COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO2º Ano de Formação Geral – MatemáticaProfessor Alfredo CoelhoTRIGONOMETRIAA Trigonometria te...
Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos       e      iguais a 5,0 e 12,0centímetros, respectivament...
1-                                            2-De II e III temos                  , então podemos fazer:                 ...
FUNÇÃO SENODefini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e ahipotenusa do triângulo”. ...
Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funçõesseno, cosseno e tangente para os ângulos A e B.Exercício 7 – Nu...
Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual acalcule o valor do seno e tangente desse ângulo...
Pelo teorema de Pitágoras temos:                       , isto é:Seno, cosseno e tangente de 45°:Da definição de seno temos...
Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical datorre de uma igreja, é avistado por...
que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo,a qual nós chamamos de ângulo cen...
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Respostas dos Exercícios Propostos:Exercício – 1.        dadExercício – 2.              rExercício – 3.                   ...
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Triangulo retangulo 002

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Triangulo retangulo 002

  1. 1. COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO2º Ano de Formação Geral – MatemáticaProfessor Alfredo CoelhoTRIGONOMETRIAA Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seuestudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo.TRIÂNGULO RETÂNGULOÉ o triângulo que contém um ângulo reto. No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o ângulo que mede . Em nosso estudo, se não for dada outra orientação, adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A, vértice B, corresponde ao ângulo B.No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-seCATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos:O lado , cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, cateto maior,chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado que é o maior dos lados, échamado de hipotenusa.TEOREMA DE PITÁGORASEnunciado: “O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.Demonstração:Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se dividirmos os seus lados como mostrado na figura temos: A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD, subtraída da soma das áreas de 1 a 4. As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados , e , e áreas iguais a . A figura 5 é um QUADRADO de lado e área igual . Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a temos: , verificando o valor da área 5, temos: , de onde podemos verificar que: e, assim concluímos que: cqd.Exercícios Resolvidos
  2. 2. Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos e iguais a 5,0 e 12,0centímetros, respectivamente calcule o valor de sua hipotenusa .Solução:Pelo teorema de Pitágoras temosLogo: ou seja , de ondeExercício resolvido 2 – Dado o triângulo ao lado com medidas emcentímetros, determine o valor de x.Solução:Pelo teorema de Pitágoras temosLogo: de onde .Exercícios PropostosExercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetose a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo.Exercício 2 – João avista um helicóptero segundo um raio visual quemede 1300 metros. Sabendo que a distância horizontal de João até a vertical em que seencontra o helicóptero é igual a 500 metros, calcule a altura em que se encontra ohelicóptero.RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULODado um triângulo retângulo qualquer de catetos e . Tomando-se o ponto D sobre a hipotenusa , temos os segmentos: (h) igual altura relativa à hipotenusa , (m) igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa e (n) igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa . A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e também semelhante ao triângulo ABC. Deste modo temos:I Triângulo ABC II Triângulo ADC III Triângulo CDBDe I e II temos , então podemos fazer: 2
  3. 3. 1- 2-De II e III temos , então podemos fazer: 3-De I e III temos , então podemos fazer:4- 5-Exercícios ResolvidosExercício resolvido – 3 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas de c, m, n e h, em centímetros. Solução: Aplicando o teorema de Pitágoras temosRespostas: c=10,0cm; m=6,4cm; n=3,6cm e h=4,8cm.Exercícios PropostosExercício 3 – Dado o triângulo ao lado, sabendo que e , medido em centímetros, calcule, a medida de amedida de , a medida de , a medida de e a área dotriângulo ABC.Exercício 4 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-seuma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se umaperpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida desegmento MN.Exercício 5 – No triângulo dado, as medidas estão emmetros. Calcule o valor numérico das medidas indicadas porletras.FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULONum triângulo retângulo temos um ângulo reto e doisagudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e éoposto à hipotenusa.São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cossenoe Tangente. 3
