los términos es 7, tenemos: ____________________ 2. Si el capital inicial de una inversión fue de $ 8,000,000 y este crece $ 200,000 mensualmente, cuál será el monto de dinero que se tendrá al cabo de 12 meses ? De acuerdo a la información del problema, tenemos que p = $ 8,000,000; d = $ 200,000 y n = 12 ____________________ 3. El costo de una máquina industrial fue de $ 110,000,000. Si cada año la empresa que adquirió la máquina deprecia esta en $ 15,000,000 y se estima un valor de rescate de $ 35,000,000, cual es la vida útil de la máquina ? Contablemente el anterior ejemplo puede realizarse de la siguiente forma: Valor neto en libros de la máquina = $ 110,000,000 - $ 35,000,000 = $ 75,000,000 Vida útil = $ 75,000,000 / $ 15,000,000 por año = 5 años Pero como la idea es aplicar el concepto de la sucesión aritmética, veamos el siguiente procedimiento: _____
  37. 37. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 40 De acuerdo a la anterior gráfica, p = $ 110,000,000, u = $ 35,000,000 y d = - $ 15,000,000 Reemplazando los valores de p, u y d de la fórmula u = p + (n - 1)d para despejar n tenemos: Con el valor anterior no debe confundirse que la vida útil de la máquina sea de 6 años. Lo que realmente nos indica este resultado, es que el sexto término de la sucesión corresponde al valor de recate de $ 35,000,000 y este valor se ubica precisamente al finalizar el quinto año de tener la máquina. De acuerdo con lo anterior, la máquina industrial se depreciará en 5 años. Para mayor comprensión, ver la siguiente gráfica: ____________________ 4. Calcule el último término y la suma de una progresión aritmética finita de 10 términos que empieza en 1,200 si cada término es menor que el anterior en 300.
  38. 38. Conceptos matemáticos previos ________________ 41 De acuerdo a la información anterior, u = ?, S = ? n = 10, p = 1,200 y d = -300 De acuerdo al resultado anterior, la progresión aritmética finita de 10 términos será: 1,200; 900; 600; 300; 0; -300; -600; -900; -1,200; -1,500 La suma de anterior progresión aritmética será entonces: Del ejercicio anterior cabe anotar que los resultados de u y S son idénticos por casualidad y aclarar que esto no se convierte en una regla para la progresión aritmética. De acuerdo con lo anterior, si sumamos los primeros 9 términos de la anterior sucesión donde el último término sería el - 1,200 nos daremos cuenta que el resultado sería S = 0 ____________________
  39. 39. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 42 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Una progresión geométrica es una sucesión de números en el que cada uno de ellos se obtiene de multiplicar el anterior por una constante llamada razón. De acuerdo con lo anterior, una sucesión en donde el cociente obtenido de dividir cualquiera de sus términos con respecto al anterior es constante, se llamará progresión geométrica. De acuerdo a la anterior definición, la razón de la progresión geométrica: 5; 2; 4 / 5; 8 / 25; 16 / 125 será 2 / 5; su primer término 5; su último término 16 / 125 y su número total de términos 5. La razón de la progresión geométrica: - 3; 6; - 12; 24 será - 2; su primer término - 3; su último término 24 y su número total de términos 4. La fórmula para hallar el último término de una progresión geométrica finita será entonces: donde: u = Ultimo número de la progresión geométrica finita p = Primer término de la progresión geométrica finita r = Razón de la progresión geométrica n = Número de términos de la progresión geométrica finita Calculando mediante la fórmula anterior el último término de la progresión geométrica: -3; 6; -12; 24, tenemos: Calculando mediante la fórmula anterior el tercer término de la progresión geométrica: -3; 6; -12; 24, tenemos:
  40. 40. Conceptos matemáticos previos ________________ 43 Comprendido lo anterior, veamos los siguientes casos prácticos: 1. Un depósito de $ 1,000,000 produce un 1% mensual el cual se calcula sobre el saldo del período inmediatamente anterior. Cuál será el saldo que se obtendrá al cabo de 6 meses ? Lo primero que tenemos que observar es que para finales del primer período (primer mes), el saldo del depósito realizado será de: $ 1,000,000 + $ 1,000,000 (0.01) Aplicando factor común, tenemos: $ 1,000,000 (1 + 0.01) $ 1,000,000 (1.01) $ 1,010,000 Valor del segundo término de la progresión geométrica. Lo segundo que debemos calcular es la razón. Para nuestro ejemplo, el cociente entre el segundo término ($ 1,010,000) y el primer término ($ 1,000,000) r = $ 1,010,000 / $ 1,000,000 = 1.01 Lo tercero que debemos detectar es recordar que el valor del primer término de la sucesión será de $ 1,000,000 y del segundo término de la sucesión, $ 1,010,000 y, de acuerdo con esto, el segundo término de la sucesión, el saldo del primer mes con utilidades del 1%. Mencionado lo anterior, deberá quedar claro entonces que el saldo al cabo de 6 meses será sencillamente el valor del séptimo término de la sucesión y en este caso, los valores a reemplazar en la fórmula n = 7; p= $ 1,000,000 y r = 1.01 Finalmente, el saldo al cabo de 6 meses del depósito realizado será:
  41. 41. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 44 2. El primer término de una progresión geométrica finita es 100, la razón común es 3 y el último término es 72,900. Cuantos términos tiene la progresión ? De acuerdo a la información, p = 100, r = 3 y u = 72,900 Reemplazando en la fórmula, tenemos: Aplicando logaritmo natural a ambos miembros de la ecuación: La progresión geométrica con las anteriores características tiene 7 términos. SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una igualdad entre dos expresiones algebraicas (miembros) que involucra valores conocidos y desconocidos donde la mayor potencia de cualquier variable es 1 (uno). Un ejemplo apropiado de una ecuación lineal es aquella que representa la línea recta: y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b el punto donde la recta intercepta el eje y. Independiente del anterior ejemplo, una ecuación lineal podrá ser de la siguiente forma:  x + 20 = 80  6x + 20 = 200  (x / 4) - 10 = 26  (y + 4) / (x - 2) = 1 / 6
