Ley de los senos

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Ley de los senos

  1. 1. Jorge enrique Flórez santacruz IED EL JAZMIN MAESTRO DE MATEMATICAS LEY DE LOS SENOS Nivel Educativo: SECUNDARIAÁrea curricular: TRIGONOMETRIA
  2. 2. El problema general de resolución de un triángulo El problema general de resolución de un triángulo consiste en hallar las longitudes de sus lados a, b y Los triángulos c y el valor de sus ángulos A,pueden ser de tres tipos, B y C.además del conocido En general basta con conocertriángulo rectángulo (con tres cualesquiera de estosun ángulo de 90º) seis elementos para obtenertenemos también los otros tres: conocido dosacutángulos, con los tres ángulos y un lado, un lado yángulos agudos, y dos ángulos o los tres lados.obtusángulos, que tienen El caso de los tres ángulos noun ángulo de más de 90º. tiene solución única pues hayVamos a utilizar siempre infinitos triángulos semejantesla misma notación: A, B y que cumplen la condición.C para los vértices y a, b En realidad tenemos cuatroy c para los lados del problemas diferentes:triángulo. 1. Conocidos dos ángulos yLA SUMA DE LOS ÁNGULOS DE un lado.UN TRIÁNGULO CUALQUIERAES 180º. RECUERDA ESTO 2. Conocidos dos lados y elPUES LO VAMOS A UTILIZAR ángulo adjunto a uno de ellos.MÁS ADELANTE (A+B+C=180º). 3. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido. 4. Conocidos los tres lados Para resolverlos, vamos a utilizar dos teoremas: Teorema del seno Teorema del coseno
  3. 3. TEOREMA DEL SENOEn todo triángulo, el cociente entre cada lado y elseno de su ángulo opuesto es el mismo.En un triángulo cualquiera se cumple siempre que:Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seisdatos de un triángulo y que nos van a ayudar aresolverlos.DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENOComo ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:h = b·senA y h = a·senB Luego b·senA = a·senB,de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas deltriángulo.SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO SE DEMUESTRAIGUAL:Se demuestra igual pues h = a·sen (B-180º) pero sen (B-180º) = sen B
  4. 4. 1a. Resolución de un triángulodel que se conocen dos ángulos yel lado que los une. En primer lugar, se calcula fácilmente el ángulo C. Si de un triángulo conocemos A=30º, B=100º y c=5 cm. calcular el resto de los elementos.A continuación, se aplica el teorema de los senos y Solucion: se calculan los ángulos A y B. Como A+B+C = 180º tenemos que C= 180-A-B = (180-30-100) = 50º             Para el cálculo de las longitudes de los lados utilizaremos el teorema del seno:                  y despejando y (b) se calcula igual
  5. 5. 1b. Resolución de triángulos en los que conocemos dos ángulos y un lado que no sea el y despejando   que une estos ángulos. En realidad es el mismo caso de antes, pues si conoces dos ángulos conoces el tercero. Resolver el triángulo A=80º, C=30º y c=8 2. Solución: Como A+B+C = 180º tenemos que C = 180-A-B = (180-80-30) = 70º Y de la misma forma   Para el cálculo de las longitudes de los lados utilizaremos el teorema del seno:Resolución de triángulos conocidos dos lados y elángulo opuesto a uno de ellos.Es el caso que más problemas plantea, puespodemos encontrarnos casos en los que tengamosuna solución, dos soluciones o ninguna:Nota: recuerda que A+B+C=180º y que el senonunca puede ser mayor que 1 o menor que -1).Pues bien, se nos pueden dar, en este último caso,las siguientes posibilidades: a = c.sen A, con lo cual el triángulo es rectángulo. a < c.sen A, con lo cual el triángulo no existe.
