Apost 4 equacoes - inequacoes

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Apost 4 equacoes - inequacoes

  1. 1. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 1i i Equa¸˜es, Inequa¸˜es e Desigualdades co co Ad´n J. Corcho & Krerley Oliveira a 17 de novembro de 2006i i i i
  2. 2. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 2i i 2i i i i
  3. 3. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 3i i Os autores Ad´n Corcho: ´ Licenciado em Matem´tica pela Univesidad de a e a Oriente-Cuba (1994), mestre pelo IMPA (1998) e doutor em Matem´tica a pelo IMPA (2003). Suas atividades de pesquisa concentram-se na ´rea de a Equa¸oes Diferenciais Parciais, na qual tem publicado artigos cient´ c˜ ıficos. Atualmente ´ professor da Universidade Federal de Alagoas, onde ´ membro e e fundador do programa de Mestrado em Matem´tica e participa ativamente a no programa da Olimp´ ıada Alagoana de Matem´tica. a Krerley Oliveira: ´ bacharel em Matem´tica pela UFRJ (2001), e a mestre pelo IMPA (2001) e doutor em Matem´tica pelo IMPA (2002). Seus a interesses de pesquisa concentram-se na ´rea de Sistemas Dinˆmicos, na qual a a tem publicado livros e artigos cient´ıficos. Atualmente ´ professor da Univer- e sidade Federal de Alagoas, onde ´ membro fundador do programa de P´s- e o gradua¸ao em Matem´tica. Fundou a Olimp´ c˜ a ıada Alagoana de Matem´tica a e vem desde 2003 treinando estudantes e professores em Alagoas. Quando mais jovem, participou de Olimp´ ıadas de Matem´tica, obtendo medalha a de bronze na OBM e prata na Ibero-americana Universit´ria. Tamb´m ´ a e e torcedor do Fluminense e triatleta, tendo completado dois ironmans. 3i i i i
  4. 4. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 4i i 4i i i i
  5. 5. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 5i i Pref´cio a Estas notas abordam um tema matem´tico extremamente im- a portante devido `s suas aplica¸oes em diversos problemas de ordem a c˜ pr´tica. Resolver equa¸oes e inequa¸oes ´ muitas vezes ensinado no a c˜ c˜ e col´gio mediante aplica¸ao de regras e f´rmulas, sem a preocupa¸ao e c˜ o c˜ de ilustrar a importˆncia de deduzi-las. Nossa proposta neste texto ´ a e discutir as t´cnicas envolvidas na resolu¸ao dos problemas e n˜o so- e c˜ a mente resolvˆ-los mecanicamente. Uma parte importante deste tra- e balho consiste em entender a tradu¸ao matem´tica de problemas que c˜ a encontramos em nosso cotidiano e que podem ser modelados medi- ante equa¸oes e inequa¸oes. c˜ c˜ A apostila ´ dividida em 4 cap´ e ıtulos, contendo v´rios exemplos e a problemas resolvidos, expostos de acordo com o grau de dificuldade. Os dois primeiros cap´ ıtulos tratam sobre equa¸oes e inequa¸oes do c˜ c˜ primeiro e do segundo graus e s˜o destinados a alunos do Ensino a Fundamental (grupo 1) e do Ensino M´dio (grupo 2), entretanto ´ e e importante que o professor instrutor tome o cuidado necess´rio para a separar alguns exemplos mais complicados, que s˜o destinados so- a mente para o grupo 2. O cap´ ıtulo 3 trata sobre desigualdades cl´ssicas a e aplica¸oes das mesmas, sendo destinado somente ao grupo 2, assim c˜ como a maior parte do cap´ ıtulo 4, que ´ um pouco mais avan¸ado e c e aborda propriedades das equa¸oes polinomiais. Inclu´ c˜ ımos tamb´m e ´ um apˆndice tratando do Teorema Fundamental da Algebra, cuja e 5i i i i
  6. 6. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 6i i 6 leitura ´ opcional. e No final de cada cap´ ıtulo s˜o propostos v´rios exerc´ a a ıcios, que recomendamos sejam todos discutidos, e cujas algumas solu¸oes e c˜ sugest˜es s˜o dadas no final do material, apesar de que n˜o se espera o a a que o estudante resolva todos. Finalmente, gostar´ ıamos de agradecer aos alunos de inicia¸ao c˜ cient´ ıfica Isnaldo Isaac, Karla Barbosa e Adriano Oliveira, pela ajuda na escolha dos problemas. Agradecemos tamb´m ` Marcela Oliveira e a pela leitura cuidadosa, que evitou muitos desprazeres dos leitores com os erros de nosso portuguˆs. e Esperamos que divirtam-se e aguardamos sugest˜es e cr´ o ıticas. Macei´, 24 de Agosto de 2006 o Ad´n Corcho & Krerley Oliveira ai i i i
