Funcion Polinomial

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es una explicacion muy buena!! espero te sirva

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Funcion Polinomial

  1. 1. Función polinomial Recordando: Definición de función. “Una función es el conjunto de pares ordenados de número reales (x, y) en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la función (Df ), y el conjunto de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido (Rf )de la función. n −1 n −2 Si una función f está definida por f ( x) = a n x + a n −1 x + a n −2 x + ... + a1 x + a 0 n donde a 0 , a1 ,..., a n son números reales ( a n ≠ 0 ) y n es un entero no negativo, entonces, f se llama una función polinomial de grado n. Por lo tanto, f ( x) = 3 x 5 − x 2 + 7 x − 1 , es una función polinomial de grado 5. Una función lineal es una función polinomial de grado 1, si el grado de una función polinomial es 2, se llama función cuadrática, y si el grado es 3 se llama función cúbica. Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones f ( x) polinomiales Q( x) = se llama función racional. Una función algebraica es aquella g ( x) que está formada por un número finito de operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante. Las funciones trascendentes son las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Ejemplos: 1. Para la función f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 : (a) Determine el dominio de la función (b) Las intercepciones con los ejes (c) Elabora una tabla para algunos valores del Df (d) Traza la gráfica de la función (e) Estima una aproximación del Rf (puedes comprobarlo utilizando un software) Solución: (a) D f = R (el dominio de las funciones polinomiales son todos los números reales. (b) Intercepciones con los ejes: Si x = 0 y=6 La curva intercepta al eje y en el punto (0, 6)
  2. 2. Si y = 0 0 = x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 Por división sintética: Los factores de 6 son: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 1 -2 -5 6 1 -1 -6 1 1 -1 -6 0 Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1. f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = ( x − 1) ( x 2 − x − 6) El factor x 2 − x − 6 , puede descomponerse en: x 2 − x − 6 = ( x − 3) ( x + 2) Finalmente: Si y = 0 x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 = 0 ( x − 1) ( x − 3) ( x + 2) = 0 Los valores de x son: x −1 = 0 ⇒ x =1 x−3= 0 ⇒ x=3 x+2=0 ⇒ x = −2 La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0) (c) La siguiente tabla será de mucha utilidad para graficar: x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y -70 -24 0 8 6 0 -4 0 18
  3. 3. (d) La función ha sido graficada utilizando un software: y 10 y = x^3-2x^2-5x+6 8 6 4 2 x -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 -6 -8 -10 (e) El recorrido de la función coincide con el contradominio: Rf = R 2. Para la función f ( x) = x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 + 8 x : (a) Determine el dominio de la función (b) Las intercepciones con los ejes (c) Elabora una tabla para algunos valores del Df (d) Traza la gráfica de la función (e) Estima una aproximación del Rf (puedes comprobarlo utilizando un software) Solución: (a) D f = R (b) intercepciones con los ejes: Si x = 0 y=0 La curva corta al eje y en el punto (0, 0)
  4. 4. Si y = 0 x 4 − 5x 3 + 2x 2 + 8x = 0 Factorizando: x 4 − 5x 3 + 2x 2 + 8x = 0 x ( x 3 − 5 x 2 + 2 x + 8) = 0 Descomponiendo ( x 3 − 5 x 2 + 2 x + 8) por división sintética: 1 -5 2 8 -1 6 -8 -1 1 -6 8 0 Por lo tanto: x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 + 8 x = x ( x + 1) ( x 2 − 6 x + 8) = x ( x + 1) ( x − 4) ( x − 2) La curva corta al eje x en los puntos: (-1, 0), (0, 0), (2, 0) y (4, 0) (c) Elaboramos una tabla en el intervalo [-3, 5] x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y 210 48 0 0 6 0 -12 0 90 (d) Graficando: y 20 y = x^4-5x^3+2x^2+8x 16 12 8 4 x -28 -24 -20 -16 -12 -8 -4 4 8 12 16 20 24 28 -4 -8 -12 R f = [−12.95, ∞) -16 El valor de -12.95 se obtiene cuando se grafica con el software Equation Grapher. -20

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