Tạp chí con đường đại học số 2 [ trường học số ]

2,364 views

Published on

NHẬN LÀM CHỨNG CHỈ TIẾNG ANH – TIN HỌC UY TÍN, NHANH GỌN
LIÊN HỆ : 0934.616.366
Gmail: lamchungchi.com@gmail.com
Facebook: https://www.facebook.com/pages/Chứng-chỉ-Tiếng-Anh-Tin-học/163836360487186

Published in: Education
7 Comments
4 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
2,364
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
107
Comments
7
Likes
4
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Tạp chí con đường đại học số 2 [ trường học số ]

  1. 1. N à ut ả Tư n H c ố h xấ b n rờ g ọ S O Ư N ẠH C C N Đ Ờ GĐ I Ọ T ág1 ă 2 1 hn N m 03
  2. 2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nguyễn Thanh Trà Trong các kì thi nói chung và thi ĐH nói Ta nhìn nhận lại phương trình theo một gócriêng. Ta hay gặp những bài toán với một đại độ khác. Ta xét cách giải phương trình:lượng khó xử lý (căn thức, biểu thức với sốmũ). Khi đó, một ý tưởng tự nhiên là đặt biểu y 2 − (x + 1)y + 2(x − 1)thức đó bằng một ẩn mới. Điều đó làm đơngiản phương trình để dễ nhìn nhận. Sau đó, ta Xét ∆ = (x + 1)2 − 8(x − 1) = x2 − 6x + 9 =tìm các mối liên hệ giữa ẩn mới và ẩn ban đầu (x − 3)2 .để được phương trình đơn giản hơn. Như thế, phương trình có nghiệm:Chúng ta đến với ví dụ đầu tiên √ y = (x + 1 + √∆)/2 y=2 ⇒ y = (x + 1 − ∆)/x y =x−1Ví dụ 1. Giải phương trình: √ Nhận xét rằng, nếu ∆ là một bình phương của (x + 1) x2 − 2x + 3 = x2 + 1 một biểu thức thì ta có thể biểu diễn biến x theo y. Và khi xét phương trình ta sẽ có phương √ trình mới với bậc nhỏ hơn phương trình banLời giải. Đặt x2 − 2x + 3 = y. Khi đó đầu.phương trình trở thành: Chúng ta có một số bài toán tương tự. (x + 1)y = x2 + 1 Ví dụ 2. Giải phương trình: ⇔ x2 − 3x + 2 − (x + 1)y + (2x − 2) = 0 √ ⇔ y 2 − (x + 1)y + 2(x − 1) x2 + 7x = (2x + 1) x2 + x + 6 = 0 ⇔ y 2 − 2y − (x − 1)y + 2(x − 1) = 0 Ví dụ 3. Giải phương trình: ⇔ y(y − 2) − (x − 1)(y − 2) = 0 √ y=2 (x + 1)2 = x x2 + x + 1 ⇔ (y − 2)(y − x + 1) = 0 ⇔ y =x−1 x2 − 2x + 3 = 4 Ví dụ 4. Giải phương trình: ⇔ x2 − 2x + 3 = x2 − 2x + 1 √ √ 2x3 − x2 + 9x − 2 = (x2 − 3x + 3) 2x3 + 6x 3 ⇔x=1± 2 √ Ví dụ 5. Giải phương trình:Vậy nghiệm của phương trình là x ∈ {1 ± 2} √ x3 + 6x2 − 2x + 3 = (5x − 1) x3 + 3 √ Từ việc đặt y = x2 − 2x + 3 và thay x2 − Tuy nhiên, chúng ra sẽ gặp khó khăn khi đến2x + 3 = y 2 vào phương trình ban đầu, ta được với bài toán sau đây?phương trình bậc 2. Sau đó coi đây là phươngtrình bậc 2 theo ẩn y, giải phương trình này Ví dụ 6. Giải phương trình:ta tính được x theo y (hai phương trình có bậc √nhỏ hơn). 10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x) x2 + 3 1
  3. 3. Vẫn như tư tưởng bài toán trước, đặt Ta hãy thử với một bài toán nữa:√ x2 + 3 = y. Phương trình đã cho trở thành: Ví dụ 7. Giải phương trình: √ 10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)y x2 + 12x + 2 = (x − 2) x2 + 8x + 1Đến đây, ta phân vân không biết nên thay y 2 = √ Đặt x2 + 8x + 1 = y. Ta tìm số a thíchx2 + 3 hay 2y 2 = 2x2 + 6. Vậy ta sẽ tìm a thích hợp:hợp để cộng vào hai vế: √ x2 + 12x + 2 = (x − 2) x2 + 8x + 110x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)y ⇔ x2 + 12x + 2 = (x − 2)y⇔ a(x2 + 3) + 10x2 + 3x + 1 ⇔ x2 + 12x + 2 + a(x2 + 8x + 1)= (1 + 6x)y + ay 2 = (x − 2)y + ay 2 2 2⇔ (10 + a)x + 3x + 1 + 3a = (1 + 6x)y + ay ⇔ (a + 1)x2 + (12 + 8a)x + 2 + aCoi phương trình trên như một phương trình = (x − 2)y + ay 2bậc 2 với ẩn y. Ta xét Coi là phương trình bậc 2 theo y. Ta xét: 2 2∆ = (1 + 6x) + 4a[(10 + a)x + 3x + 1 + 3a] ∆y = (x − 2)2 2 = [36 + 4a(10 + a)]x + + 4a[(a + 1)x2 + (12 + 8a)x + 2 + a] 2(12 + 12a)x + 1 + 4a + 12a = x2 − 4x + 4Nhận xét: Để biểu thức ∆ = (36 + 4a(10 + + 4a[(a + 1)x2 + (12 + 8a)x + 2 + a]a))x2 + (12 + 12a)x + 1 + 4a + 12a2 có dạng = (4a2 + 4a + 1)x2k(f (x))2 thì biệt thức ∆ theo x bằng 0. Ta có: + (48a + 32a2 − 4)x + (4a2 + 8a + 4)∆x = 0 = (2a + 1)2 x2⇔ (6 + 6a)2 = [36 + 4a(10 + a)](1 + 4a + 12a2 ) + (48a + 32a2 − 4)x + 4(a + 1)2⇒ a = −1 Bây giờ ta sẽ xét ∆x = 0. Ta có:(lưu ý ở đây ta tìm được a = −1 nhờ máy ∆x = 0tính). ⇔ (24a + 16a2 − 2)2 = 4(2a + 1)2 (a + 1)Khi đã tìm được a = −1. Ta có lời giải đẹp đẽ 3 ⇒a=−và ngắn gọn như sau: 2 √ Ta có lời giải như sau:Lời giải. Đặt x2 + 3 = y, y ≥ 0. Ta có: √ Lời giải. Đặt x2 + 8x + 1 = y. Phương trình 10x2 + 3x + 1 = (1 + 6x)y đã cho tương đương với: ⇔ (x2 + 3) + (9x2 + 3x − 2) = (1 + 6x)y ⇔ y 2 − (1 + 6x)y + (9x2 + 3x − 2) x2 + 12x + 2 = (x − 2)y ⇔ 2x2 + 24x + 4 = 2(x − 2)yXét ∆ = (1 + 6x)2 − 4(9x2 + 3x − 2) = 9. Vậy ⇔ 3(x2 + 8x + 1) − (x2 − 1) = 2(x − 2)ynghiệm của phương trình là: ⇔ 3y 2 − 2(x − 2)y − (x2 − 1) = 0 1+6x+3 y= y = 2 + 3x 2 1+6x−3 ⇔ Xét ∆ = (x − 2)2 + 3(x2 − 1) = 4x2 − 4x + 1 = y= y = 3x − 1 2 (2x − 1)2 . Phương trình đã cho có nghiệm:Mỗi phương trình vừa tìm được, việc giải quyết y= x−2+2x−1 y =x−1 3 x−2−2x+1 ⇔là đơn giản vì đó chỉ là phương trình bậc 2. y= 3 y = − x+1 3 2