  7. 7. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 7i i Sum´rio a 1 Equa¸oes c˜ 13 1.1 Equa¸oes do Primeiro Grau . . . . . . . . c˜ . . . . . . . 15 1.2 Sistemas de Equa¸oes do Primeiro Grau . c˜ . . . . . . . 23 1.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.4 Equa¸ao do Segundo Grau . . . . . . . . . c˜ . . . . . . . 30 1.4.1 Completando Quadrados . . . . . . . . . . . . 30 1.4.2 Rela¸ao entre Coeficientes e Ra´ c˜ ızes . . . . . . . 35 1.4.3 Equa¸oes Biquadradas . . . . . . . c˜ . . . . . . . 38 1.4.4 O M´todo de Vi`ti . . . . . . . . . e e . . . . . . . 39 1.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Inequa¸oes c˜ 45 2.1 Inequa¸ao do Primeiro Grau c˜ . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Inequa¸ao do Segundo Grau c˜ . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 M´ximos e M´ a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Desigualdades Cl´ssicas e Aplica¸oes a c˜ 61 3.1 Desigualdades Cl´ssicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 a 3.2 Aplica¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 c˜ 3.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7i i i i
  8. 8. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 8i i 8 ´ SUMARIO 4 Polinˆmios o 73 4.1 Opera¸oes com Polinˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . 73 c˜ o 4.1.1 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5 Apˆndice e 87 5.1 N´meros complexos e ra´ u ızes de polinˆmios . . . . . . . 88 o 5.1.1 Opera¸oes com n´meros complexos . . . . . . . 89 c˜ u 6 Para saber mais 91i i i i
  9. 9. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 9i i Introdu¸˜o ca Na antiguidade, todo conhecimento matem´tico era passado de a gera¸ao para gera¸ao atrav´s de receitas. A falta de s´ c˜ c˜ e ımbolos e nota¸ao adequada complicava substancialmente a vida de quem pre- c˜ cisava usar a Matem´tica e de quem apreciava sua beleza. Por exem- a plo, o uso de letras (x, y, z, etc) para representar n´meros desconhe- u cidos n˜o tinha sido inventado ainda. Isso s´ veio ocorrer por volta a o dos meados do s´culo XVI, ou seja, a menos de 500 anos atr´s. e a Apesar disso, o conhecimento matem´tico das antigas civiliza¸oes a c˜ era surpreendente. Os eg´ ıpcios, babilˆnios, mesopotˆmios, gregos e o a v´rios outros tinham conhecimentos de m´todos e t´cnicas que s˜o a e e a empregados hoje, como solu¸oes de equa¸oes do primeiro e segundo c˜ c˜ graus, inteiros que s˜o soma de quadrados e v´rios outros conheci- a a mentos. Especialmente os gregos, cuja cultura matem´tica resistiu a aos tempos com a preserva¸ao de Os Elementos de Euclides, tinham c˜ desenvolvido e catalizado muitos dos avan¸os da ´poca. c e Entretanto, todos os resultados tinham uma linguagem atrav´s e dos elementos de geometria, mesmo aqueles que s´ envolviam pro- o priedades sobre os n´meros. Essa dificuldade deve-se em parte ao u sistema de numera¸ao romano, utilizado tamb´m pelos gregos, que c˜ e era muito pouco pr´tico para realizar opera¸oes matem´ticas. a c˜ a Por volta de 1.100, viveu na ´ India Bhaskara, um dos mais im- portantes matem´ticos de sua ´poca. Apesar de suas contribui¸oes a e c˜ terem sido muito profundas na Matem´tica, incluindo-se a´ resulta- a ı 9i i i i
  10. 10. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 10i i 10 ´ SUMARIO dos sobre equa¸oes diofantinas, tudo indica que Bhaskara n˜o foi o c˜ a primeiro a descobrir a f´rmula, que no Brasil chamamos de f´rmula o o de Bhaskara, assim como Pit´goras n˜o deve ter sido o primeiro a des- a a cobrir o Teorema que leva o seu nome, j´ que 3.000 a.C os babilˆnios a o tinham conhecimento de ternas pitag´ricas de n´meros inteiros bem o u grandes. Apesar de ter conhecimento de como solucionar uma equa¸ao doc˜ segundo grau, a f´rmula que Bhaskara usava n˜o era exatamente igual o a a que usamos hoje em dia, sendo mais uma receita de como encontrar as ra´ ızes de uma equa¸ao. Para encontrar essas ra´ c˜ ızes, os indianos usavam a seguinte regra: Multiplique ambos os membros da equa¸ao pelo n´mero que vale c˜ u quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um n´mero igual u ao quadrado do coeficiente original da inc´gnita. A solu¸ao desejada o c˜ ´ a raiz quadrada disso. e O uso de letras para representar as quantidades desconhecidas s´ veio a se tornar mais popular com os ´rabes, que tamb´m de- o a e senvolveram um outro sistema de numera¸ao. Destaca-se tamb´m c˜ e a participa¸ao do matem´tico francˆs Fran¸ois Vi`ti, que aprimorou c˜ a e c e esse uso dos s´ımbolos alg´bricos em sua obra In artem analyticam e isagoge e desenvolveu um outro m´todo para resolver a equa¸ao do e c˜ segundo grau. Na mesma ´poca, um outro grande desafio estava perturbando e as mentes matem´ticas de toda a Europa, em especial as da It´lia. a a A solu¸ao explicita utilizando as opera¸oes elementares (soma, sub- c˜ c˜ tra¸ao, multiplica¸ao, divis˜o, radicia¸ao e potencia¸ao) da equa¸ao c˜ c˜ a c˜ c˜ c˜ do terceiro grau n˜o era conhecida e muitos dos melhores matem´ticos a a da ´poca trabalharam neste problema, destacando-se entre eles Nicolo e Fontana, o Tartaglia (gago, em italiano). A hist´ria da solu¸ao desta o c˜ equa¸ao est´ repleta de intrigas, disputas e acusa¸oes, envolvendo c˜ a c˜ Tartaglia e Cardano. Hoje os historiadores atribuem a Tartaglia ai i i i
