Topología en espacios métricos

Topolog´ıa de
Espacios Métricos
Pedro José Herrero Piñeyro
Murcia 2010

Foto de portada
“Banda de Möbius con tanques y excavadoras en la calle Narodni de Praga”.
Obtenida en
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Praha Narodni trida Moebiova paska s tanky a buldozery.jpg
Fotos de la sección ”Algunos nombres propios de la Topolog´ıa“ Cap.-1
Obtenidas en
The MacTutor History of Mathematics archive.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/
Foto de la sección ”El problema de los puentes de Königsberg“ Cap.-1
”Mapa de Königsberg por Merian-Erben, año 1652”
Obtenida en
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Image-Koenigsberg, Map by Merian-Erben 1652.jpg

Índice general
-1. Un poco de historia 9
0. Conjuntos, aplicaciones y números 19
0.1. Teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.1.1. Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.1.2. Otras operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
0.1.3. Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
0.2.1. Tipos de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
0.2.2. Composición de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 31
0.3. Conjuntos finitos y numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.3.1. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.3.2. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
0.4. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1. Espacios métricos 41
1.1. Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.1.1. Subespacio métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2. Distancia a un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . 56
1.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.3.2. Abiertos en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.3.4. Cerrados en subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5

6 ÍNDICE GENERAL
1.4. Distancias equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.5. Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2. Subconjuntos destacados en la topolog´ıa métrica 75
2.1. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2. Adherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.1. Adherencia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3. Puntos de acumulación (o l´ımite) y puntos aislados . . . . . . . . 82
2.4. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6.1. Subconjuntos densos y espacios separables . . . . . . . . 93
3. Funciones continuas 97
3.1. Aplicación continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.1. Continuidad global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.2. Continuidad y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2. Homeomorfismos y embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.1. Aplicaciones abiertas y cerradas . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.2. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.3. Embebimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.1. Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4. Espacios compactos 113
4.1. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2. Subconjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3. Compacidad y funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4. Compactos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.5. Compacidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5.1. Conjuntos totalmente acotados . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6. Propiedad de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.7. Compactos en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.8. Propiedad de la intersección finita . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Topolog´ıa de Espacios Métricos Pedro José Herrero Piñeyro

ÍNDICE GENERAL 7
5. Espacios métricos completos 135
5.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.2. Espacios métricos completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3. Completitud y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4. Algunos resultados interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5. Completado de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6. Espacios conexos 151
6.1. Conjuntos separados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2. Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2.1. Subespacios conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2.2. Conjuntos conexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3. Conexos en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4. Conexión y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1. Espacios producto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.5. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.6. Conexión por caminos (o arcos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A. Completar un Espacio Métrico 171
B. Construcción de los números reales. 175
OCW-Universidad de Murcia Pedro José Herrero Piñeyro

8 ´INDICE GENERAL

-1
Un poco de historia
La Topolog´ıa es básica en la formación de cualquier matemático actual; no en
vano, forma parte de las materias troncales (fundamentales) de los primeros cursos
de la titulación en Matemáticas en cualquier facultad. La Topolog´ıa se encuentra
presente en casi todas las áreas de las Matemáticas: el Álgebra, la Geometr´ıa, el
Análisis, etc. (y éstas, como no, también en la Topolog´ıa). Sus métodos y sus
resultados facilitan el tratamiento de numerosos problemas e incluso permiten
abordar otros que no tienen un origen estrictamente topológico.
La Topolog´ıa ha alcanzado, digamos su madurez, recientemente. La mayor´ıa de
los estudiosos de la historia de las Matemáticas sitúan su puesta de largo en las
primeras décadas del s. XX, a partir de los trabajos de F. Hausdorff (), P.
Alexandroff () y W. Sierpinski (). Cuando decimos madurez o puesta
de largo, queremos decir que es en esos años, y después de bastantes aproxima-
ciones (como más adelante veremos), cuando se fijan las definiciones fundamen-
tales, cuando el perfil de su actuación, de los problemas de los que se ocupa, etc.,
quedan dibujados de manera suficientemente clara. A partir de ese momento, la
Topolog´ıa inicia (o continúa) un rápido desarrollo hasta convertirse en un área
imprescindible.
Los inicios pueden situarse, sin embargo, un poco más lejos, retrocediendo al
siglo XVIII. Hasta entonces los problemas matemáticos hab´ıan estado vinculados,
en mayor o menor grado, a la idea de medida, magnitud o distancia, y en esa
época se empiezan a plantear problemas en los que estos aspectos dejan de tener
importancia. Son problemas que no dependen de la distancia o el tamaño, sino del
lugar, de las conexiones, etc. De hecho, los primeros matemáticos que los abordan
dan al estudio de estos problemas el nombre de Geometria situs o Analysis situs
9

10
cuya traducción viene a ser Geometr´ıa o Análisis de la situación o de la posición.
Fue G. Leibniz (–) el primero que parece referirse a este tipo de prob-
lemas y con el nombre anterior Geometria situs, como atestigua L. Euler (–
) en Solutio Problematis ad Geometriam Situs Pertinentis publicado en ,
que constituye lo que podr´ıamos llamar el origen de la Topolog´ıa y en cuyo
comienzo, Euler escribe lo siguiente.
Además de esta parte de la geometr´ıa que trata de las mag-
nitudes y que desde siempre ha sido cultivada con mucho
celo, existe otra completamente desconocida hasta nues-
tros d´ıas, de la que Leibniz habló por primera vez y que
llama “Geometria Situs”. Según él, esta parte de la geo-
metr´ıa se ocupa de determinar solamente la posición y
buscar las propiedades que resulten de esta posición; en
este trabajo no es necesario considerar las magnitudes por
s´ı mismas, ni calcular; pero aún no está muy bien estable-
cido cuáles son los problemas de este tipo que pertenecen
a la “Geometria Situs” y cuál es el método que hay que
utilizar para resolverlos; es por lo que, cuando reciente-
mente se me presentó un problema que parec´ıa ligado a
la geometr´ıa ordinaria, pero cuya solución no depend´ıa de
la determinación de las magnitudes ni del cálculo de las
cantidades, no he dudado en relacionarlo con la “Geome-
tria Situs”, tanto por las consideraciones de posición que
únicamente entran en la solución, como porque el cálculo
no interviene para nada. Por tanto, he cre´ıdo útil expresar
aqu´ı, como un ejemplo de la “Geometria Situs”, el méto-
do que he encontrado para resolver los problemas de este
género.
El problema al que se refiere Euler es ...
El problema de los puentes de Königsberg
El r´ıo Pregel atraviesa la ciudad de Königsberg formando una isla a partir de la
cual el r´ıo continua con dos brazos como se puede apreciar en el plano de la ciudad
en la época de Euler.

Dicha isla está unida a la ciudad por siete puentes cuyo esquema puede verse de
una manera más clara en el siguiente gráfico:
El problema consist´ıa en determinar si una persona que partiera de un lugar deter-
minado de la ciudad podr´ıa regresar al punto de partida tras cruzar cada puente una
sola vez. Parece claro que en este problema son intrascendentes las dimensiones;
no importa la longitud de los puentes, la anchura del r´ıo o el tamaño de la isla o la
ciudad; lo que realmente caracteriza el problema es la situación de los puentes, la
ciudad y la isla. Euler demostró que el problema era equivalente (topológicamente
equivalente) a recorrer el siguiente gráfico con un lápiz sin levantarlo del papel,
de manera que se empiece en un punto y se regrese a él recorriendo cada camino
una sola vez.

12
Podemos reflexionar sobre este problema durante unos minutos; no obstante, pues-
tos a jugar, y con el fin de comprender mejor estos problemas, pensemos que una
figura está dibujada en una superficie de goma que se puede deformar: estirar,
retorcer, encorvar, etc., es decir, modificaciones que llevan consigo cambios del
tamaño o de la forma de la figura original. No valen transformaciones como cor-
tar, hacer agujeros, pegar otro trozo, etc. Las primeras son transformaciones que
podemos llamar continuas, son transformaciones que no cambian la topolog´ıa de
la figura y que dan lugar a la misma figura, topológicamente hablando; las se-
gundas no son continuas, llevan consigo algún tipo de ruptura, no son topológi-
cas y, consecuentemente, no dan lugar a la misma figura desde el punto de vista
topológico. Por ejemplo, dibuje un cuadrado dividido en dos regiones A y B me-
diante un segmento como el de la figura:
A
B
Podemos estirar o retorcer la superficie de goma, pero las dos regiones estarán
separadas por una linea y las letras A y B no podrán estar nunca en la misma
región. El cuadrado anterior es topológicamente equivalente a la figura siguiente:
A
B
Sin embargo, no es topológicamente equivalente a ninguna de las situaciones que
se muestran en las tres figuras siguientes:
B
A
A B A
B
C

En la primera, la región B está contenida totalmente en la región A; en la segunda,
las dos regiones no tienen un “lado” en común sino sólo un punto, y en la tercera
hemos hecho un agujero. (En el libro Aventuras topológicas de J.L. Carlavilla y
G. Fernández, Ed. RUBES, 1994, se pueden encontrar numerosos e interesantes
problemas “topológicos”.)
Ahora es más comprensible por qué Euler concluyó que el problema de los puentes
de Königsberg era equivalente al del gráfico que propon´ıamos antes:
Para terminar de ilustrar estas ideas, digamos que en el clásico libro Topolog´ıa
General (Ed. EUDEBA, 1975), el autor John L. Kelley escribe en una nota a
pie de página lo siguiente: “un topólogo es un señor que no sabe la diferencia
entre una rosca (bizcocho en forma de anillo) y una taza de cafe”. Si pensamos
que el rosco está hecho de una masa elástica, por ejemplo plastilina, un hábil
modelador podr´ıa efectuar una transformación topológica para, sin hacer rupturas
y respetando el agujero central de la rosca, llegar a la taza de café haciendo que
dicho agujero sea el del asa y viceversa.
Un poco más de historia
Antes de hacer un recorrido histórico más concreto, una nueva cita, esta vez
del profesor J.M. Rodr´ıguez Amilibia en el prólogo del libro Introducción a la
Topolog´ıa (J. Margalef y E. Otourelo, Ed. Complutense, 1993):
Cuando un topólogo es invitado a dar una conferencia, o
a escribir unas l´ıneas sobre el significado de la Topolog´ıa,
no es raro que comience hablando de toros y de tazas de
café; de superficies y de bandas de Möbius; de botellas
de Klein y planos proyectivos; y tal vez coja una cuerda y
comience a mostrarnos prácticamente la teor´ıa de nudos.
Pero el mismo topólogo, una vez en clase, no dirá nada de
eso, y partiendo de un método axiomático, fr´ıo y duro como
un trozo de acero, nos hablará de entornos, de abiertos, de
espacios conexos, de compactificaciones, de redes, etc.

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Eso es, precisamente, lo que vamos a hacer aqu´ı. Las razones de esto vienen a
coincidir con las que el propio profesor Rodr´ıguez Amilibia aduce en el citado
prólogo; hay que buscarlas en la evolución histórica de la Topolog´ıa y en su vin-
culación con otras áreas.
Como indicaba Euler, podr´ıamos decir que la Topolog´ıa surge como una hermana
pequeña de la Geometr´ıa, pero pronto se hace mayor y permite el estudio de
nuevos problemas e incluso de problemas antiguos con perspectivas diferentes.
Se vincula con otras ramas como el Análisis interactuando mutuamente. Una de
las consecuencias es que podemos dividir la Topolog´ıa en dos grandes ramas que
tienen desarrollos paralelos y cuya vinculación no es demasiada: la Topolog´ıa Al-
gebraica y la Topolog´ıa General (que estudia los conjuntos de puntos). Esta última
es el objeto del presente curso y tiene sus primeras aproximaciones en el s. XIX.
Un breve recorrido cronológico
J.B. Listing (–) fue el primero en utilizar la palabra topolog´ıa en un
art´ıculo cuyo t´ıtulo fue Vorstudien zur Topologie (Introducción al estudio de la
Topolog´ıa), aunque no se puede decir que éste fuera el comienzo de una rama
consolidada como tal. Listing hace un trabajo, digamos parcial, sobre la conexión
de superficies. Lo cierto es que en el s. XIX hubo una gran preocupación por la
búsqueda del rigor en las definiciones y conceptos (l´ımite, continuidad, etc.), in-
tentando abandonar las ideas más intuitivas que se hab´ıan ido manejando hasta
entonces; esto y, entre otras cosas, los trabajos de G. Cantor (–) so-
bre conjuntos dan pie a plantearse la necesidad de extender conceptos, basados
esencialmente en los números, a otros conjuntos cuyos elementos eran diferentes:
funciones, curvas, etc. Se hacen esfuerzos en la elaboración de una teor´ıa de es-
pacios abstractos que permita sistematizar todas estas ideas que son vislumbradas
por algunos matemáticos. Hasta consolidar el tratamiento axiomático definitivo,
son numerosas las aproximaciones que se van haciendo y que resumimos a con-
tinuación.
Algún autor atribuye la paternidad de la Topolog´ıa a B. Riemann (–),
aduciendo que se acerca a la noción actual de espacio topológico como una teor´ıa
autónoma y que incluso concibe un programa de estudios al respecto; no obstante,
sus ideas todav´ıa quedaban un poco lejos de lo que ser´ıa la propia Topolog´ıa.
También H. Poincaré (–) contribuye con su obra Analysis situs ()
haciendo un estudio muy riguroso sobre conexión vinculado a lo que actualmente
se llama Topolog´ıa Algebraica; algún autor escribe que, de no ser por lo disperso
de su quehacer matemático (Poincaré estudió de casi todo), suya habr´ıa sido la
sistematización a que nos venimos refiriendo; en todo caso, también hay que decir
que Poincaré mostró poco interés sobre la Topolog´ıa conjuntista, como muestra
su intervención en el Congreso Internacional de Matemáticas de , donde se