  42. 42. Conceptos matemáticos previos ________________ 45 Detallados los anteriores ejemplos, procedamos a dar su respectiva solución recordando antes las siguientes reglas básicas: 1. Efectuar las operaciones indicadas. 2. Transponer los términos, reuniendo en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y, en el otro. todas las cantidades conocidas. Recuerde que cuando se transpone un término su signo cambia. 3. Reducir los términos semejantes en cada miembro de la ecuación. 4. Despejar la incógnita dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita. Independiente de las anteriores reglas básicas, es importante recordar los posibles siguientes procedimientos.  En ambos lados de una ecuación se puede sumar o restar el mismo número, multiplicar o dividir por el mismo número, elevar a la misma potencia o sacar la raíz del mismo grado. De acuerdo con lo anterior, veamos en los siguientes ejemplos la forma más elemental y eficiente de dar solución a una ecuación lineal: 1. X + 20 = 80 La forma más elemental de resolver la ecuación sería: x + 20 = 80 Restando 20 en ambos miembros de la ecuación: x + 20 - 20 = 80 – 20 x = 60 La forma más eficiente de resolver la ecuación sería: x + 20 = 80 Trasladando el 20 del miembro izquierdo de la ecuación al miembro derecho de esta: x = 80 - 20 = 60 Recuerde que trasladar el 20 al miembro derecho de la ecuación implica un cambio de signo. ____________________ 2. 6x + 20 = 200 La forma más elemental de resolver la ecuación sería: 6x + 20 = 200 Restando 20 en ambos miembros de la ecuación: 6x + 20 - 20 = 200 - 20 6x = 180 Dividiendo por 6 ambos miembros de la ecuación, tenemos: 6x / 6 = 180 / 6
  43. 43. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 46 x = 30 La forma más eficiente de resolver la ecuación sería: 6x + 20 = 200 Trasladando el 20 al miembro derecho de la ecuación: 6x + 180 Despejando x, tenemos: x = 180 / 6 Recuerde que al despejar una variable, el coeficiente que está multiplicando pasa al otro miembro a dividir x = 30 ____________________ 3. (x /4) – 10 = 26 La forma más elemental de resolver la ecuación sería: (x / 4) - 10 = 26 Sumando 10 en ambos miembros de la ecuación: (x / 4) - 10 + 10 = 26 + 10 x / 4 = 36 Multiplicando por 4 ambos miembros de la ecuación: (4) (x / 4) = (4) 36 x = 144 La forma más eficiente de resolver la ecuación sería: (x / 4) - 10 = 26 Trasladando el 10 al miembro derecho de la ecuación: (x / 4) = 36 x = (4) 36 Recuerde que al despejar una variable, el coeficiente que está dividiendo pasa al otro miembro a multiplicar x = 144 ____________________ 4. (y + 4) / (x - 2) = 1 / 6 La forma más elemental de despejar x de la ecuación: (y + 4) / (x - 2) = 1 / 6 sería: (y + 4) / (x - 2) = 1 / 6 Multiplicando por (x - 2) ambos miembros de la ecuación: (x - 2) [ (y + 4) / (x - 2) ] = (x - 2) (1 / 6) (y + 4) = (x - 2) / 6 Multiplicando por 6 ambos miembros de la ecuación: (6) (y + 4) = (6) (x - 2) / 6 6y + 24 = x - 2 Restando 24 en ambos miembros de la ecuación:
  44. 44. Conceptos matemáticos previos ________________ 47 6y + 24 - 24 = x - 2 - 24 6y = x - 26 Despejando x, tenemos: x = 6y + 26 La forma más eficiente de resolver la ecuación sería: (y + 4) / (x - 2) = 1 / 6 Eliminando los denominadores a través del MCM (6) (x - 2): (6) (y +4) = x - 2 6y + 24 = x - 2 Despejando x, tenemos: x = 6y + 24 + 2 x = 6y + 26 FORMULACIÓN DE ECUACIONES LINEALES PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS FINANCIEROS Lo más importante para la solución correcta de problemas financieros y por supuesto, para la certera toma de decisiones, es identificar la técnica financiera que se deberá utilizar en las fórmulas financieras para que con los resultados derivados de esta última obtengamos la información necesaria para el análisis e interpretación. Resumiendo lo anterior, podemos concluir que para obtener resultados correctos en el análisis financiero de un problema, debemos: 1. Identificar correctamente la fórmula financiera a utilizar 2. Utilizar la técnica financiera óptima para la solución de la fórmula financiera Las fórmulas financieras serán todas aquellas ecuaciones preestablecidas o que podemos diseñar para deducir entre otros, los indicadores financieros de una empresa, el valor futuro de un activo, el valor presente de una deuda, las cuotas fijas que deberán cancelarse durante un determinado tiempo por la adquisición de una obligación financiera, la corrección monetaria del peso colombiano, etc. Las técnicas financieras, los conocimientos previos de las matemáticas elementales y de los principios de álgebra para identificar puntualmente entre otros conceptos, las expresiones numéricas y porcentuales, la interpretación de los signos, el valor absoluto, el valor relativo, las expresiones fraccionarias, el planteamiento de las igualdades, la sustitución de variables, el despeje de las mismas, la solución de los sistemas de ecuaciones, etc. De acuerdo con lo anterior, veamos los siguientes casos prácticos:
  45. 45. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 48 1. Si el precio de venta de un producto es de $ 2,600 y su utilidad un 30% del valor de adquisición, cuál será el costo del producto y cual la utilidad que se obtiene al venderlo ? Para la solución del anterior caso, podríamos deducir que la fórmula financiera sería: Utilidad = Ventas - Costos U = V – C Las técnicas financieras, los siguientes planteamientos y deducciones: V = 2,600 U = 30%C U = 0.3C Sustituyendo el precio de venta y el valor de U en la ecuación U = V - C, tenemos: U = V - C 0.3C = 2,600 - C 1.3C = 2,600 C = 2,600 / 1.3 C = 2,000 Sustituyendo el valor de C en la ecuación U = V - C, tenemos: U = V - C U = 2,600 - 2,000 U = 600 Igualmente, sustituyendo el valor de C en la ecuación U = 0.3C, tenemos: U = 0.3C U = 0.3 (2,000) U = 600 ____________________ 2. Del ejercicio anterior, cuál cree usted que será la participación de la utilidad del producto con respecto a su precio de venta y cual con respecto al valor de adquisición ?