  11. 11. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 11i i ´ SUMARIO 11 primazia na descoberta da solu¸ao da equa¸ao do terceiro grau como c˜ c˜ ´ conhecemos. E desta ´poca tamb´m a solu¸ao da equa¸ao do quarto e e c˜ c˜ grau, atribu´ a Ludovico Ferrari. ıda Entretanto, apesar dos muitos esfor¸os empreendidos na dire¸ao c c˜ de encontrar a solu¸ao geral da equa¸ao do quinto grau, mais de c˜ c˜ duzentos anos se passaram sem nenhum sucesso. At´ que em 1824, o e matem´tico norueguˆs Niels Abel mostrou que ´ imposs´ a e e ıvel resolver as equa¸oes de grau cinco em sua forma geral. Ou seja, nem todas c˜ as equa¸oes de grau cinco podem ser resolvidas com as opera¸oes c˜ c˜ elementares. Mais ainda, em 1830 o matem´tico francˆs Evariste a e Galois descobre um m´todo que determina quando uma equa¸ao de e c˜ grau qualquer ´ resol´vel com as opera¸oes elementares, encerrando e u c˜ um bel´ıssimo cap´ ıtulo da hist´ria da Matem´tica. o ai i i i
  12. 12. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 12i i 12 ´ SUMARIOi i i i
  13. 13. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 13i i Cap´ ıtulo 1 Equa¸˜es co Para entender algumas das coisas que tratamos nesta breve in- trodu¸ao, vamos come¸ar este cap´ c˜ c ıtulo estudando um objeto ma- tem´tico de muita importˆncia e que aparece em situa¸oes onde a a a c˜ Matem´tica ´ aplicada: os polinˆmios. Reveremos um pouco das a e o suas propriedades, estudadas no Ensino Fundamental e veremos como podemos aplicar essas propriedades para resolver e obter informa¸oes c˜ sobre algumas equa¸oes alg´bricas. Primeiramente, vamos relembrar c˜ e o que ´ um polinˆmio: e o Defini¸˜o 1.1. Um polinˆmio na vari´vel x ´ uma express˜o do ca o a e a tipo p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 onde a0 , a1 , . . . , an s˜o n´meros. Se an = 0, dizemos que n ´ o grau do polinˆmio e a u e o a0 , a1 , . . . , an s˜o seus coeficientes. O coeficiente an ´ chamado de a e coeficiente l´ ıder do polinˆmio. o Observa¸˜o 1.2. N˜o se define o grau do polinˆmio nulo, que tem ca a o todos os coeficientes iguais a zero. Por exemplo, • p(x) = 3x − 1 ´ um polinˆmio de grau 1; e o • q(x) = 4x3 + 7x + 1 ´ um polinˆmio de grau 3; e o 13i i i i
  14. 14. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 14i i 14 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES π 4 • t(x) = x ´ um monˆmio de grau 4; e o 2 −π 4 • v(x) = x + 5x2 + 1 ´ um polinˆmio de grau 4; e o 2 • u(x) = 7 ´ um polinˆmio de grau 0. e o Uma equa¸ao polinomial de grau n, ou simplesmente uma equa¸ao c˜ c˜ de grau n, ´ uma senten¸a p(x) = 0, onde p(x) ´ um polinˆmio de e c e o grau n com coeficientes reais. Por exemplo, 2x−1 = 0 ´ uma equa¸ao e c˜ do primeiro grau, enquanto, −x5 + 4x3 + 5x − 1 = 0 ´ uma equa¸ao e c˜ de grau 5. Note que nem todos os coeficientes precisam ser diferentes de zero. Para obtermos o valor do polinˆmio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + o · · ·+a1 x+a0 no n´mero real r, devemos substituir x por r para obter u o n´mero real u p(r) = an rn + an−1 rn−1 + · · · + a1 r + a0 . Por exemplo, o valor do polinˆmio p(x) = 4x3 − 7x + 1 em 2 ´ o e p(2) = 4 · 2 3 − 7 · 2 + 1 = 19. Dizemos que um n´mero real r ´ uma raiz para a equa¸ao u e c˜ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 se o valor de p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 em r ´ zero, e ou seja, se r verifica an rn + an−1 rn−1 + · · · + a1 r + a0 = 0. Por exemplo, 5 ´ raiz da equa¸ao: e c˜ 2x − 10 = 0. Na se¸ao seguinte estudaremos com detalhe a equa¸ao do primeiro c˜ c˜ grau, e como podemos utiliz´-la para resolver alguns problemas em a Matem´tica. ai i i i
  15. 15. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 15i i ¸˜ [SEC. 1.1: EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 15 1.1 Equa¸˜es do Primeiro Grau co Para ilustrar o tema que iremos discutir, comece pensando no seguinte problema: Exemplo 1.3. Qual ´ o n´mero cujo dobro somado com sua quinta e u parte ´ igual a 121? e Solu¸ao: Vamos utilizar uma letra qualquer, digamos a letra x, para c˜ designar esse n´mero desconhecido. Assim, o dobro de x ´ 2x e sua u e quinta parte ´ x . Logo, usando as informa¸oes do enunciado, obtemos e5 c˜ que: x 2x + = 121, 5 ou ainda, 10x + x = 605, onde 11x = 605. Resolvendo, temos que x = 605/11 = 55. Se vocˆ j´ teve contato com o procedimento de resolu¸ao do exem- e a c˜ plo acima, notou que o principal ingrediente ´ a equa¸ao do primeiro e c˜ grau em uma vari´vel. Vamos come¸ar explicando que objeto ´ esse. a c e A equa¸ao do primeiro grau na vari´vel x ´ uma express˜o do tipo: c˜ a e a ax + b = 0, onde a e b s˜o n´meros reais e a = 0. Por exemplo, as seguintes a u equa¸oes s˜o do primeiro grau: c˜ a 2x − 3 = 0 −4x + 1 = 0 3 x − π = 0. 2 Para trabalhar com equa¸oes e resolvˆ-las, vamos pensar no mo- c˜ e delo da balan¸a de dois pratos. Quando colocamos dois objetos com ci i i i