refirió a la teor´ıa de conjuntos de Cantor como una enfermedad de la que las
generaciones posteriores estar´ıan curadas.
F. Riesz (–) y M. Fréchet (–) hacen importantes trabajos que
suponen una nueva aproximación; de hecho, Fréchet introduce los espacios métri-
cos en su tesis doctoral ().
Concluyamos diciendo que la primera definición de espacio topológico en térmi-
nos de entornos fue dada en  por F. Hausdorff (–), partiendo de
los trabajos de Riesz, añadiendo la propiedad de separación de puntos (que se
conoce como propiedad T2 o de Hausdorff), que más adelante ser´ıa eliminada de
la definición. Las definiciones de espacios topológicos en términos de abiertos
son obra de P. Alexandroff (–) en  y W. Sierpinski (–) en
. A partir de entonces la Topolog´ıa ha ido evolucionando y revelándose, como
dec´ıamos al comienzo, como una rama fundamental en la formación de cualquier
matemático actual.
Algunos nombres propios de la Topolog´ıa
G. Leibniz (–)
Aunque es una figura destacada dentro del
Cálculo, fue el primero que se refirió como
Geometria Situs (Geometr´ıa de la posición)
a problemas en los que no interven´ıan las
magnitudes: estaba intentando resolver pro-
blemas combinatorios de posición. Se puede
considerar como un precursor de la teor´ıa de
grafos y de la Topolog´ıa.
L. Euler (–)
Publicó en  el primer trabajo sobre Geo-
metr´ıa de la posición, con el problema de Los
puentes de Königsberg, donde se dio cuenta
de que exist´ıa un nuevo tipo de Geometr´ıa
donde la distancia no es relevante. En 
enunció su conocido teorema que relaciona el
número de caras C, de aristas A y de vértices
V de un poliedro: C − A + V = 2.

16
J.B. Listing (–)
Es el primero en utilizar la palabra topolog´ıa
en su libro Vorstudien zur Topologie, pero
se trata de un trabajo parcial. En 
publicó Der Census raumlicher Complexe
oder Verallgemeinerung des Euler’schen
Satzes von den Polyedern en el que estudiaba
diversas generalizaciones de la fórmula de
Euler.
B. Riemann (–)
En  Riemann defendió su tesis doc-
toral, que contiene importantes ideas tanto
topológicas como anal´ıticas, como por
ejemplo las superficies de Riemann y sus
propiedades. Concibió las ideas cercanas a
lo que después ser´ıa la Topolog´ıa como una
teor´ıa autónoma.
G. Cantor (–)
En  publicó su primer art´ıculo sobre
teor´ıa de conjuntos, donde describ´ıa riguro-
samente la noción de infinito y probaba el
controvertido resultado de que casi todos los
números reales son trascendentes. Con sus
estudios sobre conjuntos dio pie a la for-
mulación de ideas “topológicas”; él mismo
proporcionó las primeras definiciones de
conjunto derivado y punto l´ımite.

F. Hausdorff (–)
Figura indiscutible de la topolog´ıa y la teor´ıa
de conjuntos, introdujo la idea de conjunto
parcialmente ordenando en . En 
introdujo tipos especiales de ordinales en un
intento de probar la hipótesis del continuo.
En  publicó Grundzüge der Mengen-
lehre donde presentó la primera definición
axiomática de espacio topológico.
M.R. Fréchet (–)
Introdujo la idea de conjunto compacto,
aunque actualmente dicho concepto se de-
nomina compacidad por punto l´ımite o de
acumulación. También introdujo en  los
espacios métricos y probó que las ideas de
Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados
pod´ıan extenderse de manera natural a los
espacios métricos.
F. Riesz (–)
Trabajó sobre las ideas de Fréchet expuestas
en su tesis doctoral, proporcionando un
v´ınculo entre los trabajos de Lebesgue (sobre
funciones reales) y Hilbert (sobre ecuaciones
integrales). Introdujo el concepto de conver-
gencia débil de una sucesión de funciones
y realizó una aproximación a la definición
axiomática de espacio topológico.

18
W. Sierpinski (–)
Comenzó a interesarse en la teor´ıa de
conjuntos en  y en 1912 publicó su
libro Outline of Set Theory. En los años 20
amplió su interés a la topolog´ıa general,
realizando contribuciones importantes en
el axioma de elección y la hipótesis del
continuo. Particularmente famosa es la curva
de Sierpinski, que llena todo el cuadrado
unidad.
P. Alexandroff (–)
En  introdujo, junto con Uryshon, los
espacios numerablemente compactos, local-
mente compactos y compactos, tal y como
se conocen actualmente. En , estando
en la Universidad de Princeton, decidió junto
con Hopf publicar una obra, en 3 volúmenes,
sobre Topolog´ıa, que no ver´ıa la luz hasta
. En ella, presentó la definición de
espacio topológico en términos de conjuntos
abiertos.

0
Conjuntos, aplicaciones y
números
En este cap´ıtulo presentamos los conceptos fundamentales sobre la teor´ıa de con-
juntos que nos serán muy útiles en el desarrollo de la asignatura. En primer lu-
gar recordamos las operaciones básicas: pertenecia, unión, intersección y diferen-
cia. A continuación introducimos el producto cartesiano de 2 o más conjuntos y
el conjunto potencia. Después recordamos el concepto de aplicación y sus dife-
rentes tipos: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, as´ı como la composición de apli-
caciones. Dedicamos una sección a los conjuntos finitos e infinitos, numerables y
no numerables, y finalizamos con una sección dedicada a los números reales y sus
principales propiedades.
0.1. Teor´ıa de conjuntos
A la hora de estudiar los conjuntos no se pretende elaborar una teor´ıa demasia-
do formalista y rigurosa que se aleje, a veces demasiado, de los objetivos de la
asignatura. Por esto, nosotros adoptaremos un punto de vista, mayoritario por otra
parte, simple: supondremos que todo el mundo sabe lo que es un conjunto, al
menos una idea intuitiva bastante razonable.
Para avanzar un poco también supondremos conocidos algunos conceptos básicos
sobre los conjuntos. No obstante, recordaremos brevemente, y sin entrar en mu-
chos detalles, las ideas necesarias para abordar un curso de introducción a la
Topolog´ıa de Espacios Métricos.
19

20 0.1. Teor´ıa de conjuntos
0.1.1. Operaciones básicas
Como siempre, fijaremos una notación básica antes de empezar. La primera opera-
ción que se define con un conjunto es la de pertenencia de sus elementos: si un
elemento a pertenece a un conjunto A escribiremos
a ∈ A,
mientras que utilizaremos el s´ımbolo ∈ para indicar que el objeto a no es un
elemento del conjunto A.
Utilizaremos la notación A ⊂ B para indicar que todos los elementos de A son
también elementos de B. Entonces se dirá que A es un subconjunto de B. Si
existe algún elemento de B que no está en A, entonces diremos que A es un
subconjunto propio de B, y se representará como A B.
Cuando se trabaja en alguna de las áreas de Matemáticas, normalmente se tiene
un conjunto de referencia que se suele llamar conjunto universal o conjunto to-
tal, y que nosotros denotaremos habitualmente por X. Por ejemplo, en geometr´ıa
eucl´ıdea plana este conjunto es el formado por todos los puntos del plano; en
otras áreas de las matemáticas, este conjunto puede ser el formado por todos los
números reales, o por todas las funciones, etc. En Topolog´ıa de Espacios Métricos
será un espacio métrico.
Dado un conjunto cualquiera A ⊂ X, definimos el complementario de A (en X),
y lo denotaremos por Ac o X − A, como el conjunto
Ac
= X − A = {x ∈ X : x ∈ A}.
Es necesario recordar también el concepto de conjunto vac´ıo, que representare-
mos por ∅, y que es el conjunto que no tiene ningún elemento; lo consideraremos
finito y supondremos que está contenido en cualquier otro conjunto. Además,
satisface las siguientes igualdades:
X − X = Xc
= ∅ y X − ∅ = ∅c
= X.
Dados dos conjuntos A y B, podemos definir tres operaciones elementales entre
ellos: la unión, la intersección y la diferencia.
Unión de conjuntos
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen a A, a B o a ambos, y se representa por
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
Los elementos que son comunes a ambos conjuntos no se duplican. Por ejemplo,
si A = {1, 2} y B = {2, 3}, entonces A ∪ B = {1, 2, 3}. Véase la Figura 1.

;;;;;;;;;;A − BA ∩ BA ∪ B
A A A
BBB
Figura 1 – Unión, intersección y diferencia de conjuntos.
Intersección de conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
que pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B, y se representa como
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
La intersección de dos conjuntos puede ser el conjunto vac´ıo. Por ejemplo, si
A = {1, 2} y B = {3, 4}, entonces A ∩ B = ∅. Véase la Figura 1.
Diferencia de conjuntos
La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos
de A que no pertenecen a B, y se representa como
A − B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
El conjunto A − B se llama a veces el complemento o el complementario de B
en A. Véase la Figura 1.
Ejemplos
Ej.0.1. Consideremos los conjuntos A y B (véase la Figura 2)definidos como:
A = {x ∈ R : (x − 1)2
< 4},
B = {x ∈ R : |x| > 2}.
Observemos que A = (−1, 3) y que B = (−∞, −2) ∪ (2, +∞). Vamos a
determinar los conjuntos A∪B, A∩B y A−B (también gráficamente). En
primer lugar, anal´ıticamente, los conjuntos se pueden expresar como sigue:
A ∪ B = {x ∈ R : x < −2 o x > −1}.
A ∩ B = {x ∈ R : 2 < x < 3} = (2, 3).
A − B = {x ∈ R : (x − 1)2 < 4 y |x| ≥ 2} = (−1, 2].
Gráficamente, dichos conjuntos están representados en la Figura 2.

A:
B:
A∪B:
A∩B:
A-B:
43210-1-2-3
43210-1-2-3
43210-1-2-3
43210-1-2-3
43210-1-2-3
( )
) (
) (
( )
( ]
Figura 2 – Unión, intersección y diferencia de dos conjuntos.
Algunos conjuntos de uso habitual.
Recordemos la notación habitual para referirnos a los conjuntos de números:
N (números naturales o enteros positivos), Z (números enteros), Q (números
racionales), R (números reales) y C (números complejos).
Ejercicios y Problemas
P.0.1 Pruebe que A − B = A ∩ (X − B).
P.0.2 Estudie cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. En caso de
ser verdadera, demuéstrela; y si es falsa, encuentre un contraejemplo.
(a) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∪ C.
(b) A ⊂ B y A ⊂ C ⇒ A ⊂ B ∩ C.
(c) A ⊂ B o A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∪ C.
(d) A ⊂ B y A ⊂ C ⇔ A ⊂ B ∩ C.
0.1.2. Otras operaciones
El producto cartesiano
Ya hemos visto que la unión (∪), la intersección (∩) y la diferencia son opera-
ciones que nos permiten obtener, a partir de dos conjuntos dados, un nuevo con-
junto. Pero también podemos construir el conjunto formado por todas las parejas
de elementos de ambos conjuntos.

