Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Mates codificacio criptografia_compressio

2,039 views

Published on

Resum i formules de l'assignatura de Mates II de la UOC

Published in: Education
  • Be the first to comment

Mates codificacio criptografia_compressio

  1. 1. CODIFICACIÓNIFEl número d’identificació fiscal, NIF, consta de vuit dígits numèrics i una lletra.Aquesta última lletra és la redundància que s’afegeix a aquest número per a detectarerrors en escriure el NIF. El càlcul de la lletra es fa de la següent forma: - Es fa la divisió sencera (sense decimals) del número del NIF entre 23 - La resta de la divisió serà un nombre comprès entre 0 i 22. Llavors s’associa una lletra a cada una d’aquestes 23 diferents possibilitats, seguint la taula. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 T R W A G M Y F P D X B N J Z S Q V H L C K E Exemple: Calculem quina és la lletra del NIF associada al nombre 35.059.123 Per això dividim aquest nombre entre 23 La resta és 16. Així que, seguint la taula, li correspon la lletra Q
  2. 2. EAN-13 – CODI DE BARRES - Les dues primeres xifres indiquen el país d’origen del producte - Els cinc següents indiquen el productor - Els cinc següents indiquen el nombre del producte assignat pel mateix productor - L’últim dígit és un dígit de control que conté prou redundància per a detectar els error.Per a calcular l’últim dígit:Suposem que els tretze dígits són: ABCDEFGHIJKLMFem l’operació següent:A + 3·B + C + 3·D + E + 3·F + G + 3·H + I + 3·J + K + 3·LEl dígit de control M, serà el resultat de la diferència de 10 i el resultant de l’últimaxifra de l’operació anterior. En cas que el resultat d’aquesta operació sigui unmúltiple de 10, el dígit de control serà un 0. Exemple 1: Tenim el codi de barres següent: 2001234567893. Hem de comprovar si el dígit és correcte: 2 + 3.0 + 0 + 3.1 + 2 + 3.3 + 4 + 3.5 + 6 + 3.7 + 8 + 3.9 2 + 0 + 0 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 + 6 +21 + 8 + 27 = 97 L’última xifra és 7 i 10-7=3. Per tant el dígit de control és 3.Exemple 2: Tenim el codi de barres següent: 028947564562__. Hem de calcular el dígit: 0 + 3 · 2 + 8 + 3 · 9 + 4 + 3 · 7 + 5 + 3 · 6 + 4 + 3 · 5 + 6 + 3 · 2 = 120 El resultat obtingut és múltiple de 10, el dígit de control serà un 0.
  3. 3. CODIS LINEALSFÒRMULA PER A SABER ELS DÍGITS QUE NECESSITEM PER A CODIFICARUNA PARAULAExemple: Per a 256 tons de grisos necessitem log256 / log2 = 8DISTÀNCIA DE HAMMINGÉs la distància entre dues paraules.Exemple: entre 1101 i 0101, la distància de Hamming és 1 i entre 00110 i 11001 és 5.DISTÀNCIA MÍNIMAEs comparen les paraules i es cerquen les distàncies de Hamming. Desprès esselecciona el més petit que no sigui 0. En el exemple, la distància mínima és 3. 000000 101010 010110 101101 000000 0 101010 3 0 010110 3 4 0 101101 4 3 5 0SABER QUANS D’ERRORS ES PODEN DETECTARAplicarem la fórmula D-1.En l’exemple anterior és 3-1 = 2. Això significa que podem detectar 2 errors.PER A SABER QUANS D’ERRORS ES PODEN CORREGIRAplicarem la fórmulaEn l’exemple anterior tindríem que 3-1/2=1. Per tant, podríem corregir 1 error.
  4. 4. SUMA I PRODUCTE DE NOMBRES DE TIPUS Z2 Suma dels nombres de tipus Z2: Multiplicació dels nombres de tipus Z2: Suma: + 0 1 Producte: . 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1SUMA DE MATRIUSPer ha poder sumar matrius, han de tenir el mateix nombre de files i els mateixnombre de columnes. El resultat serà una altra matriu, que s’obtindrà sumant elementa element.MULTIPLICACIÓ DE MATRIUSLa matriu de l’esquerra ha de tenir tantes columnes com files la matriu de la dreta.Obtindrem una matriu amb tantes files com la matriu de l’esquerra i tantes columnescom la matriu de la dreta.