  16. 16. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 16i i 16 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES o mesmo peso em cada prato da balan¸a, os pratos se equilibram. c Quando os pratos est˜o equilibrados, podemos adicionar ou reti- a rar a mesma quantidade de ambos os pratos, que ainda assim eles permanecer˜o equilibrados. Essa ´ uma das principais propriedades a e quando estamos trabalhando com uma equa¸ao. Em geral, para re- c˜ solver uma equa¸ao, utilizamos as seguintes propriedades da igual- c˜ dade entre dois n´meros: u • Se dois n´meros s˜o iguais, ao adicionarmos a mesma quanti- u a dade a cada um destes n´meros, eles ainda permanecem iguais; u Em outras palavras, escrevendo em termos de letras, se a e b s˜o dois n´meros iguais, ent˜o a + c ´ igual a b + c. Ou seja: a u a e a = b ⇒ a + c = b + c. Note que podemos tomar c um n´mero negativo, o que significa u que estamos subtraindo a mesma quantidade dos dois n´meros. u Por exemplo, se x ´ um n´mero qualquer que satisfaz: e u 5x − 3 = 6, somando-se 3 a ambos os lados da equa¸ao acima, obtemos que c˜ x deve satisfazer: (5x − 3) + 3 = 6 + 3, ou seja, 5x = 9. Podemos ainda usar outra propriedade: • Se dois n´meros s˜o iguais, ao multiplicarmos a mesma quan- u a tidade por cada um destes n´meros, eles ainda permanecem u iguais; Em outras palavras, escrevendo em termos de letras, se a e b s˜o dois n´meros iguais , ent˜o a · c ´ igual a b · c. a u a ei i i i
  17. 17. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 17i i ¸˜ [SEC. 1.1: EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 17 a = b ⇒ ac = bc. Novamente, se 5x = 9 podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por 1/5 para obter: 5x 9 x= = , 5 5 encontrando o n´mero que satisfaz a equa¸ao 5x − 3 = 6. u c˜ Para nos familiarizarmos um pouco mais com a linguagem das equa¸oes, vamos pensar no seguinte problema: c˜ Exemplo 1.4. Para impressionar Pedro, Lucas propˆs a seguinte o brincadeira: - Escolha um n´mero qualquer. u - J´ escolhi, disse Pedro. a - Multiplique este n´mero por 6. A seguir, some 12. Divida o u que vocˆ obteve por 3. Subtraia o dobro do n´mero que vocˆ e u e escolheu. O que sobrou ´ igual a 4! e Pedro realmente ficou impressionado com a habilidade de Lucas. Mas n˜o h´ nada de m´gico nisso. Vocˆ consegue explicar o que a a a e Lucas fez? Solu¸ao: Na verdade, Lucas tinha conhecimento de como ope- c˜ rar com equa¸oes. Vamos ver o que Lucas fez de perto, passo- c˜ a-passo, utilizando a linguagem das equa¸oes. Para isso, vamos c˜ chamar a quantidade que Pedro escolheu de x: – Escolha um n´mero: u x. – Multiplique este n´mero por 6: u 6x.i i i i
  18. 18. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 18i i 18 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES – A seguir, some 12: 6x + 12. – Divida o que vocˆ obteve por 3: e 6x + 12 = 2x + 4. 3 – Subtraia o dobro do n´mero que vocˆ escolheu. u e 2x + 4 − 2x = 4. – O que sobrou ´ igual a 4! e Observa¸˜o 1.5. Devemos ter cuidado na hora de efetuar di- ca vis˜es em ambos os lados de uma equa¸ao, para n˜o cometer o o c˜ a erro de dividir os lados de uma igualdade por zero. Por exem- plo, podemos dar uma prova (obviamente) falsa de que 1 = 2, utilizando o seguinte tipo de argumento: Sempre ´ verdade que e x + 2x = 2x + x. Logo, x − x = 2x − 2x Colocando (x − x) em evidˆncia: e 1(x − x) = 2(x − x) Dividindo por (x − x) os dois lados da igualdade acima, temos que 1 = 2. Encontrou o erro? Voltando para nossa equa¸ao do primeiro grau, para encontrar c˜ a solu¸ao da equa¸ao ax+b = 0, procedemos do seguinte modo: c˜ c˜i i i i