  4. 4. √Đến đây, phương trình có thể giải một cách dễ Coi đây là phương trình bậc 2 theo ẩn x + 1.dàng. Ta tìm a sao cho ∆√x+1 = 0. Ta có: Tương tự, hãy thử sức với các bài toán sau: ∆x = 0 ⇔ (8a − 2)2 = (2a + 1)2 (12a2 − 12a + 4)Ví dụ 8. Giải phương trình: √ ⇒a=1 2(x − 2) 2x − 5 = x2 − 2x + 4 √ Vậy ta trình bày như sau: Đặt y = x + 4.Ví dụ 9. Giải phương trình: Phương trình đã cho tương đương với: √ √ √ (x − 2) 4x − 3 = x2 − 3x + 1 2y − 4 x + 1 = x − 2 + y x + 1 √ √ ⇔ y(2 − x + 1) − 4 x + 1 = x − 2Ví dụ 10. Giải phương trình: √ √ √ ⇔ y 2 + y(2 − x + 1) = 4 x + 1 + x − 2 + x + 4 x2 + 3x + 7 = (x + 2) x2 + 2x + 7 Xét Đôi khi biểu thức không nhất thiết chỉ đơn ∆ = ythuần với biến x. Ta đến với một số ví dụ sau: √ √ = (2 − x + 1)2 + 4(4 x + 1 + x − 2 + x + 4) √ √ = x + 5 − 4 x + 1 + 16 x + 1 + 8x + 8Ví dụ 11. Giải phương trình: √ = 9x + 13 − 12 x + 1 √ √ √2 x + 4 − 4 x + 1 = x − 2 + (x + 1)(x + 4) = 9(x + 1) − 12 x + 1 + 4 √ = (3 x + 1 − 2)2Lời giải. Để giải phương trình, ta đặt y = Vậy phương trình đã cho có nghiệm:√ x + 4. Phương trình đã cho tương đương với: √ √ √ √ √ y = √x+1−2+3√x+1−2 y =2 √ +1−2 x x+1−2−3 x+1+2 ⇔ 2 2y − 4 x + 1 = x − 2 + y x + 1 y= y =− x+1 √ √ √ 2 √ ⇔ y(2 − x + 1) − 4 x + 1 = x − 2 ⇔ x+4=2 x+1−2Tương tự như bài trước, ta tìm các cộng một Phương trình còn lại được giải một cách đơnlượng ay 2 vào hai vế của phương trình: giản. √ √ ⇔ y(2 − x + 1) − 4 x + 1 = x − 2 √ Một số bài toán để các bạn luyện tập: ⇔ y(1 − x + 1) + ay 2 √ = 4 x + 1 + x − 2 + a(x + 4) √ ⇔ y(2 − x + 1) + ay 2 Ví dụ 12. Giải phương trình: √ = 4 x + 1 + x(1 + a) + 4a − 2 2 √ x2 − 3x − 3 + 2 + x+1=0 xXét: √ √ Ví dụ 13. Giải phương trình: ∆ = (2 − x + 1)2 + 4a(4 x + 1+ √ √ + x(1 + a) + 4a − 2) (x − 1) x + 2 = x − 3 + (x + 1) x − 1 √ √ = x + 1 + 4 − 4 x + 1 + 16a x + 1+ Hướng dẫn: Phương trình tương đương với: + 4a(1 + a)x + 4a(4a − 2) √ √ √ = (2a + 1)2 (x + 1) + (16a − 4) x + 1 x + 2 + (x − 1) x + 2 = 2x − 1 + (x + 1) x − 1 + 12a2 − 12a + 4 3
  5. 5. Ví dụ 14. Như vậy từ phương trình với hai căn thức, ta đã bình phương để phương trình chỉ còn một Đối với một số phương trình xuất hiện hai căn. Đến đây ta giải bằng cách đặt ẩn phụbiểu thức căn: không hoàn toàn. Tương tự, ta có:Ví dụ 15. Giải phương trình: √ √ Ví dụ 16. Giải phương trình: x 2 + 2 − 2(x + 1) = x 2+6 √ √ 2x2 + 4 = 2(x − 2) + x2 − 8x + 4 Bài toán này đặt 2 ẩn phụ thì có vẻ khôngtìm được lời giải. Ta đến với cách giải sau: Ví dụ 17. Giải phương trình: √ √Lời giải. Bình phương một vế để phương trình x2 + x − 1 + 3(x + 1) = 2 x2 + x + 2chỉ còn có một biểu thức dưới căn. Ta thử nhưsau: Ví dụ 18. Giải phương trình: √ √ √ √ x2 + 2 − 2(x + 1) = x2 + 6 x2 + 23 = 5x2 + 9 − 4(x − 1) √ ⇔ ( x2 + 2 − 2(x + 1))2 = x2 + 6 √ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn là một phương ⇔ x2 + 2 − 4(x + 1) x2 + 2 + 4(x + 1)2 pháp khó (khi ta cần tìm số a thích hợp). Tuy = x2 + 6 √ nhiên lời giải của bài toán lại rất sáng sủa và ⇔ 4x2 + 8x = 4(x + 1) x2 + 2 đầy tính bất ngờ. Hy vọng bài viết sẽ mang √Bây giờ, đặt y = x2 + 2. Phương trình tương đến cho bạn đọc một cách nhìn tổng quát hơnđương với: về một phương pháp đồng thời trang bị một công cụ để giải phương trình trong kì thi Đại x2 + 2x = (x + 1)y học sắp tới. ⇔ x2 + 2 + 2x − 2 = (x + 1)y ⇔ y 2 − (x + 1)y + 2x − 2 = 0 ⇔ (y − 2)(y − x + 1) = 0Đến đây phương trình trở nên đơn giản. Ta có thể trình bày lời giải một cách đẹp đẽnhư sau:Lời giải. Biến đổi phương trình: √ √ x2 + 2 − 2(x + 1) = x2 + 6 √ ⇔ ( x2 + 2 − 2(x + 1))2 = x2 + 6 √ ⇔ (x2 + 2) − 4(x + 1) x2 + 2 + 4(x + 1)2 = x2 + 6 √ ⇔ 4(x2 + 2) − 4(x + 1) x2 + 2 + (x + 1)2 = x2 + 6 + 3(x2 + 2) − 3(x + 1)2 √ ⇔ [2 x2 + 2 − (x + 1)]2 = x2 − 6x + 9 √ ⇔ [2 x2 + 2 − (x + 1)]2 = (x − 3)2 √ √ ⇔ (2 x2 + 2 − 4)(2 x2 + 2 − 2x + 2) = 0Đến đây ta giải phương trình một cách đơngiản. 4
  6. 6. KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Hà Thành TrungĐã nhiều lần trong nhiều bài bất đẳng thức, a + b + c + d ≤ 10bạn đọc một lời giải và tự hỏi: Tại sao lạitách được hệ số như vậy?. Đó là bí ẩn chỉ có Trong bài toán, nếu ta tap dụng trực tiếp bấtthể làm rõ khi hiểu cặn kẽ một bài toán bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta sẽ có:đẳng thức: Đó là dựa trên dự đoán về dấu (a + b + c + d ) 2bằng của bất đẳng thức. Bài viết này sẽ cũng 30 ≥ a + b + c + d ≥ 2 2 2 2 4cấp cho bạn đọc một cái nhìn tới bản chấtcủa những lời giải: Kĩ thuật chọn điểm rơi Suy ra:Kĩ thuật chọn điểm rơi trong BĐT gồm 2 ( a + b + c + d ) 2 ≤ 120 ⇒ a + b + c + d ≤ 120 > 10bước: Ta thấy có gì đó không ổn trong cách làm. ?? không xét dấu bằng xảy ra.Ta dự đoán = 1 Phân tích để đi đến lời giải: Sẽ rất khó nếu ta khi đó = 2, = 3. = 4.1. Dự đoán dấu bằng xảy ra,đó chính là điểmrơi cần tìm.(Thông thường cực trị BĐT đạt được khi cácbiến nhận giá trị bằng nhau,một số biến bằng Khi đã dự đoán được điều kiện xảy ra dấu bằng, bước tiếp theo ta sẽ tìm một cách phân và các biến , , , ở đầu bài có bậc 2. Tanhau,cực trị tại biên…). tích thích hợp. Biểu thức cần tìm có bậc nhất2. Từ điểm rơi đó ta lựa chọn các BĐT phùhợp để đi đến lời giải. nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy.Sau đây chúng ta sẽ đến với một sô ví dụ từ dễ Hãy để ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng củađến khó trong các toán ,các bài thi ĐH,các bất đẳng thức Cauchy. Đến đây ta có lời giảicuộc thi toán để thấy được ứng dụng vô cùng như sau:rộng của kĩ thuật này. Lời giải: Ta có: Để bắt đầu chúng ta xét một bất đẳng thức 24(a + b + c + d ) ≤Ví dụ 1. Cho các số thực dương , , thỏahết sức đơn giản sau: ≤ 12(a 2 + 1) + 6(b 2 + 4) + 4(c 2 + 9) + 3(d 2 + 6) = 120 + 6a 2 + 2(a 2 + b 2 ) + (a 2 + b 2 + c 2 ) +mãn: +3(a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) ≤ 240a2 ≤ 1, a 2 + b2 ≤ 5, a2 + b2 + c2 ≤ 14, Ví dụ 2. Cho các số thực dương , , thỏaa + b + c + d ≤ 30 2 2 2 2 1 1 1 mãn điều kiện + + = 4 . Tìm giá trị lớn x y zChứng minh rằng: 5