  46. 46. Conceptos matemáticos previos ________________ 49 Lo primero que debemos comprender es que lo que nos están solicitando es la relación que hay entre la utilidad y el precio de venta del producto y, así mismo, la relación que existe entre la utilidad y el costo del producto. En otras palabras, el valor relativo que resulta al dividir la utilidad por el precio de venta y, el valor relativo que resulta al dividir la utilidad por el valor de adquisición (costo). Después de la anterior deducción, la participación de la utilidad del producto con respecto a su precio de venta será: %U/V = 600 / 2,600 = 0.230769 = 23.08% La participación de la utilidad del producto con respecto al valor de adquisición será: %U/C = 600 / 2000 = 0.3 = 30% Valor planteado en el mismo problema Podemos concluir entonces, que la participación de la utilidad de un producto no es la misma con respecto a su precio de venta que con respecto a su valor de adquisición. Aclaración definitivamente importante para la correcta interpretación de los análisis financieros y de la certera toma de decisiones. ____________________ 3. Si la utilidad de un producto es $ 12,000 y el valor de adquisición (costo) un 40% menos de su precio de venta, cuál será el precio de venta del producto y cual el valor de adquisición ? U = 12,000 C = V - 0.4V Reemplazando los anteriores valores de U y C en U = V - C, tenemos: U = V - C 12,000 = V - (V - 0.4V) 12,000 = V -V + 0.4V 12,000 = 0.4V V = 12,000 / 0.4 V = 30,000 Reemplazando el anterior valor de V en C = V - 0.4V, tenemos:
  47. 47. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 50 C = V - 0.4V C = 30,000 - 0.4(30,000) C = 30,000 - 12,000 C = 18,000 ____________________ 4. Si la utilidad de un producto es $ 6,000 y el precio de venta un 30% más que lo que este cuesta, cuál será el precio de venta del producto y el costo de este ? U = 6,000 V = C + 0.3C Sustituyendo los valores de U y V en la ecuación U = V - C, tenemos: U = V - C 6,000 = (C + 0.3C) - C 6,000 = 0.3C C = 6,000 / 0.3 C = 20,000 Sustituyendo el anterior valor de C en U = V - C, tenemos: U = V - C 6,000 = V - 20,000 V = 26,000 ____________________ 5. Si las ventas de mercancías de un negocio son $ 450,000 diarios y el comerciante vende sus productos con un incremento del 25% de lo que estos le cuestan, cual será el margen de contribución (utilidad bruta) diario que le reporta su negocio ? De acuerdo a lo planteado, podemos deducir lo siguiente: V = 450,000 V = C + 0.25C Los costos diarios de la mercancía que se vende será el siguiente: 450,000 = C + 0.25C
  48. 48. Conceptos matemáticos previos ________________ 51 450,000 = 1.25C C = 450,000 / 1.25 C = 360,000 De acuerdo con lo anterior, el margen de contribución diaria que reporta el negocio será: U = V - C U = 450,000 - 360,000 U = 90,000 Vale la pena detallar que con este ejercicio podemos aclarar el común error de muchos comerciantes al creer que es correcto aplicar el 25% sobre los $ 450,000 para obtener la utilidad: 0.25 ($ 450,000) = $ 112,500 Es preciso entonces entender que con el anterior error se estaría contando dentro del presupuesto de gastos con $ 22,500 diarios ($ 112,500 - $ 90,000) que el negocio nunca generará, donde si la decisión es utilizarlos, la seguridad total para el negocio serían las constantes pérdidas y definitivamente quiebra de este. ____________________ 6. Si una empresa trabaja con una utilidad equivalente al 20% del precio de venta de sus productos: a. Cuál será la proporción de utilidad que esta obtiene con respecto al valor de adquisición de los mismos.? b. Si la empresa durante el mes de diciembre invirtió un total de $ 12,000,000 en la compra de la mercancía vendida, cual fue la utilidad bruta que esta obtuvo durante este período.? c. Cuáles fueron los ingresos que la empresa obtuvo en diciembre por ventas de mercancías.? d. Si la mercancía que la empresa vendió en diciembre fueron 400 memorias USB de 8 GB cada una, cual fue el precio de venta de cada memoria USB. ? De acuerdo a la información, la solución al inciso a) será la siguiente:
  49. 49. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 52 U = 0.2V Es decir, V = U / 0.2 Reemplazando la anterior ecuación en la ecuación general U = V – C, tenemos: U = U / 0.2 - C 0.2U = U - 0.2C 0.8U = 0.2C U = 0.2C / 0.8 U = 0.25C De acuerdo con lo anterior, la proporción de utilidad que la empresa obtiene con respecto al valor de adquisición de sus productos es 25% La solución al inciso b) será la siguiente: Si la empresa invirtió $ 12,000,000, en la compra de la mercancía vendida, la utilidad bruta que obtuvo sería: U = 0.25C U = 0.25(12,000,000) U = 3,000,000 La solución al inciso c) será la siguiente: U = V - C 3,000,000 = V - 12,000,000 V = 15,000,000 La solución al inciso d) será la siguiente: PV = 15,000,000 / 400 PV = 37,500 ____________________ 7. Si las ventas de una empresa fueron $ 6,000,000 mensuales durante el mes de abril, cual fue el costo de la mercancía vendida si esta tiene como política trabajar con una utilidad bruta equivalente al 60% del valor de adquisición de todos los productos que comercializa ?