  19. 19. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 19i i ¸˜ [SEC. 1.1: EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 19 • Somamos −b a ambos os lados da equa¸ao, obtendo c˜ ax + b + (−b) = ax = −b. Note que como somamos a mesma quantidade aos dois lados da equa¸ao, ela n˜o se alterou. c˜ a • Dividimos os dois lados da equa¸ao por a = 0. Isso tamb´m c˜ e n˜o altera a igualdade e nos d´ que o valor de x ´: a a e ax −b x= = . a a −b Assim, a solu¸ao da equa¸ao ax + b = 0 ´ x = c˜ c˜ e . a Vamos ver agora alguns problemas que podem ser resolvidos uti- lizando as equa¸oes do primeiro grau: c˜ Exemplo 1.6. Se x representa um d´ ıgito na base 10 e a soma x11 + 11x + 1x1 = 777, quem ´ x? e Solu¸ao: Para resolver este problema, precisamos nos recordar que se c˜ abc ´ a escrita de um n´mero qualquer na base 10, ent˜o esse n´mero e u a u ´ igual a 10 e 2 a + 10b + c. Assim, temos que x11 = 100x + 11 11x = 110 + x 1x1 = 101 + 10x Logo, temos a seguinte equa¸ao do primeiro grau: c˜ 100x + 11 + 110 + x + 101 + 10x = 777 ou 111x + 222 = 777 Logo, 777 − 222 x= = 5. 111i i i i
  20. 20. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 20i i 20 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES Exemplo 1.7. Determine se ´ poss´ e ıvel completar o preenchimento do tabuleiro abaixo com os n´meros naturais de 1 a 9, sem repeti¸ao, u c˜ de modo que a soma de qualquer linha seja igual a de qualquer coluna ou diagonal. 1 6 9 Solu¸ao: Primeiro, observe que a soma de todos os n´meros naturais c˜ u de 1 a 9 ´ 45. Assim, se denotamos por s o valor comum da soma dos e elementos de uma linha, somando as trˆs linhas do tabuleiro, temos e que: 45 = 1 + 2 + · · · + 9 = 3s, Onde s deve ser igual a 15. Assim, chamando de x o elemento da primeira linha que falta ser preenchido, 1 x 6 9 temos que 1 + x + 6 = 15. Logo, x = 8. Assim, observando a coluna que cont´m 8 e 9, temos que sua soma ´ maior que 15. Logo, n˜o ´ e e a e poss´ preencher o tabuleiro de modo que todas as linhas e colunas ıvel tenham a mesma soma. Os quadrados de n´meros com estas propriedades se chamam u quadrados m´gicos. Tente fazer um quadrado m´gico. Vocˆ j´ deve a a e a ter percebido que no centro do quadrado n˜o podemos colocar o a n´mero 9. De fato, vamos descobrir no exemplo abaixo qual ´ o u e n´mero que deve ser colocado no centro de um quadrado m´gico. u a Exemplo 1.8. Descubra os valores de x de modo que seja poss´ ıvel completar o preenchimento do quadrado m´gico abaixo: ai i i i
  21. 21. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 21i i ¸˜ [SEC. 1.1: EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 21 x Solu¸ao: Para descobrir x, vamos utilizar o fato de que a soma de c˜ qualquer linha, coluna ou diagonal ´ igual a 15, j´ obtido no ex- e a emplo anterior. Se somarmos todas as linhas, colunas e diagonais que contˆm x, teremos que a soma ser´ 4 · 15 = 60, pois existem e a exatamente uma linha, uma coluna e duas diagonais que contˆm x. e Note tamb´m que cada elemento do quadrado m´gico ser´ somado e a a exatamente uma vez, exceto x que ser´ somado quatro vezes. Assim: a 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 9 + 3x = 60, onde temos que 45 + 3x = 60, onde x = 5. O exemplo a seguir ´ um fato curioso que desperta nossa aten¸ao e c˜ para como a nossa intui¸ao `s vezes ´ falha. Imagine que vocˆ possui c˜ a e e um fio de cobre extremamente longo, mas t˜o longo, que vocˆ con- a e segue dar a volta na Terra com este fio. Para simplificar a nossa vida e nossas contas, vamos supor que a Terra ´ uma bola redonda (o que e n˜o ´ exatamente verdade) sem nenhuma montanha ou depress˜o e a e a que seu raio ´ de exatamente 6.378.000 metros. e O fio com seus milh˜es de metros est´ ajustado ` Terra, ficando o a a bem colado ao ch˜o ao longo do equador. Digamos agora que vocˆ a e acrescente 1 metro ao fio e molde este fio de modo que ele forme um c´ırculo enorme, cujo raio ´ um pouco maior que o raio da Terra e e tenha o mesmo centro. Vocˆ acha que essa folga ser´ de que tamanho? e a Nossa intui¸ao nos leva a acreditar que como aumentamos t˜o c˜ a pouco o fio, a folga que ele vai ter ser´ tamb´m muito pequena, a e digamos alguns poucos mil´ ımetros. Mas veremos que isso est´ com- a pletamente errado!i i i i
  22. 22. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 22i i 22 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES Utilizaremos para isso a f´rmula que diz que o comprimento C de o um c´ ırculo de raio r ´ e C = 2πr, onde π (lˆ-se pi ) ´ um n´mero irracional que vale aproximadamente e e u 3, 1415 (veja a observa¸ao abaixo). c˜ De fato, o comprimento da Terra CT calculado com essa f´rmula o ´ aproximadamente: e CT = 2πrT ∼ 2 × 3, 1415 × 6.378.000 = 40.072.974 metros, = onde rT ´ o raio da Terra. e Se chamamos de x o tamanho da folga obtida em metros e rf o raio do fio, temos que a folga ser´ igual a x = rf −rT . Logo, basta calcular a rf . Por um lado, o comprimento do fio ´ igual a CT + 1 = 40.072.975. e Logo, 40.072.975 40.072.975 = 2πrf onde rf = . 