  7. 7. nhất của Ví dụ 4. Chứng minh rằng với , , ≥ 0 và 1 1 1 a + b + c = 3 thìP= + + . 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z a + b + c ≥ ab + bc + ca .Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán MaxP bằng xảy ra khi = = = 1.Đến đây gặp 4 Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán dấuđạt được tại x = y = z = nên tách các số 32x = x + x ra cho dấu bằng xẩy ra. khó khăn vì bậc vế trái nhỏ hơn vế phải không áp dụng Cauchy được. Ta phải biến đổiTa có vế phải : 1 1 1 1 1 1 1 = ≤  + + +  2( ab + bc + ca ) = ( a + b + c) 2 − a 2 − b 2 − c 2 2 x + y + z x + x + y + z 16  x x y z tương tự và ta có: Khi đó BĐT trở thành: a 2 + b 2 + c 2 + 2( a + b + c ) ≥ 9 = = = 1 nên ta tách 1  2 1 1   1 2 1   1 1 2  P ≤  + +  +  + +  +  + +   = 1 16  x y z   x y z   x y z   Điểm rơi là 4 a2 + a + a ≥ 3 a Tương tự với , ta có điều phải chứng minh.vậy MaxP = 1 khi x = y = z = . 3dương , , thỏa mãn xy + yz + zx = 5 thì :Ví dụ 3. Chứng minh rằng với các số thực Ví dụ 5. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn 2 xy + xz = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của: 3 x 2 + 3 y 2 + z 2 ≥ 10 3 yz 4 xz 5 xyPhân tích để đi đến lời giải: Nhận thấy hệ số A= + + . x y zcủa 3x 2 và 3 y 2 bằng nhau nên ta dự đoán dấu bằng khi = = . Ta nghĩ đến tách như saubằng xảy ra khi x = y. Phân tích để đi đến lời giải: Dự đoán dấuGiải hệ phương trình :  xy zx zx zx   xy xy zx yz   + + +  + 2 + + +  ≥ 6 x + z = 10  2 2  z y y y  z z y x   2  x + 2 zx = 5  ≥ 4( zx + 2 xy ) = 4Ta được x = 1,z = 2.Vậy = = 1, = 2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = = 3chính là điểm rơi. Nên ta tách để xảy ra dấu Ví dụ 6. Cho , , > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1bằng: 4 x 2 + z 2 ≥ 4 xz chứng minh rằng: 4 y 2 + z 2 ≥ 4 yz 2 x 2 + 2 y 2 ≥ 4 xy 1Cộng lại ta có 6 + 6 +2 ≥ a+b+c+ ≥4 3. abc4( + + ) = 20. Suy ra 3 +3 + ≥ 10. Phân tích để đi đến lời giải: Nếu sử dụng = = 1 1 ngay a + b + c + ≥ 4 4 abc = 4< 4 31, = 2 abc abcĐẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Sai!!. 6
  8. 8. = = = a b cTa dự đoán dấu bằng khi 3 + + ≤1 5a + 4b 5b + 4c 5c + 4a Bài tập 3. Cho , , 3nên phải là : dương.Tìm giá trị lớn 1 1 4a+b+c+ ≥ 4 4 abc = . nhất của: 9abc 9abc 3 bc ca ab 1 P= + + ≤1Còn lại sử dụng abc ≤ a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab , , suy ra .Từ đó 3 3được điều phải chứng minh. Bài tập 4. Cho là số thực dương. Chứng minh rằngVí dụ 7. Cho tam giác ABC chứng minh rằng a b c 3 3 + + ≥1 sin A + sin B + sin C ≤ a2 + 8bc b2 + 8ca c2 + 8ab = = 2Lời giải: (Dự đoán dấu bằng khivà cos A = 1 / 2, cos B = 1 / 2 )Ta có: sin A + sin B + sin C = sin A + sin B + sin A cos B + sin B cos AÁp dụng Cauchy ta có :sin A sin B cos B + cos A 3 3 3  sin 2 A   sin 2 B ≤  + cos 2 B  +  + cos 2 A   2  3   3 Và 1  2 3  2 3 sin A + sin B ≤  sin A + 4  +  sin B + 4  3    Cộng lại ta có điều phải chứng minh.Bài tập 1. Cho ,Bài tập áp dụng: là các số thực, tìm giá trị a+blớn nhất của : P = (4 + a 4 )(4 + b 4 )Bài tập 2. Cho , , là số thực dương thỏamãn a + b + c = 3 .Chứng minh rằng : 7
  9. 9. ý tưởng nghiệm duy nhất của phương trình Trần Thị Thùy LinhTrong khi giải phương trình, tôi gặp dạng toán • Nếu f (n) (x) vô nghiệm trên A thì phươngsau: trình f (x) = a không có quá n nghiệm trên A.Ví dụ 1. Giải phương trình: x+7 √ Như vậy, tùy thuộc vào bài toán mà ta có + 8 = 2x2 + 2x − 1 những đánh giá khác nhau và chọn hàm số cho x+1 phù hợp 1 Chúng ta đến với một bài toán khác:Lời giải. Điều kiện: x ≥ . 2 √ Ví dụ 2. Giải phương trình: x+7Đặt f (x) = và g(x) = 2x2 + 2x − 1. x+1 √ √ x3 + 7 + 2x − 1 + x3 = 4 3Ta có: 3 f (x) = − <0 x+7 (1 + x)2 x+1 Lời giải. Nhận thấy rằng các biểu thức chứa √ √ x với dấu + tập trung hết về một vế. Ta liên g (x) = 4x + 1 2x − 1 tưởng ngay đến việc vế trái là hàm đồng biến. √ √Do đó phương trình có không quá 1 nghiệm. Dễ Xét f (x) = 3 x3 + 7 + 2x − 1 + x3 . Ta có:thấy phương trình có nghiệm x = 2. Do đó x = x2 12 là nghiệm duy nhất của phương trình. f (x) = 3 +√ + 3x2 > 0 (x + 7)2/3 2x − 1Ta nhận thấy phương trình trên không thể Rõ ràng f (x) là hàm đồng biến. Như vậygiải theo cách thông thường (đặt ẩn phụ, phân phương trình f (x) = 4 có không quá 1 nghiệm.tích nhân tử). Hai vế của phương trình, một Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.vế là hàm số đồng biến, một bên là hàm số Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =nghịch biến. Do đó phương trình có không quá 1.1 nghiệm. Sau đó, ta thấy x = 2 là một nghiệmcủa phương trình và kết luận phương trình có Dấu hiêu đặc trưng để nhận biết những phươngnghiệm duy nhất. trình có thể giải theo cách trên là rất rõ ràng.Trước khi đến với các ví dụ tiếp theo, chúng ta Bạn đọc hãy luyện tập với một số ví dụ:đến với một chú ý: Ví dụ 3. Giải phương trình: • Nếu f (x) là hàm số đơn điệu (tăng hoặc √ giảm), hay nói cách khác f (x) luôn dương 2x + x2 + x − 1 = 9 (luôn âm) với mọi x ∈ A thì phương trình f (x) = a không có quá 1 nghiệm trên A. Ví dụ 4. Giải phương trình: √ • Nếu f (x) đồng biến và g(x) đồng biến thì x3 − x + 2 x − 1 = 8 phương trình f (x) = g(x) không có quá 1 nghiệm. Ta đến với một ví dụ với dạng khó hơn. 8
  10. 10. Ví dụ 5. Giải phương trình: Ví dụ 8. Giải phương trình: √ √ √ x3 − 2 x + 2 − 4 = 0 x3 = x + 2 + 3 x + 6 + 4Phương trình trên có dạng khá lạ. Dĩ nhiên là Đối với một số phương trình, việc xét đạo hàmchúng ta có thể làm mất căn thức và xuất hiện các biểu thức khá phức tạp. Ta sẽ nói đến thủphương trình bậc 6. Nhưng đây không phải thuật tiếp theo trong ví dụ sau đây:cách thông minh. Chúng ta làm như sau: Ví dụ 9. Giải phương trình:Lời giải. Xét hàm số √ √ √ √ 4x2 − 1 + 2x2 − x = x + 2x + 1 √ f (x) = x3 − 2 x + 2 − 4 . 2Ta có f (x) = 3x − x+2√1 .Đến đây, ta thấy không chắc f (x) là hàm đồng Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1 .biến, nghịch biến. Tuy nhiên, ta hãy chú ý như 2 Dự đoán x = 1 là nghiệm của phươngsau: √ trình. Giá trị của các biểu thứcNếu x < 1, ta có x3 < 1 ⇒ x3 < 2 x + 2 + 4. √ 2 √ √ √ 4x − 1; 2x2 − x; x; 2x + 1 lần lượtDo đó phương trình vô nghiệm với x < 1. 