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Geometría: Ángulos

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Geometría: Ángulos

  1. 1. Escuela de Educación ContinuaRepaso para la Prueba de Evaluación y Admisión Universitaria (College Board) MATEMÁTICAS Geometría Ángulos Preparado por Dra. Casilda Canino, Enero 1994 Prof. Norma Rivera, Enero 1994 Revisado por Prof. René Rivera, Diciembre 2011
  2. 2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismono puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.®Escuela de Educación Continua de UMET, enero de 2012
  3. 3. Geometría I. Ángulos Figura formada por dos rayos que comienzan en el mismo punto. Los rayos son lados del ángulo y el punto es el vértice del ángulo. E Lado F 1 Vértice Lado G A. Los ángulos se nombran de acuerdo con sus medidas . 1. Ángulo agudo (Ángulo que mide menos de 90 o) 2. Ángulo recto (Ángulo que mide 90 o) 3. Ángulo obtuso (Ángulo que mide más de 90 o) 4. Ángulo llano (Ángulo que mide 180 o) 1 2
  4. 4. Un ángulo agudo es Un ángulo recto es menor que un ángulo como una tarjeta. recto. 3 4 Un ángulo llano es Un ángulo obtuso una recta. es mayor que un ángulo recto pero menor que un ángulo llano.A. Bisección de Ángulos 1. Bisectriz de un ángulo Rayo que divide al ángulo en dos ángulos iguales. En esta figura, GM biseca a FGH, por tanto, FGM  MGH. H M G F
  5. 5. B. Conceptos generales 1. Ángulos adyacentes Tienen el vértice común y un lado común P M N T 2. Ángulos complementarios Son dos ángulos cuyas medidas suman 90 o M  A + M  B = 90º B A 50º 40º A B 50º+ 40º =90 º 3. Ángulos Suplementarios
  6. 6. Son dos ángulos cuyas medidas suman 180 o 140º 40º Z Z X 140º + 40º = 180ºX 4. Ángulos opuestos al vértice Las rectas que se intersecan forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos 1y 3 son ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos 2 y 4 son ángulos opuestos por el vértice. 2 1 3 4 Ángulos opuestos por el vértice 1 y  3,  2 y  4 5. La suma de todos los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto es igual a un ángulo de 360o 3 2 4 1 5 8 6 7
  7. 7. 6. Ángulos correspondientes Ángulos que están en la misma posición relativa cuando una recta cruza otras dos rectas paralelas. Los ángulos 5 y 6 son ángulos correspondientes, los ángulos 8 y 7 son también ángulos correspondientes 5 8 6 7 Ángulos correspondientes  5 y  6,  7 y  87. Ángulos alternos Son los ángulos no consecutivos (ambos internos o ambos externos) que quedan en lados opuestos de la transversal. En la figura los ángulos 1 y 8 así como 2 y 7 son ángulos alternos externos. Mientras los ángulos 3 y 6 así como 4 y 5 son ángulos alternos internos. 1 2 3 4 5 6 7 8
  8. 8. Ejemplos 1) Halla la medida del ángulo complementario de  DBE 90o – 38.5o = 51.5o Por lo tanto, el ángulo complementario de  DBE es 51.5o D 38.5º B E 2) Halla la medida del ángulo suplementario de  XYZ 180o – 94o = 86o Por lo tanto, el ángulo suplementario de  XYZ es 86o Z 94º Y X3) En el diagrama a la derecha, m  1 = 50o. Halla las medidas de los otros ángulos. Solución: Como  1 y  3 son ángulos opuestos por el vértice, son congruentes (tienen la misma medida) por lo tanto, m  3 = 50o. Además como  1 y  2 combinados forman un ángulo llano, sabes que la suma de sus medidas es de 180o. Entonces m  2 = 180o – m  1 4 = 180º - 50º 1 50º 3 2
  9. 9. = 130ºComo  2 y  4 son ángulos opuestos al vértice, estos son congruentesy puedes concluir que m  4 = 130oPráctica: Rectas y ángulos 1) ¿Cuánto es la medida del ángulo opuesto por el vértice en cada una de las siguientes ilustraciones? 60º 120º 75º 90º 90º 60º b a 45º b a b a 1. a_____ 2. a______ 3. a______ b_____ b______ b______ 2) Halla los grados de cada ángulo desconocido. Recuerda que las líneas 1 y 2 son perpendiculares.
  10. 10. B C A. . . 2 2 2 55º a 47º b a b c 1 1 c  a +  b = ____º c 1  a =____ º  a +  b = ___º b a +  b = ____º  c = ____º  a =____º  a =____º a  c = ____º  c = ____º 32º3) En los ejercicios de A a la F, usas la figura de abajo. A. ¿Cuáles dos rectas son paralelas? B. Nombra cuatro pares de ángulos opuestos al vértice. C. Nombra cuatro pares de ángulos correspondientes. D. ¿Cuánto mide  2 ? Explica tu razonamiento. E. ¿Cuánto mide  4 ? Explica tu razonamiento. F. ¿Cuánto mide  8 ? Explica tu razonamiento.
  11. 11. t 2 1 3 m 4 55º 6 n 5 8 74) Halla las medidas de los ángulos a, b y c en las siguientes y ilustraciones. A. B. C. 1 1 2 2 145 1 º b a 125 a º a c b c b 2 65º c  a = _____º  b = _____º  a = _____º  a = _____º  c = _____º  b = _____º  b = _____º  c = _____º  c = _____º
  12. 12. 5) En la figura 3, si CD es una recta, AO es perpendicular a BO y L3 > L1 , entonces L3 es (A) 300 Figura 3 B (B) Mayor de 450 (C) Menor de 450 A 0 (D) 45 (E) Ninguna de las anteriores 2 3 1 C O D6) En la Figura 4, la medida del ángulo B es cuatro veces la medida del ángulo C, y la medida delángulo A es cinco veces la medida del ángulo C. ¿Cuánto mide el ángulo B? (A) 18o Figura 4 o (B) 10 (C) 60o B o (D) 90 A C o (E) 72Respuestas (Práctica 30) 1) a = 60 b = 120 2) a = 90 b = 90 3) a = 60 b = 120 2) A B C  a + b = 90  a + b = 90  a + b = 90  a = 43  a =35  a =58  c = 43  c= 35  c =58 3) A) M y N B. ( 1 y  3 ) (2 y 4) (6 y 8) (5 y 7) C. ( 1 y 5 ) ( 4 y 8) ( 2 y 6) ( 3 y 7) D)  2 = 55o E)  4 = 55o F)  8 = 55o 4) A B C  a =35 o  a = 115 o  a = 125 o  b = 145 o  b = 115 o  b = 55 o  c = 35 o  c = 65 o  c = 55 o 5) B 6) D

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