Introduccion a la notacion de matrices

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datos básicos de la notación de matrices

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Introduccion a la notacion de matrices

  1. 1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA COMPUTACIÓN APLICADA ALUMNA: PAMELA HERRERA DÉCIMO «B»
  2. 2. INTRODUCCIÓN A LANOTACIÓN DEMATRICES
  3. 3. Los métodos matriciales son unaherramienta necesaria utilizada en elmétodo de elementos finitos para lospropósitos desimplificación de la formulación de lasecuaciones de rigidez.
  4. 4. El propósito es dar solución a los ejerciciosque se efectúan manualmente y, lo másimportante, para su uso en la programacióndel método para ordenadores electrónicosde alta velocidad.
  5. 5. La notación matricial representa unanotación simple y fácil de usar para escribiry resolver conjuntos de simultáneaecuaciones algebraicas.
  6. 6. Matriz.- Se denomina matriz a todoconjunto de números o expresionesdispuestos en forma rectangular,formando filas y columnas. columnas filas
  7. 7. Cada uno de los números de que consta lamatriz se denomina elemento. Un elementose distingue de otro por la posición queocupa, es decir, la fila y la columna a la quepertenece. elemento
  8. 8. El número de filas y columnas de una matriz sedenomina dimensión de una matriz. Así, unamatriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí lamatriz tiene el mismo número de filas que decolumna, se dice que es de orden: 2, 3, etc. 4 columnas B= 2 filas
  9. 9. El conjunto de matrices de m filas y ncolumnas se denota por Amxn o (aij), y unelemento cualquiera de la misma, que seencuentra en la fila i y en la columna j, poraij. columna fila s
  10. 10. RIDIGEZEs la capacidad de un objeto sólido oelemento estructural para soportaresfuerzos sin adquirir grandesdeformaciones o desplazamientos.
  11. 11. COMPRESIÓN FLEXIÓN TRACCIÓN
  12. 12. CORTE TORSIÓN
  13. 13. Ejemplo: Los componentes de fuerza (F1x; F1y; F1z; f2x;F2y; F2z;. . . ; Fnx; Fny; Fnz) actúan en los distintos nodoso puntos (1, 2,. . . ; n) en una estructura y sucorrespondiente juego de desplazamientos nodales (d1x;d1y; d1z; d2x; d2y; d2z;. . . ; dnx; dny; dnz) pueden ambosser expresados como matrices F1x d1x F1y d1y F1z d1z f2x ; F2y d2x F2z d2y F = F . d = d d2z = . = . Fnx . Fny dnx Fnz dny dnz
  14. 14. Las adherencias a la derecha de F y d identificanel nodo y la dirección de la fuerza odesplazamiento, respectivamente. Por ejemplo: F1Xdenota la fuerza en el nodo 1 aplicado enla dirección x. 3 2 1 4 Z Y X
  15. 15. Las matrices F y d se denominan matrices decolumna y tienen un tamaño de n 1.La notación llave se utiliza en todo el texto paraindicar una columna matriz. F1x d1x F1y d1y F1z d1z f2x ; F2y d2x F2z d2y F = F . d = d d2z = . = . Fnx . Fny dnx Fnz dny dnz
  16. 16. Todo el conjunto de valores de fuerza odesplazamiento en la matriz columna esrepresentado simplemente por F d F1x d1x F1y d1y F1z d1z f2x ; F2y d2x F2z d2y F = . d = d2z . . Fnx . Fny dnx Fnz dny dnz
  17. 17. Una notación más compacta para representar unaformación rectangular es el subrayado de lavariable, como F y d denotan matrices generales(posiblemente matrices columna o rectangulares) F1x d1x F1y d1y F1z d1z f2x ; F2y d2x F2z d2y F = . d = d2z . . Fnx . Fny dnx Fnz dny dnz
  18. 18. El caso más general de una matriz rectangularconocida se indica mediante el uso dela notación de corchetes.
  19. 19. Para esta instancia la matriz de rigidez de elementos y la matriz de rigidez global de la estructura se representa por matrices cuadradas Coeficiente de k11 k12 … k1n influencia de rigidez k21 k22 … k2nk = k= . . … . kn1 kn2 … knn K11 K12 … K1n K = K= K21 K22 … K2n . . … . Kn1 Kn2 … Knn
  20. 20. COEFICIENTES DEINFLUENCIA DE RIGIDEZUn coeficiente de influencia de rigidez parauna estructura, kij, se define como la fuerza enun grado de libertad i, resultante de undesplazamiento unitario impuesto en el gradode libertad j, mientras que los desplazamientosde los otros grados de libertad bajoconsideración son cero.
  21. 21. Suponiendo que a la estructura se le obliga a teneruna deformación unitaria en el nudo 1 y en el resto denudos una deformación =0 se concluye que: d1=1 F1=K11 d2=0 F2=K21 dn=0 Fn=Kn1