1 là 3, 1, 1, 3. Do đó, ta biến đổi phương trình:Xét x ≥ 1. Ta có f (x) = 3x2 − √x+2 = √ √ √ √ √3x2√ x+2−1 4x2 − 1 − 2x + 1 = x − 2x2 − x x+2 ≥ 0. Do đó f (x) đồng biến với x ≥ 1.Vậy phương trình f (x) = 0 không có quá 1 1 √ √ 2nghiệm. Dễ thấy x = 2 là nghiệm của phương Với 2 ≤ x < 1 thì 4x − 1 < 2x + 1 ⇒ √ √ √ √trình. 4x2 − 1− 2x + 1 < 0 và x > 2x2 − x ⇒ √ √Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. x − 2x2 − x > 0 (vô lý) √ √ Với x > 1. Ta có 4x2 − 1 > 2x + 1 ⇒ √ √ √ √Lưu ý rằng chúng ta có thể giải phương trình 4x2 − 1− 2x + 1 > 0 và x < 2x2 − x ⇒ √ √trên bằng cách phân tích: x − 2x2 − x < 0 (vô lý) √ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = x3 − 2 x + 2 − 4 = √ √ 1. ( x + 2 − 2)((x2 + 2x + 3)( x + 2 + 2)+ √ + x + 2) Ta có một số bài tập tương tự:Tương tự, ta có phương trình: Ví dụ 10. Giải phương trình: √ √ √ √Ví dụ 6. Giải phương trình: 3 −2x2 + 2x + 16− x2 − 9 = 2x2 − 10− x − 3 x+4 √ + 1 = 4x2 + 8x − 1 Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương x+1 đương với:Ví dụ 7. Giải phương trình: √ √ √ √ 4 − 2(x − 3)(x + 2) + x − 3 = 3x + 16 + 2 x + 2 = x + 2 + 2 x2 − 4 3 2(x − 3)(x + 3) + 8 + (x − 3)(x + 3)Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương Đôi khi vấn đề nghiệm duy nhất được hiểu rộngđương với: hơn 3x + 16 √ √ +2= x+2+2 x−2 Ví dụ 11. Giải phương trình: x+2 √ √ √ x2 + 2x + 3+x2 2x2 + 3x + 2 = (x2 +1) x + 4 9
  11. 11. Lời giải. Phương trình đã cho tương đương Lời giải. Ta nhẩm x = 1 là một nghiệm củavới: phương trình.√ Nếu x < 1 thế thì 22x−1 < 2x , 33x < x2 + 2x + 3 + x2 (x2 + 2x + 3) + (x2 + x − 1) x+2 , 55x+1 < 5x+5 . Suy ra: 3= (x2 + 1) (x2 + 2x + 3) − (x2 + x − 1) 22x−1 + 33x + 55x+1 < 2x + 3x+2 + 5x+5Đặt x2 + x − 1 = A Nếu A > 0. Ta có: √ Nếu x > 1 thế thì 22x−1 > 2x , 33x > x2 + 2x + 3 + x2 (x2 + 2x + 3) + A 3x+2 , 55x+1 > 5x+5 . Suy ra: √ > x2 + 2x + 3 + x2 (x2 + 2x + 3) √ 22x−1 + 33x + 55x+1 > 2x + 3x+2 + 5x+5 = (x2 + 1) x2 + 2x + 3 > (x2 + 1) (x2 + 2x + 3) − A Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.Nếu A < 0. Ta có: Phương trình sau đây giải hoàn toàn tương tự: √ x2 + 2x + 3 + x2 (x2 + 2x + 3) + A √ < x2 + 2x + 3 + x2 (x2 + 2x + 3) Ví dụ 14. Giải phương trình: √ = (x2 + 1) x2 + 2x + 3 22x−1 + 32x + 52x+1 = 2x + 3x+1 + 5x+2 2 < (x + 1) (x2 + 2x + 3) − A Ví dụ 15. Giải phương trình:Suy ra A = 0 ⇔ x2 + x − 1 = 0 ⇔ x = √−1 ± 5 x = 2log5 (x+3) . 2Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là x = √ √ Ta đến với một dạng khác.−1 + 5 −1 − 5 và x = 2 2 x3 + 11 Ví dụ 16. Giải phương trình: + x2 + √ x 4Một bài toán tương tự: x + 2x+2 + 4( 2) = 0Ví dụ 12. Giải phương trình: √ 3 √ √ Lời giải. Với dự đoán x = −4 là một nghiệm 2x2 − 4x + 2 + x2 − x − x + 3 của phương trình. Biến đổi: √ = −3x2 + 6x + 13 x3 + 11 √ + x2 + x + 2x+2 + 4( 2)x = 0Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương 4 √đương với: ⇔ x4 + 4x2 + 4x + 11 = −2x+4 − 16( 2)x x+4 3 ⇔ (x2 + 4)(x + 4) = 5 − 2x+4 − 4 · 2 2 2(x 2 − 2x − 3) + 8 + x 2 − 2x − 3 + (x + 3) x+4 x+4 √ ⇔ (x2 + 4)(x + 4) = − 2 2 + 5 2 2 − 1 = x + 3 + 4 − 3(x2 − 2x − 3)Những bài toán trong dạng này có lời giải khá Nếu x < −4 thì (x2 + 4)(x + 4) < 0 và x+4 x+4tự nhiên và gọn gàng. Tuy nhiên nó chỉ là một − 2 2 + 5 2 2 − 1 > 0 (vô lí)phần của phương pháp "dùng liên hợp để giải Nếu x > −4 thì (x2 + 4)(x + 4) > 0 và x+4 x+4phương trình". Ta sẽ đến với một số bài toán − 2 2 + 5 2 2 − 1 < 0 (vô lí)mà sử dụng lượng liên hợp phải "bó tay". Vậy x = −4 là nghiệm duy nhất của phươngVí dụ 13. Giải phương trình: trình. 22x−1 + 33x + 55x+1 = 2x + 3x+2 + 5x+5 10
  12. 12. Ví dụ 17. Giải phương trình: log2 (4x + 1) log5 (4x + 4)+ + log3 (4x + 2) log4 (4x + 3) = 2 log3 (4x + 2) log5 (4x + 4)Lời giải. Đặt y = 4x + 1. Dự đoán y = 2 lànghiệm của phương trình. Phương trình đã chotương đương với: log5 (y + 3) (log2 y − log3 (y + 1)) = log3 (y + 1) (log5 (y + 3) − log4 (y + 2))Đặt f (y) = log2 y − log3 (y + 1), g(y) = log5 (y +3) − log4 (y + 2). Ta thấy:Với 0 < y < 2 thì f (y) < 0 và g(y) > 0.Với y > 2 thì f (y) > 0 và g(y) < 0.Vậy y = 2 là nghiệm duy nhất của phương 1trình. Khi đó 4x + 1 = 2 ⇔ x = 4Tương tự, hãy giải các phương trình:Ví dụ 18. Giải phương trình: π cos(10πx − π) = 5 − 100xVí dụ 19. Giải phương trình: x+6 x3 + 2x2 + 2x − 1 + 2x+2 + 2 2 =0Ví dụ 20. Giải phương trình: x4 − x2 (2 − log3 (x + 1) + log2 x) − 8 = 0Nhận xét nghiệm duy nhất của phương trìnhmang đến lời giải hêt sức ngắn gọn cho nhữngbài toán mang hình thức phức tạp. Tuy nhiên,phương pháp chỉ là một công cụ. Điều chínhyếu là các bạn phai làm nhiều phương trình đểcó được suy nghĩ nhạy bén, không bị bối rốitrước mỗi phương trình. 11
  13. 13. DAO ĐỘNG SÓNG CƠ NGUYỄN THỊ HẢI – BÙI VĂN ĐẠTSóng cơ học là một phần tiêu biểu trong các đề các bài tập về biên độ dao động của vật mộtthi đại học cao đẳng. Các dạng bài tập sóng cách dễ dàng với các trường hợp dao thoa haingày càng đa dạng về tư duy, độ khó và cách sóng khác biên độ và độ lệch pha hai sóng làgiải bài tập. Và thời gian để hoàn thành các bài bất kì góc nào.tập khá lâu nếu ta không chọn được cách giảitối ưu cho chính mình. Chúng tôi mong gửi tới Sử dụng độ lệch pha là phương pháp tiêu biểu trong tổng hợp dao động cơ học. Với bài toánmọi người sự tối ưu hoá trong phương pháp vàgiúp cho mọi người hiểu và giải quyêt các bài sóng cơ thì giúp ta giải quyết kha nhanh để tìmtoán về sóng cơ được tốt nhất. mối liên hệ giữa khoảng cách thoả mãn điều kiện của bài toán.Phương pháp 1: Sử dụng độ lệch pha để giải Biên độ dao động tại M:quyết các bài toán về giao thoa sóng.Xét phương trình sóng tại hai nguồn A,B: AM = a 2 + b2 + 2abcos∆ϕ 2u1 = acos (ωt + ϕ1 ); u2 = bcos (ωt + ϕ 2 ) Đến đây ta cóXét phương trình sóng tới tại điểm M với •M dao động với biên độ cực đại khi:MA = d1 , MB = d 2 là: u M = u1M + u 2 M 2π ( d1 − d 2 ) ∆ϕ = + ϕ2 − ϕ1 = k 2π λ 2π d1 2π d 2⇔ uM = acos (ωt + ϕ1 − ) + bcos (ω t + ϕ 2 − ) ⇒ d − d = − (ϕ 2 − ϕ1 ) + k λ λ λ 1 2 2λĐộ lệch pha của hai sóng truyền tới M là: •M dao động với biên độ cực tiểu khi: 2π (d1 − d 2 ) 2π (d1 − d 2 )∆ϕ = + ϕ2 − ϕ1 ∆ϕ = + ϕ2 − ϕ1 = π + k 2π λ λĐến đây ta có thể sử dụng độ lệch pha để giảiquyết các bài toán về tìm số cực đại, cực tiểu và 12