  50. 50. Conceptos matemáticos previos ________________ 53 De acuerdo a la información: U = 0.6C Reemplazando la anterior ecuación en la ecuación general U = V – C, tenemos: 0.6C = 6,000,000 - C 1.6C = 6,000,000 C = 6,000,000 / 1.6 C = 3,750,000 ____________________ 8. Si las ventas de una empresa fueron $ 7,800,000 mensuales durante el mes de octubre: a. Cual fue la utilidad bruta que obtuvo la empresa durante este mes si el precio de venta de todos los productos que comercializa corresponden a un 30% mas del valor de adquisición de los mismos.? b. Si los gastos totales de la empresa durante el mes de octubre fueron $ 2,000,000, cual fue la utilidad NETA de la compañía durante este mes.? De acuerdo a la información, la solución del inciso a) será la siguiente: V = C + 0.3C V = 1.3C C = V / 1.3 Reemplazando la anterior ecuación en la ecuación general U = V – C, tenemos: U = 7,800,000 - 7,800,000 / 1.3 U = 7,800,000 - 6,000,000 U = 1,800,000 La solución al inciso b) será la siguiente: Como la utilidad bruta es 1,800,000, la utilidad neta, será: UN = UB – GASTOS
  51. 51. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 54 UN = 1,800,000 – 2,000,000 UN = - 200,000 ____________________ 9. Si la utilidad bruta de un producto es $ 24,000 y el costo un 30% menos de su precio de venta, responda: a. Cuál es el precio de venta del producto. b. Cuál es el costo del producto. c. Cuál es la utilidad bruta sobre el precio de venta. d. Cuál es la utilidad bruta sobre la inversión. De acuerdo a la información, la solución del inciso a) será la siguiente: C = V - 0.3V = 0.7V Reemplazando la anterior ecuación en la ecuación general U = V – C, tenemos: 24,000 = V - 0.7V 24,000 = 0.3V V = 24,000 / 0.3 V = 80,000 La solución al inciso b) será la siguiente: Como C = 0.7V, entonces: C = 0.7 ( 80,000) C = 56,000 La solución al inciso c) será la siguiente: %U = 24,000 / 80,000 %U = 0.3 = 30% La solución al inciso d) será la siguiente: %U = 24,000 / 56,000 %U = 0.4286 = 42.86%
  52. 52. Conceptos matemáticos previos ________________ 55 10. Una empresa pagó $ 6,870,000 por un televisor LCD, un reproductor de DVD y un proyector para su sala de juntas. El costo del televisor fue de $ 1,500,000 más que el del reproductor de DVD pero $ 2,300,000 menos que el del proyector. Cuanto se pagó por cada uno de estos tres elementos ? Lo primero que hay que tener en cuenta en este problema financiero es que por lo menos del televisor y del proyector tenemos algo de información, pero del reproductor de DVD, absolutamente nada. De acuerdo con lo anterior, podríamos concluir lo siguiente: x = costo del reproductor de DVD x + 1,500,000 = costo del televisor LCD Ahora, como el costo del televisor fue $ 2,300,000 menos que el del proyector, podremos por lógica afirmar que el costo del proyector fue $ 2,300,000 más que el del televisor y, de acuerdo a esto, plantear lo siguiente: x + 1,500,000 + 2,300,000 x + 3,800,000 = costo del proyector Deducido lo anterior y conociendo que los tres elementos audiovisuales tuvieron un costo total de $ 6,870,000, podremos plantear la siguiente ecuación lineal: Costo del reproductor de DVD + Costo del televisor LCD + costo del proyector = 6,870,000 x + (x + 1,500,000) + (x + 3,800,000) = 6,870,000 3x + 5,300,000 = 6,870,000 3x = 1,570,000 x = 523,333.33 = costo del reproductor de DVD Para hallar el costo del televisor LCD, realizaremos lo siguiente: x + 1,500,000 = costo del televisor LCD 523,333.33 + 1,500,000 = costo del televisor LCD 2,023,333.33 = costo del televisor LCD Para hallar el costo del proyector, realizaremos lo siguiente: x + 3,800,000 = costo del proyector 523,333.33 + 3,800,000 = costo del proyector 4,323,333.33 = costo del proyector
  53. 53. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 56 11. Entre Alexandra Santana y Yesenia Martínez tienen $ 8,100,000. Si Alexandra gasta $ 3,600,000, el duplo de lo que le quede equivaldrá al triple de lo que tiene Yesenia ahora. Cuanto tiene cada uno ? De acuerdo a lo planteado anteriormente, desconocemos cuanto tiene cada uno. Pero podríamos deducir lo siguiente: x = cantidad de dinero que tiene Alexandra 8,100,000 - x = cantidad de dinero de Yesenia Si Alexandra gasta $ 3,600,000 lo que le quedará se expresará de la siguiente forma: x - 3,600,000 Conocido lo anterior y recordando las equivalencias de lo que cada uno tendría si Alexandra gastara los $ 3,600,000, la ecuación que identificaría esa condición sería la siguiente: 2 (x - 3,600,000) = 3 (8,100,00 - x) 2x - 7,200,000 = 24,300,000 - 3x 5x = 31,500,000 x = 31,500,000 / 5 x = 6,300,000 De acuerdo con lo anterior, Alexandra tiene $ 6,300,000 y Yesenia el siguiente valor: 8,100,000 - x 8,100,000 - 6,300,000 1,800,000 ____________________ 12. El dueño de una finca compró el doble de cerdos con respecto a los novillos que adquirió. Por cada cerdo pagó $ 150,000 y por cada novillo $ 700,000. Si el gasto total por los animales adquiridos fue de $ 17,000,000; cuantos cerdos y novillos compró ? De acuerdo con lo anteriormente planteado, tenemos: x = número de novillos 2x = número de cerdos
  54. 54. Conceptos matemáticos previos ________________ 57 Teniendo en cuenta lo que costó cada animal, podemos diseñar la siguiente ecuación: 700,000 x + 150,000 (2x) = 17,000,000 700,000 x + 300,000 x = 17,000,000 1,000,000 x = 17,000,000 x = 17,000,000 / 1,000,000 x = 17 Podemos concluir que el número de novillos que se adquirieron fueron 17 y el de cerdos el siguiente: 2x = número de cerdos 2 (17) = 34 cerdos
  55. 55. 59 Capítulo 2 Conceptos básicos de matemáticas financieras La pretensión del contenido de este capítulo, es definir el concepto de capital financiero, el valor del dinero en el tiempo y la importancia de las matemáticas financieras para el análisis de costos y beneficios de un negocio e, igualmente, inducir al lector hacia la comprensión del necesario procedimiento lógico y analítico que requieren los casos que se desarrollarán durante el curso. Objetivos específicos: Comprensión y dominio eficiente de los siguientes conceptos básicos del procedimiento lógico y analítico:  Identificación de variables.  Ubicación de las variables y de la situación financiera en el diagrama económico.  Elaboración del flujo de operación financiera.  Uso de la fórmula matemática.