Más precisamente, dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano A × B es
el conjunto definido por
A × B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}.
Dado que la notación (x, y), cuando estamos trabajando en el conjunto R de los
números reales, indica también el intervalo abierto de extremos x e y, es posible
también utilizar la notación x × y para indicar el elemento del conjunto A × B.
El conjunto potencia
¿Y qué ocurre cuando los elementos de un conjunto A son, a su vez, conjuntos?
Bueno, para evitar malentendidos y no caer en contradicciones, en este caso dire-
mos que A es una colección de conjuntos o una familia de conjuntos. No obstante,
como suele ser habitual, también se utiliza el término conjunto de conjuntos. Uti-
lizaremos letras caligráficas para referirnos a las familias de conjuntos: A, B, etc.
El ejemplo más inmediato es el siguiente. Dado un conjunto A, el conjunto for-
mado por todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y se
denota por P(A). También se suele decir que P(A) es el conjunto de las partes
de A.
Ejemplos
Ej.0.2. Si A es el conjunto de tres elementos {a, b, c}, entonces el conjunto po-
tencia de A, P(A), es la colección de (¡todos!) los subconjuntos de A.
As´ı pues:
P(A) = {{∅}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Algunas propiedades.
Leyes distributivas: Son dos: (pruébelas como ejercicio)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Leyes de De Morgan: También son dos:
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) y
A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C).

P.0.3 Sean X e Y dos conjuntos, A, C ⊂ X y B, D ⊂ Y . Demuestre las
siguientes igualdades y contenidos:
(a) A × (B ∩ D) = (A ∩ B) × (A ∩ D).
(b) A × (B ∪ D) = (A ∪ B) × (A ∪ D).
(c) A × (Y − B) = (A × Y ) − (A × B).
(d) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
(e) (A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D). Encuentre un ejemplo
que muestre que la inclusión puede ser estricta.
(f) (X × Y ) − (A × B) = (X × (Y − B)) ∪ ((X − A) × Y ).
P.0.4 Demuestre las leyes de De Morgan.
P.0.5 Estudie cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas. Demuéstre-
las cuando lo sean y proporcione un contraejemplo en caso contrario.
(a) A ⊂ C y B ⊂ D ⇒ (A × B) ⊂ (C × D).
(b) (A × B) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D
(c) (A × B) ⊂ (C × D) ⇒ A ⊂ C y B ⊂ D, suponiendo que A y B son
no vac´ıos.
(d) (A × B) ∪ (C × D) = (A ∪ C) × (B ∪ D).
0.1.3. Familias de conjuntos
Las operaciones unión e intersección que hemos definido para dos conjuntos se
pueden extender sin ninguna dificultad a una familia arbitraria de conjuntos.
Sea A una familia de conjuntos. Entonces la unión de los elementos de A se
define como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno de los
conjuntos de A y lo representaremos por
A∈A
A = {x : x ∈ A para algún A ∈ A}.
De modo similar, la intersección de los elementos de A se define como el conjunto
formado por los elementos que pertenecen a todos los elementos de A, es decir,
A∈A
A = {x : x ∈ A para todo A ∈ A}.
Las leyes distributivas y de De Morgan que hemos visto anteriormente pueden
extenderse sin excesiva dificultad al caso de familias arbitrarias de conjuntos.

Proposición 0.1.1 (Leyes distributivas). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia
arbitraria de conjuntos y B un conjunto. Entonces:
(1) B ∪ (
i∈I
Ai) =
i∈I
(B ∪ Ai).
(2) B ∩ (
i∈I
Ai) =
i∈I
(B ∩ Ai).
DEMOSTRACI ÓN. Sólo demostraremos la propiedad (1), pues la otra se prueba
de manera totalmente análoga.
Sea x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). Si x ∈ B, entonces x ∈ (B ∪ Ai) para todo i, por lo que
x ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai). En otro caso, x ∈ ∩i∈IAi, por lo que x ∈ Ai para todo i.
Entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i, por lo que estará en su intersección.
Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(B ∪ Ai) entonces x ∈ B ∪ Ai para todo i; si x ∈ B
entonces también x ∈ B ∪ (∩i∈IAi). En otro caso, x ∈ Ai para todo i, es decir,
x ∈ ∩i∈IAi, y as´ı x ∈ B ∪ (∩i∈IAi).
Proposición 0.1.2 (Leyes de De Morgan). Sea A = {Ai : i ∈ I} una familia
arbitraria de subconjuntos de un conjunto dado X. Entonces:
(1) X − (
i∈I
Ai) =
i∈I
(X − Ai).
(2) X − (
i∈I
Ai) =
i∈I
(X − Ai).
DEMOSTRACI ÓN. Probaremos sólo el apartado (1), pues el (2) es totalmente
análogo.
Si x ∈ X − (∪i∈IAi) entonces x ∈ Ai para todo i, de modo que x ∈ X − Ai
para todo i, luego x ∈ ∩i∈I(X − Ai). Rec´ıprocamente, si x ∈ ∩i∈I(X − Ai)
entonces x ∈ Ai para todo i, por lo que x ∈ ∪i∈IAi; entonces debe estar en su
complementario.
Para finalizar esta sección enunciamos el siguiente resultado acerca de la diferen-
cia de conjuntos.
Proposición 0.1.3. Sean A y B dos subconjuntos de X. Entonces se verifica lo
siguiente:
(1) A − (A − B) = A ∩ B.
(2) A − (A ∩ B) = A − B.

26 0.2. Aplicaciones
DEMOSTRACI ÓN. La prueba es bastante sencilla y basta repetir las ideas expues-
tas en las demostraciones anteriores. Demostremos, por ejemplo, el apartado (1).
Si x ∈ A − (A − B) entonces x ∈ A y x ∈ A − B. Esta segunda condición
implica que x ∈ B. Entonces x ∈ A∩B. Rec´ıprocamente, si x ∈ A∩B entonces
x ∈ A y x ∈ B, que implica x ∈ A y x ∈ A − B. Y as´ı x ∈ A − (A − B).
0.2. Aplicaciones
En esta sección nos proponemos recordar otro concepto igual de importante que
el de conjunto: el concepto de aplicación o función. Grosso modo, una aplicación
entre dos conjuntos A y B es una regla que asigna a cada elemento del conjunto
A otro elemento del conjunto B.
x
X
Y
f (x) = y
f
Figura 3 – Aplicación entre dos conjuntos X e Y .
Definición 0.2.1. Sean X e Y dos conjuntos. Una aplicación (también se le lla-
ma función) f entre X e Y es una correspondencia o regla de asignación entre
ellos tal que a cada punto x de un subconjunto de X (dicho subconjunto puede
coincidir con X), se le asocia un único punto y de Y , denominado imagen de x y
denotado por f(x). La denotaremos por
f : X −→ Y o X
f
−→ Y
X se llama el origen de f e Y se llama recorrido o rango de f. El subconjunto
de X en el que está definida f se denomina dominio y se denota por Dom(f); el
subconjunto de Y formado por todas las imágenes de elementos del dominio se
denomina conjunto imagen y se denota por Im(f).
Una función f : X −→ Y puede ser considerada como un subconjunto del pro-
ducto cartesiano X × Y con la propiedad de que cada elemento de X aparece
como la primera coordenada de, a lo sumo, un par ordenado. Podemos concebir f
como el conjunto Γ(f) definido por
Γ(f) = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ Dom(f), y = f(x)}
y que denominaremos gráfica de f o grafo de f.

Definición 0.2.2. Sea f : X −→ Y una función y sea A ⊂ X. El conjunto
imagen de A por f, que denotaremos por f(A), es el subconjunto de Y formado
por todas las imágenes de los elementos de A, es decir:
f(A) = {y ∈ Y : y = f(x) para algún x ∈ A}.
La aplicación f restringida al subconjunto A se denomina la restricción de f a
A y se denota por f|A.
Ejemplos
Ej.0.3. Sean las aplicaciones f : R −→ R, y g : R −→ R+, donde R+ denota
los números reales no negativos definidas como f(x) = x4 y g(x) = x4.
Es fácil ver que dichas aplicaciones son distintas, ya que aunque están
definidas de la misma manera y tienen el mismo origen, sin embargo el
recorrido de ambas funciones es distinto.
Definición 0.2.3. Sea f : X −→ Y una función y sea B ⊂ Y . La imagen inversa
de B por f, que denotaremos por f−1(B), es el subconjunto de X formado por
todos los elementos cuya imagen pertenece a B, es decir:
f−1
(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.
Si B es un conjunto unipuntual, por ejemplo B = {y}, usaremos la notación
f−1(y) para referirnos a f−1({y}).
También es importante tener en cuenta que f−1(B) no es más que una notación,
y el s´ımbolo f−1 no indica que exista una aplicación entre Y y X que sea inversa
de f.
Proposición 0.2.4. Sea f : X −→ Y una aplicación y consideremos los subcon-
juntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisfacen:
(1) A ⊂ f−1(f(A)).
(2) f(f−1(B)) ⊂ B.
DEMOSTRACI ÓN. La demostración de ambas propiedades es inmediata y se le
propone como ejercicio.
Las inclusiones que aparecen en la proposición anterior no son, en general, igual-
dades. Pueden encontrarse ejemplos de funciones donde las inclusiones son propias.

Ejemplos
Ej.0.4. A continuación mostramos dos ejemplos de funciones f en los que las
inclusiones de la Proposición 0.2.4 son estrictas.
(1) Consideremos f : R −→ R, f(x) = x2, y el conjunto A = [1,
√
2].
Entonces f(A) = [1, 2] y por tanto
f−1
(f(A)) = [−
√
2, −1] ∪ [1,
√
2] A.
(2) Consideremos f : R −→ R, f(x) = sen x, y el conjunto B = [−2, 2].
Entonces f−1([−2, 2]) = R pero
f(f−1
(B)) = [−1, 1] B.
Veamos ahora algunas propiedades de las aplicaciones en relación con las inclu-
siones, las uniones, las intersecciones y las diferencias. Las demostraciones se le
proponen, de nuevo, como ejercicio.
Proposición 0.2.5. Sea f : X → Y y sean Bi ⊂ Y para i = 1, 2. Entonces:
(a) B1 ⊂ B2 ⇒ f−1(B1) ⊂ f−1(B2).
(b) f−1(B1 ∪ B2) = f−1(B1) ∪ f−1(B2).
(c) f−1(B1 ∩ B2) = f−1(B1) ∩ f−1(B2).
(d) f−1(B1 − B2) = f−1(B1) − f−1(B2).
Proposición 0.2.6. Sea f : X → Y y sean Ai ⊂ X para i = 1, 2. Entonces:
(a) A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2).
(b) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2).
(c) f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).
(d) f(A1 − A2) ⊃ f(A1) − f(A2).
La generalización de los apartados (b) y (c) de la Proposición 0.2.5 a un número
arbitrario de subconjuntos de Y se enuncia a continuación. Haga, como ejercicio
la demostración.
Proposición 0.2.7. Sea {Bi ⊂ Y : i ∈ I} una familia de subconjuntos de Y .
Entonces se verifica:
(1) f−1
(
i∈I
Bi) =
i∈I
f−1
(Bi).

(2) f−1
(
i∈I
Bi) =
i∈I
f−1
(Bi).
A continuación se generalizan los apartados (b) y (c) de la Proposición 0.2.6 a
un número arbitrario de subconjuntos de X. La demostración, como en el caso
anterior, se deja como ejercicio.
Proposición 0.2.8. Sea {Ai ⊂ X : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X.
Entonces se verifica:
(1) f(
i∈I
Ai) =
i∈I
f(Ai).
(2) f(
i∈I
Ai) ⊂
i∈I
f(Ai).
0.2.1. Tipos de aplicaciones
Definición 0.2.9. Una aplicación f : X → Y se dice que es inyectiva (o uno-a-
uno) si para cada par de puntos distintos de X, sus imágenes por f son distintas.
Se dice que es sobreyectiva (o que f aplica X sobre Y ) si cada elemento de Y
es la imagen por la función f de algún elemento de X. Si f es a la vez inyectiva
y sobreyectiva, se dice que es biyectiva (o se llama una correspondencia uno-a-
uno).
Cuando f es biyectiva entonces existe una aplicación de Y en X, denominada
inversa de f, que se representa por f−1 : Y −→ X, definida como f−1(y) = x,
donde x es el único elemento de X tal que f(x) = y.
P.0.6 Conteste las siguientes preguntas, justificando las respuestas.
(a) ¿Cuál de las siguientes funciones f : R −→ R es inyectiva?
f(x) = x3
, f(x) = x2
, f(x) = tan(x).
(b) ¿Cuál de las siguientes funciones f : R −→ R es sobreyectiva?
f(x) = x3
, f(x) = x2
, f(x) = tan(x).
(c) ¿Cuál de las siguientes funciones f : R −→ R es biyectiva?
f(x) = x4
, f(x) = x7
, f(x) = cos(x).

f(x) = x2
f(x) = x3
f(x) = cos(x) f(x) = tan(x)
Figura 4 – Gráficas de algunas funciones.
Proposición 0.2.10. Sea f : X −→ Y una aplicación y consideremos los sub-
conjuntos A ⊂ X y B ⊂ Y . Entonces se satisface:
(1) Si f es inyectiva entonces A = f−1(f(A)).
(2) Si f es sobreyectiva entonces f(f−1(B)) = B.
DEMOSTRACI ÓN. La demostración de ambas propiedades es inmediata y se le
propone como ejercicio.
Para completar las propiedades indicadas en la Proposición 0.2.6, presentamos el
siguiente resultado.
Proposición 0.2.11. Sea f : X → Y una aplicación inyectiva y sean Ai ⊂ X
para i = 1, 2. Entonces:
(a) f(A1 ∩ A2) = f(A1) ∩ f(A2).
(b) f(A1 − A2) = f(A1) − f(A2).

