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12) Seja a oferta de um produtor dada pela função q = 0,1p - 40 e a função querepresenta a demanda dos consumidores é q = ...
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Função economica 2012 2

  1. 1. MATEMÁTICA – 2012 APLICAÇÕES DE FUNÇÃO DE 1o e 2o GRAU FUNÇÕES ECONÔMICASI - Curvas de oferta e demandaUma das definições de "curva de demanda" (procura) é a seguinte: "A curva de demanda é umaconstrução teórica que nos diz quantas unidades de um determinado bem de consumo osconsumidores estarão desejosos de comprar, durante um período de tempo, a todos os possíveispreços, presumindo-se que os gostos dos consumidores, os preços das outras mercadorias e asrendas dos consumidores se mantenham inalterados". Na mesma linha, a “curva de oferta" é umaconstrução teórica que nos diz quantas unidades os produtores de uma mercadoria em determinadaindústria estão dispostos a vender em um certo período de tempo.Na prática, algumas curvas de oferta e demanda são aproximadamente lineares na faixa de valoresque interessa; outras são não-lineares. No entanto, mesmo nesses casos, as equações lineares podemoferecer representações de oferta e demanda razoavelmente precisa dentro de uma faixa limitada.A figura (A) mostra uma representação mais geral de curvas de oferta e demanda, enquanto a figura(B) representa a oferta e a demanda como funções lineares.Deve-se observar, como é indicado nas figuras (A) e (B) que apenas as partes das curvas que estãono 1° quadrante interessa à análise econômica. Isto porque a oferta, o preço e a quantidade dedemanda são, em geral, iguais a 0 ou a um número positivo. Por exemplo, nas formas mais simplesda análise econômica;(1) A oferta negativa significa que os artigos não estão disponíveis no mercado, porque eles não sãoproduzidos ou porque eles são retidos até que um preço satisfatório seja oferecido por eles.(2) O preço negativo significa que são pagos preços aos compradores para a remoção de artigos domercado.(3) A demanda negativa significa que o preço é tão alto que impede a atividade de mercado, até queos artigos sejam oferecidos a um preço satisfatório.Os casos apresentados podem ocorrer mas sua incidência não é freqüente, sendo examinadaapenas em análises econômicas mais avançadas.Devemos compreender que a equação de uma reta não indica a faixa de valores de x (quantidadedemandada ou ofertada) e y (preço) que deverá ser considerada, quando ela é especificada, como nocaso presente, onde interessam apenas os valores positivos ou nulos, ou seja, onde preços ouquantidades negativas não são significativas, a faixa de valores de x e y é restrita. Essas restriçõesbaseiam-se na interpretação e no significado da equação para uma aplicação particular, elas não se 1
  2. 2. baseiam nas suas propriedades matemáticas inerentes. Deve-se ter em mente esse fato, a fim deevitar interpretações errôneas, principalmente quando se consideram equações mais complicadas.No caso presente o domínio das funções de oferta e demanda será sempre  * ou   assim comoo contradomínio dessas funções.Curvas de demanda lineares - Normalmente, a declividade de uma curva de demanda linear énegativa, isto é. à medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui (e à medida que opreço diminui, a quantidade procurada aumenta), isto é, a função de demanda linear é geralmentedecrescente. Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula. Isto é, o preçoé constante, independentemente da demanda. Em outros casos, a declividade de uma curva dedemanda pode ser indefinida, isto é, a procura é constante, independentemente do preço. Note queneste caso. A curva de demanda é uma reta paralela a Oy e logo, não é gráfico de função . (Observeas figuras a seguir) P P P qd qd qd Declividade de Declividade de Declividade de demanda negativa demanda nula demanda indefinidaObservação: Dependendo das informações disponíveis, diferentes formas da reta podem, em cadacaso, ser mais convenientes para se obter a função de demanda.Exercícios:1) 10.000 relógios são vendidos quando seu preço é R$ 60,00 e 20.000 relógios são vendidosquando seu preço é R$ 40,00. Qual é a equação da demanda, sabendo que ela é linear? Esboce ográfico dessa função de demanda.2) Quando o preço é R$ 90,00 nenhum relógio é vendido; quando os relógios são liberadosgratuitamente, 30.000 são procurados. Qual é a equação da demanda sabendo que ela é linear?Esboce seu gráfico.3) Por serem considerados necessários à segurança nacional, são comprados anualmente 50geradores de serviço pesado, independentemente do preço. Qual é a equação da demanda?4) O preço do leite foi congelado por 6 meses, no valor de R$ 1,40. Qual é a equação de demandanesse período? Qual o gráfico da curva de demanda?5) Um certo produto tem equação de demanda 2x+4p-6=0, onde p é o preço unitário e x o númerode milhares de unidades. Determine o preço por unidade para uma demanda de 1000 unidades edetermine a demanda se o produto for oferecido gratuitamente.Curvas de oferta lineares - Normalmente, a declividade de uma curva de oferta linear é positiva,isto é, à medida que o preço aumenta, a oferta aumenta e à medida que o preço diminui, a ofertadiminui. Em certos casos, a declividade de uma curva de oferta linear pode ser zero, isto é, o preçoé constante, independentemente da oferta (reta paralela a Ox). Em outros casos, a declividade podeser indefinida, isto é, a oferta é constante, independentemente do preço (reta paralela a Oy). 2
  3. 3. Exercícios:1) Quando o preço for de R$ 50,00, 50.000 máquinas fotográficas de um determinado tipo estãodisponíveis no mercado; quando o preço for de R$ 75,00, 100.000 máquinas estão disponíveis nomercado. Qual é a equação da oferta? Esboce o gráfico dessa curva de oferta sabendo que ela élinear.2) Quando o preço for de R$ 25,00 nenhuma bola de um determinado tipo está disponível nomercado, enquanto que para cada R$ 10.00 de aumento no preço, 20.000 bolas a mais estãodisponíveis. Qual é a equação da oferta, sabendo que a curva é linear?3) De acordo com os termos de contrato entre a Companhia A e a companhia telefônica, aCompanhia A paga à companhia Telefônica R$ 1.000,00 por mês para chamadas a longa distância,com duração de tempo limitada. Qual é a equação da oferta?4) Dada a equação de oferta 3x-8p+l0=0, sendo x em centenas de unidades e p o preço unitário,qual o preço por unidade pelo qual 200 unidades são ofertadas?II - Equilíbrio do mercadoFoi visto que no caso da função de demanda, uma elevação no preço corresponde (geralmente) auma redução na quantidade demandada e no caso da função de oferta, uma elevação no preçocorresponde a uma elevação na quantidade ofertada. Então, até que nível variará o preço se de umlado, o consumidor deseja preços sempre menores e de outro, o produtor interessa-se por preçossempre maiores? E a esse preço, quais serão as quantidades consumidas (demanda) e produzidas(oferta)? Haverá um preço que satisfará, em termos de quantidade, aos consumidores e produtores;é o chamado "preço de equilíbrio". O "equilíbrio de mercado" ocorre então num ponto no qual aquantidade de um artigo procurado é igual à quantidade oferecida. Portanto, supondo que asmesmas unidades para a quantidade demandada e a quantidade ofertada sejam usadas em ambas asequações (oferta e demanda), a quantidade de equilíbrio e o preço de equilíbrio correspondem àscoordenadas do ponto de interseção das curvas de oferta e de demanda. Algebricamente, ascoordenadas desse ponto são encontradas, resolvendo-se o sistema formado pelas equações deoferta e procura.Obs: Em geral, para um equilíbrio ser significativo economicamente, as coordenadas do ponto deequilíbrio (interseção das curvas) devem ser positivas ou nulas, isto é, as curvas devem interceptar-se no 1° quadrante.Exercícios:1) Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda p = 10-2q ep = 3/2q+1.2) Ache o ponto de equilíbrio para as seguintes equações de oferta e de demanda p = 5 - 3q ep = 4q + 12.Obs: O nome Ponto de Equilíbrio dado ao ponto P(qe, pe) advém do seguinte:Suponha que o bem esteja sendo oferecido a um preço p1 > pe. Traçando uma reta horizontal deordenada p1, determinaremos a quantidade demandada correspondente qd e a quantidade oferecidacorrespondente qo (figura abaixo). Como qd < qo há uma tendência de queda de preço. Umraciocínio semelhante indica que se o preço que o bem é oferecido é menor que pe, então aquantidade demandada é maior que a oferecida, e o preço tende a subir. 3
  4. 4. p oferta p1 pe P demanda qd qe qo q3) Sendo x² +p² =25 e p-x-1=0 respectivamente equações de demanda e oferta de um bem, x em1000 unidades e p o preço unitário, determine o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.Ill - Função receitaÉ diretamente proporcional à quantidade vendida. É entendida como sendo o produto entre o preçode venda (p), pela quantidade vendida (q). R = p.qNa atividade operacional de uma empresa, diversos fatores contribuem para a formação da receitaproveniente do volume de vendas. Fatores como volume de produção e potencial de mercado nãopodem ser esquecidas na formação da receita, porém, em pequenos intervalos onde já foramconsideradas as variáveis restritivas e considerando-se o preço constante nesse intervalo deprodução, o rendimento total da empresa será função somente da quantidade vendida.Por exemplo, se for tomada uma produtora de caixas registradoras que são vendidas a R$ 80,00cada, se não for vendida unidade alguma, a Receita será 0; se forem vendidas 100.000 unidades, orendimento total (receita total) será 8 milhões de reais. Vê-se então que a função receita pode seruma função linear cujo gráfico é uma reta que passa pela origem e tem como declividade o preço devenda (por unidade).No caso da Receita ser uma função linear (preço constante), a equação que define a função é R(q) =p.q onde R é a receita total (rendimento total), p é o preço por unidade do produto e q é aquantidade vendida. Como p > 0, o gráfico é do tipo: R R(q) = p.q q (quantidade)Obs.1: Se p(preço) é fixo, R é uma função linear da quantidade vendida. Porém se o preço é dadopela equação de demanda de um bem, a equação da receita não será linear. Nesse caso R(q) = f(q).q,onde p = f (q) é a função preço de demanda. R(q)Obs.2: A função Receita Média é a função que a cada q associa , ou q seja, a função Receita qMédia coincide com a função preço de demanda. 4
  5. 5. Exercícios:1) Um certo bem tem por equação de demanda p² + x2 - 2500 = 0, onde p é o preço e x a quantidadedemandada. Determine a função receita e a função receita média com seus respectivos domínios.Qual a receita e a receita média se a quantidade demandada são 40 unidades?IV - A função custoOs custos de empresas são classificados em duas categorias: fixos (CF) e variáveis (Cv). Os custosfixos permanecem constantes em todos os níveis de produção e incluem comumente fatores taiscomo aluguel, instalação, equipamentos, etc. Ele permanece constante, independentemente devolume de produção ou de venda. Os custos variáveis são aqueles que variam com a produção e queincluem fatores tais como mão-de-obra, matéria prima utilizada, gastos promocionais, etc.O custo total (C) em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo e do custo variável nessenível de produção.Sendo c o custo variável unitário de produção de determinado bem e q a quantidade produzida, ocusto variável é dado por Cv = c.q (nesse caso, o custo variável é função linear da quantidadeproduzida e seu gráfico é a equação de uma reta que passa