  14. 14. (ϕ2 − ϕ1 )λ λ ∆d N = AN − BN = d3 − d 4 = d1 + x − d 4⇒ d1 − d 2 = − + + kλ 2 2 ϕ1 − ϕ2 d 2 − d1 AM = 2a.cos ( + π) 2 λ•M dao động với biên độ bằng c thì khi đó từ ϕ1 − ϕ2 d 4 − d3giá trị của c mà ta tìm được giá trị của cos∆ϕ AN = 2a.cos ( + π) 2 λrồi sau đó sẽ đưa về tìm góc ∆ϕ rồi tìm đượchiệu quãng đường của hai sóng mà M nhận Độ lệch pha của hai biên độ tại M và N là:được. 2π x 2π d ∆ϕ = ϕ M − ϕ N = =Phương pháp 2: Sử dụng đường tròn lượng λ λgiác để giải các bài toán giao thoa. Điều này chứng tỏ khi xét trên đường tròn biên(các bài toán giao thoa với hai nguồn cùng độ thfi độ lệch pha của các biên độ cũng chínhbiên độ) 2π d là với d là khoảng cách của hai điểm λXét phương trình sóng tại hai nguồn A,B: trong giao thoa sóng nói chung và sóng dừngu1 = acos (ωt + ϕ1 ); u2 = acos (ωt + ϕ 2 ) nói riêng với các điểm thuộc đoạn AB. Đến đây ta xét biên độ của sóng tại I là trung điểm củaXét phương trình sóng tới tại điểm M với AB:MA = d1 , MB = d 2 là: u M = u1M + u 2 M ϕ1 − ϕ2 IB − IA AI = 2a.cos ( + π)⇔ uM = acos (ω t + ϕ1 − 2π d1 ) + acos (ω t + ϕ 2 − 2π d 2 ) 2 λ λ λ ϕ1 − ϕ 2 = 2acos ( ). 2 ϕ1 − ϕ 2 d 2 − d1 ϕ + ϕ 2 d 2 + d1= 2acos ( + π ).cos (ω t + 1 + π) 2 λ 2 λ Các điểm bên cạnh I sẽ tiếp tục biến thiên nếuTa có biên độ sóng tại M: ta chọn điểm I làm gốc. ϕ1 − ϕ2 d2 − d1 •Giả sử ϕ1 > ϕ2 ⇒ ϕ1 − ϕ2 > 0A = 2a.cos ( + π) 2 λ Xét trường hợp biên độ dao động của một vậtTừ biểu thức trên ta thấy biên độ dao động của là cực đại.một điểm là một đại lượng biên thiên theokhoảng cách theo hàm x = acos (ωt ) Như vậy ϕ1 − ϕ2 d 2 − d1 AM = 2a.cos( + π ) = 2ata có thể biểu diễn giá trị thay đổi của biên độ 2 λtrên đường tròn lượng giác giống như đường ϕ1 − ϕ2 d 2 − d1tròn ở trong dao động cơ học. ⇒ + π = 0 ⇒ d 2 − d1 < 0 2 λ• Xét hai điểm M và N nằm giữa AB với: (Ta xét tới điểm gần I nhất)MN=x AM = d1 , BM = d 2 ; AN = d 3 , BN = d 4∆d M = AM − BM = d1 − d 2 = d1 + x + d 4 13
  15. 15. Như vậy ta có điểm dao động với biên độ cực Các bước giải:đại gần trung điểm nhất sẽ gần nguồn 2 hơn haylà gần nguồn chậm pha hơn. B1: Tìm biên độ của trung điểm I của hai nguồn.Đặc biệt khi hai nguồn cùng pha thì ta có B2: Xác định biên độ của I trên đường trònd1 = d 2 hay đó chính là trung điểm của AB. B3: Tính số vòng mà biên độ của I quay được⇒ Nếu thay đổi độ lệch pha thì hệ vân giao khi tính ở cả hai vị trí 1, 2.thoa sẽ dịch chuyển về nguồn chậm pha hơn Cộng vào ta được đáp án.Như vậy nếu ta tính được trung điểm I củahainguồn dao động với biên độ bao nhiêu Ví dụ.( 0 < a < amax ). Khi xét về các điểm lệch vềnguồn Ví dụ 1. Cho hai nguồn A, B dao động cùngchậm pha hơn thì biên độ tăng, về nguồn sớm pha với nhau và cùng biên độ a=2 cm. Tìm sốpha hơn thì biên độ giảm. Về phía nguồn nhanh điểm dao động với biên độ cực đại trên AB biếtpha hơn ta chọn biên độ của I ở vị trí I còn về AB=27 cm và bước sóng là 2 cm.phía nguồn chậm pha hơn thì biên độ của I ở Bài giải. Ta có biên độ AI = 2a.cos0 = 4a . NhưVT II. Ta có thể áp dụng đường tròn vào bàitoán tìm cực đại, cực tiểu với bước sóng được vậy I dao động với biên độ cực đại Vậy I ở mộttính là một trong hai vị trí biên.Vậy nếu tính từ vị trí biênvòng dương thì vật qua 13 lần. còn tính từ biên âm thì cũng là 13 lần. Nếu tính cả I nữa sẽ là 13x2+1=27 lần. Như vậy có 27 điểm dao động với biên độ cực đại. Ví dụ 2: Cho hai nguồn sóng đặt tại hai điểm A,B là: 2π u A = 2cos (100π t − )(cm), u B = 2cos (100π t )(cm) 3 Với bước sóng là λ = 20(cm) . Xét hai điểm M, N nằm đối xứng nhau qua trung điểm I của hai nguồn.Tính số điểm dao động với biên độ là 2 3(cm) trên đoạn MN ? Bài giải. Ta có biên độ sóng tại trung điểm của hai nguồn là: ∆ϕ AI = 2a.cos =a 2 14
  16. 16. không đổi khi truyền đi. Số điểm dao động với biên độ 1cm trên đoạn thẳng S1S2 là A. 16 B. 8 C. 7 D. 14 Bài 3: Tại 2 điểm A,B trên mặt chất lỏng cách nhau 16cm có 2 nguồn phát sóng kết hợp dao động theo phương trình: u1= acos(30πt) , u2 = bcos(30πt +π/2 ). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 30cm/s. Gọi C, D là 2 điểm trên đoạn AB sao cho AC = DB = 2cm . Số điểm dao động với biên độ cực tiểu trên đoạn CD là A.12 B. 11 C. 10 D. 13 Bài 4: Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với phương trình uA = uB =K , K’là biên độ 2 3 = A 3(cm) 6cos40πt (uA và uB tính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40cm/s, coi MI biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Trên đoạnSố vòng quay là n = = 0,675 (vòng) thẳng S1S2, điểm dao động với biên độ 6mm và cách λ trung điểm của đoạn S1S2 một đoạn gần nhất làNhư vậy với số vòng quay là 0,675 vòng thì ở A. 1/3cm B. 0,5 cm C. 0,25 cm D. 1/6cmvị trí 1 sẽ qua vị trí K’ hai lầnỞ vị trí 2 sẽ qua K hai lần là K’ một lầnNhư vậy trên MN có 5 điểm dao động với biênđộ là 2 3(cm)Bài tập áp dụng:Bài 1. Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 người tađặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, dao động điều hoàtheo phương thẳng đứng với phương trình uA =6cos40πt và uB = 8cos(40πt ) (uA và uB tính bằngmm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyền sóng trên mặtnước là 40cm/s, coi biên độ sóng không đổi khitruyền đi. Trên đoạn thẳng S1S2, điểm dao động vớibiên độ 1cm và cách trung điểm của đoạn S1S2 mộtđoạn gần nhất làA. 0,25 cm B. 0,5 cm C. 0,75 cm D. 1Bài 2. Trên mặt nước tại hai điểm S1, S2 cách nhau8 cm, người ta đặt hai nguồn sóng cơ kết hợp, daođộng điều hoà theo phương thẳng đứng với phươngtrình uA = 6cos40πt và uB = 8cos(40πt ) (uA và uBtính bằng mm, t tính bằng s). Biết tốc độ truyềnsóng trên mặt nước là 40cm/s, coi biên độ sóng 15