0.2.2. Composición de aplicaciones
Para construir nuevas aplicaciones a partir de otras dadas, podemos restringir los
conjuntos origen o modificar los rangos de las mismas, como ya hemos visto. Otro
mecanismo para formar nuevas aplicaciones es componerlas.
x
X
Y
g
g(f (x )) = g (y) = z
Z
f (x) = y
f
Figura 5 – Composición entre dos aplicaciones.
Definición 0.2.12. Sean las funciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z. Se define
la composición g ◦ f de f y g como la aplicación g ◦ f : X −→ Z dada por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)).
Ejemplos
Ej.0.5. La composición g ◦ f de las aplicaciones siguientes
f : R −→ R, f(x) = 3x3 + 7,
g : R −→ R, g(x) = 4x2.
es la función (g ◦ f)(x) = 4(3x3 + 7)2.
Proposición 0.2.13. Sean f : X → Y y g : Y → Z. Se verifica lo siguiente:
(a) Si C ⊂ Z, entonces (g ◦ f)−1(C) = f−1(g−1(C)).
(b) Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyectiva.
(c) Si g ◦ f es inyectiva, entonces f es inyectiva.
(d) Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f es sobreyectiva.
(e) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
DEMOSTRACI ÓN. La demostración se le propone como ejercicio.

32 0.3. Conjuntos finitos y numerables
0.3. Conjuntos finitos y numerables
En esta última parte del cap´ıtulo vamos a introducir algunos tipos destacados de
conjuntos: finitos, infinitos, numerables y no numerables.
0.3.1. Conjuntos finitos
Dediquemos unas palabras a los conjuntos más sencillos: los finitos.
Definición 0.3.1. Un conjunto X se dice que es finito si existe un número natural
n y una aplicación biyectiva entre X y el conjunto {1, . . . , n}. El número n se
llama el cardinal de X. Si X = ∅ entonces su cardinal es 0.
Algunas propiedades relativas a los conjuntos finitos son las siguientes.
Proposición 0.3.2. (1) Si X es finito, entonces no existe una aplicación biyec-
tiva entre X y un subconjunto propio de X.
(2) El cardinal de un conjunto finito X está un´ıvocamente determinado por el
conjunto X.
(3) Si A es un subconjunto de un conjunto finito X, entonces A es finito. Si A es
un subconjunto propio, entonces el cardinal de A es menor que el cardinal
de X.
DEMOSTRACI ÓN. La demostración de estas propiedades no es nada trivial, en
contra de lo que pudiera pensarse a primera vista. Las claves son las dos propieda-
des siguientes, que enunciamos sin demostración:
(a) Sea n un entero positivo. Sean X un conjunto y x0 un elemento de X.
Entonces existe una aplicación biyectiva f entre el conjunto X y el conjunto
{1, . . . , n + 1} si, y sólo si, existe una aplicación biyectiva del conjunto
X − {x0} con {1, . . . , n}.
(b) Sea X un conjunto y supongamos que f : X → {1, . . . , n} es una apli-
cación biyectiva para algún n ∈ N. Sea A un subconjunto propio de X.
Entonces no existe biyección alguna g : A → {1, . . . n}, y si B = ∅
entonces existe una aplicación biyectiva h : A → {1, . . . , m} para algún
m < n.
Ejemplos
Ej.0.6. El conjunto N de los números naturales no es finito ya que la función
f : N → N − {1}, definida por f(n) = n + 1, es una biyección entre N y

un subconjunto propio de s´ı mismo, lo que contradice el apartado (1) de la
Proposición 0.3.2.
Proposición 0.3.3. Si X es un conjunto no vac´ıo, son equivalentes:
(1) X es finito.
(2) Existe un número natural n y una aplicación f : {1, . . . , n} −→ X so-
breyectiva.
(3) Existe un número natural n y una aplicación f : X −→ {1, . . . , n} inyec-
tiva.
DEMOSTRACI ÓN. Se le propone como ejercicio.
Proposición 0.3.4. Las uniones finitas y los productos cartesianos finitos de con-
juntos finitos son finitos.
DEMOSTRACI ÓN. Lo veremos sólo para el caso de dos conjuntos. La demostra-
ción en el caso general es análoga y se realiza por inducción en el número de
conjuntos.
Demostraremos primero que si X e Y son conjuntos finitos, también lo es X ∪Y .
Si X o Y es vac´ıo no hay nada que probar. En caso contrario, existirán biyecciones
f : {1, . . . , m} → X y g : {1, . . . , n} → Y para determinados m y n. Definimos
entonces una función h : {1, . . . , m + n} → X ∪ Y de la forma h(i) = f(i) si
i = 1, 2, . . . , m y h(i) = g(i − m) si i = m + 1, . . . , m + n. Es fácil ver que h
es sobreyectiva, de lo que se deduce que X ∪ Y es finito.
Veamos ahora que el producto cartesiano de dos conjuntos finitos X e Y también
es finito. Dado x ∈ X, el conjunto {x}×Y es finito, pues tiene el mismo cardinal
que Y . Pero X ×Y es la unión de estos conjuntos, por lo que X ×Y es una unión
finita de conjuntos finitos, y por tanto finito.
0.3.2. Conjuntos numerables
Definición 0.3.5. Todo conjunto X que no sea finito se dice que es infinito. Si
X es un conjunto infinito que está en correspondencia biyectiva con N, entonces
se dice que es infinito numerable. En otro caso X se dice que es infinito no
numerable. Diremos que X es numerable si es finito o infinito numerable.

34 0.3. Conjuntos finitos y numerables
Ejemplos
Ej.0.7. Todo subconjunto A ⊂ N de los números naturales es numerable. Supon-
gamos que A es infinito. Vamos a construir una aplicación biyectiva f entre
A y N. f(1) será el menor elemento de A y, entonces llamaremos
A1 = A − {f(1)};
f(2) será el menor elemento de A1 y ahora llamaremos
A2 = A1 − {f(2)} = A − {f(1), f(2)};
y as´ı sucesivamente. En general, sea f(m) el menor elemento de Am−1
y denotemos Am = Am−1 − {f(m)}. Como A no es finito, el proceso
anterior no acaba y para cada m ∈ N existe f(m) > f(i), para i < m.
Es fácil ver que f es una aplicación biyectiva (observemos que f(m) ≥ m
para todo m).
La siguiente propiedad es análoga a la Proposición 0.3.3, pero en términos de los
conjuntos numerables.
Proposición 0.3.6. Si X es un conjunto no vac´ıo, entonces son equivalentes:
(1) X es numerable.
(2) Existe una aplicación sobreyectiva f : N → X.
(3) Existe una aplicación inyectiva g : X → N.
Hagamos un inciso aqu´ı para referirnos a las aplicaciones f : N → X. Este
tipo de aplicaciones se denominan sucesiones y habitualmente se denotan como
(xn)∞
n=1 o {xn}∞
n=1, donde xn = f(n). No debemos confundir una sucesión con
su conjunto imagen.
Proposición 0.3.7. Si A es un subconjunto de un conjunto numerable X, entonces
A es también numerable.
DEMOSTRACI ÓN. Como X es numerable, existe una aplicación f : N −→ X
sobreyectiva. Definimos una aplicación g : X −→ A por la condición g|A = 1,
de modo que h = g ◦ f : N −→ A es una aplicación sobreyectiva, lo que implica
que A es numerable.
Lema 0.3.8. El producto finito de copias de N es un conjunto numerable.
DEMOSTRACI ÓN. Lo demostraremos para el producto N × N; el caso general se
hace por inducción en el número de copias.
Ordenemos el conjunto N × N de la siguiente forma:

(1,1) (1,2) (1,3) ...
(2,1) (2,2) (2,3) ...
(3,1) (3,2) (3,3) ...
...
...
...
...
¨¨¨%
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Es fácil ver que la aplicación f : N −→ N × N, representada por el gráfico ante-
rior, es una aplicación sobreyectiva. Expl´ıcitamente, la función f anterior puede
definirse como sigue. Si ponemos f(k) = (m(k), n(k)), entonces
m(k) = k −
r(r − 1)
2
n(k) = r + 1 − m
donde r es el único número natural tal que
r(r − 1)
2
< k ≤
(r + 1)r
2
.
Los conjuntos numerables satisfacen las siguientes propiedades.
Proposición 0.3.9. (1) La unión numerable de conjuntos numerables es un
conjunto numerable.
(2) El producto finito de conjuntos numerables es un conjunto numerable.
DEMOSTRACI ÓN. (1) Sea {Xi}i∈I una familia numerable de conjuntos numera-
bles y supongamos, sin pérdida de generalidad, que cada conjunto Xi es no vac´ıo.
Como cada Xi es numerable, para cada i existe una aplicación fi : N → Xi
sobreyectiva. Pero I también es numerable, por lo que es posible encontrar otra
aplicación sobreyectiva g : N → I. Ahora definimos
h : N × N → X =
i∈I
Xi
mediante la ecuación
h(k, m) = fg(k)(m).
Es fácil ver que h es sobreyectiva. Como N×N es numerable, podemos encontrar
una aplicación sobreyectiva de N en X, lo que concluye la demostración.
(2) Supongamos X e Y dos conjuntos numerables no vac´ıos. Elegimos apli-
caciones sobreyectivas f : N → X y g : N → Y . Entonces, la aplicación
h : N × N → X × Y definida mediante la ecuación h(n, m) = (f(n), g(m))
es sobreyectiva y, por tanto, X × Y es numerable.
La demostración en el caso general se realiza por inducción en el número de fac-
tores del producto.

36 0.4. Los números reales
Ejemplos
Ej.0.8. El conjunto Q de los números racionales es numerable. Observemos que
el conjunto Z de los números enteros es numerable, ya que es la unión de
tres conjuntos numerables: Z = N∪(−N)∪{0}. Pero Q se puede considerar
incluido en Z × Z, que es numerable, y por tanto es también numerable.
Ej.0.9. El intervalo [0, 1] ⊂ R no es numerable. Por tanto, R tampoco es numer-
able. En efecto, supongamos que [0, 1] es numerable y consideremos una
enumeración del mismo: {x1, x2, . . . , }, es decir, supongamos que existe
una función sobreyectiva f : N −→ [0, 1], xn = f(n). Expresemos cada
número xn en notación decimal:
x1 = 0 a11a12 · · · a1n · · ·
x2 = 0 a21a22 · · · a2n · · ·
· · ·
Podemos suponer que cada xn tiene infinitos decimales; en efecto, en caso
contrario podemos considerar la expresión alternativa consistente en una
sucesión infinita de 9. Por ejemplo, 1/2 = 0 5 se puede escribir como
0 499999 · · · .
Definimos el número y = 0 b1b2 · · · bn · · · mediante bi = aii y bi = 0. Es
claro que y = xi para todo i, por lo que y ∈ [0, 1], lo cual es absurdo.
P.0.7 Demuestre que el conjunto de los números irracionales no es numerable.
P.0.8 Sea Xω el conjunto formado por todas las aplicaciones de N en {0, 1}, es
decir:
Xω
= {f : N −→ {0, 1} : f es una aplicación}.
Siguiendo las mismas ideas del Ejemplo Ej.0.9., demuestre que el conjunto
Xω no es numerable.
0.4. Los números reales
Para finalizar este cap´ıtulo, recordemos algunas de las principales propiedades de
los números reales.