  56. 56. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 60 CLASE 1 CONCEPTOS BÁSICOS DEFINICIÓN DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS Es la parte de la matemática que se ocupa del estudio y valoración de los capitales financieros así como de su variación a lo largo del tiempo por efecto de las operaciones financieras que con ellos puedan realizarse. De acuerdo con lo anterior, debemos comprender que el capital financiero de cualquier persona natural o jurídica, terminará ingresando a las instituciones financieras precisamente por todas aquellas transacciones que necesariamente implicarán, entre otras, operaciones como la apertura de cuentas de ahorro, adquisición de títulos valores de renta fija, etc. Los intermediarios financieros continuarán el curso lógico del dinero utilizándolo para impulsar las diversas actividades económicas mediante las diferentes formas de crédito para la inversión en otras empresas. Flujo de efectivo, que a final de cuentas, marcarán el dinamismo económico y financiero de un país. Comprendido el concepto de capital financiero, podremos aseverar que las operaciones financieras será toda acción encaminada a sustituir un capital financiero por otro mediante la aplicación de cálculos matemáticos y leyes financieras, para que este capital, sea equivalente en cualquier punto de referencia de la línea de tiempo. Ejemplo de operación financiera será entonces: el valor a pesos de hoy por la adquisición de una vivienda financiada a 15 años a través de un crédito a largo plazo, el cual será equivalente a la suma de los valores cancelados por amortizaciones, intereses y corrección monetaria durante la vida del crédito. En conclusión, las matemáticas financieras ayudarán a comprender el valor del dinero en el tiempo para con ello conocer aspectos como: 1. El valor presente del dinero. 2. El valor futuro del dinero. 3. El costo de adquirir dinero. 4. El beneficio de captar dinero a una tasa de interés. 5. La pérdida del poder adquisitivo del dinero (Inflación) 6. Tasa de interés real. 7. Rentabilidad de un proyecto de inversión (Factibilidad). 8. Diversificación de las inversiones (Alternativas de inversión para minimizar el riesgo).
  57. 57. Conceptos básicos ________________ 61 9. Tasa interna de retorno. Pero antes de empezar con este curso de MATEMATICAS FINANCIERAS, debemos comprender dos conceptos básicos propuestos para que usted, señor lector, identifique y asimile desde el más sencillo hasta el más complejo de los temas matemáticos y financieros detallados en este libro. El primer concepto es la representación gráfica o diagrama económico de las variables que influyen en una operación financiera a lo largo del tiempo. REPRESENTACIÓN GRÁFICA O DIAGRAMA ECONÓMICO De la gráfica No. 1 podemos concluir lo siguiente: 1. En un diagrama económico la línea horizontal representará el tiempo de la operación financiera. 2. Todo ingreso de dinero se representará con una línea vertical hacia arriba. 3. Todo egreso de dinero se representará con una línea vertical hacia abajo.
  58. 58. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 62 4. El valor presente de una operación financiera se encuentra en el instante 0 (Cero). 5. El valor futuro de una operación financiera se situará al final de la operación financiera. De la gráfica No. 2 podemos concluir lo siguiente: 1. En la operación financiera se recibe $ 1,000,000 en el instante cero (Valor presente). 2. La operación financiera se realiza durante tres períodos (n = 3). 3. El interés que se liquida y cancela a finales de cada período es del 1% ($ 10,000). 4. El valor final (Valor futuro) de la operación financiera es el egreso de $ 1,010,000; es decir, el $ 1,000,000 recibido al principio de la operación financiera más los últimos $ 10,000 de intereses. El segundo concepto será el flujo de operación financiera, que dependiendo de cada tema matemático financiero, detallará paso a paso los resultados derivados de las variables involucradas en una fórmula asignada para la solución de una operación financiera. Este segundo concepto podrá observarlo a lo largo de este curso en los diferentes casos prácticos y, le aseguramos, ayudará a comprender la lógica matemática aplicada a la solución de situaciones financieras necesarias para la correcta toma de decisiones. CONCLUSIÓN Para un mejor desarrollo y comprensión de los casos prácticos en matemáticas financieras, sugerimos siga los siguientes pasos: 1. Identificación de variables. 2. Ubicación de las variables y de la situación financiera en el Diagrama económico. 3. Elaboración del Flujo de operación financiera. 4. Uso de la fórmula matemática. Como parte de la metodología para la comprensión de los conceptos básicos iniciales en Matemáticas financieras, puede acceder al link ADF del siguiente sitio WEB: http://asesoriaspuche.blogspot.com/p/matematicas-financieras.html
  59. 59. 63 Capítulo 3 Interés simple (Introducción a la obtención de intereses) El objetivo de este capítulo consiste en iniciar la comprensión del valor del dinero en el tiempo cuando en una operación financiera se involucra la aplicación de una tasa de interés únicamente sobre el capital inicial. Objetivos específicos: Comprensión y dominio eficiente de los siguientes conceptos matemáticos financieros:  Valor futuro de una operación financiera.  Valor presente de una operación financiera.  Cálculo del número de períodos de una operación financiera.  Cálculo de la tasa de interés de una operación financiera.  Valor futuro de una anualidad vencida.  Valor futuro de una anualidad anticipada.