  17. 17. Với 1 bài mà tìm trên 1 đoạn thẳng nằm ngoài đường thẳng nối hai nguồn thì các bạn hãy suy nghĩ xem nó còn going như vậy không nhé? Câu trả lời = 6 ( + 5 /6) = của tôi là có, các bạn hãy suy nghĩ vì sao lại có nhé. 8 ( + /6) .Biết tốc độ truyền sóng trên VD:Cho và mặt nước là: v=100cm/s; Khoảng cách giữa hai nguồn là O 1O2=4cm,O1O 2PQ là hình thang cân với diện tích là 12cm2 và PQ = 2cm là một đáy của hình thang. Coi biên độ sóng không đổi trong quáBài 1.Ở mặt thoáng của một chất lỏng có hai nguồnphương thẳng với phương trình lần lượt = trình truyền sóng. Số điểm dao động với biên độkết hợp A,B cách nhau 10cm, dao động theo 2√13 cm trên O1P là????3 cos 40 + à = 4 cos 40 + 6 Bài 2.Tại hai điểm A và B trên mặt nước cách nhau = cos(30 ) à =2 16 cm có hai nguồn phát sóng kết hợp dao động3 30 + .Cho biết tốc độ truyền sóng là 40cm/s. Một theo pt:đường tròn tâm là trung điểm AB nằm trên mặt .Tốc độ truyến sóng trên mặtnứoc có bán kính R=4cm.Số điểm dao động với nước là 30cm/s. Gọi E F là hai điểm trên đoạn ABbiên độ 5cm có trên đường tròn là? sao cho AE=FB=2cm. Tìm số điểm cực tiểu trênA:30 B:32 EF?C:34 D:36 Như đã chứng minh ở trên thì :Chúng ta để ý thấy rằng với bài toán như thế này (ϕ2 − ϕ1 )λ λliệu dung phương pháp như trên được không khi ⇒ d1 − d 2 = − + + kλmà biên độ của chúng khác nhau. 2 2Hoàn toàn dung được vì lúc đó ta có biên độ tại 1 −∆ 1 −∆ 1 Mà –EF < d2 – d1 < EF 2 ( − 2) − − < < + −điểm như sau : + +2 1 2 cos + − 2 2 2 2 2 2 1 1 2 λ 2 1 ta sẽ tìm được đáp án của bài toán với EF = 12cm 1 − 2 vậy ta làm hệt như trênNó cũng là 1 đại lượng biến thiên tuần hoàn theo Vậy công thức khi tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu khi hai nguồn lệch pha 1 góc bất kì trong đoạn AB trên đoạn thẳng nối 2 nguồn trong vùng = + +2 −• Bài làm : biên độ tại trung điểm của AB là : 2 2 1 2 1 2 2 1 giao thoa là: = 5cm −∆ −∆ Cực tiểu:Có n = = 2 vòng ⇒ quay được 2 vòng sẽ đi qua − − ≤ ≤ + −vị trí x = 5 là 8 lần ⇒ trên đường kính là Cực đại : −∆ −∆ − ≤ ≤ +8 + 1 + 8 = 17 ⇒ trên đường tròn có 17.2 – 2 = 32điểmCâu hỏi suy ngẫm Chu ý : nếu A,B là nguồn thì không lấy dấu “=” 16
  18. 18. Câu hỏi suy ngẫm: nếu AB không nằm trên đường + nếu cùng pha lấy các cực đại k chẵnthẳng nối hai nguồn thì sẽ ra sao, hãy cùng suy nghĩ + nếu ngược pha lấy các cực đại k lẻ Note: không dung được với 2 nguồn ngược pha, còn với lệch pha trên 180 0 thì bước 3 ngược lạiBài 3. Trên mặt chất lỏng có hai nguồn kết hợp S1,S2 dao động với phương trình tương ứng u1=acosωt Câu hỏi suy ngẫm : liệu rằng nếu hai nguồn khácvà u2= asinωt. Khoảng cách giữa hai nguồn là biên độ ta còn làm vậy được không???S1S2=3,25λ. Trên đoạn S1S2, số điểm dao động vớibiên độ cực đại và cùng pha với u2 là:Hướng suy nghĩ : Khi mà bài toán còn liên quanđến pha dao động thì chúng ta vẫn sẽ tìm số điểmdao động cực đại hay cực tiểu như bình thường sauđó sẽ giải quyết đến vấn đề cùng pha hay ngượcpha, ở trên tôi đã trình bày cho các bạn về độ lệchpha của các điểm trên đoạn thẳng nối hai nguồnnênHướng làm : tìm pha tại trung điểm , sau đó nếucùng pha như yêu cầu đề bài thì ta sẽ lấy những cựcđại ứng với k chẵn, còn nếu ngược pha thì ta sẽ lấycực đại ứng với k lẻCách giải bài toán trên : −∆ 1 2 −∆ 1 2Số điểm dao động cực đại: − ≤ ≤ + 2 2 − -3,5 < k < 3 ( )Có = = -3,5Vậy I ngược pha với nguồn 2 vậy ta sẽ lấy những klẻVậy k = -3, -1,1 có 3 điểmCách giải quyết chung:1. Tìm số điểm dao động cực đại, hay cực tiểu,hay biên độ bất kì + ( + 2) = − Tìm pha tại trung điểm 1 2 1 22.3. So sánh độ lệch pha của nó với điểm nó cầncần cùng pha 17
  19. 19. = − = −2cos(10 + ) , 2 vật tách nhau Lực quán tính tác dụng lên là =1 → cos(10 + ) = . Khi này, = khi −40 sin(10 + ) = 20√3 / . Sau khi tác vị trí 2 vật là 2cm, vận tốc vận tốc 20√3 / , ra, tiếp tục chuyển động thẳng đều với = = 10√2, = + = dao động mới với tần √10 . Tìm được phương trình dao động là số1. Lời giải cho kỳ trước = √10 cos 10√2 − 0,886 => lò xoCâu 1: Ở VTCB lúc đầu, lò xo giãn ∆ = dãn cực đại lần đầu, vật ở vị trí biên, =∆ = được20√3. 0,0626 = 2,168 . Khoảng cách t=0,0626s. Lúc này đã đi 2 vật 2,168 − (√10 − 2) = 1,006=> biên độKhi vật ở vị trí thấp nhất, lò xo giãn 2 = − = ( ) + , M gần I nhất → = 0; = + Câu 4: Điều kiện cực tiểuđổi. Ở VTCB mới, lò xo giãn ∆ = . Khi vật giảm khối lượng, VTCB thay ; = − → − = → = => vật − =đang đứng yên tại vị trí cách VTCB mới này = và bắt đầu dao động mới. = Đáp án: ABiên độ dao động là 10 cos + − = ±5√3 ( ) Câu 5: Biên độ 1 điểm trên AB làCâu 2: Quãng đường mà vật chuyển động là7cm. Cần tính khoảng thời gian vật di chuyển.phía lò xo giãn 1 đoạn ∆ = = =>Hoặc: + = + → − =Do có lực ma sát, VTCB của vật bị dịch về ( )0,0175 = 1,75 = = 10√2 / − = 12 − 1 → −29 ≤ 12 − 1 ≤ 29 → = {−2; −1; 0; 1; 2) → có 5 điểm . . Lúc đầu vật đứng yên ở vị trí lò xo giãntrình dao động là = 5,25 10√2 lúc đi7cm, cách VTCB 7-1,75=5,25cm nên phươngqua vj trí là xo không giãn là −1,75 = Hoặc: + =− + → − = ( )5,25 10√2 → = 0,135 → ̅ = = , − = 12 − 5 → −29 ≤ 12 − 5 ≤51,85 / 29 → = {−2; −1; 0; 1; 2) → có 5 điểm = =10 / , phương trình dao độngCâu 3: Lúc 2 vật chưa bị tách ra Tổng cộng có 10 điểm = 4 cos(10 + ) Đáp án: D = 0,04 cos(10 + ) → = −4cos(10 + ) / 18