En el conjunto R de los números reales podemos definir dos operaciones binarias
+ y ·, llamadas suma y multiplicación, respectivamente, y una relación de orden
< sobre R, tales que se cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades algebraicas
(1) (x + y) + z = x + (y + z),
(x · y) · z = x · (y · z) para todo x, y, z en R.
(2) x + y = y + x,
x · y = y · x para todo x, y en R.
(3) Existe un único elemento de R llamado cero, representado por 0, de forma
que x + 0 = x para todo x ∈ R.
Existe un único elemento de R llamado uno, distinto de 0 y representado
por 1, tal que x · 1 = x para todo x ∈ R.
(4) Para cada x ∈ R existe un único y ∈ R tal que x + y = 0.
Para cada x ∈ R distinto de 0 existe un único y ∈ R tal que x · y = 1.
(5) x · (y + z) = (x · y) + (x · z) para todo x, y, z ∈ R.
Una propiedad mixta algebraica y de orden
(6) Si x > y, entonces x + z > y + z.
Si x > y y z > 0, entonces x · z > y · z.
Otras propiedades
(7) La relación de orden < verifica la propiedad del supremo.
(8) Si x < y, existe un elemento z tal que x < z y z < y.
La “propiedad del supremo” se puede definir también para un conjunto orde-
nado arbitrario. En primer lugar, necesitamos algunas definiciones preliminares.
Supongamos que X es un conjunto ordenado por la relación < y sea A un sub-
conjunto de X. Decimos que un elemento b es el máximo de A si b ∈ A y si
x ≤ b para todo x ∈ A. Es fácil ver que un conjunto tiene, a lo sumo, un máximo.
El subconjunto A de X está acotado superiormente si existe un elemento b de
X tal que x ≤ b para todo x ∈ A; el elemento b se denomina una cota superior
para A. Si el conjunto de todas las cotas superiores de A tiene un m´ınimo, ese
elemento se denomina el extremo superior o supremo de A. Se representa por
sup A y puede pertenecer o no a A. Si pertenece, es el máximo de A.
Ahora ya podemos definir la propiedad del supremo.

Definición 0.4.1. Un conjunto ordenado A se dice que tiene la propiedad del
supremo si todo subconjunto no vac´ıo A de X que esté acotado superiormente
tiene supremo.
Análogamente se pueden definir los conceptos de m´ınimo, conjunto acotado infe-
riormente, extremo inferior o ´ınfimo y la propiedad del ´ınfimo.
Un número real es positivo si x > 0, y negativo si x < 0. Los reales positivos
se denotarán por R+. Las propiedades (1)-(5) implican que R es un cuerpo; y la
propiedad (6) nos permite decir que es un cuerpo ordenado.
Por otro lado, las propiedades (7) y (8) implican sólo a la relación de orden; por
satisfacer estas propiedades, se dice que R es un continuo lineal.
Otra propiedad interesante de los números reales es la propiedad arquimediana,
de la que presentamos dos versiones.
Proposición 0.4.2 (Propiedad arquimediana, v.1). Para cualquier número real
positivo > 0, existe un número natural n tal que n > 1.
Proposición 0.4.3 (Propiedad arquimediana, v.2). Para cualquier par de número
reales x < y, existe un número racional q tal que x < q < y.
P.0.9 Demuestre que A tiene la propiedad del supremo si, y sólo si, tiene la
propiedad del ´ınfimo.
P.0.10 Calcule los siguientes conjuntos:
(a) n∈N(− 1
n, 1
n )
(b) n∈Z(n − 1, n + 1)
(c) n∈N(−n, n)
(d) n∈N(−n, n)
P.0.11 Calcule la diferencia A − B en cada caso:
(a) A = [0, 1] (b) A = (−1, 1]
B = (−1, 0) B = [−1, 1].
P.0.12 Dados los conjuntos A, B y C, exprese cada uno de los siguientes con-
juntos en términos de A, B y C, utilizando los s´ımbolos ∪, ∩ y −:
D = {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)},
E = {x : (x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C},
F = {x : x ∈ A y (x ∈ B ⇒ x ∈ C)}.
P.0.13 Dos conjuntos tienen el mismo cardinal si se pueden poner en correspon-
dencia biyectiva. Pruebe lo siguiente:

(1) R y el intervalo (−1, 1) tienen el mismo cardinal.
(2) Dos intervalos abiertos acotados tienen el mismo cardinal.
(3) R tiene el mismo cardinal que cualquier intervalo (a, b).
P.0.14 Sea R el conjunto de los números reales. Determine si cada uno de los
siguientes subconjuntos de R × R es igual al producto cartesiano de dos
subconjuntos de R.
(a) {(x, y) : x es un entero}.
(b) {(x, y) : 0 < y ≤ 1}.
(c) {(x, y) : y > x}.
(d) {(x, y) : x no es un entero e y es un entero}.
(e) {(x, y) : x2 + y2 < 1}.
P.0.15 Sea f : R → R la función f(x) = x3 −x. Restringiendo adecuadamente
el dominio y el rango de f, obtenga a partir de f una función biyectiva g.
Dibuje las gráficas de g y g−1 (hay diferentes elecciones posibles para g).
P.0.16 Represente gráficamente los siguientes subconjuntos de R2:
A = {(x, y) : x ∈ [n, n + 1], y ∈ [n, n + 1] para algún n ∈ Z}
B = {(x, y) : 0 ≤ x − y ≤ 1}
C = {(x, y) : 1 < x2 + y2 ≤ 4}
D = {(x, y) : 1 < x2 ≤ 4}
E = {(x, y) : (x + 2)2 + (y − 1)2 < 16; x ≤ y}
F = {(x, y) : |xy| > 1} ∪ {(0, 0)}
P.0.17 Considere las funciones f, g : R −→ R dadas por f(x) = 2x + 1 y
g(x) = x2 − 2. Determine expl´ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y
g ◦ f.
P.0.18 Sea el intervalo A = [−1, 1] y considere las funciones f, g, h : A −→ A
definidas por f(x) = sen x, g(x) = sen(πx) y h(x) = sen(πx/2). Estudie
si estas funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.
P.0.19 Considere la función f : R −→ R definida por f(x) = x2. Calcule:
(a) f−1(25)
(b) f−1({x : x ≥ 0})
(c) f−1({x : 4 ≤ x ≤ 25})
P.0.20 Calcule los siguientes conjuntos:
(a) n∈N[0, 1
n ]
(b) n∈N(0, 1
n ]

(c) n∈N[0, 1
n)
(d) n∈N[n, +∞)
P.0.21 ¿Son ciertas o falsas las siguientes igualdades? Razone la respuesta.
∞
n=1
0, 1 −
1
n
= [0, 1]
∞
n=1
a −
1
n
, b +
1
n
= [a, b]
P.0.22 Sea A un conjunto cualquiera y, para todo x ∈ A, sea Gx un subconjunto
de A tal que x ∈ Gx ⊂ A. Demuestre que A = ∪x∈AGx.
P.0.23 Considere las familias de conjuntos An = {x : x es múltiplo de n},
n ∈ N, y Bm = [m, m + 1], m ∈ Z. Determine los siguientes conjuntos:
(a) A3 ∩ A5
(b) i∈P Ai, donde P denota el conjunto de los números primos.
(c) B3 ∩ B4
(d) m∈Z Bm
(e) A5 ∩ ( m≥7 Bm)
P.0.24 Para toda aplicación f : X −→ Y se define la aplicación asociada ˆf
entre los conjuntos potencia ˆf : P(X) −→ P(Y ) como sigue:
ˆf(A) = {y ∈ Y : y = f(x) para algún x ∈ A}.
Demuestre que si f es inyectiva entonces ˆf también lo es.
P.0.25 Sean f, g : R −→ R las funciones definidas como:
f(x) =
2x − 5 si x > 2
x2 − 2|x| si x ≤ 2
y g(x) = 3x + 1.
Encuentre: (a) (g ◦ f)(1), (b) (f ◦ g)(2), (c) (f ◦ f)(3). ¿Puede determinar
expl´ıcitamente las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f?
P.0.26 Sea g : X −→ X una función constante g(x) = x0 para todo x ∈ X.
Demuestre que para cualquier función f : X −→ X la composición g ◦ f
es constante e igual a x0. ¿Qué puede decirse de f ◦ g?
P.0.27 Demuestre que una aplicación f : X −→ Y es biyectiva si, y sólo si,
f(Ac) = [f(A)]c para todo A ⊂ X.
P.0.28 Demuestre que todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito
numerable.

1
Espacios métricos
En este primer cap´ıtulo, se introduce la noción de Espacio métrico y de subes-
pacio métrico, estudiando numerosos ejemplos y propiedades básicas. Se intro-
duce la noción de topolog´ıa asociada a un espacio métrico introduciendo las bolas
abiertas y a a partir de aqu´ı se estudian los conjuntos abiertos, los cerrados y sus
propiedades. Se pretenden alcanzar las siguientes competencias espec´ıficas:
Utilizar los conceptos básicos asociados a la noción de espacio métrico.
Reconocer y utilizar las propiedades sencillas de la topolog´ıa métrica.
Construir ejemplos de espacios métricos usando las nociones de subespacio
métrico y espacio métrico producto.
Se desarrollarán los contenidos siguientes:
Distancia. Espacio métrico. Distancias en R y Rn.
Ejemplos de espacios métricos.
Subespacio métrico.
Distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos.
Bolas. Topolog´ıa asociada a una métrica.
Conjuntos abiertos y cerrados. Propiedades.
Producto de espacios métricos.
41

42 1.1. Distancias
1.1. Distancias
Definición 1.1.1. Dado un conjunto X, una distancia sobre X, es una aplicación
d : X × X −→ R que a cada par de puntos x, y ∈ X le asocia un número real
d(x, y), que cumple las siguientes condiciones:
(1) d(x, y) ≥ 0.
(2) d(x, y) = 0 si, y sólo si, x = y (separación).
(3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetr´ıa).
(4) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z, y) para todo x, y, z ∈ X (desigualdad triangular).
Definición 1.1.2. Un espacio métrico es un par (X, d), donde X es un conjunto
y d es una distancia definida en X.
Ejemplos
Ej.1.1. En el conjunto de los números reales R podemos definir una distancia
tomando el valor absoluto de la diferencia, es decir, d : R×R → R definida
como d(x, y) = |x − y|. Las condiciones de distancia se deducen inmedia-
tamente de las propiedades conocidas del valor absoluto. A esta distancia le
llamaremos distancia usual de R.
Ej.1.2. El espacio métrico discreto. Sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera;
definimos una distancia dD como sigue:
dD(x, y) =
0 si x = y
1 si x = y
Esta distancia se llama distancia discreta y verificar las condiciones de dis-
tancia se reduce a una mera comprobación. Observemos además que cam-
biando el 1 por cualquier otro valor numérico obtenemos otra distancia,
también discreta.
Las dos siguientes desigualdades, serán útiles en el desarrollo de los dos próximos
ejemplos que juegan un importante papel.
Lema 1.1.3. Si a1, a2, . . . , an y b1, b2, . . . , bn son números reales cualesquiera,
entonces, se cumplen:
(a) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
n
i=1
aibi
2
≤
n
i=1
a2
i
n
i=1
b2
i .

(b) (Desigualdad de Minkowski)
n
i=1
(ai + bi)2
1/2
≤
n
i=1
a2
i
1/2
+
n
i=1
b2
i
1/2
.
DEMOSTRACI ÓN. Veamos en primer lugar la desigualdad (a) de Cauchy-Schwarz.
Dado cualquier número x ∈ R se verifica que n
i=1(aix+bi)2 ≥ 0. Si desarrolla-
mos el cuadrado y agrupamos tendremos que Ax2 + 2Bx + C ≥ 0, tomando
A = n
i=1 a2
i , B = n
i=1 aibi y C = n
i=1 b2
i .
En estos términos, lo que queremos probar es que B2 ≤ AC. Si A = 0 entonces
ai = 0 para todo i la desigualdad se verifica claramente. Si A = 0 podemos poner
0 ≤ Ax2
+ 2Bx + C = A x +
B
A
2
+
AC − B2
A
para todo x ∈ R. La última expresión es m´ınima si x = −B
A y si sustituimos dicha
expresión obtenemos
0 ≤
AC − B2
A
, lo cual implica AC − B2
≥ 0
y, por tanto, B2 ≤ AC; con lo que queda demostrada la desigualdad.
Por último, observemos que demostrar la desigualdad de Minkowski, es equiva-
lente a demostrar la desigualdad
n
i=1
(ai + bi)2
≤
n
i=1
a2
i +
n
i=1
b2
i + 2
n
i=1
a2
i
1/2 n
i=1
b2
i
1/2
Si desarrollamos el binomio de la izquierda
n
i=1
(ai + bi)2
=
n
i=1
a2
i +
n
i=1
b2
i + 2
n
i=1
aibir
Con lo cual, sólo queda simplificar y aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz
(1.1.3)(a) anterior.
Sigamos con más ejemplos de distancias y, por tanto de espacios métricos.
Ejemplos
Ej.1.3. Sea X = R2. Para los puntos x = (x1, x2) e y = (y1, y2) se definen las
aplicaciones:
d1(x, y) = |x1 − y1| + |x2 − y2|,
d2(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2,
d∞(x, y) = máx(|x1 − y1|, |x2 − y2|).