  60. 60. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 64 CLASE 2 INTERÉS SIMPLE DEFINICIÓN: Es aquella utilidad que se gana únicamente sobre el capital inicial y nunca sobre los intereses ganados en períodos anteriores. Los intereses que se ganen en cada período incrementarán el capital pero estos siempre se aplicaran – repito - sobre el capital inicial. VALOR FUTURO: Será la cantidad de dinero que se tenga al final de una operación financiera. EJEMPLO: Si se depositan $10,000,000 en un negocio para ser retirados en su totalidad a los 6 meses y se espera ganar un 2% de interés mensual, cuál sería el nuevo capital al finalizar el semestre ? Identificación de variables: P = Capital o valor inicial n = número de períodos i = tasa de interés F = Valor final Reemplazando por valores las respectivas variables: P = $ 10,000,000 n = 6 meses i = 2% = 0.02 F = ? Ubicando las variables en el diagrama económico: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera:
  61. 61. Interés simple ________________ 65 Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro del anterior ejemplo será aplicando la siguiente fórmula: F = P [ 1 + (ni) ] Fórmula que precisamente se deriva del procedimiento lógico matemático discriminado en el cuadro anterior. Reemplazando en la fórmula tenemos: F = $ 10,000,000 [ 1 + (6) (0.02) ] F = $ 10,000,000 [ 1 + (0.12) ] F = $ 10,000,000 [ 1.12 ] F = $ 11,200,000 CLASE 3 INTERÉS SIMPLE VALOR PRESENTE: Será la cantidad de dinero en pesos de hoy de un valor ubicado al final de la operación financiera. 1. De acuerdo al ejemplo anterior, los $ 11,200,000 que se recibirán dentro de 6 meses deben ser los mismos $ 10,000,000 entregados hoy. Para comprobar lo anteriormente mencionado utilizamos la misma fórmula pero despejando en este caso P: Para representar en el diagrama económico esta nueva situación, debemos tener en cuenta que para este caso, la variable desconocida sería P:
  62. 62. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 66 Despejando de la fórmula de valor futuro la variable P y aplicando los respectivos valores a las variables, tenemos: F = P [ 1 + (ni) ] Despejando P, tenemos: P = F / [ 1 + (ni) ] Reemplazando, tenemos: P = $ 11,200,000 / [ 1 + (6) (0.02) ] P = $ 11,200,000 / [ 1+ (0.12) ] P = $ 11,200,000 / [ 1.12 ] P = $ 10,000,000 2. La señora Margarita Delgado recibió un préstamo por un período de 4 meses y con el compromiso de pagar un 4% mensual de interés simple. Si el esposo molesto por no consultar con el esta operación financiera desea saber cuál fue el dinero recibido, encuentre el valor presente si a ella le tocó pagar al finalizar los cuatro meses $ 580,000 La representación gráfica del anterior caso será: Aplicando la fórmula para la solución del problema:
  63. 63. Interés simple ________________ 67 P = F / [ 1+ (ni) ] P = $ 580,000 / [ 1 + (4) (0.04) ] P = $ 580,000 / [ 1 + (0.16) ] P = $ 580,000 / [ 1.16 ] P = $ 500,000 CLASE 4 INTERÉS SIMPLE NÚMERO DE PERÍODOS: Si una persona invierte $ 2,000,000 esperando recibir 30% anual de interés simple y al cabo de n años recibe $ 5,000,000, por cuanto tiempo mantuvo la inversión ? F = P[ 1 + (ni) ] [ 1 + (ni) ] = F / P ni = ( F / P ) - 1 n = [ ( F / P ) -1 ] / i Reemplazando, tenemos: n = [ ($ 5,000,000 / $ 2,000,000) - 1] / 0.3 n = [ 2.5 – 1 ] / 0.3 n = [ 1.5 ] / 0.3 n = 5 _____
  64. 64. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 68 Podemos concluir que la persona mantuvo la inversión por 5 años. NOTA: en caso de que n nos dé con cifras decimales, siempre aproximaremos al entero mayor. TASA DE INTERÉS: Si una persona deposita la suma de $ 500,000 y dentro de 5 meses recibe $ 570,000. Cuál es la tasa de interés simple que reconoció el Banco ? [ 1+ (ni) ] = F / P ni = ( F / P ) - 1 i = [ ( F / P ) - 1] / n Reemplazando, tenemos: i = [ ($ 570,000 / 500,000) – 1 ] / 5 i = [ 1.14 – 1 ] / 5 i = [ 0.14 ] / 5 i = 0.028 = 2.8% mensual. CLASE 5 INTERÉS SIMPLE ANUALIDADES O CUOTAS UNIFORMES: Son cuotas de igual valor que se cancelan o reciben en períodos iguales de tiempo. De acuerdo con lo anterior, son valores previamente pactados para cancelarlos o recibirlos cada mes, bimestre, trimestre, semestre o año. Para el caso de los créditos bancarios, estas cuotas
  65. 65. Interés simple ________________ 69 incluyen abono a capital (amortización) e intereses (Aspecto que analizaremos cuando veamos el concepto de interés compuesto). VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA: Será el valor final de una operación financiera cuando se acuerda cancelar o recibir las cuotas de igual valor al final de cada período y su fórmula será la siguiente: donde: Para mayor comprensión, veamos el siguiente ejemplo: Un trabajador ahorra $ 100,000 mensuales depositándolo al final de cada mes en un Banco que le da el 3% mensual de interés simple. Cuál será la cantidad de dinero que tendrá al final de un año de ahorro ? Identificando las variables del caso: A = $ 100,000 i = 0.03 n = 12 meses F = ? Ubicando la situación financiera en el diagrama económico:
  66. 66. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 70 Detallando el flujo de operación financiera: Recuerde que el interés simple solo se aplica sobre el capital inicial. En este caso, sobre el capital ahorrado (acumulado) y nunca sobre los intereses ya ganados. De acuerdo con lo anterior, la cantidad de dinero que el trabajador tendrá al finalizar el año será: Total ahorrado + intereses = $ 1,200,000 + $ 198,000 = $ 1,398,000 Utilizando la fórmula para obtener el anterior resultado: Podemos llegar a la conclusión que el trabajador tendrá ahorrado al final de un año $ 1,398,000
  67. 67. Interés simple ________________ 71 CLASE 6 INTERÉS SIMPLE VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA: Será el valor final de una operación financiera cuando se acuerda cancelar o recibir las cuotas de igual valor, pero en esta ocasión, al comienzo de cada período y su fórmula será la siguiente: * + Para mayor comprensión, veamos el siguiente ejemplo: El mismo trabajador del ejemplo anterior ahorra $ 100,000 mensuales depositándolo al comienzo de cada mes en un Banco que le da el 3% mensual de interés simple. Cuál será la cantidad de dinero ahorrado al final de un año ? Ubicando la situación financiera en el diagrama económico: Detallando el flujo de operación financiera: Recuerde que el interés simple solo se aplica sobre el capital inicial. En este caso, sobre el capital ahorrado (acumulado) y nunca sobre los intereses ya ganados.
  68. 68. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 72 De acuerdo con lo anterior, la cantidad de dinero que el trabajador tendrá al finalizar el año será: Total ahorrado + intereses = $ 1,200,000 + $ 234,000 = $ 1,434,000 Utilizando la fórmula para obtener el anterior resultado: * + * + * + * + Podemos llegar a la conclusión que el trabajador tendrá ahorrado al final de un año $ 1,434,000
  69. 69. 73 Capítulo 4 Interés compuesto (Modalidad real de liquidación en los flujos de efectivo) El propósito de este capítulo es ayudar a que el lector comprenda el cambio del valor del dinero en el tiempo cuando este se capitaliza por la aplicación de una tasa de interés en forma compuesta durante la operación financiera. Objetivos específicos: Comprensión y dominio eficiente de los siguientes conceptos matemáticos financieros:  Valor futuro de una operación financiera.  Valor presente de una operación financiera.  Cálculo del número de períodos de una operación financiera.  Cálculo de la tasa de interés de una operación financiera.  Valor futuro de una anualidad vencida.  Anualidades variables o impropias.  Valor presente de una anualidad vencida.  Proyección de créditos con cuotas fijas en pesos.  Valor futuro de una anualidad anticipada.  Valor presente de una anualidad anticipada.  Anualidad perpetúa.  Desarrollo de los casos propuestos.