  20. 20. tan = = 0,727 → =Câu 6: Từ đề bài suy ra AN chứa cuộn dây có điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AM lệch pha0,727điện trở π so với điện áp giữa hai đầu đoạn mạch 3 AB. Giá trị của L bằngTa có: = + +2 cos = 3 2 A. H B. H + − 1,1762 = π π( + ) − 3,1762 + 1 2 , để C. H D. H π π max thì max, ta có: = = Câu 3: Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ tự A, ( ) B, C và D. Giữa hai điểm A và B chỉ có tụ → = → = điện, giữa hai điểm B và C chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm C và D chỉ có cuộn dây + = 1,236 → = thuần cảm. Điện áp hiệu dụng hai điểm A và = 0,89=> đáp án C D là 100 3 V và cường độ hiệu dụng chạy ( ) qua mạch là 1A. Điện áp tức thời trên đoạn =− = −30 → = + π AC và trên đoạn BD lệch pha nhau nhưng + = 50 + 60 − 30 = 80 => đáp án: BCâu 7: 3 giá trị hiệu dụng thì bằng nhau. Dung kháng của tụ điện là2. Đề ra kì này A. 40 Ω. B. 100 Ω.Câu 1: Đặt một điện áp xoay chiều u = C. 50 Ω. D. 200 Ω.U0cosωt (V) vào hai đầu một cuộn cảm thuầnL. Gọi U là điện áp hiệu dụng ở hai đầu Câu 4: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắcmạch; i, I0, I lần lượt là là giá trị tức thời, cực nối tiếp, R là biến trở. Đặt vào hai đầu đoạnđại và hiệu dụng của cường độ dòng điện mạch một điện áp xoay chiều ổn địnhtrong mạch. Hệ thức liên hệ nào sau đây là u = U 2 cos ωt (V). Khi thay đổi giá trị củađúng? biến trở ta thấy có hai giá trị R = R1 = 45 Ω hoặc R = R2 = 80 Ω thì tiêu thụ cùng công u 2 i2 U I suất P. Hệ số công suất của đoạn mạch điệnA. 2 − 2 = 1. B. + = 1. U 0 I0 U 0 I0 ứng với hai trị của biến trở R1, R2 là u 2 i2 u 2 i2 A. cos ϕ1 = 0,5 ; cosϕ2 = 1,0 .C. + = 1. D. + 2 = 1. U 2 I2 2 U 0 I0 B. cos ϕ1 = 0,5 ; cos ϕ2 = 0,8 .Câu 2: Đặt điện áp u = U0cos100πt (V) vàohai đầu đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch C. cosϕ1 = 0,8 ; cos ϕ2 = 0,6 .AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM D. cosϕ1 = 0,6 ; cos ϕ2 = 0,8 .gồm điện trở thuần 100 3Ω mắc nối tiếp vớicuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đoạn mạch Câu 5: Một cuộn dây mắc nối tiếp với 1 tụ 10−4 điện, rồi mắc vào hiệu điện thế xoay chiều giáMB chỉ có tụ điện có điện dung F . Biết trị hiệu dụng bằng U và tần số bằng 50Hz. 2π 19
  21. 21. Dùng vôn kế đo được hiệu điện thế hiệu dụng A. R = 50 Ω ; C = 31,8 µ F.trên cuộn dây bằng U 3 và trên tụ điện bằng2U. Hệ số công suất của đoạn mạch đó bằng: B. R = 100 Ω ; L = 31,8Mh. C. R = 50 Ω ; L = 3,18 µ H. A 3 /2 B. 3 /4 C. 0,5 D. 2 /2 D. R = 50 Ω ; C = 318 µ F.Câu 6: Cho mạch điện gồm một điện trở Câu 9: Một máy phát điện xoay chiều mộtthuần R, một cuộn dây có độ tự cảm L, điện pha sinh ra suất điện động có biểu thức:trở r, tụ điện có điện dung có thể biến đổi e = 754cos(120π t ) (V ) . Biết rôto quay với tốcđược. Điều chỉnh điện dung C sao cho UC đạt độ 900 vòng/phút và mỗi cuộn dây của phầngiá trị cực đại. Giá trị của ZC lúc đó là: ứng có 50 vòng. Từ thông cực đại qua mỗi = (R + r )2 + Z L2 vòng dây làA. Z C ZL A. 2,5 mWb. B. 7,5 mWbB. Z C = (R + r )2 + Z L 2 C. 10 mWb. D. 5 mWb. ( R + r )2 Câu 10: Một trạm phát điện xoay chiều có công suất không đổi, truyền điện đi xa vớiC. Z C = (R + r )2 + Z L2 điện áp hai đầu dây tại nơi truyền đi là 200kV 2 ZL thì tổn hao điện năng là 30%. Nếu tăng điện áp truyền tải lên 500kV thì tổn hao điện năngD. ZC = ZL là:Câu 7: Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc A. 7,5%. B. 2,4%.nối tiếp. Trong đó R = 100Ω, L = 1/π(H), C =2.10-4/π(F) Đoạn mạch được mắc vào hiệu C. 12%. D. 4,8%.điện thế xoay chiều có tần số f = 50(Hz). Mắcthêm C’ với C thì thấy hiệu điện thế trên bộ tụđiện đạt giá trị cực đại. Giá trị và cách mắc C’là:A. C’ = 10-4/15π (F) mắc nối tiếp với C.B. C’ = 10-4/15π (F) mắc song song với C.C. C’ = 10-3/15π (F) mắc nối tiếp với C.D. C’ = 10-3/15π (F) mắc song song với C.Câu 8: Cho một hộp đen X trong đó có chứa2 trong 3 phần tử R, L, hoặc C mắc nối tếp.Mắc hộp đen nối tiếp với một cuộn dây thuầncảm có L0 = 318mH. Đặt vào hai đầu đoạnmạch điện một điện áp xoay chiều có biểuthức u = 200 2 cos(100 π t- π /3)(V) thì dòngđiện chạy trong mạch có biểu thức i = 4 2cos(100 π t- π /3)(A). Xác định phần tử tronghộp X và tính giá trị của các phần tử ? 20
  22. 22. RÈN LUYỆN TƯ DUY VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÓA HỌC VÔ CƠ TRẦN VĂN HIỀNCác em học sinh thân mến, mong muốn giải thêm các phương pháp giải nhanh mà là giúpthật nhanh và chính xác các bài toán hóa là các em nhận diện được bài toán, dùng cáchnguyện vọng chính đáng của các em trong các giải tối ưu thích hợp cho mỗi bài toán.kì thi, đặc biệt là đại học, cao đẳng. Tuy nhiên, LỜI KHUYÊN KHI GIẢI TOÁN HÓA VÔviệc nhận dạng và tìm ra được một hướng giải CƠ:tối ưu là một việc tương đối khó nếu như các 1. Các bài toán vô cơ thì rất đa dạng, tùyem không được trang bị một tư duy sắc bén, mỗi dạng bài mà ta cân nhắc dung cách nàocác phương pháp giải nhanh, và một kĩ năng nhanh nhất, giải quyết dứt điểm. Để giảibấm máy tính điêu luyện Mặc dù các em có nhanh các bài toán vô cơ, thường ta phải áptrong tay đầy đủ các công cụ tác chiến nhưng dụng linh hoạt hầu hết các phương pháp giảilúng túng trong việc nhận dạng đề thi, không nhanh, trong đó cần chú ý bảo toàn electron,biết thuộc dạng nào, nên dung cách nào để kết bào toàn nguyên tố và bảo toàn khối lượng.thúc đối phương,.v..v..Với bài viết ngắn này, 2. Khi giải toán vô cơ, hạn chế tối đa việchy vọng phần nào giúp các em “ bỏ túi” cho viết các phương trình phản ứng, phương trìnhmình vài bí quyết nhỏ khi giải các bài tập hóa phản ứng đã được đơn giản hóa bởi phươnghọc. pháp bảo toàn electron rồi.Hiện nay phải nói rằng, công cụ giải nhanh 3. Khi giải các bài toán đơn giản hay phứchóa học có rất nhiều và các em cũng đã được tạp ta nên tóm tắt lại quá trình phản ứng, dựatrang bị đầy đủ qua sách tham khảo hoặc các vào đó ta rất dễ dàng tìm được hướng đi đúngkhóa luyện thi..Và bài viết này không phải kê đắn, chọn được cách giải phù hợp. 21
