Aula 02 sequências

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Aula 02 sequências

  1. 1. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Chama-se Progressão Aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte fórmula derecorrência:em que a e r são números reais dados. Assim, uma P.A. é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma doanterior com uma constante r dada.EXEMPLOS:1) (1, 3, 5, 7, 9, …) em que a1 = 1 e r = 22) (0, -2, -4, -6, …) em que a1 = 0 e r = -23) (4, 4, 4, 4, 4, …) em que a1 = 4 e r = 04) (1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …) em que a1 = 1/2 e r = 15) (4, 11/3, 10/3, 3, 8/3, …) e que a1 = 4 e r = -1/3CLASSIFICAÇÃO DE UMA P.A. As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias:CRESCENTES São as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É imediato que isso ocorre somentese r > 0, pois: an > an-1 ⇔ an – an-1 > 0 ⇔ r > 0 Exemplos: (1) e (4)
  2. 2. CONSTANTES São as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver que isso só ocorre quandor = 0, pois: an = an-1 ⇔ an – an-1 = 0 ⇔ r = 0 Exemplo: (1)DECRESCENTES São as P.A. em que cada termo é menor que o anterior. É fácil ver que isso só ocorrequando r < 0, pois: an < an-1 ⇔ an – an-1 < 0 ⇔ r < 0 Exemplos: (2) e (5)NOTAÇÕES ESPECIAIS Quando procuramos obter uma P. A. com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notaçãoseguinte:PARA 3 TERMOS (x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x, x + r)PARA 4 TERMOS (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x – 3y, x - y, x + y, x + 3y) em que y = r/2PARA 5 TERMOS (x, x + r, x + 2r, x + 3r, x + 4r) ou (x – 2r, x – r , x, x + r, x + 2r)
  3. 3. EXERCÍCIOS1. Determine x de modo que a sequência abaixo seja uma P.A. (x, 2x + 1, 5x + 7) x = - 5/22. Determine a de modo que a sequência seja uma P.A. (a², (a + 1)², (a + 5)²) a = -23/63. Obtenha uma P.A. de três termos tais que sua soma seja 24 e seu produto seja 440. (5, 8, 11) e (11, 8, 5)4. Obtenha uma P.A. crescente formada por três números inteiros e consecutivos de modo que a soma de seus cubos seja igual ao quadrado da sua soma. (-1, 0, 1), (0, 1, 2) e (1, 2, 3)5. Obtenha 3 números em P.A., sabendo que sua soma é 18 e a soma de seus inversos é 23/30. (2, 6, 10) e (10, 6, 2)6. Uma P.A. é formada por 3 termos com as seguintes propriedades: • Seu produto é igual ao quadrado de sua soma; • A soma dos dois primeiros é igual ao terceiro. Obtenha a P.A. (6, 12, 18) e (0, 0, 0)7. Obtenha 3 números em P.A. de modo que sua soma seja 3 e a soma de seus quadrados seja 11. (-1, 1, 3) e (3, 1, -1)8. Obtenha uma P.A. de 4 termos inteiros em que a soma dos termos é 32 e o produto é 3465. (5, 7, 9, 11) e (11, 9, 7, 5)9. A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6, o produto do primeiro deles pelo quarto é 54. Determine esses termos. (-9, -4, 1, 6)10. Obtenha uma P.A. crescente de 4 termos tais que o produto dos extremos seja 45 e o dos meios seja 77. (3, 7, 11, 15) e (-15, -11, -7, -3)11. Obtenha 4 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 22 e a soma de seus quadrados é 166. (1, 4, 7, 10) e (10, 7, 4, 1)12. Obtenha uma P.A. de 5 termos, sabendo que sua soma é 25 e a soma de seus cubos é 3025. (-3, 1, 5, 9, 13) e (13, 9, 5, 1, -3)13. Obtenha uma P.A. decrescente com 5 termos cuja soma é -10 e a soma dos quadrados é 60. (2, 0, -2, -4, -6)14. Obtenha 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 563/63. (1/5, 3/5, 1, 7/5, 9/5) e (9/5, 7/5, 1, 3/5, 1/5)15. Ache 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 10 e a soma dos cubos dos dois primeiros é igual à soma dos cubos dos dois últimos. (2, 2, 2, 2, 2)
  4. 4. 16. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x, x² - 5 e estão em P.A., nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo. 2417. Os números que exprimem o lado, a diagonal e a área de um quadrado estão em P.A., nessa ordem. Quanto mede o lado do quadrado?FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A. Na P.A. em que o primeiro termo é a1 e a razão é r, o n-ésimo termo é calculado por: an = a1 + (n – 1). r EXERCÍCIOS18. Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5. a17 = 8319. Obtenha o 12º, o 27º e o 100º termos da P.A. (2, 5, 8, 11, …). a12 = 35; a27 = 80; a100 = 29920. Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é -8 e o vigésimo é 30. r = 221. Obtenha a razão da P.A. em que a2 = 9 e a14 = 45. r = 322. Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86. a1 = -223. Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2º termo é 24 e a razão é 2? 20º termo24. Obtenha a P.A. em que a10 = 7 e a12 = -8. (149/2, 67, 119/2, …)25. Determine a P.A. em que o 6º termo é 7 e o 10º é 15. (-3, -1, 1, 3, …)26. Qual é a P.A. em que o 1º termo é 20 e o 9º termo é 44? (20, 23, 26, 29, …)27. Determine a P.A. em que se verificam as relações: a12 + a21= 302 e a23 + a46 = 446 (89, 93, 97, …)28. Quantos números ímpares há entre 14 e 192? 89 números29. Qual é o primeiro termo negativo da P.A. (60, 53, 46, …)? a10 = -330. As progressões aritméticas 5, 8, 11, … e 3, 7, 11, … têm 100 termos cada uma. Determine o número de termos iguais nas duas progressões. 25 termos31. O primeiro termo a de uma progressão aritmética de razão 13 satisfaz 0 ≤ a ≤ 10. Se um
  5. 5. dos termos da progressão é 35, determine o valor de a. a = 9

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