2π Fazendo o c´lculo acima, temos que rf ´ aproximadamente igual a e a 6.378.000, 16 metros. Assim, x ´ aproximadamente igual a x = e rf − rT = 0, 16 metros, ou seja, 16 cent´ımetros! Observa¸˜o 1.9. Vale observar que a folga obtida aumentando o fio ca n˜o depende do raio em considera¸ao. Por exemplo, se repet´ a c˜ ıssemos esse processo envolvendo a Lua ao inv´s da Terra, obter´ e ıamos que ao aumentar o fio em um metro, a folga obtida seria dos mesmos 16 cent´ ımetros. Verifique isso! Observa¸˜o 1.10. De fato, podemos definir (e calcular!) o n´mero ca u π de v´rias maneiras pr´ticas. Vamos considerar dois experimentos a a (que se vocˆ n˜o conhece π deve fazer): e a • Experimento 1: Pegar um cinto e fazer um c´ ırculo com ele. Calcule o comprimento do cintur˜o e divida pelo diˆmetro do a a c´ ırculo obtido.i i i i
  23. 23. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 23i i ¸˜ [SEC. 1.2: SISTEMAS DE EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 23 • Pegar uma tampa de um lata e medir o comprimento do c´ ırculo da tampa e dividir pelo diˆmetro da tampa. a Se vocˆ efetuou os c´lculos acima com capricho, vocˆ deve ter e a e notado que o n´mero obtido ´ aproximadamente o mesmo. Se nos- u e sos c´ ırculos fossem perfeitos (eles nunca s˜o: sempre tˆm algumas a e imperfei¸oes) obter´ c˜ ıamos o n´mero π. Uma aproxima¸ao para π ´ u c˜ e π ∼ 3, 1415926535897932384626433832795. = 1.2 Sistemas de Equa¸˜es do Primeiro Grau co Nesta se¸ao iremos discutir situa¸oes onde queremos descobrir mais c˜ c˜ de uma quantidade, que se relacionam de modo linear, ou seja, atrav´s e de equa¸oes do primeiro grau. Por exemplo, considere o seguinte c˜ problema: Exemplo 1.11. Jo˜o possui 14 reais e deseja gastar esse dinheiro em a chocolates e sandu´ıches para distribuir com seus 6 amigos, de modo que cada um fique exatamente com um chocolate ou um sandu´ ıche. Sabendo que cada chocolate custa 2 reais e cada sandu´ ıche custa 3 reais, quantos chocolates e sandu´ıches Jo˜o deve comprar? a Para resolver esse problema, vamos chamar de x a quantidade de chocolates que Jo˜o deve comprar e y o n´mero de sandu´ a u ıches. Assim, como Jo˜o deseja gastar 14 reais, temos que a 2x + 3y = 14. (1.1) Como Jo˜o comprar´ exatamente 6 guloseimas, uma para cada amigo, a a temos que x + y = 6. (1.2) Note que n˜o encontramos uma equa¸ao do primeiro grau em uma a c˜ vari´vel e sim duas equa¸oes do primeiro grau em duas vari´veis. Esse a c˜ ai i i i
  24. 24. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 24i i 24 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES ´ um caso particular de um sistema de equa¸oes do primeiro grau em e c˜ v´rias vari´veis. a a Uma equa¸ao do primeiro grau nas vari´veis x1 , x2 , . . . , xn ´ uma c˜ a e express˜o da forma a a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + b = 0, onde os n´meros a1 , a2 , . . . , an s˜o diferentes de zero. u a Por exemplo: 2x − 3y = 0 ´ uma equa¸ao do primeiro grau nas vari´veis x e y e c˜ a c 2a − b + = 5 3 ´ uma equa¸ao do primeiro grau nas vari´veis a, b e c. e c˜ a Dizemos que os n´meros (r1 , r2 , . . . , rn ) formam uma solu¸ao da u c˜ equa¸ao, se substituindo x1 por r1 , x2 por r2 , . . . , xn por rn , temos c˜ que a equa¸ao acima ´ satisfeita, isto ´, a1 r1 +a2 r2 +· · ·+an rn +b = 0. c˜ e e Por exemplo, (3, 2) ´ uma solu¸ao da equa¸ao 2x − 3y = 0 acima, e c˜ c˜ pois 2 · 3 − 3 · 2 = 0. Note que a ordem que apresentamos os n´meros importa, pois u (2, 3) n˜o ´ solu¸ao da equa¸ao 2x−3y = 0, j´ que 2·2−3·3 = −5 = 0. a e c˜ c˜ a c Do mesmo modo, (2, 0, 3) ´ solu¸ao da equa¸ao 2a − b + = 5, pois e c˜ c˜ 3 3 2 · 2 − 0 + = 5. 3 Um sistema de equa¸oes do primeiro grau em n vari´veis x1 , c˜ a x2 , . . . , xn ´ um conjunto de equa¸oes do primeiro grau nas vari´veis e c˜ a x1 , x2 , . . . , xn . Dizemos que os n´meros (r1 , r2 , . . . , rn ) formam uma u solu¸ao do sistema de equa¸oes, se (r1 , r2 , . . . , rn ) ´ solu¸ao para todas c˜ c˜ e c˜ as equa¸oes simultaneamente. c˜ Para encontrar solu¸oes de um sistema de equa¸oes, procedemos c˜ c˜ do seguinte modo:i i i i
