2. Desarrollo del pensamiento algebraico
Bloque 11
Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas
El propósito de este bloque es el estudio de algunos métodos
gráficos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
Las actividades se basan en la exploración visual de las gráficas
de funciones como punto de partida para identificar estrategias que
permiten resolver ecuaciones. Estas actividades articulan el estudio de
la resolución de ecuaciones con la representación gráfica de funciones
y fortalecen los conocimientos algebraicos de los estudiantes en as-
pectos importantes, como la lectura de los componentes de una ecua-
ción y el concepto de solución de una ecuación.
La articulación de las representaciones algebraica y gráfica de
las funciones lineales y cuadráticas favorece que los estudiantes cen-
tren su atención en la información que proporcionan ciertos puntos de
las gráficas, como el significado de las coordenadas de los puntos
donde se cruzan dos gráficas y su relación con la solución de una
ecuación, o los puntos en que la gráfica de una función cuadrática in-
tercepta al eje de las abscisas.
El uso del ambiente gráfico de la calculadora desempeña un pa-
pel fundamental en la propuesta de este bloque. La producción casi
instantánea de gráficas y la herramienta “Trace” para recorrerlas y
desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa, favorecen
la lectura e interpretación de gráficas, coordenadas de puntos especí-
ficos y su relación con la resolución de ecuaciones.
A lo largo de las hojas de trabajo se promueve el desarrollo de
competencias acordes con las sugeridas para la Educación Básica.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
3. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 115
RESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resuelve la siguiente ecuación y escribe en el recuadro el procedimiento que utili-
zaste.
2x + 3 = 4
Solución: _________________
1. Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones.
y = 2x + 3 y =4
2. Utiliza la herramienta Trace de la calculadora para recorrer una de las gráfi-
cas que construiste y detén el cursor en el punto en el que ambas gráficas se
cruzan, como se muestra en la siguiente figura.
Como puedes observar, al utilizar
Trace, se despliegan las coordena-
das de los puntos por donde el cur-
sor recorre la gráfica.
3. Anota las coordenadas del punto en el ( , )
que se cruzan las gráficas.
4. ¿Observas alguna relación entre las coordenadas del punto de intersección y
la solución de la ecuación 2x + 3 = 4 ? _____________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
5. ¿Qué significado tiene el valor de y en la ecuación 2x + 3 = 4 ?
_________________________________________________________
6. ¿Existe algún otro punto en donde las gráficas se crucen? ______________
¿A qué consideras que se debe esto? ______________________________
_________________________________________________________
7. Encuentra la solución de la ecuación 4 x − 3 = 7 utilizando el método gráfico
que se mostró en los incisos anteriores. Anota las ecuaciones que usaste y el
punto de intersección de sus gráficas.
y = ______________ Y = ______________ ( , )
Solución: ______________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
4. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 116
PUNTOS DONDE SE CORTAN DOS GRÁFICAS
1. Resuelve la siguiente ecuación 3x + 2 = x − 2 construyendo en la calculadora
las gráficas correspondientes. Anota las ecuaciones que utilizaste.
y = ______________ y = _______________
2. Traza las gráficas en el siguiente 3. Anota las coordenadas del punto en
plano cartesiano. el que se intersectan las gráficas.
( , )
4. Observa las coordenadas del punto de intersección, ¿qué significado tiene el
valor de x en la ecuación 3x + 2 = x − 2 ? ________________________
_________________________________________________________
5. ¿Qué significado tiene el valor de y? _____________________________
_________________________________________________________
6. Ahora resuelve las siguientes ecuaciones construyendo las gráficas en tu cal-
culadora y trázalas en los planos cartesianos correspondientes.
a) 0.5x + 1 = − x + 4
Solución: ______________________
x +3 3
b) = − 2x
2 4
Solución: ______________________
c) 4x − 7 = 0
Solución:______________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
5. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 117
¿CUÁL SOLUCIÓN?
1. Resuelve la siguiente ecuación construyendo las gráficas en tu calculadora.
9 1
x + =x +
4 2
Solución: ______________________
2. Observa las gráficas que construiste, ¿a qué se debe el comportamiento de
las gráficas que construiste en el inciso (1)? ________________________
_________________________________________________________
3. Trata de encontrar una explicación a la solución de la ecuación del inciso (1)
sin recurrir a las gráficas. _____________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
4. Inventa dos ecuaciones cuyas gráficas se comporten como las del inciso (1).
Comprueba tu respuesta en la calculadora.
5. En cada uno de los siguientes casos, encuentra una ecuación que esté asociada
a las siguientes gráficas y comprueba en la calculadora tus respuestas.
a)
b)
6. ¿Cuántas ecuaciones puedes encontrar de manera que su solución corresponda
a las coordenadas del punto (2,4)? _____________________ Explica tu
respuesta y muestra algunos ejemplos. _____________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
6. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 118
¿EN CUÁNTOS PUNTOS SE INTERSECTAN ESTAS GRÁFICAS?
