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Movimento Uniforme

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Movimento Uniforme

  1. 1. Introdução ao Estudo da CinemáticaProf. Roberto LúcioO que é Cinemática?É o ramo da Física que descreve os movimentos, determinando a posição, avelocidade e a aceleração de um corpo em cada instante.Ponto material é um corpo cujas dimensões não interferem no estudo de umdeterminado fenômeno.Como exemplo podemos citar um carro em uma viagem ao longo de uma estrada.Para calcular, por exemplo, a duração da viagem basta conhecer os instantes dapartida e da chegada. Nessa situação, as dimensões do carro não são relevantes eele pode ser considerado um ponto material. Se, no entanto, estivermos estudandoo intervalo de tempo que o carro leva para atravessar uma ponte de pequenaextensão, suas dimensões devem ser levadas em conta. Nesse caso o carro échamado de corpo extenso.Trajetória de um móvelÉ o conjunto das posições sucessivas ocupadas pelo móvel no decorrer do tempoem relação a um dado referencial.PosiçãoÉ a grandeza que determina a posição de um móvel numa determinada trajetória, apartir de uma origem arbitrária (origem dos espaços). As unidades de espaço são:cm, m, km, etc.Distância (d)Seja s1 o a posição de um móvel num instante t1 e s2 sua posição num instanteposterior t2. A variação da posição do móvel no intervalo de tempo Δt = t2 – t1 é agrandeza:d = s2 – s1d
  2. 2. ReferencialReferencial é um corpo em relação ao qual identificamos se outro corpo está emmovimento ou em repouso.Um corpo está em movimento em relação a um determinado referencial quandosua posição, nesse referencial, varia no decurso do tempo.Um corpo está em repouso em relação a um determinado referencial quando suaposição, nesse referencial, não varia no decurso do tempo.Os conceitos de movimento, repouso e trajetória dependemdo referencial adotado.Função horária da posiçãoNo estudo do movimento de um ponto material a cada instante (t) corresponde umvalor posição (s). A relação matemática entre s e t é chamada de função horária daposição.Exemplo: s = 4 + 6.t (para s em metros e t em segundos, isto é, o sistema deunidades é o internacional, SI). Para t = 0, s = 4 m (posição inicial);para t = 1 s, s = 10 m; para t = 2 s, s = 16 m, etc.Exercícios BásicosExercício 1:Ao ler esta questão você está sentado numa cadeira. Você está em repouso ou emmovimento? Explique.Exercício 2:O professor, ao iniciar o estudo de Cinemática, afirmou que a forma da trajetóriadepende do referencial adotado. Você sabe citar um exemplo?Exercício 3:A função horária da posição do movimento de uma bolinha és = 4 + 3t - t2(SI). Determine:a) As posições nos instantes t = 0 e t = 2 s.b) A distância percorrida entre os instantes t = 0 e t = 1 s.Exercício 4:Na figura estão representadas as posições de um carrinho em diversos instantes,ao longo de uma trajetória retilínea.
  3. 3. Determine:a) A posição inicial do carrinho.b) A posição do carrinho no instante t = 1 s.c) A distância percorrida entre os instantes t1 = 0 s e t2 = 3 s.Exercício 5:O espaço de um móvel varia com o tempo conforme indica a tabela abaixo:Determine a distância percorrida entre os instantes:a) 1 s e 3 sb) 1 s e 5 sc) 3 s e 6 s.RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS BÁSICOSExercício 1 :Os conceitos de repouso e de movimento dependem do referencial adotado. Emrelação à cadeira você está em repouso, mas em relação ao Sol, por exemplo, vocêestá em movimento, acompanhando o movimento da Terra.Exercício 2A forma da trajetória depende também do referencial adotado. Vamos citar umexemplo. Um trem se desloca com velocidade constante. Um passageiro joga umabolinha verticalmente para cima. A bolinha sobe e desce e volta à mão dopassageiro.Ele dirá que a bolinha descreve uma trajetória vertical. Mas para um observadorfora do trem, além de a bolinha subir e descer, ela também se desloca para frentecom movimento uniforme. Em relação ao observador fora do trem a bolinhadescreve uma trajetória parabólica.Exercício 3a)t = 0 => s = 4 + 3.0 – (0)2=> s = 4 m;t = 2 s => s = 4 + 3.2 – (2)2=> s = 6 mb)t = 1 s => s = 4 + 3.1 – (1)2=> s = 6 m∆s = 6 m – 4 m => ∆s = 2 m