pela origem e tem declividade (c)positiva).O custo total (C) pela produção de q unidades do referido bem é dado, então, pela equação C= c.q +CF, onde c é o custo variável unitário de produção do bem e CF é o custo fixo.Nesse caso, o custo total é uma função (afim) da quantidade produzida e seu gráfico é uma reta comdeclividade positiva (c). C Cv Cf C (q)Obs.: A função Custo Médio é a função que a cada q associa . qV - Ponto de Ruptura(Break Even Point) - (ou ponto de nivelamento )O ponto P de interseção das curvas C (Custo Total) e R (Receita) refere-se ao nível de atividade daempresa em que ela não obtém nem Lucro nem Prejuízo, ou seja, a receita é igual ao custo total. Elerepresenta também a quantidade na qual o produtor está para romper o equilíbrio - isto é, aquantidade para a qual existe um rendimento suficiente apenas para cobrir os custos. A empresafará, certamente, todo o esforço necessário para ultrapassar esse ponto, gerando, conseqüentemente,uma parcela de lucro, rompendo essa situação.Para se obter as coordenadas de PR, basta achar a interseção das curvas R e C. No caso de funçõeslineares (retas), o ponto PR delimita duas regiões:uma à esquerda, representando o Prejuízo (pois para cada q<qp, o custo total é maior que a receita) euma à direita, representando o Lucro (pois para cada q>qp, o custo total é menor que a receita).A abscissa qmax representa a quantidade máxima de produção da empresa, ou seu nível de atividademáxima (Unidades fabricadas e / ou Vendidas) para a estrutura de custo considerada.É importante notar que quanto mais próximo PR estiver da origem, menor será a quantidade a serfabricada (ou vendida) para que a empresa passe a operar com lucro. 5
  6. 6. R C PR (qR;C(qR) = R (qR) ) PR qr qmaxVI - A função lucroA função lucro é definida por L = R - C, onde R é a função receita e C a função custo total.No caso de funções lineares, L = (p - c)q - Cf, onde p é o preço de venda por unidade, c é o custovariável unitário do produto e Cf é o custo fixo. Então, nesse caso, o lucro é uma função (afim) daquantidade vendida (ou fabricada). (Note que o ponto de ruptura é obtido fazendo L = 0)Exercícios:1) 0 custo unitário de produção de um bem é R$ 5,00 e o custo associado à produção é R$ 30,00. Seo preço da venda do referido bem é R$ 6,50 determinar:a) A função custo total;b) A função receita;c) A função lucro;d) O ponto de ruptura;e) A produção necessária para um lucro de R$ 120,00.2) Um fabricante vende seu produto a R$ 25,00 por unidade. Os seus custos fixos estimados em R$13.000,00 e os custos variáveis em 40% do rendimento total. Sua capacidade média de produção é5.000 unidades/mês. Determinar:a) A equação do custo variável;b) A função receita;c) A função custo total;d) A função lucro;e) O ponto de ruptura; f) Qual o lucro obtido na produção e venda de sua capacidade máxima?VIl – ObservaçãoÉ fácil compreender que o comportamento de uma grandeza e suas variações, bem como a relaçãoentre as variáveis, nem sempre é linear.Sabe-se, por exemplo, que entre a receita obtida e a quantidade vendida existe uma relação e pode-se estabelecer um modelo que interprete a relação funcional entre as variáveis que certamente nãopoderá ser linear, pois, de acordo com as restrições de mercado, crescimento populacional, etc., areceita não poderá crescer indefinidamente. Outras funções, além de lineares, são utilizadas pararepresentar situações que ocorrem na prática.3) O custo de produção de determinada mercadoria é dado por um custo fixo de R$ 32,00, queinclui despesas como salário, energia elétrica, água e impostos mais um custo variável de R$ 5,00por peça produzida. Considerando a receita da mercadoria, isto é, o preço de venda seja de R$82,00, determine a função lucro dessa mercadoria, que calcula o lucro de acordo com o número deunidades vendidas. 6