  4. 4. FUNÇÃO SENODefini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e ahipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, entãoteremos: , isto é,FUNÇÃO COSSENODefini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a umângulo e a hipotenusa do triângulo”. , isto é,FUNÇÃO TANGENTEDefini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o catetoadjacente a um ângulo”. , isto é,Exercícios Resolvidos Exercício resolvido – 4 No triângulo retângulo dado abaixo calcule o valor numérico das funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, em relação ao ângulo A. Solução: . ou seja, . . ou seja, . ou seja, .Exercício resolvido – 5 Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 e 8 u.c.,respectivamente. Sendo o menor cateto, oposto ao ângulo , calcule , e .Solução:Cálculo da hipotenusa . . . , ou seja, ·. . , ou seja, . , ou seja, .Exercícios Propostos 4
  5. 5. Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funçõesseno, cosseno e tangente para os ângulos A e B.Exercício 7 – Num triângulo retângulo um dos catetos mede e a hipotenusa mede calcule as funções seno, cosseno e tangente do maior ângulo agudo.RELAÇÕES FUNDAMENTAIS1ª – Tomando-se e ,como , temos simplificando vem:2ª – Da dedução anterior temos: e , elevando asigualdades ao quadrado temos, e . Somandocom , vem . Pelo teorema de Pitágoras , logo teremos a expressão , pondoem evidência vem: , ou seja,3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: e olado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modoDemonstração:Na figura do topo da página, temos: e para o ângulo A e e para o ângulo B. Desse modo temos:Exercícios ResolvidosExercício Resolvido – 8 Dado calcule e .Solução:Como temos ou seja . Fazendo vemExercício Resolvido – 9 Dado calcule e .Solução:Como de onde temos .Mas c ou seja c , de ondevem e .Exercícios PropostosExercício 8 – Dado calcule o valor de e .Exercício 9 – Sendo calcule o valor de e . 5
  6. 6. Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual acalcule o valor do seno e tangente desse ângulo.Exercício 11 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulosagudos, é igual . Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo?Exercício 12 – No exercício anterior quais os ângulos agudos do triângulo dado?CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTEUsaremos triângulos equiláteros e isósceles de 45° para a dedução.Ângulo de 30° e 60°Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos internos A, B e C são iguais a 60° Traçando-se a mediana . dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e 60° . Cálculo do valor numérico de H. Pelo teorema de Pitágoras temos: , de onde ou . De onde vem ··; concluindoSeno, cosseno e tangente de 30°:Da definição de seno temos ou seja:Da definição de cosseno temos ou seja:De ou seja:Seno, cosseno e tangente de 60°:Aplicando a relação para ângulos complementares temos: , eÂngulo de 45°Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C medem 45° respectivamente. O ângulo , mede 90° . Cálculo do valor numérico de M. 6
  7. 7. Pelo teorema de Pitágoras temos: , isto é:Seno, cosseno e tangente de 45°:Da definição de seno temos ou seja:Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, , ou seja:Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0° até )o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90° enquanto que o cateto adjacente pode ),variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0° até 0 (para o ângulo de 90° ) ).Temos as seguintes relações a mais: e e e (o símbolo significa não existe)Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos dasprincipais funções trigonométricas de 0° a 90°. Ângulos Funções 0° 30° 45° 60° 90° sen 0 1 cos 1 0 tg 0 1OBSERVAÇÃOOs ângulos de , e são chamados de ângulos ou arcos notáveis.Exercício 13 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de igual a .Qual a medida da hipotenusa desse triângulo? (Considere ). 7
  8. 8. Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical datorre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja.Sabendo que o ângulo de visão do observador é de com a horizontal e, considerando responda as alternativas: a. Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância do observador ao avião. c. Calcule a distância do observador à igreja.Exercício 15 – (OM-SP) Na figura, o é retângulo em B e . O segmento é bissetriz do ângulo e . Determine a medida de .Exercício 16 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estãonuma quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos e Bformando o segmento de reta e Carlos está num ponto , de modo que o segmento forma um ângulo de com e o segmento forma um ângulo de com .Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de : a. Desenhe um triângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância entre Antonio e Bento. c. Calcule a distância entre Bento e Carlos.Exercício 17 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados,paralelamente, na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, naoutra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos e são iguais emedem 75° Determine a largura, aproximada do rio, considerando o c . ·.TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICOÉ no círculo onde o estudo da trigonometria fica mais completo e geral.CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesmaposição, simultaneamente no espaço, são entidadesgeométricas diferentes. O círculo refere-se à região interna,contornada pela linha da circunferência uma é área e aoutra linha, logo não tem sentido falar em área dacircunferência, ou em comprimento do círculo.ÂNGULO E ARCOOutras duas entidades relacionadas com círculo ecircunferência, são ângulos e arcos.Num círculo são dados três pontos A e B sobre acircunferência e C no centro do círculo.Quando um ponto se move sobre a circunferência, do pontoA até o ponto B, ele descreve uma linha de A até B chamadade arco de circunferência, ou simplesmente arco .Enquanto o ponto se desloca sobre a circunferência, a linha 8
  9. 9. que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo,a qual nós chamamos de ângulo central, ou simplesmente ângulo .NOTAS: • Ângulos e arcos são entidades geométricas ligadas ao mesmo círculo; • O ângulo descreve uma área no círculo e o arco descreve uma linha na circunferência que contorna o círculo; • O arco depende do raio, quanto maior o raio, maior será o arco. • O ângulo central não depende do raio. Independente do raio o ângulo central é o mesmo; • Veremos no círculo trigonométrico que tanto faz falarmos em ângulo como em arco, pois o raio é unitário e desse modo, ângulo e arco tornam-se uma mesma entidade, ou seja , o arco AB coincide com o ângulo ACB.UNIDADES DE MEDIDASOs ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outramedida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO.GRAUGrau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência,ou logo podemos concluir de que uma circunferênciacontém um ângulo central total de .RADIANOUm radiano é o ângulo central (arco) cuja medida do arco é igual amedida do raio, ou seja: sendo o ângulo central correspondenteao arco l, então temos:Em qualquer circunferência, quando a medida do comprimento total por ela descrito ( ) édividida pelo seu diâmetro (d) o resultado é igual a uma constante irracional denominadade com unidade em radiano (rad). O diâmetro é igual a dois raios e valor numérico de , atualmente é aproximado para 3,14.Quando uma circunferência é dividida por seu diâmetro, ela fica dividida em duas partes(ângulos), igual a cada uma, o que nos leva à conclusão de que o ângulo centraltotal de uma circunferência é igual a .Do que foi visto acima temos: comoComprimento de uma circunferência é igual a . Substittuindo o ângulo total dacircunferência por , temos , o qual se pode generalizar para qualquerarco , tal que: Sendo α em radiano (rad)CONVERSÕESComo a circunferência mede equivalente a , temos: 9
  10. 10. . Onde será o correspondente em graus ( ) e ocorrespondente em radiano ( .Exercícios ResolvidosExercício Resolvido – 10. Converta os ângulos (a) de e (b) de para .Solução: (a) , ou seja, (b) , ou seja,Exercício Resolvido – 11. Converta os ângulos (a) de e (b) de paragraus.Solução: (a) ·, ou seja, (b) , ou seja,Exercício Resolvido – 12. Calcular o valor, em graus, (a) de e (b) deSolução: (a) De , tomando-se o valor aproximado de de 3,14 vem: . Nota com esta aproximação o único valor exato é , usarmos o valor de , com 32 casas decimais o valor encontrado seria Vamos trabalhar com 3,14. (b)NOTAS IMPORTANTES: 1. Tratando-se de ângulo central a metade de uma circunferência mede rad, e a circunferência total mede rad. 2. Com o conceito de radiano o comprimento de um arco em graus será dado por:Exercícios PropostosExercício 18 – Converta os ângulos (a) de (b) de e (c) de 315 para .Exercício 19 – Converta os ângulos (a) de , (b) de e (c) depara graus.Exercício 20 – Converta (a) , (b) e (b) para graus.Exercício 21 – Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central (a) é igual a , (b) , (c) , sendo os raios respectivamente iguais a: 5; 3 e 8 metros. 10
  11. 11. Respostas dos Exercícios Propostos:Exercício – 1. dadExercício – 2. rExercício – 3. , , , e a área .Exercício – 4.Exercício – 5. , , e .Exercício – 6. , , , , eExercício – 7. , eExercício – 8. eExercício – 9. eExercício – 10. eExercício – 11. eExercício – 12. Pela tabela logoExercício – 13. 20 cmExercício – 14. a. b. 1000 m c. 865 mExercício – 15. 12 cmExercício – 16. a. b. c.Exercício – 17.Exercício – 18. (a) rad, (b) rad (c) rad.Exercício – 19. (a) , (b) e (c) .Exercício – 20. (a) (b) , (c) .Exercício – 21. (a) ; (b) ; (c) 11

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