  4. 4. Exercício 4a) A posição inicial é a posição do carrinho no instante t = 0: s0 = - 2 mb) No instante t = 1 s a posição do carrinho é zero: s1 = 0c) No instante t = 3 s a posição do carrinho é 6 m: s3 = 6 mA distância percorrida entre os instantes 0 e 3 s é igual a:d = 6 m - (-2 m) => d = 8 mExercício 5a) d = 12 m – 8 m => d = 4 mb) d = 8 m – 8 m => d = 0c) d = 6 m – 12 m => d = - 6mVelocidade escalar média e velocidade escalarinstantâneaIntroduçãoPara o cálculo da velocidade média que um carro desenvolve numa viagem bastadividir a distância que o carro percorre, ao longo da estrada, pelo intervalo detempo contado desde a partida até a chegada. Por exemplo, um carro parte de SãoPaulo (capital) às 8 h da manhã e chega a Guaxupé (MG) ao meio dia, apóspercorrer320 km. Para calcular a velocidade média desenvolvida dividimos 320 kmpor 4 h. Encontramos: 320 km/4 h = 80 km/h. Observe que o carro se deslocasempre no mesmo sentido e não ocorre inversão do movimento ao longo daestrada. É assim que estamos acostumados no nosso dia a dia: dividimos adistância percorrida pelo intervalo de tempo gasto.Vamos agora ampliar esta definição, considerando a trajetória descrita por ummóvel, em relação a um certo referencial. Seja s1 o espaço do móvel num instantet1 e s2 seu espaço num instante posterior t2. Seja Δs = s2 - s1 a variação de espaçono intervalo de tempo Δt = t2 - t1.A seguir, vamos definir velocidade escalar média do móvel no intervalo detempo Δt para uma variação de espaço (distância) Δs qualquer. Para o cálculo deΔs devemos levar em conta apenas as posições inicial e final, mesmo ocorrendoinversão no sentido do movimento.Velocidade escalar média:vm = d/ΔtSendo d > 0, isto é, s2 > s1, resulta Vm > 0 (figura 1).Figura 1d > 0
  5. 5. Unidades de velocidade: cm/s; m/s; km/hSendo 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s, vem :1 km/h = 1000 m/3600 s = (1/3,6) m/s. Portanto: 1 m/s = 3,6 km/hVamos analisar alguns exemplos:Um ônibus vai de São Paulo ao Rio de Janeiro em cinco horas, enquanto outroônibus faz o percurso inverso, do Rio de Janeiro a São Paulo também em cincohoras. Vamos determinar a velocidade escalar média de cada veículo, sabendo quea distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 quilômetros.Precisamos inicialmente definir um sentido de percurso, isto é, orientar atrajetória e escolher uma das cidades como origem dos espaços (marco zero).Assim, supondo que São Paulo seja a origem dos espaços, a ela será atribuído omarco zero. Como a distância entre as cidades é de 400 km, ao Rio de Janeirocaberá o marco +400, sendo o sentido adotado de São Paulo para o Rio de Janeiro.Vamos então calcular a velocidade escalar média de cada um dos veículos, oprimeiro indo de São Paulo ao Rio e o segundo fazendo o percurso inverso, Rio-SãoPaulo.Veículo 1 => São Paulo-RioPosição da partida s1 = 0 (partiu da origem do espaços, km 0)Posição da chegada s2 = 400 kmVariação da posição: d = s2 - s1 = 400 km – 0 = 400 kmDuração da viagem Δt = 5hCálculo da velocidade escalar média vmvm = d/Δt => vm = 400 km/5 h => vm = 80 km/hVeículo 2 => Rio – São PauloPosição da partida s1 = 400 kmPosição da chegada s2 = 0Variação de posição: d = s2 - s1 = 0 - 400 km = -400 kmDuração da viagem ∆t = 5hCálculo da velocidade escalar vmvm = d/Δt => vm = -400 km/5 h => vm = -80 km/h