  5. 5. MATRIU GENERADORA DE CODIServeix per a codificar paraules.Per exemple: Si volem codificar una paraula de 7 lletres necessitarem un codi de 3números (log7/log2=2,80). 1- La nostra matriu generadora haurà de tenir 3 files i 7 columnes 2- No pot haver cap fila repetida ni ninguna fila que s’obtingui amb la suma de dos o més files. 3- Multiplicarem el codi per la matriu generadora per a obtenir el codi lineal.Si tenim la matriu generadorai la paraula (0 1 0) obtindríem el codi lineal (0 1 0 1 1 0 1)
  6. 6. MATRIU DE COMPROVACIÓ DE PARITATServeix tant per a detectar com per a corregir errors.Per a saber si una paraula pertany al codi haurem de multiplicar-la per la matriu H. Sidóna tot 0 és que la paraula pertany al codi.Exemple: Si el receptor llegeix la paraula (0 1 0 1 1 0 1) i tenim la matriu H següent:Si no dóna 0 és que hi ha un error en el codi. Cercarem la columna de la matriu deparitat que coincideixi amb el resultat.En aquest exemple coincideix amb la tercera columna. Per tant, l’error s’ha produït enel tercer dígit. Així, el tercer dígit era 1 i ha de ser 0.
  7. 7. CRIPTOGRAFIA DE CLAU PRIVADALa Criptografia pot ser: - Criptologia – Transmissió de missatges de forma indesxifrable per a tothom aliè a la comunicació. - Criptoanàlisi – Intenta desencriptar els missatges encriptats.La clau privada es caracteritza per l’ús d’una clau secreta acordada entre emissor ireceptor. Són també de clau simètrica perquè s’utilitza el mateix procés per encriptarque per desencriptar.ENCRIPTACIÓ DE CÈSARTenim les 27 lletres de l’abecedari.Si, per exemple, k = 2, el caràcter H és el caràcter J, i el caràcter O és el caràcter Q. Perencriptar amb la clau secreta k = 2, HOLA = JQNCA B C D E F G H I J K LM N Ñ O P Q R S T U V WX Y ZPer a desencriptar el missatge només caldria restar k al missatge encriptat. En elexemple hauríem de restar -2.ENCRIPTACIÓ DE VIGENÈREModificació del mètode Cèsar per evitar l’atac estadístic. Es fa de la següent manera: - Es divideix el missatge en blocs amb la mateixa longitud prèviament acordada - La clau privada està formada per la longitud del bloc i per les claus acordades - Per exemple, si dividim el missatge en blocs de 4 caràcters, necessitarem quatre claus privades.Si volem encriptar la paraula MULTIMEDIA amb el mètode de Vigenère, longitud 3 iclaus k1=1, k2=5 i k3=3 Paraula M U L T I M E D I A Substitució 12 21 11 20 8 12 4 3 8 0 Clau=k 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 Substitució 13 26 14 21 13 15 5 8 11 1 Encriptada N Z Ñ U N 0 F I L BPer a desencriptar, simplement cal fer els mateixos càlculs, però en lloc de sumar laclau, s’ha de restar.
  8. 8. ENCRIPTACIÓ DE VERNAMCada caràcter del missatge es codifica segons la taula de caràcters ASCII per unacadena de 8 bits. Es fa de la següent manera: 1. Es codifica la lletra segons la taula ASCII 2. Es suma la clau privada que ha de ser tan llarga en bits com la longitud del missatge en bits 3. El codi resultant es substitueix segons la taula ASCIIExemple: Missatge= HOLAClau= 01001010000110101010110101101011Missatge H O L AASCII 01001000 01001111 01001100 01000001Clau 01001010 00011010 10101101 01101011Encriptat 00000010 01010101 11100001 00101010Per a desencriptar el missatge simplement cal restar la clau secreta al missatgeencriptat.ATAC ESTADÍSTICPer a desencriptar un Cèsar només cal anar provant les possibles claus fins que elmissatge tingui sentit.Els criptosistemes per substitució no és tant fàcil trencar-los. Amb aquest mètode,cada lletra se substitueix per un altre símbol. Però es pot trencar amb l’atac estadístic.Es basa en el fet que el símbol encriptat que més es repeteix correspondrà seguramenta la lletra més freqüent en la llengua original. Es pot fer amb el Word: 1. Calcular les freqüències que surten les lletres en el text sense encriptar (Inici/cerca/cercar lletra per lletra) 2. Calcular les freqüències dels símbols del text encriptat 3. Entre el text encriptat i el text sense encriptar es previsible que no es produeixin gaires desviacions de freqüències. 4. Quan ja tinguem paraules mitges completes podem conèixer els símbols que ens queden.