  23. 23. 4. Cần vận dụng linh hoạt các phương pháp  Al giải nhanh, có như vậy bài toán mới trở nên 29g Cu +1,425 mol HNO3  Ag vô cùng đơn giản đến bất ngờ.  Al ( NO 3)35. Các dạng toán về dung dịch kiềm thường Cu ( NO3)2 NO : 0, 2  dùng bảo toàn điện tích và bảo toàn nguyên tố → Muối  + (mol)  AgNO3  N 20 : 0,05bên cạnh phương pháp bảo toàn khối lượng.  NH 4 NO3 6. Các bài tập về sắt thì chủ yếu quy đổi sẽ Rất có khả năng tạo NH4+ do có mặt Al, đặtrất nhanh. số mol NH4NO3 là x7. Phương pháp bảo toàn electron có thể nói Bảo toàn N:là phương pháp xuyên suốt mọi bài toán vô nNbđ = nNmuối + nNspkcơ. ⇔ 1,425= 0,2.3 + 0,05.8 + 8x+0,2 + 0,05.2 +BÀI TẬP MINH HỌA: 2xBài toán 1(Khối B 2012): Cho 29 gam hỗn Giải được : x = 0,0125 molhợp gồm Al, Cu và Ag tác dụng vừa đủ với Khối lượng muối : m = mcation + manion + mmuối950 ml dung dịch HNO3 1,5M thu được amoni = 29 +(0,2.3 + 0,0125.8 + 0,05.8).62 +dung dịch chứa m gam muối và 5,6 lít hỗn 80.0,0125 = 98,2ghợp khí X (đktc) gồm NO và N2O. Tỉ khối Đáp án: Acủa X so với H2 là 16,4. Giá trị của m là ? A. 98,20 B. 97,20 Bài toán 2(Khối A 2011): Nung m gam hỗn C. 98,75 D. 91,00 hợp X gồm FeS và FeS2, trong một bình kínGiải: chứa không khí ( gồm 20 % thể tích O2 và• Nhận diện đề: 80% thể tích N2) đến khi các phản ứng nàyCác dạng toán kim loại tác dụng với HNO3 ta xảy ra hoàn toàn, thu được một chất rắn duychú ý 2 thủ thuật cơ bản là bảo toàn electron nhất và hỗn hợp khí Y có thành phần thể tích:và bảo toàn nguyên tố. 84,8% N2, 14% SO2, còn lại là O2. Phần trămTrong đề có xuất hiện các kim loại mạnh như khối lượng của FeS trong hỗn hợp X là ?Zn, Al, kim loại kiềm, kiềm thổ thì chú ý rất A. 59,46% B. 19,64%có khả năng tạo muối amoni. C. 42,31% D. 26,83%• Tóm tắt đề: Giải : • Nhận diện đề: Ta thấy trước và sau phản ứng thì lượng N2 22
  24. 24. không thay đổi, và đề cho % về thể tích cũng Mg trong không khí được hỗn hợp X nặnglà % về số mol các chất. Vì thu được chất rắn 16,9 gam gồm các oxit và kim loại dư. Cho Xduy nhất nên đó là Fe2O3. phản ứng với dung dịch chứa HCl 1M vàCác em lưu ý khi đề cho phần trăm hay tỉ lệ H2SO4 0,5M (vừa đủ ) thu được 8,96 lít H2về thể tích thì ta có quyền chọn giá trị V hay (đktc) và dung dịch A. Khối lượng muối khansố mol để đơn giản hóa bài toán. thu được khi cô cạn dung dịch A là ?Nếu không biết cách chọn giá trị thích hợp mà A. 39,200g B. 42,600gđặt ẩn để giải thì bài toán trở nên vô cùng C. 67,175g D. 46,300gphức tạp và tốn rất nhiều thời gian. Giải:• Tóm tắt đề: • Nhận diện đề: FeS : x O 2 : 20% Bài tập thuộc dạng kim loại, oxít kim loại  mol+n1 mol  FeS 2 : y  N 2 : 80% tác dụng với acid không có tính oxi hóa, loại →Fe2O3 : (x+y)/2 mol+ n2 mol bài tập này thường dừng bảo toàn khối lượng, N 2 : 84,8% bảo toàn nguyên tố, điện tích để giải.SO 2 : 14% Khi đốt cháy kim loại ngoài không khí rồiO 2 : 1,2% cho tác dụng với acíd hoặc khử bởi CO hayỞ đây ta chỉ sử dụng một thủ thuật là bảo H2 thì các em chú ý số mol O nguyên tửtoàn nguyên tố. trong oxit bằng với số mol H2 O hoặc CO.Để đơn giản ta chọn n2 = 1 mol , thì hỗn hợp • Tóm tắt đề:  N 2 : 0,848   Alsau phản ứng có: SO 2 : 0,14 (mol) 12,9g  (mol) + O2 → 16,9g O 2 : 0,012 Mg   Al 2O3Vì lượng N2 không đổi nên ta có: 0,8n1 = MgO 0,848 ⇒ n1 = 1,06 mol. hỗn hợp X   AlVậy số mol O2 tham gia phản ứng là: a = Mg 0,2.1,06 – 0,012 = 0,2 mol. HCl : 1M Sau đó: X + V lít Bảo toàn O phản ứng và S ta có hệ : H 2 SO 4 : 0,5M 3( x + y )  Al 2( SO 4)3 + 0,14.2 = 0, 2.2  x = 0,02  AlCl 3 2 ⇔  H 2O : x  y = 0,06 → Dung dịch A  + (mol) x + 2 y = 0,14  MgSO 4 H 2 : 0, 4 MgCl 2 Vậy % FeS = 19,64%. Đáp án :B Đề yêu cầu tính khối lượng muối thì ta cầnBài toán 3: Đốt cháy 12,9 gam hỗn hợp Al; 23
  25. 25. tìm khối lượng của Cl- và SO42-.Rõ rang số mol H+ ban đầu chuyển hết vềtrong H2O và H2 16,9 − 12,9Số mol H2O bằng số mol O, nO = 16= 0,25 mol, vậy nH2O = 0,25Bảo toàn số mol H+:nH+/acid = 2.nH2O + 2.nH2⇔ 2V = 1,3, suy ra V = 0,65Vậy khối lượng muối thu được:m = mkim loại + manion = 12,9 + 0,65.35,5 +0,65.0,5.96 = 67,175gĐáp án: CCác em đón đọc kì sau: RÈN LUYỆN TƯDUY VÀ KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÓAHỌC HỮU CƠ ! 24
  26. 26. CHUYÊN ĐỀ ĐIỆN PHÂN LÊ QUANG PHÁTI. Một số định nghĩa chung và Catot là cực âm1. Khái niệm - Tại catot xẩy ra quá trình khử: Cation nào- Sự điện phân quá trình oxi hóa - khử xảy có tính oxi hóa lớn nhất sẽ nhận electron củara ở bề mặt các điện cực khi có dòng điện một nguồn điện trước.chiều đi qua chất điện li nóng chảy hoặc dung - Tại anot xẩy ra quá trình oxi hóa: Aniondịch các chất điện li ; bao gồm điện phân nào có tính khử lớn nhất sẽ nhường electronnóng chảy và điện phân dung dịch chất điện li cho nguồn điện trước.trong nước ( điện phân dung dịch ) - Tổng số electron chất khử nhường ở anot• Chú ý: trong điện phân có 2 loại điện bằng tổng số mol electron chất oxi hóa nhận ởphân là điện phân dung dịch và điện phân catot.nóng chảy. Các em lưu ý không nên nhầm • Quy tắc khi điện phân dung dịch:giữa 2 loại điện phân này, vì điện phân nóng - Nếu ở Catot gồm các cation kim loạichảy sử dụng chủ yếu để điện phân muối kiềm, kiềm thổ hoặc Al3+.Thì dung môi nướcclorua của kim loại kiềm, kiềm thổ và đóng vai trò chất oxi hóa, nhận e của nguồnHidroxit, oxit của một số kim loại hoạt động điện, còn các cation trên không bị điện phânmạnh. Còn điện phân dung dịch thường điện trong dung dịch với điện cực trơ.phân trong môi trường có dung môi và dung - Nếu ở catot gồm các cation kim loại từmôi thường là H2O. Zn → Pb thì có hai quá trình xẩy ra:2. Các nguyên tắc trong điện phân Mn+ + ne → M (1)• Quy tắc chung: 2H2O + 2e à H2 + 2OH-(2)- Trong bình điện phân : Anot là cực dương Ở đây thì 2 quá trình này xảy ra đồng thời 25

×