  6. 6. Como você notou, em uma das viagens um dos veículos apresentou velocidadeescalar média negativa, o que ocorreu em função da orientação da trajetória.Imagine um terceiro exemplo, mantendo a origem dos espaços em São Paulo eorientando a trajetória de São Paulo para o Rio.Um ônibus sai de São Paulo, vai ao Rio de Janeiro e volta pela mesma estrada,chegando a Resende, situada no km 260. Qual é a velocidade escalar média doônibus entre São Paulo e Resende sabendo-se que todo percurso foi realizado em6,5 horas?Posição da partida s1 = 0Posição da chegada s2 = 260 kmVariação de posição: d = s2 - s1 = 260 km - 0 = 260 kmDuração da viagem - Intervalo de tempo (∆t) => ∆t = 6,5 hCálculo da velocidade escalar vmvm = d/Δt => vm = 260 km/6,5 h => vm = 40 km/hObservação: É assim que procedemos em Física: adotamos um ponto comoorigem dos espaços, orientamos a trajetória, determinamos as posições iniciale final do móvel e o intervalo de tempo gasto no percurso.No caso em questão, como acabamos de calcular, a velocidade escalar média entreSão Paulo e Resende resultou em 40 km/h.Se você calculasse efetivamente a distância percorrida pelo ônibus neste trajetoencontraria de São Paulo ao Rio de Janeiro e do Rio de Janeiro a Resende asdistâncias 400 km e 140 km, cuja soma é igual a 540 km, o que levaria a umavelocidade média de 540 km/6,5 h, aproximadamente 83 km/h. Está não é avelocidade escalar média definida em Física.No cálculo da velocidade escalar média só interessam os instantes dapartida e da chegada.Veja este exemplo:Um carro parte de São Paulo às 08h00 da manhã e chega ao Rio de Janeiro às13h00. O motorista parou para almoçar, tendo ficado no restaurante durante umahora.Ao efetuarmos o cálculo da velocidade escalar média, não nos interessa o queaconteceu durante o percurso (almoço) e sim o intervalo de tempo entre a partidae a chegada.A velocidade escalar média vm, portanto, foi de 80 km/h. E, desde que os instantesde partida e chegada permanecessem iguais, a vm continuaria a mesma, ainda queo almoço tivesse durado 2 horas. Ou, quem sabe, 3 horas!Velocidade escalar instantânea:A velocidade escalar num instante é indicada por v e pode ser entendida comosendo a velocidade escalar média tomada em um intervalo de tempo Δtextremamente pequeno, com Δt tendendo a zero, ou seja, t2 tendendo a t1.
  7. 7. O velocímetro de um carro fornece a velocidade escalar instantânea, isto é, indica avelocidade do carro em cada instante.Exercícios BásicosExercício 1:Um atleta percorre a distância de 100 m em 10 s. Qual é a velocidade escalarmédia do atleta? Dê a resposta em km/h e m/s.Exercício 2:A velocidade escalar média de uma pessoa em passo normal é de 1,5 m/s. Quantotempo a pessoa gasta para fazer uma caminhada de 3 km?Exercício 3:É dada a função horária do movimento de um móvel s = 8 - 6t + t2, sendo oespaço s medido em metros e o instante t em segundos. Determine a velocidadeescalar média do móvel entre os instantes:a) 1 s e 2 sb) 2 s e 4 sc) 5 s e 6 sExercício 4:A distância entre as cidades de Goiânia e de Caldas Novas é de 169 km. Um ônibusparte de Goiânia às 13h e chega à cidade de Caldas Novas às 15h10min, tendofeito uma parada de 10min num posto de abastecimento.Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pelo ônibus nesse trajeto?Exercício 5:Numa viagem de João Pessoa a Cabedelo, uma moto desenvolve a velocidadeescalar média de 80 km/h até a metade do percurso e de 60 km/h na metadeseguinte.Qual é a velocidade escalar média desenvolvida pela moto de João Pessoa aCabedelo?Exercício 6:A função horária da velocidade de um móvel é dada por v = 5 - 2t, para v em m/se t em s. Determine:a) a velocidade do móvel nos instante 0 e 2 s.b) em que instante a velocidade escalar do móvel se anula?