1. Resuelve la siguiente ecuación construyendo las gráficas convenientes en la
calculadora y dibújalas en el plano.
x2 =4
Solución: ______________________
2. ¿En cuántos puntos se intersectan las gráficas que construiste? ______
3. Anota las coordenadas de los puntos de intersección entre las gráficas.
Intersección 1 Intersección 2
( , ) ( , )
4. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 1, para la ecuación
x 2 = 4 ? __________________________________________________
¿Y el de y? _________________________________________________
5. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 2, para la ecuación
x 2 = 4 ? __________________________________________________
6. Construye en la calculadora las gráficas que sea necesario para resolver las
siguientes ecuaciones y trázalas en el plano cartesiano correspondiente.
a) 2x 2
− 7 = −2
Solución: ________________________
b) 3x 2
= x2 +2
Solución: ________________________
7. Inventa una ecuación cuyas soluciones sean x=3 y x=-3. Usa el método gráfico
para comprobar.
y = ______________
Explica cómo construiste la ecuación ______________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
7. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 119
¿QUÉ SOLUCIÓN TIENE?
1. Resuelve la siguiente ecuación cons-
truyendo en la calculadora las gráfi-
cas que sean necesarias y dibújalas
en el plano cartesiano de la derecha.
( x − 4 ) 2 = −2
Solución: ______________________
2. ¿Cuántos puntos de intersección tienen las gráficas que construiste? ______
3. Sin recurrir a observar las gráficas que construiste, encuentra una explica-
ción a la solución que obtuviste para la ecuación ( x − 4 ) 2 = −2
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
4. Encuentra la solución para la ecuación − 1 = x 2
Solución: _______________________
5. Explica a qué se debe la solución que encontraste. ____________________
__________________________________________________________
__________________________________________________________
6. Escribe otras dos ecuaciones cuya solución sea como las de los incisos 1 y 4,
anótalas, comprueba en la calculadora y dibujas sus gráficas.
a)
_______________________
b)
_______________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
8. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 120
¿SÓLO UNA SOLUCIÓN?
1. Construye una ecuación que se re-
suelva usando las gráficas que se
muestran en la pantalla de la dere-
cha. Comprueba en la calculadora
que tu ecuación sea correcta. La
escala en ambos ejes es 1.
2. ¿En cuántos puntos se intersectan las gráficas del inciso (1)? ____________
3. ¿Cuál es la solución de la ecuación? _______________________________
4. Sin recurrir a las gráficas formula un explicación a la solución que obtuviste
para la ecuación que propusiste. _________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
5. Escribe una ecuación que se resuelva usando las gráficas que aparecen en las
siguientes pantallas, anota su solución y comprueba en tu calculadora tus res-
puestas. La escala en los ejes cartesianos es 1.
a)
Ecuación: _________________
Solución: _________________
b)
Ecuación: _________________
Solución: _________________
c)
Ecuación: _________________
Solución: _________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
9. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 121
PUNTOS DONDE SE INTERSECTAN DOS GRÁFICAS
1. Resuelve con el método gráfico las siguientes ecuaciones y dibuja las gráficas
en el plano.
a) 3x 2
= x +2
Solución: ______________________
1 2
b) x − 3 = −2x + 1
2
Solución: ______________________
c) x ( x + 3.7 ) = 0
Solución: ______________________
2. Construye una ecuación que se resuelva con las gráficas que se muestran en
cada una de las siguientes pantallas. Anota la solución y comprueba tus res-
puestas en la calculadora.
a)
Ecuación: _________________
Solución: _________________
b)
Ecuación: _________________
Solución: _________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
10. Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades que se sugieren para el futuro docente
1. Indaga en fuentes bibliográficas cuáles son los métodos que se emplean
para resolver ecuaciones de primero y segundo grado con una incógnita.
Haz un resumen en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.
2. Compara las estrategias para resolver ecuaciones de primero y segundo
grado que experimentaste en este bloque de actividades con los métodos
algebraicos convencionales (como los que encontraste al responder el in-
ciso (1)). Discute sus ventajas y desventajas en términos de los aprendiza-
jes de los estudiantes.
3. ¿Qué relaciones existen entre las representaciones gráfica y algebraica de
una función? ¿Cómo contribuye la familiaridad con estas relaciones para
el trabajo propuesto en este bloque? Redacta un ensayo en equipo y
preséntalo a tu grupo para su discusión.
4. Discute con tus compañeros la pertinencia del uso de la calculadora en ac-
tividades como las de este bloque. Escribe tus conclusiones.
5. Construye una ecuación de primer grado que tenga:
a. Una solución positiva.
b. Una solución negativa.
c. Ninguna solución.
Usa la calculadora para comprobar en forma gráfica tus respuestas.
6. ¿Qué características tiene la gráfica de cualquier ecuación de primer gra-
do que no tiene solución? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu
profesor.
7. Indaga en fuentes bibliográficas qué significa que una ecuación de segun-
do grado tenga soluciones reales.
8. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga:
a. Dos soluciones positivas.
b. Dos soluciones negativas.
c. Una solución positiva y una negativa.
d. Sólo una solución y positiva.
e. Sólo una solución y negativa.
f. Ninguna solución real.
Usa la calculadora para comprobar en forma gráfica tus respuestas.
9. Compara con tus compañeros el trabajo realizado en los dos incisos ante-
riores y las estrategias usadas por cada quien. Redacta tus conclusiones al
respecto.
10. Indaga en fuentes bibliográficas qué son los números complejos. Haz un
resumen en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