  7. 7. 4) Uma fábrica vende seu produto por R$ 25,00, os seus custos fixos estãoestimados em R$ 13.000,00 e o custo unidade é 40% do preço de venda. Suacapacidade máxima de produção é de 5.000 unidades. Determine:a) O lucro obtido para a produção máximab) O ponto de equilíbrioObs: O ponto de equilíbrio será aquele em que a Receita Total é igual ao Custo Total, a partir desteponto haverá oferta.5) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R(p) = 20000p – 2000p², sendo p o preço de vendade cada unidade.a) Qual a receita quando o preço de venda de cada unidade é de R$ 8,00?b) Qual o preço de venda de cada unidade para gerar uma receita de R$ 45.500,00?c) Qual o preço de venda que maximiza a receita? Qual a receita máxima?d) Representar graficamente a função receita dada.6) O lucro mensal (em reais) de uma empresa é L(p) = –3000p² +36000p – 81000, sendo p o preçode venda de cada unidade.a) Qual o lucro quando o preço de venda de cada unidade é de R$ 4,20? E quando o preço de vendaunitário é R$ 8,00?b) Determine o intervalo de preço de venda para o qual a receita da empresa passa a superar asdespesas?c) Qual o preço de venda que maximiza o lucro? Qual o lucro máximo?d) Representar graficamente a função lucro dada.e) Para que valores de p o lucro é superior a R$ 20.250,00?7) O lucro mensal L (em reais) de uma microempresa é L(p) = – 4000p² + 48000p – 128000, sendop o preço de venda de cada unidade. Obter o preço de venda que maximiza o lucro e o valor dolucro máximo;8) Seja q = 20 - p a equação da demanda de um bem e C = 2q + 17 a equação do custo totalassociado. Pede-se:a) Determinar a função receita e seu gráfico;b) Determine o ponto de ruptura;c) Determine a função lucro e seu gráfico;d)Determinar o valor de q para que L seja máximo.9) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominadabandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$5,50 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,90, calcule:a) o preço de uma corrida de 10 km.b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 19,00 pela corrida.10) O custo variável unitário de um bem é R$12,00 e o custo fixo é R$60,00.Sabendo que o preço de venda do produto é R$20,00, determine:a) a função do custo total.b) a função receita Total.c) A função Lucro total.11) A quantidade de equilíbrio (q) para um produto é aquela a ser produzida ecomercializada tal que o custo de produção (C) é igual a receita de vendas (R). SeR = 10q e o custo é C = 4q+1800, qual a quantidade de equilíbrio para este produto? 7
  8. 8. 12) Seja a oferta de um produtor dada pela função q = 0,1p - 40 e a função querepresenta a demanda dos consumidores é q = 500 - 0,2p. Nestas condições, quala quantidade e o preço de equilíbrio deste mercado?13) Esboce o gráfico da Função Custo C(q)=24000+7q e da Função Receita R(q)=15q sobre osmesmos eixos . Sobre o gráfico, marque o custo fixo e o custo variável por unidade. Para quaisvalores de q a firma ganha dinheiro? Explique sua resposta graficamente. Ache a fórmula paraFunção Lucro. Faça o gráfico, marcando o ponto crítico.14) Um operário recebe de salário R$ 600,00, mais R$ 10,00 por hora extra trabalhada (2,0 pontos).a) Determine uma expressão que relacione o salário em função da quantidade de horas extrastrabalhadas no mês.b) Sabendo que 50 é o número máximo permitido de horas extras em um mês, esboce o gráfico dafunção obtida no item anterior.15) O custo de fabricação de um bem é dado por: C(x) = 3x + 50, pede-se:a) o custo de produção de 10 unidades;b) a quantidade produzida para um custo de R$ 200,00.16) O lucro na venda de x unidades de um produto é dado pela relação:L(x) = 5x – 200. Pede-se:a) o lucro na venda de 80 unidades;b) a quantidade vendida para um lucro de R$ 240,00;c) a quantidade vendida para que não haja nem lucro e nem prejuízo. 8

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