  8. 8. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS BÁSICOSExercício 1Da definição de velocidade escalar média, vem:vm = d/Δt => vm = 100 m/10 s => vm = 10 m/sSabemos que 1m/s corresponde a 3,6 km/h. Logo, 10 m/s correspondem a36 km/h. Assim, a resposta é 10 m/s e 36 km/hExercício 2Vamos considerar que a caminhada ocorre sempre no mesmo sentido e no sentidoque a trajetória foi orientada.vm = d/Δt => 1,5 = 3000 m/Δt => Δt = 2000 s = 33min 20sExercício 3Vamos calcular as posições móvel nos instante 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s e 6 st1 = 1 s => s1 = 8 - 6.1+(1)2 => s1 = 3 mt2 = 2 s => s2 = 8 - 6.2+(2)2 => s2 = 0t3 = 3 s => s3 = 8 - 6.3+(3)2 => s3 = -1 mt4 = 4 s => s4 = 8 - 6.4+(4)2 => s4 = 0t5 = 5 s => s5 = 8 - 6.5+(5)2 => s5 = 3 mt6 = 6 s => s6 = 8 - 6.6+(6)2 => s6 = 8 mPara visualizarmos as posições ocupadas pelo móvel nos diversos instantes, vamosconsiderar a trajetória retilínea. Temos:Cálculo das velocidades escalares médias:a) vm = d/Δt = (s2-s1)/(t2-t1) => vm = (0-3)/(2-1) => vm = -3 m/sb) vm = d/Δt = (s4-s2)/(t4-t2) => vm = (0-0)/(4-2) => vm = 0c) vm = d/Δt = (s6-s5)/(t6-t5) => vm = (8-3)/(6-5) => vm = +5 m/sExercício 4Temos: Δs = 169 km e Δt = 15h10min - 13h = 2h10min =>2h + 1/6h => Δt = 13/6hvm = d/Δt = 169 km/(13/6) h => vm = 78 km/hObservação: No cálculo de Δt não devemos subtrair os 10 minutos referente àparada. Para determinar a velocidade média devemos conhecer, além da variaçãode espaço, os instantes da partida e o de chegada.
  9. 9. Exercício 5Vamos indicar por d a distância de João Pessoa até o ponto médio da trajetória. Nosegundo trecho (do ponto medo até Cabedelo) a distância a ser percorrida étambém d.O primeiro trecho será percorrido no intervalo de tempo d/80 e o segundo trecho,no intervalo de tempo d/60. O tempo total de percurso será a soma desses doisvalores:Δt = (d/80) + (d/60) => Δt = 7d/240A distância total a ser percorrida é 2d: Δs = 2dDividindo a distância total a ser percorrida (que é 2d) pelo tempo total (7d/240)encontramos a velocidade escalar média no percurso todo:vm = distãncia/Δt = 2d/(7d/240) = 480/7 => vm ≅ 68,6 km/hExercício 6a) t = 0 => v = 5 – 2 x 0 => v = 5 m/sx t = 2 s => v = 5 – 2 x 2 => v = 1 m/sb) v = 0 => 0 = 5 – 2.t ⇾ t = 2,5 sGráficos do Movimento UniformeVelFunção horária da posição (função do primeiro grau em t).Gráfico s x t: reta inclinada em relação aos eixos. A posição “s” cresce com otempo: velocidade escalar positiva. A posição “ s” decresce com o tempo:velocidade escalar negativa.Movimento no sentidocrescente:V > 0Movimento no sentidodecrescente:V < 0
  10. 10. Função horária da velocidade escalar (função constante e não nula).Gráfico v x t: reta paralela ao eixo dos tempos.Exercícios BásicosExercício 1:Um ciclista realiza um movimento uniforme e sua posição “s” varia com o tempoconforme indica o gráfico. Determine a posição inicial s0 e a velocidade escalar v.Exercício 2:Um motociclista realiza um movimento uniforme e sua posição varia com o tempoconforme indica o gráfico. Qual é a função horária das posições do motociclista?Movimento nosentido crescente:V > 0Movimento nosentidodecrescente: V < 0V > 0
  11. 11. Resolução dos exercícios BásicosExercício 1:Do gráfico, vem:S0 = -10 mv = d/Δt = (20-0)/(6-2) => v = 5 m/sRespostas: -10 m e 5 m/sExercício 2:s0 = 100 mDe v = d/Δt = (0-100)/(10-0) => v = -10 m/sDe s = s0 + v.t, vem: s = 100 - 10.t (s em metros e t em segundos)Resposta: s = 100 - 10.t

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