  25. 25. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 25i i ¸˜ [SEC. 1.2: SISTEMAS DE EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 25 • Isolamos o valor de uma das vari´veis (digamos x1 ) como fun¸ao a c˜ das demais vari´veis em uma das equa¸oes (digamos na primeira a c˜ equa¸ao); c˜ • Substitu´ ımos esse valor na segunda equa¸ao, encontrando uma c˜ equa¸ao com n − 1 vari´veis. c˜ a • Repetimos esse processo at´ encontrarmos uma equa¸ao do pri- e c˜ meiro grau em uma vari´vel. a Observa¸˜o 1.12. Quando consideramos um sistema de equa¸oes do ca c˜ primeiro grau, podem acontecer trˆs situa¸oes: o sistema tem uma e c˜ unica solu¸ao, v´rias solu¸oes ou nenhuma solu¸ao. ´ c˜ a c˜ c˜ Vamos ilustrar esse m´todo resolvendo o sistema proposto no e Exemplo 1.11: 2x + 3y = 14 x+y =6 Isolamos o valor de uma das vari´veis numa das equa¸oes. Por con- a c˜ veniˆncia, ´ melhor isolar o valor de x na segunda equa¸ao, obtendo: e e c˜ x = 6 − y. A seguir, substitu´ ımos esse valor na outra equa¸ao, obtendo uma c˜ equa¸ao do primeiro grau. Resolvendo temos: c˜ 2(6 − y) + 3y = 14 12 − 2y + 3y = 14 y=2 Assim, y = 2. Imediatamente, encontramos o valor de x = 6 − 2 = 4. Vamos agora resolver alguns problemas semelhantes. O problema a seguir foi proposto na primeira fase da Olimp´ıada Brasileira de Matem´tica. ai i i i
  26. 26. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 26i i 26 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES Exemplo 1.13. Passarinhos brincam em volta de uma velha ´rvore. a Se dois passarinhos pousam em cada galho, um passarinho fica voando. Se todos os passarinhos pousam, com trˆs em cada galho, um galho e fica vazio. Quantos s˜o os passarinhos? a Solu¸ao: Vamos chamar de p o n´mero de passarinhos e g o n´mero c˜ u u de galhos da ´rvore. Temos que se dois passarinhos pousam em cada a galho, um passarinho fica voando, ou seja, 2g = p − 1. Al´m disso, se todos os passarinhos pousam, com trˆs em um mesmo e e galho, um galho fica vazio: 3(g − 1) = p. Substituindo na equa¸ao anterior, temos que 2g = 3g − 3 − 1, onde c˜ segue-se que g = 4 e p = 9. Exemplo 1.14. Quanto medem as ´reas na figura abaixo, sabendo a B S2 S1 A Figura 1.1: que o quadrado tem lado 1 e as curvas s˜o arcos de c´ a ırculos com centros nos v´rtices A e B do quadrado, respectivamente. e Solu¸ao: Da figura temos que c˜ 2 S1 + S2 = π4 S1 + 2S2 = 1i i i i
  27. 27. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 27i i ¸˜ [SEC. 1.2: SISTEMAS DE EQUACOES DO PRIMEIRO GRAU 27 ou seja, chegamos a um sistema de equa¸oes do primeiro grau com c˜ duas inc´gnitas S1 e S2 . Da primeira equa¸ao temos que o c˜ π2 S1 = − S2 ; 4 substituindo esta na segunda equa¸ao obtemos c˜ π2 − S2 + 2S2 = 1, 4 de onde π2 − S2 = 1. 4 Logo, π2 S2 = 1 − 4 e π2 π2 π2 S1 = − 1− = −1 4 4 2 Exemplo 1.15. Carlos e Cl´udio s˜o dois irm˜os temperamentais a a a que trabalham carregando e descarregando caminh˜es de cimento. o Para Carlos e Cl´udio tanto faz carregar ou descarregar o caminh˜o, a a o trabalho realizado por eles ´ o mesmo. Quando est˜o de bem, e a trabalham juntos e conseguem carregar um caminh˜o em 15 minutos. a Cl´udio ´ mais forte e trabalha mais r´pido conseguindo carregar a e a sozinho um caminh˜o em 20 minutos. a 1. Um dia, Cl´udio adoeceu e Carlos teve que carregar os cami- a nh˜es sozinho. Quanto tempo ele leva para carregar cada um? o 2. Quando os dois brigam, Carlos costuma se vingar descarregando o caminh˜o, enquanto Cl´udio o carrega com sacos de cimento. a a Quanto tempo Cl´udio levaria para carregar o caminh˜o com a a Carlos descarregando?i i i i
  28. 28. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 28i i 28 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES Solu¸ao: Vamos chamar de x a quantidade de sacos que Cl´udio car- c˜ a rega por minuto e y a quantidade de sacos que Carlos carrega por minuto. Como Cl´udio carrega mais que Carlos, sabemos que y < x. a Do enunciado, sabemos que os dois juntos carregam um caminh˜o a em 15 minutos. Se um caminh˜o tem capacidade para c sacos, temos a que: 15x + 15y = c. Al´m disso, sabemos que Cl´udio sozinho carrega o mesmo caminh˜o e a a em 20 minutos. Logo, 20x = c. Assim, igualando as duas equa¸oes, temos que c˜ 15x + 15y = 20x, onde 15y = 20x − 15x = 5x. Logo, dividindo ambos os lados por 5, temos que 3y = x. Assim, Cl´udio carrega trˆs vezes mais sacos que Carlos e a resposta do a e primeiro item ´ 20 × 3 minutos, j´ que 60y = 20 × 3y = 20x = c. e a Para descobrir quanto tempo os dois levam para carregar o cami- nh˜o quando est˜o brigados, observamos que a cada minuto eles car- a a regam x − y sacos, ou seja, 3y − y = 2y sacos. Logo, precisam de 30 minutos, j´ que 30 × 2y = 60y = c. a 1.3 Exerc´ ıcios 1. Observe as multiplica¸oes a seguir: c˜ (a) 12.345.679 × 18 = 222.222.222 (b) 12.345.679 × 27 = 333.333.333 (c) 12.345.679 × 54 = 666.666.666 Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quan- to?i i i i