  70. 70. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 74 CLASE 7 INTERÉS COMPUESTO DEFINICIÓN: Es aquella utilidad que se gana sobre el capital y también sobre los intereses ganados en períodos anteriores. De acuerdo con lo anterior, los intereses se capitalizan; es decir, los intereses obtenidos en períodos anteriores incrementarán el capital período tras período durante el tiempo de la operación financiera. VALOR FUTURO: Será la cantidad de dinero que se obtenga al final de una operación financiera teniendo en cuenta que los intereses pactados se aplicarán sobre el capital y los intereses ganados en cada período. La fórmula para este caso será: donde: Para mayor comprensión de este tema, veamos los siguientes interesantes ejemplos: 1. Si se depositan $10,000,000 en un negocio para ser retirados en su totalidad a los 6 meses y se espera ganar un 2% de interés mensual, cuál sería el nuevo capital al finalizar el semestre ? Identificación de variables: P = $ 10,000,000 i = 0.02 mensual. n = 6 meses. Ubicando las variables en el diagrama económico:
  71. 71. Interés compuesto ________________ 75 Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro del anterior ejemplo mediante la fórmula, será: NOTA: El valor final del período 6 no da igual que el obtenido por la fórmula, simplemente porque en esta, aproximamos el valor del cálculo 1.02 elevado a la 6.
  72. 72. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 76 RECOMENDACIÓN: Para cada uno de estos casos y todos aquellos que se vean posteriormente durante el curso de MATEMÁTICAS FINANCIERAS, analice el ejercicio desde el punto de vista de la otra parte que interviene en la operación financiera. Para el anterior ejemplo, desde el punto de vista no del inversionista, sino del dueño del negocio, el diagrama económico sería: ____________________ 2. Un inversionista deposita $ 20,000,000 en un CDT a una tasa del 12% anual. Si los intereses se liquidan mensualmente y el titulo valor se vence en un año, cuál será el capital que el inversionista obtendrá al finalizar la inversión. De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés mensual será: i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual. Identificación de variables: P = $ 20,000,000 i = 0.01 mensual. n = 12 meses. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: _____
  73. 73. Interés compuesto ________________ 77 Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro del anterior ejemplo mediante la fórmula, será:
  74. 74. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 78 NOTA: El valor final del período 12 no da igual que el obtenido por la fórmula, simplemente porque en esta, aproximamos el valor del cálculo 1.01 elevado a la 12. ____________________ 3. Una persona invierte $ 8,000,000 en un DAT (Depósito de Ahorro a Término Fijo) que ofrece una tasa anual de interés del 6%. Si el interés se liquida bimensualmente, cuál será el nuevo capital si la persona retira su inversión a los 6 meses ? De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés bimensual será: i = 0.06 / 12 = 0.005 mensual. i = 0.005 (2) = 0.01 bimensual. Identificación de variables: P = $ 8,000,000 i = 0.01 bimensual. n = 3 bimestres. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera:
  75. 75. Interés compuesto ________________ 79 Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro del anterior ejemplo mediante la fórmula, será: ____________________ 4. Determinar el valor final de una inversión de $ 3,500,000 al cabo de un año y medio si la tasa de interés que esta genera es del 30% anual y si el interés se liquida trimestralmente. De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés trimestral será: i = 0.30 / 12 = 0.025 mensual. i = 0.025 (3) = 0.075 trimestral. Identificación de variables: P = $ 3,500,000 i = 0.075 trimestral. n = 6 trimestres.
  76. 76. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 80 Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro del anterior ejemplo mediante la fórmula, será: _____
  77. 77. Interés compuesto ________________ 81 NOTA: El valor final del período 6 no da igual que el obtenido por la fórmula, simplemente porque en esta, aproximamos el valor del cálculo 1.075 elevado a la 6. ____________________ 5. La empresa OMEGA S.A. tiene la alternativa de invertir en Bonos del Estado $ 400,000,000 por un año, los cuales ofrecen una tasa de interés semestral del 9% liquidados cuatrimestralmente y, en un CDT la misma cantidad de dinero y por el mismo tiempo a una tasa de interés semestral también del 9% pero liquidados bimensualmente. Sin tener en cuenta las deducciones pertinentes a estas inversiones, cual alternativa le recomendaría al inversionista ?  Analizando la alternativa de los Bonos del Estado tenemos: De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés cuatrimestral será: i = 0.09 / 6 = 0.015 mensual. i = 0.015 (4) = 0.06 cuatrimestral. Identificación de variables: P = $ 400,000,000 i = 0.06 cuatrimestral. n = 3 cuatrimestres. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera:
  78. 78. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 82 Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro de la anterior alternativa mediante la fórmula, será: _____  Analizando la alternativa del CDT tenemos: De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés bimensual será: i = 0.09 / 6 = 0.015 mensual. i = 0.015 (2) = 0.03 bimensual. Identificación de variables: P = $ 400,000,000 i = 0.03 bimensual. n = 6 bimestres. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: _____
  79. 79. Interés compuesto ________________ 83 Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro de la anterior alternativa mediante la fórmula, será: NOTA: El valor final del período 6 no da igual que el obtenido por la fórmula, simplemente porque en esta, aproximamos el valor del cálculo 1.03 elevado a la 6.
  80. 80. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 84 De acuerdo con lo anterior podemos concluir que la alternativa del CDT es la que debe recomendársele al inversionista. ____________________ 6. Una entidad financiera le está ofreciendo a sus clientes invertir a 1 año en un nuevo título valor de renta fija que genera un interés del 1.5% anual para ser liquidados mensualmente durante los 3 primeros meses del año, un 3% anual para ser liquidados bimensualmente durante los siguientes 6 meses y, un 6% anual, para ser liquidados al final del último trimestre del año. Cuál será el valor futuro de una inversión de $ 12,000,000 en este título valor ? Para este ejercicio debemos encontrar el valor futuro para cada una de las tres condiciones que se generan de la política en la liquidación de intereses:  El valor futuro para los primeros tres meses será: De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés mensual será: i = 0.015 / 12 = 0.00125 mensual. Identificación de variables: P = $ 12,000,000 i = 0.00125 mensual. n = 3 meses. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso:
  81. 81. Interés compuesto ________________ 85 Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Este será el valor presente para el siguiente análisis Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro de los tres primeros meses del año será: _____  El valor futuro para los siguientes seis meses será: De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés bimensual será: i = 0.03 / 12 = 0.0025 mensual. i = 0.0025 (2) = 0.005 bimensual. Identificación de variables: P = $ 12,045,056 i = 0.005 bimensual. n = 3 bimestres.