  9. 9. Taula de caràcters ASCIIDecimal ASCII Binari Decimal ASCII Binari32 blanc 00100000 90 Z 0101101033 ! 00100001 91 [ 0101101134 " 00100010 92 / 0101110035 # 00100011 93 ] 0101110136 $ 00100100 94 ^ 0101111037 % 00100101 95 _ 0101111138 & 00100110 96 0110000040 ( 00101000 97 a 0110000141 ) 00101001 98 b 0110001042 * 00101010 99 c 0110001144 , 00101100 100 d 0110010045 - 00101101 101 e 0110010146 . 00101110 102 f 0110011065 A 01000001 103 g 0110011166 B 01000010 104 h 0110100067 C 01000011 105 i 0110100168 D 01000100 106 j 0110101069 E 01000101 107 k 0110101170 F 01000110 108 l 0110110071 G 01000111 109 m 0110110172 II 01001000 110 n 0110111073 I 01001001 111 o 0110111174 J 01001010 112 p 0111000075 K 01001011 113 q 0111000176 L 01001100 114 r 0111001077 M 01001101 115 s 0111001178 N 01001110 116 t 0111010079 O 01001111 117 u 0111010180 P 01010000 118 v 0111011081 Q 01010001 119 w 0111011182 R 01010010 120 x 0111100083 S 01010011 121 y 0111100184 T 01010100 122 z 0111101085 U 01010101 123 { 0111101186 V 01010110 124 | 0111110087 W 01010111 125 } 0111110188 X 01011000 126 ~ 0111111089 Y 01011001
  10. 10. COMPRESSIÓMÈTODE DE HUFFMANMètode de compressió sense pèrdua d’informacióSi tenim, per exemple, una cadena de caràcters, s’ha de contar la freqüència amb laque apareix el caràcter i la seva probabilitat.Per exemple, la paraula FISICAS. Tenim 7 lletres, la I apareix dues vegades, per tant, laprobabilitat és de 2/7. Començaríem a reomplir el quadre: Caràcter F I S C A Freqüència 1 2 2 1 1 Probabilitat 1/7 2/7 2/7 1/7 1/7Ordenem les lletres segons la probabilitat i comencem a construir l’arbre de Huffman.En el peu hi posarem les que tenen menys probabilitat. Si l’arbre dóna 1, seràcorrecte.A cada branca li donem un número. Les branques dretes l’1 i les esquerres el 0.Caràcter F I S C AFreqüència 1 2 2 1 1Probabilitat 1/7 2/7 2/7 1/7 1/7Codificació 111 00 10 110 01Si codifiquéssim FISICAS necessitaríem 3 bits per caràcter (log7/log2=2,80)Per tant, FISICAS sense comprimir, necessitaria 7x3 = 21 bitsComprimint la paraula amb el mètode de Huffman, la codificació seria: 111 00 10 00 110 01 10Per tant, hem necessitat 17 bits.
  11. 11. TAXA DE COMPRESSIÓES fa de la següent manera:Bits sense comprimir – bits comprimits = bits que ens hem estalviatBits que ens hem estalviat / bits sense comprimir · 100 = taxa de compressióEn l’exemple anterior:21(bits sense comprimir) – 17 (bits comprimits) = 4 (bits que ens hem estalviat)4/21•100 = 19% és la taxa de compressió.
  12. 12. ESTADÍSTICAL’altura d’un nen és una variable mentre que les quantitats 95 cm, 83 cm, 88 cm, sóndades sobre aquesta variable.Sovint es representa la variable amb una lletra majúscula, mentre que les dades de lavariable en lletres minúscules. Per exemple, X = altura d’un nen; x1 = 95, x2 = 83, x3 =88.Classificació - Variables qualitatives – Es refereixen als atributs dels individus. Es tracta d’una variable classificatòria. Exemple: Nivell d’estudis o lloc de naixement. - Variables quantitatives – Impliquen el concepte de magnitud. Poden ser: - Contínues – Quan entre dos valors de la variable hi pot haver infinits valors (Decimals). Exemple: pes, talla, etc. - Discretes – Entre dos valors successius de la variable ni hi ha cap valor. No tenen decimals, encara que la mitjana si pugui tenir-los. Exemple: nombre de fills.GRÀFIC DE TIJA I FULLESSón molt útils quan no tenim un gran nombre de dades individuals. 1-S’ordenen les dades de més petites a més grans, classificant-les en ordre ascendent. 2-Després, hem de triar quina part dels valors és la tija i quina la fulla. Normalment, les unitats senceres coma tiges i els decimals com a fulles.Exemple: Amb el 112, es posa l’11 en la tija i el 2 en la fulla. Amb el 87, per exemple, es posa el 8 en la tija i el 7 en la fulla. Es pot identificar un valor que més o menys és el centre de la distribució. En aquest cas són les dades de 60 alumnes. El valor de la meitat és 30. Si contem 30 en la part de les fulles, ens trobarem que 100 és el valor mitjà.