44 1.1. Distancias
Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostración de esto la
proporcionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores miden
la distancia de una forma distinta, y en la siguiente Figura 1.1 se puede ver
una representación gráfica de cada una ellas:
x
y
x
y
d1(x, y) d2(x, y)
x
y
x
y
d∞(x, y) con |x2 − y2| > |x1 − y1| d∞(x, y) con |x1 − y1| > |x2 − y2|
Figura 1.1 – Gráficos de d1, d2 y d∞.
Las tres distancias son generalizaciones de la distancia usual que hemos
definido en R y las tres tienen nombre propio: d1 se llama la distancia del
taxi, d2 se llama la distancia eucl´ıdea o usual y d∞ se llama la distancia
del ajedrez o del máximo.
Ej.1.4. El Ejemplo Ej.1.3. anterior se puede generalizar fácilmente a Rn como
sigue. Sean los puntos x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) de Rn. Se
definen:
d1(x, y) =
n
i=1
|xi − yi|,
d2(x, y) =
n
i=1
(xi − yi)2
1/2
,
d∞(x, y) = máx{|xi − yi|; i = 1, . . . , n}.
La prueba de que d1 y d∞ son distancias es una mera comprobación. En
efecto, tal y como se han definido, las dos son no negativas; además como
|xi − yi| = 0 y (xi − yi)2 = 0 si, y sólo si, xi = yi se cumple la condición

(2) de distancia. Además |xi −yi| = |yi −xi| y (xi −yi)2 = (yi −xi)2, con
lo que obtenemos la condición (3). Para la desigualdad triangular sólo hay
que tener en cuenta la desigualdad triangular del valor absoluto para cada i
|xi − yi| ≤ |xi − zi| + |zi − yi|,
con lo que en el caso d1 tenemos:
d1(x, y) =
n
i=1
|xi − yi| ≤
n
i=1
(|xi − zi| + |zi − yi|) =
n
i=1
|xi − zi| +
n
i=1
|zi − yi| = d1(x, z) + d1(z, y);
y para d∞:
d∞(x, y) = máx{|xi − yi| : i = 1, . . . , n}
≤ máx{|xi − zi| + |zi − yi| : i = 1, . . . , n} ≤
≤ máx{|xi − zi| : i = 1, . . . , n} + máx{|zi − yi| : i = 1, . . . , n}
= d∞(x, z) + d∞(z, y).
(1.1)
Lo mismo sucede con las propiedades (1), (2) y (3) para la distancia usual
d2; no as´ı con la propiedad (4) en la que hay que utilizar la desigualdad de
Cauchy-Schwarz 1.1.3(a).
Sean x, y, z ∈ Rn y consideremos
(d2(x, z) + d2(z, y))2
=


n
i=1
(xi − zi)2
1
2
+
n
i=1
(zi − yi)2
1
2


2
=
=
n
i=1
(xi −zi)2
+
n
i=1
(zi −yi)2
+2
n
i=1
(xi − zi)2
n
i=1
(zi − yi)2
1
2
= (∗)
Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz 1.1.3(a) al último sumando
de la expresión anterior:
(∗) ≥
n
i=1
(xi − zi)2
+
n
i=1
(zi − yi)2
+ 2
n
i=1
(xi − zi)(zi − yi) =
n
i=1
(xi − zi)2
+ (zi − yi)2
+ 2(xi − zi)(zi − yi) =

46 1.1. Distancias
n
i=1
[(xi − zi) + (zi − yi)]2
=
n
i=1
(xi − yi)2
=


n
i=1
(xi − yi)2
1/2


2
= (d2(x, y))2
,
de donde se deduce la desigualdad triangular.
Ej.1.5. El conjunto C de los números complejos es un espacio métrico con la
distancia dada por el módulo de la diferencia:
d(z1, z2) = |z1 − z2| con z1, z2 ∈ C.
Compruebe como ejercicio, que se verifican las condiciones de distancia.
Ej.1.6. Se pueden considerar otros conjuntos que no son numéricos, como el con-
junto de las funciones reales acotadas
X = A([a, b], R) = ∞
([a, b]) = {f : [a, b] → R : |f(x)| ≤ M, M > 0}.
Dadas dos funciones f, g ∈ X definimos
d∞(f, g) = sup
x∈[a,b]
{|f(x) − g(x)|}.
Puede comprobar, a partir de las propiedades del valor absoluto, que d∞
es una distancia, denominada la distancia del supremo; en la Figura 1.2 se
representa la distancia del supremo entre dos funciones f y g.
Figura 1.2 – Distancia del supremo en el espacio A([a, b], R).
Ej.1.7. También podemos considerar el conjunto C([a, b], R), de las funciones
reales continuas sobre un intervalo cerrado [a, b]. La aplicación d dada por
d(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)|dx

Figura 1.3 – La distancia es el área comprendida entre dos curvas.
es una distancia, que viene dada por el área comprendida entre funciones
continuas. En la Figura 1.3 se representa tal distancia. Sabemos que si
f(x) ≥ 0, entonces
b
a f(x)dx ≥ 0 para cada x ∈ [a, b] y también que
b
a f(x)dx = 0 si, y sólo si, f ≡ 0; por tanto se cumplen las dos primeras
condiciones de distancia.
De la simetr´ıa del valor absoluto (|f(x) − g(x)| = |g(x) − f(x)|), se ob-
tiene la tercera condición; y por último, de la desigualdad triangular del
valor absoluto, de la aditividad de la integral y de que f(x) ≤ g(x) implica
b
a f(x)dx ≤
b
a g(x)dx, se deduce
d(f, g) =
b
a
|f(x) − g(x)|dx ≤
b
a
(|f(x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|)dx
=
b
a
|f(x) − h(x)|dx +
b
a
|h(x) − g(x)|dx = d(f, h) + d(h, g).
Ej.1.8. O bien el conjunto de las sucesiones reales acotadas
∞
={(xn)∞
n=1 : sucesión acotada con xn ∈ R}
= {x : N −→ R : x está acotada}
(1.2)
Dadas dos sucesiones (xn)∞
n=1, (yn)∞
n=1 ∈ ∞, definamos
d∞((xn)n, (yn)n) = sup
n∈N
{|xn − yn|}.
Pruebe que d∞ es una distancia en ∞.
Ej.1.9. También se pueden construir espacios métricos a partir de otros conoci-
dos. En efecto, sean (X1, d) y (X2, d ) dos espacios métricos. Para puntos

48 1.1. Distancias
x = (x1, x2) e y = (y1, y2) de X1 × X2 se define:
d1(x, y) = d(x1, y1) + d (x2, y2),
d2(x, y) = (d(x1, y1)2
+ d (x2, y2)2
)1/2
,
d∞(x, y) = máx{d(x1, y1), d (x2, y2)}.
Entonces d1, d2 y d∞ son distancias en el espacio producto X1 × X2.
Verificar que d1, d2 o d∞ son distancias es un proceso similar al del Ejem-
plo Ej.1.3. anterior y es recomendable que, como ejercicio, concrete los
detalles.
Este es un procedimiento, digamos estandar, para definir distancias en es-
pacios que son el producto cartesiano de una colección finita de espacios
métricos. As´ı, si (X1, d1) . . . (Xn, dn) son n espacios métricos, se pueden
definir en X1 × · · · × Xn las distancias:
ρ1(x, y) =
n
i=1
di(xi, yi),
ρ2(x, y) =
n
i=1
di(x1, y1)2
1/2
,
ρ∞(x, y) = máx{di(xi, yi) : i = 1, . . . , n},
con x = (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn) ∈ X1 × · · · × Xn.
La siguiente, es una propiedad que nos será útil, junto con el resultado que aparece
en el Problema P.1.2.
Proposición 1.1.4. Sea (X, d) un espacio métrico. Para todo x, y, z ∈ X se
verifica:
|d(x, z) − d(z, y)| ≤ d(x, y).
DEMOSTRACI ÓN. Aplicando la desigualdad triangular y la simetr´ıa de la distan-
cia, tenemos
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(z, y),
por lo que d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y).
De forma análoga podemos poner d(z, y) ≤ d(z, x)+d(x, y) = d(x, z)+d(x, y)
y tendremos que −d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y).
Usando estas dos desigualdades tenemos
−d(x, y) ≤ d(x, z) − d(z, y) ≤ d(x, y)
lo que concluye la demostración.

Estamos en condiciones de practicar y profundizar un poco por cuenta propia. De
modo que puede trabajar con los ejercicios y problemas siguientes.
P.1.1 Sea d : N × N −→ R definida por d(m, n) = |m2 − n2|. ¿Es (N, d) un
espacio métrico? Justifique la respuesta. [I]
P.1.2 Sea (X, d) un espacio métrico. Demuestre que se cumple
|d(x, y) − d(z, t)| ≤ d(x, z) + d(y, t)
para todo x, y, z, t ∈ X. [I] [R]
P.1.3 Sea X un conjunto. Demuestre que una aplicación d : X × X −→ R es
una distancia si, y sólo si, para x, y, z ∈ X, se verifican
(a) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(b) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z). [I]
P.1.4 Sea (X, d) un espacio métrico. Se definen δ, y ρ y η como sigue:
δ(x, y) = kd(x, y), k ∈ R+
ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}
η(x, y) = [d(x, y)]2
Demuestre que δ y ρ son distancias sobre X, pero que η no tiene por qué ser
necesariamente una distancia. [I]
P.1.5 Sea X un conjunto y f : X −→ R una aplicación inyectiva. Demuestre
que la aplicación d(x, y) = |f(x) − f(y)| es una distancia sobre X. [I]
P.1.6 Sea f : R −→ R una función estrictamente creciente. Demuestre que
d(x, y) = |f(x) − f(y)| es una distancia sobre R. [I] [R]
P.1.7 Considere el conjunto C([0, 1]) de las funciones reales continuas en el
intervalo [0, 1]. Sean f(x) = x(1 − x) y g(x) = x. Calcule d∞(f, g) y
d(f, g) según las definiciones de los Ejemplos Ej.1.6. y Ej.1.7.. [I]

50 1.1. Distancias
1.1.1. Subespacio métrico
El siguiente resultado nos permite definir un subespacio métrico, simplemente
como un subconjunto A ⊂ X y la distancia d restringida a A.
Proposición 1.1.5. Sea (X, d) un espacio métrico y sea A ⊂ X un subconjunto
de X. Sea la función dA : A × A −→ R definida por dA(x, y) = d(x, y), para
cada x, y ∈ A. Entonces dA es una distancia sobre A, que se denomina distancia
inducida por d. El par (A, dA) se dice que es un subespacio métrico de X.
La demostración se reduce a una mera comprobación que puede realizar, sin difi-
cultad, como ejercicio.
Está claro que cualquier subespacio métrico, considerado de forma aislada es un
espacio métrico y, por supuesto, todo espacio métrico es un subespacio de s´ı mis-
mo. Esta es una nueva forma de construir nuevos espacios métricos, a partir de
otros conocidos.
Señalaremos que, si A ⊂ Rn, cuando se hable de A como de un espacio métrico,
supondremos que su distancia es la distancia inducida por la distancia eucl´ıdea de
Rn, salvo que se diga lo contrario.
Veamos algunos ejemplos de subespacios para afianzar este concepto.
Ejemplos
Ej.1.10. [0, 1] con la distancia inducida por el valor absoluto es un subespacio
métrico de R.
Ej.1.11. El conjunto C([a, b], R) de las funciones reales continuas en [a, b], con la
distancia inducida por d∞, es subespacio métrico del conjunto A([a, b], R)
de las funciones acotadas en dicho intervalo.
Ej.1.12. El espacio co de las sucesiones reales con l´ımite 0 es un subespacio
métrico del espacio de las sucesiones acotadas ∞, con la distancia del
supremo.
Ej.1.13. Veamos las distancias que se inducen en algunos conjuntos. Podemos
identificar desde el punto de vista conjuntista, la recta real R y el subcon-
junto de R2, definido como R × {0} = {(x, 0) : x ∈ R}, mediante la
aplicación x → (x, 0). Es evidente que se trata de una biyección ¿verdad?.
Nos podemos plantear la cuestión siguiente. ¿Qué relación hay entre la dis-
tancia eucl´ıdea, d2 y la distancia del valor absoluto en R?; veámoslo.
Si calculamos la distancia entre dos puntos de (x, 0), (y, 0) ∈ R × {0},
tenemos
d2((x, 0), (y, 0)) = (x − y)2 = |x − y| = d(x, y), (1.3)

y esta última es la distancia usual de R. Esto significa que, en cierto modo
podemos considerar la recta real como un subespacio métrico del plano R2.
Observe que ocurre lo mismo con las distancias d1 y d∞; compruébelo tal
y como se le sugiere en el Problema P.1.8.
Podemos practicar un poco más, de nuevo por nuestra cuenta.
P.1.8 Estudie las distancias que, sobre R, inducen d1 y d∞ consideradas sobre
R2. ¿Y si considera las distancias d1, d2 y d∞ sobre Rn e intenta calcular
las que inducen, respectivamente, sobre Rn−k, con 1 < k < n?
P.1.9 Sea A ⊂ R2 definido como A = {(x, y) ∈ R2 : y = x2}. Calcule
expl´ıcitamente las distancias inducidas sobre A por d1, d2 y d∞.
1.2. Distancia a un conjunto
Nos planteamos ahora la posibilidad de medir distancias entre un punto y un con-
junto, o entre dos conjuntos, a partir de la distancia definida en un espacio métrico.
Parece que de forma intuitiva podr´ıamos pensar, por ejemplo, que la distancia en-
tre un punto y un conjunto, ser´ıa la distancia entre tal punto y el punto del conjunto
más cercano a aquel. Esto no es tan sencillo como puede parecer a primera vista.
Veamos en esta sección algunas de las cosas que podemos saber sobre estas ideas.
Definición 1.2.1. Sea (X, d) un espacio métrico, A ⊂ X un subconjunto de X y
x0 un punto de X. La distancia de x0 al subconjunto A se define como
d(x0, A) = ´ınf{d(x0, x) : x ∈ A}.
Recordemos que el ´ınfimo de un conjunto de números reales acotado inferior-
mente siempre existe, de modo que la definición es buena.
Definición 1.2.2. Sean A y B dos subconjuntos de X. La distancia del subcon-
junto A al subconjunto B se define como
d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.
Observemos que si a ∈ A, entonces d(a, A) = 0 o si A ∩ B = ∅, d(A, B) = 0,
pero sin embargo ...