  82. 82. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 86 Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Este será el valor presente para el siguiente análisis Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro de los siguientes 6 meses del año (finales del mes 9) será: _____
  83. 83. Interés compuesto ________________ 87  El valor futuro para los últimos tres meses del año será: De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés trimestral será: i = 0.06 / 12 = 0.005 mensual. i = 0.005 (3) = 0.015 trimestral. Identificación de variables: P = $ 12,226,637 i = 0.015 trimestral. n = 1 trimestre. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Como el último período de liquidación de intereses es trimestral correspondiente al último trimestre del año, sería innecesario el detalle de un flujo de operación financiera. Siendo así las cosas, el procedimiento mecánico para conocer el valor futuro de los últimos tres meses del año será:
  84. 84. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 88 En conclusión, el valor futuro de una inversión de $ 12,000,000 en esta clase de título valor será de $ 12,410,037 al finalizar el año. INVESTIGACIÓN PARA EL ESTUDIANTE: Realizar el mismo ejercicio anterior con la única diferencia de que para los primeros tres meses del año, la tasa de interés sea del 6%, para los siguientes 6 meses, 3% y, para la liquidación del último trimestre del año, la tasa de interés sea del 1.5% ____________________ 7. Un prestamista otorga a 30 días un crédito por valor de $ 1,000,000. Si el interés que liquida diariamente es del 1%, cuál será el valor que recibirá al finalizar el crédito ? Identificación de variables: P = $ 1,000,000 i = 0.01 diario. n = 30 días. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Una nueva forma para hallar el valor futuro, sería relacionar el interés que se liquida cada período, hallar la tasa de interés acumulada para cada período y, finalmente con lo anterior, encontrar el valor futuro de la inversión para cualquier período durante el tiempo de la operación financiera. Para hallar la tasa de interés acumulada de cada período utilizamos la siguiente fórmula:
  85. 85. Interés compuesto ________________ 89 ( )( ) La cual podemos expresar de la siguiente forma: ( )( ) Siempre y cuando n > 1 De acuerdo a la condición anterior, podremos afirmar entonces que cuando: = 1: = Para hallar los intereses de un período, solo tiene que multiplicar el valor futuro del período anterior por la tasa de interés del respectivo período. Para hallar el interés acumulado de un período, simplemente multiplique el valor presente de la operación financiera por la tasa de interés acumulada del respectivo período o, también, con la sumatoria de los intereses desde el período 1 hasta el período de análisis. Finalmente, para hallar el valor futuro de cualquier período, simplemente sume al valor presente de la operación financiera el interés acumulado del respectivo período o, sume al valor futuro del período anterior, los intereses del respectivo período. Detallando en el flujo de operación financiera las nuevas variables correspondientes a esta nueva alternativa para calcular el valor futuro:
  86. 86. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 90 Comprobando lo anterior mediante la fórmula, podemos hallar por ejemplo, el valor futuro del $ 1,000,000 para el período n = 20 Valor que no da exactamente igual al discriminado en el flujo de operación financiera por la simple aproximación en la fórmula del 1.01 elevado a la 20. ____________________
  87. 87. Interés compuesto ________________ 91 8. Un inversionista pretende colocar durante un año $ 30,000,000 en un negocio que le afirman produce un interés mensual del 5% para los meses de enero a marzo, un 10 % mensual para los meses de abril a octubre y, un 20% mensual para los meses de noviembre y diciembre. Represente gráficamente y relacione el flujo de la operación financiera anterior indicando para cada período mensual, la tasa de interés, la tasa de interés acumulada, los intereses, los intereses acumulados y el valor futuro de la inversión. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera:
  88. 88. Curso básico de Matemáticas financieras ________________________ 92 CLASE 8 INTERÉS COMPUESTO VALOR PRESENTE: Será el valor a pesos de hoy de una cantidad de dinero futura que a través del tiempo ha sido afectada por una determinada tasa de interés y, con esto, afirmar que el valor presente se deducirá después de haber descontado en cada período la tasa de interés (para este caso, realmente llamada tasa de descuento) involucrada en la operación financiera. De acuerdo con lo anterior, el VALOR PRESENTE de una determinada suma de dinero no estará relacionado con el concepto de TASA de INTERES, sino con el de una TASA de DESCUENTO, que no será más que la expresión porcentual que se aplicará en cada uno de los períodos de la operación financiera para precisamente DESCONTAR el valor necesario que ajustará una determinada cuantía a pesos de hoy o, al instante de tiempo deseado por el analista financiero. En este orden de ideas, ejemplos de TASA de DESCUENTO serán: la inflación (IPC), el índice de precios de una determinada familia de productos, el índice de precios de los bienes inmuebles, el índice de precios del sector automotriz, etc. De la fórmula del valor futuro, despejamos P para obtener la fórmula del valor presente Para comprender mejor el anterior concepto, veamos los siguientes casos prácticos: _____ 1. Una empresa requiere que para finales de año sus inversiones temporales sean de $ 26,000.000. Si la empresa decide invertir en un título de renta fija que genera un 12% anual liquidados trimestralmente, cual debe ser el valor de la inversión que a principio de año debe realizar para alcanzar la suma deseada ? De acuerdo a la información anterior, la tasa de interés trimestral será: i = 0.12 / 4 = 0.03 trimestral.
  89. 89. Interés compuesto ________________ 93 Identificación de variables: F = $ 26,000,000 i = 0.03 trimestral. n = 4 trimestres. Ubicando las variables y la situación financiera en el diagrama económico para un mayor análisis y comprensión del caso: Detallando el proceso lógico matemático en el flujo de operación financiera: Para hallar el valor presente de cada período, simplemente utilizamos la siguiente fórmula: Para hallar el descuento de un período, solo restamos del VP del período posterior, el VP del período que estamos analizando. Finalmente, el procedimiento mecánico para conocer el valor presente del anterior caso práctico mediante la fórmula, será: _____

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