  6. 6. a > c.sen A y a< c, en cuyo caso existen dostriángulos: ABC y ABC´.a>c.sen A y a>=C, con lo cual estamosen el caso de un sólo triángulo. Seráesta posibilidad la que ocupe nuestroestudio dentro del caso IV.Resuelvan el triángulo del que conocemos b=7.7 cm.,c=8.7 cm. y B=52º.Aplicando el teorema del seno se obtieneLuego C = 62.9º o bien C = 117.1º elproblema tiene dos soluciones.Para C=62.9º A=180-B-C=65.1º y   cm.Para C = 117.1° se tiene A = 10.9º y a=1.8477348 cm.
  7. 7. [2. TAREA:]Descripción:DADA LA INFORMACION PERTINENTE AL CONOCIMIENTO PROPUESTO, LOSESTUDIANTES ESTARAN LISTOS PARA RESOLVER CUESTIONAMIENTOS YMUCHO MAS.Durante esta actividad trabajarán en grupos de 5 estudiantes para completar lassiguientes tareas:Identificar los elementos del teorema del seno, sus relaciones y regularidades.Distinguir los diferentes casos de solucion que se puedan presentar al abordar laresolución de triángulos no rectángulos.Practicar elaborando los ejercicios propuestos al final de la explicación.Representar una o dos situaciones cotidianas a través de un triangulo no rectángulo.Investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintas o semejantes, abordandonuevos temas que los inquieten.Para esto cada uno deberá asumir un rol distinto.EJERCICIOS1. Resolver un triángulo tal que a=4.5 cm., B=30º y C= 78º.2. Resolver un triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35º y b=10 cm.3. Resolver el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.4. Resolver el triángulo a=3 m., b=5 m. y C= 80º.5. Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y secortan bajo un ángulo de 50º. Hallar el perímetro del paralelogramo.[3.PROCESO:]1. Trabajarán en grupos de 5 estudiantes y cada uno de ellos asumirá un roldiferente, investigando sobre diferentes aspectos del tema. Tomarán anotacionesmientras hacen sus investigaciones en un documento de Word, que más tardejuntarán y resumirán en un documento común.Estos son los roles que asumirán:Investigador 1: su labor consistirá en investigar todo acerca de los elementos delteorema del seno, sus relaciones y regularidades. Estas son algunas de lasdirecciones que le pueden ayudar a llevar a cabo la investigación. No se olvide deponer algunas imágenes ilustrativas. Microsoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation. http://centros5.pntic.mec.es/ies.salvador.dali1
  8. 8. Investigador 2: su tarea se basará en la aplicación de lainformación sobre como se resuelven los diferentes casos entriángulos no rectángulos por medio del teorema del seno.Representando una o dos situaciones cotidianas a través de untriangulo no rectángulo.http://www.eduteka.orghttp://ciencias.bc.inter.edu/ohernand/internet/enlaces/matematicos.htmllíder investigador: como responsable de la dirección deberáaventurarse a investigar a cerca del tema bajo perspectivas distintaso semejantes, abordando nuevos temas que los inquieten.http://www.matematicas.net/http://sipan.inictel.gob.pe/av/http://www.dvnet.es/rubia/rmat.htmorganizador: su trabajo consistirá en apoyar la resolución de losejercicios planteados al final de la información de la tarea,estableciendo para ello el orden y el compromiso de cada integrante.www.arrakis.es/~davidgv/index.htmlwww.redemat.com/expositor: su trabajo consiste en presentar ordenada y fielmente larecopilación de la información con pleno conocimiento de todos lostemas para representar al grupo de la mejor manera.http://www.monografias.com/trabajosMicrosoft ® Encarta ® 2006. © 1993-2005 Microsoft Corporation.2.- Cuando recopilen toda la información que se requiere para lainvestigación, realizaran entre todos una puesta en común ysocialización de información para compilar las escogencias previoacuerdo.3.- Para finalizar expondrán su tarea a los compañeros de la clase,explicando los aspectos más característicos de este. Este trabajoformará parte de la biblioteca del aula.

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