52 1.2. Distancia a un conjunto
Ejemplos
Ej.1.14. Consideremos los conjuntos A = (0, 1) y B = (1, 2), en R con la
distancia usual, tenemos que
1. d(0, A) = 0 y, sin embargo 0 /∈ A; y
2. d(A, B) = 0 y A ∩ B = ∅.
En efecto, el primer caso, supongamos que d(0, A) = ε > 0, es claro que
ε < 1; entonces existe un número real entre 0 y ε, por ejemplo, ε/2, por lo
que ε no ser´ıa el ´ınfimo.
Respecto al segundo caso, si suponemos que d(A, B) = ε > 0 (también ha
de ser ε < 1), tenemos que 1 − ε/3 ∈ A y 1 + ε/3 ∈ B y
d(1 − ε/3, 1 + 3ε) = |1 − ε/3 − (1 + 3ε)| = 2ε/3 < ε,
en contra de que ε es el ´ınfimo.
Ej.1.15. Si d es la métrica discreta sobre X, x ∈ X y A, B ⊂ X. Entonces si
x ∈ A, d(x, A) = 0; por el contrario, si x /∈ A, entonces d(x, y) = 1 para
todo y ∈ A y, en consecuencia, d(x, A) = 1. En resumen:
d(x, A) =
1 si x /∈ A
0 si x ∈ A
Veamos qué pasa con la distancia entre dos conjuntos A, B ⊂ X. Tenemos
que d(A, B) = ´ınf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}; entonces si existe x ∈ A∩B,
d(A, B) = d(x, x) = 0; pero si A∩B = ∅ entonces d(x, y) = 1 para todo
x ∈ A y todo y ∈ B, con lo que d(A, B) = 1. Por tanto:
d(A, B) =
1 si A ∩ B = ∅
0 si A ∩ B = ∅
Ej.1.16. En (R2, d2) consideremos los subconjuntos
A = {(x, y) ∈ R2
: x2
+ y2
≤ 1}
B = {(x, y) ∈ R2
: x + y = 2}.
Vamos a calcular la distancia d(A, B). La Figura 1.4 siguiente ayuda a vi-
sualizar que la distancia que queremos calcular es la diferencia entre la
longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que es
√
2, y el radio del
c´ırculo A que es 1, por tanto, la distancia buscada es d(A, B) =
√
2 − 1.

Figura 1.4 – La distancia d(A, B) es
√
2.
Proposición 1.2.3. Si (X, d) es un espacio métrico y dos subconjuntos A, B ⊂ X,
se verifican:
(a) d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A), para todo x, y ∈ X
(b) |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), para todo x, y ∈ Xy
(c) d(A, B) ≤ d(x, A) + d(x, B), para todo x ∈ X
DEMOSTRACI ÓN. Para demostrar la desigualdad (a), tenemos que, si x ∈ X,
para todo a ∈ A, entonces d(x, A) ≤ d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a); y como esto es
para todo a ∈ A, la desigualdad (a) se cumple.
Respecto a la desigualdad (b), si en la desigualdad (a) intercambiamos los papeles
de x e y, tenemos la desigualdad d(y, A) ≤ d(x, y)+d(x, A) de donde se deduce
que −d(x, y) ≤ d(x, A) − d(y, A); mientras que de la desigualdad (a) de forma
directa, se obtiene d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y) y combinando estas dos últimas
desigualdades obtenemos la buscada.
Por último, para ver la desigualdad (c), si alguno de los dos conjuntos A o B es no
vac´ıo, el resultado es evidente. Supongamos, entonces que A y B son no vac´ıos.
Sea ahora ε > 0, y A ∈ A de manera que d(x, a) ≤ d(x, A) + ε/2 y b ∈ B tal
que d(x, b) ≤ d(x, B) + ε/2. Entonces
d(A, B) ≤ d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) ≤ d(x, A) + d(x, B) + ε,
como esto se puede hacer para todo ε > 0, deducimos la desigualdad buscada.
Un último concepto para terminar esta sección.

54 1.2. Distancia a un conjunto
Definición 1.2.4. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X un subconjunto acota-
do. El diámetro de A, representado por diam(A) = δ(A), se define como
diam(A) = δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.
Ejemplos
Ej.1.17. Los diámetros de los subconjuntos [1, 2], [1, 2) y {0} ∪ [1, 2) de R con
la distancia usual son, respectivamente, 1, 1 y 2.
En efecto, en el caso de [1, 2] no hay nada que probar pues 1 es precisa-
mente, la longitud del intervalo. En el caso del intervalo [1, 2), supongamos
que δ([1, 2)) = r < 1, entonces 1 + r ∈ [1, 2), y existe ε > 0 tal que
1 + r + ε ∈ [1, 2) con lo que
d(1, 1 + r + ε) = |1 + r + ε − 1| = r + ε > r,
en contra de que δ([1, 2)) = r. De forma similar se prueba el último caso.
Inténtelo como ejercicio.
Ej.1.18. Consideremos el subconjunto A = [0, 1] × [0, 1] de R2, es decir, el
cuadrado unidad, y veamos su diámetro para cada una de las distancias d1,
d2 y d∞ (es conveniente que repase el Ejemplo Ej.1.3.).
Figura 1.5 – Diámetro del cuadrado unidad para d1, d2 y d∞.
En el caso de d1 el diámetro es
diam1(A) = δ1(A) = 2,
pues se trata del máximo del las sumas de los valores absolutos de las di-
ferencias entre las coordenadas, a saber, la suma de dos lados del cuadrado.
En el caso d2 es la mayor distancia entre dos puntos del cuadrado, es decir
la longitud de la diagonal
diam2(A) = δ2(A) =
√
2.

Por último, en el caso d∞, se trata del mayor valor absoluto de la diferencia
entre coordenadas, es decir la longitud de uno de los lados
diam∞(A) = δ∞(A) = 1.
Vea para cada caso, la Figura 1.5; y además, observe que el diámetro de un
conjunto, como era de esperar, depende de la distancia.
De nuevo podemos practicar de forma que profundicemos un poco.
P.1.10 Consideremos R con la distancia usual d(x, y) = |x − y| y el conjun-
to A = (1, 2] ⊂ R. Responda las siguientes cuestiones justificando las
respuestas:
1. ¿Cuánto vale d(3
2, A)? 0, −1
2 o 1
2.
2. ¿Cuánto vale d(1, A)? 1
2, 0 o 1
4
3. ¿Cuánto vale d(0, A)? 1, 1
2 o 0
P.1.11 Si (X, d) es un espacio métrico y A, B ⊂ X no vac´ıos, demuestre que
d(A, B) = ´ınf{d(y, A) : y ∈ B} = ´ınf{d(x, B) : x ∈ A}.
P.1.12 Considere R con la distancia usual y A = {1/n + (−1)n : n ∈ N}.
Calcule d(1, A) y d(−1, A). [I]
P.1.13 Sea (X, d) un espacio métrico. En el Problema P.1.4 hemos visto que la
aplicación ρ : X × X −→ R definida por ρ(x, y) = m´ın{1, d(x, y)}, es
una distancia. Considere el espacio (R2, ρ) con ρ(x, y) = m´ın{1, d2(x, y)}
y el conjunto
A = {(x, y) ∈ R2
: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Halle los puntos de R2 que verifican d(x, A) = 1.
P.1.14 Sea (R2, d2) y A = {(x, y) ∈ R2 : x + y < 1, x > 0, y > 0}. Calcule
el diámetro de A.

56 1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio métrico
1.3. Topolog´ıa asociada a un espacio métrico
A continuación vamos a estudiar los subconjuntos, quizás más importantes, de un
espacio métrico: las bolas. Se trata de una generalización del concepto conocido
de intervalo abierto centrado en un punto de R.
Definición 1.3.1. Sea (X, d) un espacio métrico, a ∈ X un punto y r > 0 un
número real. La bola abierta en X con centro en a y de radio r es el conjunto
B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r}.
Al conjunto
B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r},
se le llama bola cerrada. Si se necesita especificar con qué distancia se está tra-
bajando, se representará por Bd(a, r).
Las bolas juegan un papel muy importante a lo largo del desarrollo del presente
curso, de modo que vamos a detenernos en estudiar algunas de ellas.
Ejemplos
Ej.1.19. En (R, | |) la bola abierta de centro a y radio r > 0 es el intervalo abierto
de extremos a − r y a + r:
B(a, r) = {x ∈ R : |x − a| < r} = (a − r, a + r)
Ej.1.20. Este ejemplo justifica el nombre de bola. En (R2, d2) tenemos que
B(a, r) = {(x, y) ∈ R2
: (x − a)2
+ (y − b)2
< r2
},
que es el interior del c´ırculo (es decir sin la circunferencia) de radio r cen-
trado en el punto (a, b).
Figura 1.6 – Bola abierta para la distancia d2.

En el espacio tridimensional (R3, d2) se tiene
B(a, r) = {(x, y, z) ∈ R3
: (x − a)2
+ (y − b)2
+ (z − c)2
< r2
}
que es el interior de la bola sólida (sin la esfera) de radio r centrada en
a = (a, b, c).
Ej.1.21. Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes
y no tener la apariencia de una esfera, como se muestra en los siguientes
casos. En (R2, d∞) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado de centro 0 y
de lados paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud 2r. En este caso
la bola es
B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2
: d∞((0, 0), (x, y)) < r},
es decir, los puntos del plano que verifican máx{|x|, |y|} < r. Por tanto ha
de cumplirse que |x| < r e |y| < r; en definitiva, las coordenadas x e y han
de estar en el intervalo (−r, r), de modo que la bola será
B((0, 0), r) = (−r, r) × (−r, r).
De la misma forma se obtiene que para cualquier punto (a, b) ∈ R2 (véase
la Figura 1.7),
B((a, b), r) = (a − r, a + r) × (b − r, b + r).
Figura 1.7 – Las bolas métricas en las distancias d∞ y d1.
Ej.1.22. En (R2, d1) la bola B(0, r) es el interior del cuadrado centrado en el pun-
to (0, 0) y con vértices en los puntos (0, r), (0, −r), (r, 0), (−r, 0). Ahora
tenemos
B((0, 0), r) = {(x, y) ∈ R2
: d1((0, 0), (x, y)) < r},
es decir, los puntos del plano que verifican |x| + |y| < r. Si suponemos
que x, y ≥ 0 se debe cumplir x + y < r, es decir, se trata de los puntos

del plano cuyas coordenadas son no negativas y verifican y < r − x; en
definitiva, los puntos del primer cuadrante que están por debajo de la recta
y = r − x. Razonando de la misma manera sobre los posibles signos de
las coordenadas se obtiene el cuadrado a que nos refer´ıamos antes (véase la
Figura 1.7).
Ej.1.23. Sea un espacio métrico discreto (X, dD). La bola B(a, r) es el conjunto
B(a, r) =
{a} si r ≤ 1
X si r > 1
Ej.1.24. Sea H = [0, 1] ⊂ R con la distancia dH inducida por la distancia d de R.
Entonces en R con la distancia usual la bola Bd(1, 1) es el intervalo (0, 2)
mientras que, para la distancia inducida en H, BdH
(1, 1) es el intervalo
(0, 1], que es precisamente (0, 2) ∩ [0, 1].
Ej.1.25. Sea una función f0 ∈ (C([0, 1], R), d∞). La bola B(f0, r) es el conjunto
B(f0, r) = {f ∈ (C([0, 1], R) : sup{|f0(x) − f(x)| ≤ r : x ∈ [0, 1]}
de todas las funciones continuas f en [0, 1] cuya gráfica se encuentra entre
las gráficas de las funciones f0 − r y f0 + r (véase la Figura 1.8).
Figura 1.8 – Las bolas métricas en la distancia d∞ sobre C([0, 1], R).
Otra vez, puede ser un buen momento para pensar por su cuenta.
P.1.15 Definimos la aplicación d : R2 × R2 −→ R como sigue:
d[(x1, x2), (y1, y2)] =
|x2 − y2| si x1 = y1
|x2| + |x1 − y1| + |y2| si x1 = y1