  13. 13. HISTOGRAMESEstan formats per classes o intervals de la mateixa mida.L’histograma no és simètric. La part llarga i baixa de la distribució asimètrica esdenomina cua. Es diu que l’histograma és obliquo cap a la dreta si la cua està a la dretai cap a l’esquerra si la cua està a l’esquerra.GRÀFIC DE CAIXESSón una representació gràfica compacta de tota la distribució de la variable.
  14. 14. MEDIANALa mediana és el valor que divideix una distribució per la meitat. 1-El primer pas és col·locar totes les dades de menor a major. 2-S’aplica la següent fórmula que ens diu la posició de la mediana, on n és el número de dades que tenim: 3-Si el total de dades és impar ens donarà un número que es troba en la meitat de les dades. 4-Si el total de dades és par, la posició de la mediana cau entre dos números.Per exemple, tenim aquestes dades.123345788910+1/2= 5,5 la mediana cau entre el 4 i el 5, per tant, és 4,51234578899+1/2=5 la mediana cau en la 5a posició, per tant és 5QUARTILS El 1er quartil és el punt intermedi entre el valor mínim i la mediana. El 2on quartil el forma la mediana. El 3er quartil és el punt entre la mediana i el valor màxim.Exemples1233457889 1234578891er quartil = 3 1er quartil = Un número entre el 2 i el 3 =2on quartil = 4,5 2,53er quartil = 8 2on quartil = 5 3er quartil = 8EL RANGEl rang d’una variable consisteix a restar el valor màxim del mínim.LA MITJANA ARITMÈTICAPer a calcular la mitjana o el terme mitja, es sumaran totes les dades entre sí i esdivideixen entre el número de dades.
  15. 15. LA VARIÀNCIA 1- Calcular la mitjana dels valors 2- Restar la mitjana a cada valor. 3- Algunes de les desviacions sempre seran positives i algunes sempre seran negatives. La seva suma ha de ser 0. 4- Elevarem al quadrat cada desviació. Les desviacions quadrades sempre són positives. 6- Sumarem totes les desviacions quadrades i les dividirem pel nombre de desviacions – 1. 7- El número que obtenim és la variància, i se simbolitza per S2.Exemple: tenim les dades 2 8 9 9 1. Calcularem la mitjana dels valor 2+8+9+9=28/4=7 2. La restarem a cada valor. La suma ha de donar 0. 2-7=-5 8-7=1 9-7=2 9-7=2 -5+1+2+2=0 3. Elevarem al quadrat cada desviació 5^2=25 1^2=1 2^2=4 2^2=4 4. Sumarem les desviacions quadrades i aplicarem la fórmula 25+1+4+4=34 34/4-1=11,33=variànciaDESVIACIÓ TÍPICA O DESVIACIÓ ESTÀNDARDÉs l’arrel quadrada de la variància i se simbolitza per S.En l’exemple anterior, la desviació típica és √11,33=3,36
  16. 16. QUADRE DE FREQÜÈNCIES Tenim les següents dades: 113334566 Calcularem la mitjana 1+1+3+3+3+4+5+6+6=32/9=3,555Dades Freqüències Freqüències Freqü.Absol. Freqü. Relat. (data-mitjana)2 absolutes relatives Acumulades Acumulades ·Freqüència absoluta 1 2 2/9=0,222 2 0,222 (1-3,555)2·2=13,056 3 3 3/9=0,333 5 0,555 (3-3,555)2·3=0,924 4 1 1/9=0,111 6 0,666 (4-3,555)2·1=0,198 5 1 1/9=0,111 7 0,777 (5-3,555)2·1=2,088 6 2 2/9=0,222 9 1 (6-3,555)2·2=11,956 9 1 28,222 Freqüències absolutes – És la freqüència en què apareix una dada. La seva suma ha de donar el total de les dades. Freqüències relatives – És la freqüència absoluta partida per el nombre de dades. Ha de donar 1. Freqüències absolutes acumulades – Ha de donar el mateix que la suma de les freqüències absolutes. Freqüències relatives acumulades – Ha de donar 1 Per a calcular la variància bastarà en dividir la suma de la última columna entre el total de dades menys 1. Variància = 28,222/9-1 = 3,527 La desviació estàndard és l’arrel quadrada de la variància. √3,527=1,878

×