  22. 22. La primera columna de la matriz de rigidezrepresenta las fuerzas necesarias para producir unadeformación unitaria en el nudo 1 sin que semuevan los otros nudos
  23. 23. La Matriz de rigidez global es igual al producto dela fuerza nodal global y el desplazamiento nodalglobal F= Kd Ecuación de rigidez global
  24. 24. ECUACIÓN DE RIGIDEZ GLOBAL F= KDRepresenta un conjunto de ecuacionessimultáneasEs la ecuación básica formulada en elmétodo de la rigidez o el desplazamiento deanálisis.
  25. 25. F= Kd K11 K12 … K1n K21 K22 … K2n K = . . … . Kn1 Kn2 … Knn d1x F1x d1y F1yF d = . .= dnz Fnz
  26. 26. F= KdF1x K11 K12 … K1n d1xF1y K21 K22 … K2n d1y = . . . … . .Fnz Kn1 Kn2 … Knn dnz
  27. 27. EJEMPLO DE RIGIDECES
  28. 28. La matriz de rigidez, como la matriz de flexibilidad,es una matriz simétrica; esto es kij=kji. Su simetríapuede ser probada por medio del teorema deMaxwell - Betti.
  29. 29. MATRIZ SIMÉTRICAUna matriz es simétrica cuando es una matrizcuadrada (m=n ) y es igual a su traspuesta (aij=aji)
  30. 30. NÓTESE QUE LA SIMETRÍA ES RESPECTO A LADIAGONAL PRINCIPAL
  31. 31. MATRIZ TRASPUESTA
  32. 32. MATRIZ DE RIGIDEZ DEUNA VIGA DE CELOSÍA
  33. 33. EN UN SÓLIDO ELÁSTICO, EL TRABAJO REALIZADO POR UNSISTEMA DE FUERZAS PI AL APLICAR UN SISTEMA DE FUERZAS QJES IGUAL AL TRABAJO REALIZADO POR EL SISTEMA QJ AL APLICARPILa principal consecuencia de este resultado es que loscoeficientes de influencia recíprocos son iguales. Enefecto, supongamos que tanto Pi=Qj=1. dij=dji Pi Qj Aj Ai
  34. 34. PRIMER TEOREMA DECASTIGLIANOSi se aplica un conjunto de cargas sobre una estructuralinealmente elástica y la energía de deformación U seexpresa como una función de los desplazamientos en lospuntos de aplicación de las cargas y actúa en susdirecciones, la derivada parcial de U con respecto a uno deestos desplazamientos δi es igual a la carga (esfuerzo)correspondiente P . ∂U / ∂δi = Pi
  35. 35. SEGUNDO TEOREMADE CASTIGLIANOLa derivada parcial de la energía de deformación conrespecto a una fuerza que actúa en un cuerpo es igual aldesplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en ladirección de dicha fuerza.∂U / ∂Pi =δi
  36. 36. La matriz de rigidez es la inversa de la matriz de flexibilidadLa matriz de flexibilidad permite identificar la respuesta dinámicade la estructura
  37. 37. FLEXIBILIDADSupongamos que tenemos una estructura donde hemosestablecido tres direcciones como las indicadas en lafigura, y sobre las mismas actuarán fuerzas de valorunitario.
  38. 38. Aplicaremos a la estructura una carga unitaria porvez y observaremos los desplazamientos que seproducen como consecuencia del estado de carga
  39. 39. Los desplazamientos originados en cada direcciónlos denominaremos flexibilidades y queindicaremos fij, donde i indica la dirección dondese produce y j donde actúa la causa unitaria que loproduce.
  40. 40. La flexibilidad fij es el efecto cinemático en iproducido por una causa estática unitaria queactúa en j.
  41. 41. Basándonos en la anterior definición deflexibilidades y aplicando el principio desuperposición, los desplazamientos totales Ui quese producirán cuando actúan cargas
  42. 42. Expresado estas ecuaciones en forma matricialtenemos:
  43. 43. Hemos encontrado una relación entre las fuerzas queactúan en determinadas direcciones y los desplazamientosque ocurren en las mismas direcciones. Esta relación linealse establece a través de matriz F, que es independiente delas cargas P y sólo depende de la estructura y de lasdirecciones elegidas.La matriz F se denomina Matriz Flexibilidad y estáintegrada por las flexibilidades fij.
  44. 44. BIBLIOGRAFÍAhttp://www.vitutor.com/algebra/matrices/matrices.htmlhttp://www.kalipedia.com/popup/popupWindow.html?anchor=klpingtcn&tipo=imprimir&titulo=Imprimir%20Art%EDculo&xref=20070822klpingtcn_172.Keshttp://es.wikipedia.org/wiki/Rigidezhttp://es.scribd.com/doc/52024677/89/MATRIZ-DE-FLEXIBILIDAD-DE-UNA-ESTRUCTURA-Fhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealesImportantehttp://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/fuerzas/metodo-matricial-de-la-rigidezhttp://www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/matricial.pdfhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4100685/unidad_1/pdf/und1.pdfhttp://www.ing.unlp.edu.ar/estruc3b/flr.pdf

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