Pruebe que d es una distancia sobre R2. Determine y represente gráfica-
mente las bolas B((0, 0), 1), B((1, 0), 1), B((0, 1), 1) y B((2, 3), 1). [R]
P.1.16 Se define la parte entera de un número real x ∈ R como [x] = el mayor
número entero menor o igual que x. Sea la aplicación ρ : R × R −→ R
definida como
ρ(x, y) = |[x] − [y]| + |(x − [x]) − (y − [y])|.
(a) Pruebe que ρ es una distancia en R.
(b) Estudie cómo son las bolas Bρ(0, 1) y Bρ(3
2, 1) ¿Cómo son las bolas
abiertas?
(c) Pruebe que ρ y la distancia d(x) = |x−y| inducen la misma distancia
en el conjunto Z de los números enteros.
P.1.17 Pruebe que la aplicación definida como
d(x, y) = máx{|x1 − x2|, dD(y1, y2)}, con x = (x1, y1), y = (x2, y2),
es una distancia en R2. Determine cómo son las bolas. [R]
P.1.18 Sea d : R × R −→ R definida por
d(x, y) =
2|x − y|
1 + 3|x − y|
.
Compruebe que es una distancia y determine la bola Bd(0, r). [I]
P.1.19 Sea d : R × R −→ R la distancia definida por
d(x, y) =
0 si x = y
dD(x, 0) + dD(0, y) si x = y
siendo dD la distancia discreta. Determine anal´ıtica y geométricamente las
bolas Bd(x, r). [I]
P.1.20 Sea C([0, 2π]) con la distancia del supremo. Describa anal´ıtica y gráfica-
mente cómo son las bolas de radio 1 y centro en las funciones f(x) = sen x
y g(x) = 2 + cos x, respectivamente.

1.3.1. Conjuntos abiertos
Definición 1.3.2. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X. Diremos que A es un
conjunto abierto, si para cada punto a ∈ A, existe una bola B(a, ra) contenida
en A. Entenderemos que ∅ es abierto.
Proposición 1.3.3. En un espacio métrico, cada bola abierta es un conjunto
abierto.
DEMOSTRACI ÓN. Sea la bola abierta B(a, r) y veamos que si x ∈ B(a, r), existe
δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ B(a, r). En efecto, tomemos δ = r − d(x, a) > 0, y
comprobemos que si y ∈ B(x, δ), entonces y ∈ B(a, r).
Tenemos que d(x, y) < δ y según la desigualdad triangular
d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + δ = r,
lo que significa que y ∈ B(a, r) y por tanto que B(x, δ) ⊂ B(a, r) (véase la
Figura 1.9).
Figura 1.9 – Las bolas abiertas, son conjuntos abiertos.
Teorema 1.3.4 (Propiedad de Hausdorff). Sea (X, d) un espacio métrico y dos
puntos distintos x, y ∈ X. Entonces existen rx, ry > 0 tales que
B(x, rx) ∩ B(y, ry) = ∅.
DEMOSTRACI ÓN. Sea r = d(x, y), entonces las bolas B(x, r/2) y B(y, r/2)
abiertas, tienen intersección vac´ıa. En efecto, veamos que ningún punto de la
primera puede estar en la segunda.
Si z ∈ B(x, r/2), entonces, por la desigualdad triangular
d(z, y) ≥ d(x, y) − d(z, x) = r − d(z, x) > r − r/2 = r/2,
con lo que z /∈ B(y, r/2). Para la otra bola se hace de la misma forma.
Lema 1.3.5. La intersección de dos bolas abiertas en un espacio métrico (X, d),
es un abierto.

DEMOSTRACI ÓN. Si la intersección de ambas bolas es vac´ıa, no hay nada que
probar. Supongamos entonces que x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y veamos que tal inter-
sección es un entorno de x. Se cumple que d(x, a) < r y d(x, b) < s; tomemos
δ < m´ın{r−d(x, a), s−d(x, b)} y comprobemos que B(x, δ) ⊂ B(a, r)∩B(b, s)
(véase la Figura 1.10). En efecto, si y ∈ B(x, δ), entonces
d(y, a) ≤ d(y, x) + d(x, a) < δ + d(x, a) < r − d(x, a) + d(x, a) = r,
y por tanto y ∈ B(x, a). De la misma forma se prueba que B(x, δ) ⊂ B(b, s).
Con esto hemos probado que la intersección de las dos bolas contiene una bola
centrada en cada uno de sus puntos y, por lo tanto es un abierto.
Figura 1.10 – La intersección de bolas abiertas es abierto.
El siguiente resultado es de gran trascendencia.
Teorema 1.3.6. Sea (X, d) un espacio métrico. Entonces se cumplen las propiedades
siguientes:
(a) X y ∅ son abiertos.
(b) La unión de una familia cualquiera de conjuntos abiertos, es abierto.
(c) La intersección de una colección finita de conjuntos abiertos, también es
abierto.
DEMOSTRACI ÓN. -
(a) No hay nada que probar.
(b) Sea {Ai}i∈I una familia cualquiera de subconjuntos abiertos del espacio X; si
x ∈ ∪i∈IAi, entonces x ∈ Ai0 para algún i0 ∈ I. Como Ai0∈I es abierto, existe
r0 > 0 tal que B(x, r0) ⊂ Ai0 ⊂ ∪i∈IAi y por tanto este último conjunto es
abierto puesto que contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos.
(c) Si la intersección es vac´ıa no hay nada que probar. Supongamos entonces, que
A1 y A2 son dos conjuntos abiertos cuya intersección es no vac´ıa. Si x ∈ A1 ∩A2,
existen r1, r2 > 0 de modo B(x, r1) ⊂ A1 y B(x, r2) ⊂ A2; entonces según el

Lema 1.3.5, hay una bola centrada en x contenida en la intersección de ambas
bolas, lo que implica que dicha bola también está en A1 ∩ A2 y que este último
conjunto es abierto. Mediante un sencillo proceso de inducción se prueba que la
intersección de cualquier familia finita de abiertos es un abierto.
A la familia de todos los conjuntos abiertos de un espacio métrico (X, d) se le
llama topolog´ıa asociada a la distancia d y la designaremos mediante Td, o sim-
plemente T si no hay ambigüedad respecto de la distancia. Como era de esperar,
teniendo en cuenta el nombre de la asignatura, estas familias serán las protago-
nistas de nuestro estudio.
En general, si tenemos un conjunto X, a cualquier familia de subconjuntos de X
que verifica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 se le llama topolog´ıa sobre X.
En este curso, nos limitaremos a estudiar topolog´ıas asociadas a espacios métricos
aunque hay espacios topológicos que no son métricos, como se muestra en el
Ejemplo Ej.1.26.
Ejemplos
Ej.1.26. Si X es un conjunto con más de un punto, la familia formada por el con-
junto vac´ıo y el propio X es una topolog´ıa TI = {∅, X} sobre X, pues veri-
fica las tres condiciones del Teorema 1.3.6 fácilmente y no proviene de una
distancia pues no verifica la Propiedad de Hausdorff 1.3.4. Esta topolog´ıa
se llama topolog´ıa gruesa o indiscreta.
Ej.1.27. Cualquier intervalo abierto de la recta real, acotado o no acotado, es un
subconjunto abierto con la distancia usual. También lo son las uniones de
intervalos abiertos. Sin embargo, los intervalos [a, b], [a, b) y (a, b] no lo
son. Realice, como ejercicio, los detalles.
Ej.1.28. Un conjunto abierto no tiene por qué ser una bola abierta. As´ı, el sub-
conjunto de R2:
A = {(x, y) ∈ R2
: |x| < 1, |y| < 2}
no es una bola abierta de R2 para la distancia eucl´ıdea y, sin embargo, s´ı es
un subconjunto abierto. Se ve fácilmente que el conjunto A es el rectángulo
abierto (sin “bordes”) (−1, 1) × (−2, 2) (véase la Figura 1.11 (a)). Para
ver que es abierto, comprobemos que contiene una bola, de radio adecuado,
centrada en cada uno de sus puntos. Sea (a, b) ∈ A , es decir a ∈ (−1, 1) y
b ∈ (−2, 2); si tomamos r < {1−|a|, 2−|b|} se tiene que B((a, b), r) ⊂ A.
En efecto, si (x, y) ∈ B((a, b), r) se tiene (x − a)2 + (y − b)2 < r2, de

(a) (b)
Figura 1.11 – No todo conjunto abierto es una bola.
donde se deduce que |x − a| < r < 1 − |a| y, por tanto,
−1 + |a| + a < x < 1 − |a| + a,
de modo que si |a| = a (a ≥ 0) queda −1 + 2a < x < 1 y x ∈ (−1, 1); y
si |a| = −a (a < 0) queda −1 < x < 1 + 2a, y también es x ∈ (−1, 1).
De forma similar se comprueba que y ∈ (−2, 2).
Por el contrario, el conjunto siguiente no es abierto
B = {(x, y) ∈ R2
: |x| < 1, |y| ≤ 2}.
Ahora B es el rectángulo (−1, 1)×[−2, 2]. Para comprobar que no es abier-
to basta con encontrar un punto de B tal que cualquier bola con centro en
ese punto tenga puntos fuera de B. Tomemos el punto (0, 2); entonces para
todo r > 0 el punto (0, 2 + r/2) /∈ B y, sin embargo, está en la bola
B((0, 2), r) (véase la Figura 1.11 (b)).
Ej.1.29. Sea (X, TD) un espacio métrico discreto (TD es la topolog´ıa inducida
por la distancia discreta). Entonces cualquier subconjunto es abierto como
se deduce del Ejemplo Ej.1.23..
Ej.1.30. La intersección arbitraria de abiertos no es, en general, un abierto. Más
aún, la intersección no finita de bolas concéntricas, no es, necesariamente

una bola. Si consideramos la familia de abiertos {(− 1
n, 1
n ) : n ∈ N} en
(R, | |), su intersección es
∞
n=1
−
1
n
,
1
n
= {0},
que no es abierto (por cierto ¿sabr´ıa demostrar que la intersección anterior
es, precisamente {0}?).
Ej.1.31. La condición de ser abierto depende naturalmente de la distancia y del
espacio total. (a) El subconjunto {0} ⊂ R es abierto para la distancia dis-
creta, pero no lo es para la distancia eucl´ıdea.
Proposición 1.3.7. En un espacio métrico (X, d), un conjunto es abierto si, y sólo
si, se puede expresar como unión de bolas abiertas.
DEMOSTRACI ÓN. “⇒” Si A ⊂ X es un abierto, para cada x ∈ A, existe rx > 0
tal que B(x, rx) ⊂ A, de modo que ∪x∈AB(x, rx) ⊂ A, pero como cada punto
de A está en una de estas bolas, también se cumple A ⊂ ∪x∈AB(x, rx), con lo
que A es unión de bolas abiertas. El rec´ıproco es evidente.
1.3.2. Abiertos en subespacios
Vamos a ver ahora cómo son los abiertos en los subespacios. Evidentemente, con-
siderados como espacios métricos en s´ı mismos, los abiertos tienen las propiedades
descritas en la sección anterior. Pero nos planteamos estudiar su relación con los
abiertos del espacio total.
Proposición 1.3.8. Sea (X, d) un espacio métrico y un subconjunto H ⊂ X.
(a) Las bolas abiertas del subespacio métrico (H, dH) son la intersección de
bolas abiertas en el espacio total, con el subconjunto; es decir,
BdH
(a, r) = Bd(a, r) ∩ H.
(b) Un subconjunto de H es abierto en (H, dH) si, y sólo si, es intersección de
un abierto en X con H.
DEMOSTRACI ÓN. -
(a) Efectivamente, observemos
BdH
(a, r) ={x ∈ H : dH(x, a) = d(x, a) < r} =
{x ∈ X : d(x, a) < r} ∩ H = Bd(x, r) ∩ H.
(1.4)

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