  29. 29. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 29i i [SEC. 1.3: EXERC´ ICIOS 29 2. Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O sal´rio (sem horas extras) excede em 200 reais o a que recebi pelas horas extras. Qual ´ o meu sal´rio sem horas e a extras? 3. Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10 h, uma torneira B enche o mesmo tanque sozinha em 15 h. Em quantas horas as duas torneiras juntas encher˜o o tanque? a 4. O dobro de um n´mero, mais a sua ter¸a parte, mais a sua u c quarta parte somam 31. Determine o n´mero. u 5. Uma certa importˆncia deve ser dividida entre 10 pessoas em a partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$5.000,00 a mais. Calcule a importˆncia. a 6. Roberto disse a Val´ria: “pense um n´mero, dobre esse n´mero, e u u some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Val´ria disse “15” ao Roberto, que imediatamente reve- e lou o n´mero original que Val´ria havia pensado. Calcule esse u e n´mero. u 7. Por 2/3 de um lote de pe¸as iguais, um comerciante pagou c R$8.000,00 a mais do que pagaria pelos 2/5 do mesmo lote. Qual o pre¸o do lote todo? c 3a+6 8. Determine um n´mero real a para que as express˜es u o 8 e 2a+10 6 sejam iguais. 9. Se vocˆ multiplicar um n´mero real x por ele mesmo e do re- e u sultado subtrair 14, vocˆ vai obter o qu´ e ıntuplo do n´mero x. u Qual ´ esse n´mero? e u 10. Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade. Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades ser´ de 45 anos. Quais s˜o as nossas idades? a ai i i i
  30. 30. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 30i i 30 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES 11. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em trˆs lojas. Em e cada uma gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 12. Com os algarismos x, y e z formam-se os n´meros de dois al- u garismos xy e yx, cuja soma ´ o n´mero de trˆs algarismos zxz. e u e Quanto valem x, y e z? 1.4 Equa¸˜o do Segundo Grau ca Como j´ mencionamos em nossa introdu¸ao, o conhecimento de m´- a c˜ e todos para solucionar as equa¸oes do segundo grau remontam `s civ- c˜ a iliza¸oes da antiguidade, como os babilˆnios e eg´ c˜ o ıpcios. Apesar disso, a f´rmula que conhecemos por f´rmula de Bhaskara, em homenagem o o ao matem´tico indiano de mesmo nome e que determina as solu¸oes a c˜ de uma equa¸ao do segundo grau, s´ veio a aparecer do modo que c˜ o usamos muito mais tarde, com o francˆs Vi`ti. Nesta se¸ao iremos e e c˜ deduzir esta f´rmula e aplic´-la a alguns problemas interessantes. o a 1.4.1 Completando Quadrados Um modo de resolver uma equa¸ao do segundo grau ´ o m´todo de c˜ e e completar quadrados. Ele consiste em escrever a equa¸ao numa forma c˜ equivalente que nos permita concluir quem s˜o as solu¸oes direta- a c˜ mente. Vamos ilustrar isso com um exemplo, resolvendo a equa¸ao c˜ x2 − 6x − 8 = 0. Podemos escrever essa equa¸ao como: c˜ x2 − 6x = 8. Somando 9 ao lado esquerdo, obtemos x2 − 6x + 9 que ´ o mesmo que e (x − 3)2 . Assim, somando 9 a ambos os lados da equa¸ao, obtemos: c˜ (x − 3)2 = 9 + 8 = 17.i i i i
  31. 31. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 31i i ¸˜ [SEC. 1.4: EQUACAO DO SEGUNDO GRAU 31 √ √ Logo, x − 3 = 17 ou x − 3 = − 17. Logo, as solu¸oes s˜o: c˜ a √ √ x1 = 3 + 17 e x2 = 3 − 17. Na sua forma geral, a equa¸ao do segundo grau com coeficientes c˜ a, b e c ´ a equa¸ao: e c˜ ax2 + bx + c = 0, onde a = 0. (1.3) Para encontrar as solu¸oes desta equa¸ao, vamos proceder do c˜ c˜ seguinte modo: isolando o termo que n˜o cont´m a vari´vel x do a e a lado direito da igualdade na equa¸ao (1.3) c˜ ax2 + bx = −c e dividindo os dois lados por a, obtemos: b −c x2 + x = . a a Agora vamos acrescentar uma n´mero em ambos os lados da u equa¸ao acima, de modo que o lado esquerdo da igualdade seja um c˜ b2 quadrado perfeito. Para isso, observe que ´ necess´rio adicionar 4a2 e a aos dois lados da igualdade. Assim, temos que: 2 2 b b b b2 c b2 − 4ac x+ = x2 + 2 x+ = − = . 2a 2a 2a 4a2 a 4a2 Em geral, chamamos a express˜o b2 −4ac de discriminante da equa¸ao a c˜ (1.3) e denotamos pela letra mai´scula ∆ (lˆ-se delta) do alfabeto u e grego. Assim, podemos escrever a igualdade anterior como: 2 b b2 − 4ac ∆ x+ = = 2. (1.4) 2a 4a2 4a Por isso, para que exista algum n´mero real satisfazendo a igual- u dade acima, devemos ter que ∆ ≥ 0, j´ que o termo da esquerda na ai i i i
  32. 32. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 32i i 32 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES igualdade ´ maior ou igual a zero. Extraindo a raiz quadrada quando e ∆ ≥ 0, temos as solu¸oes: c˜ √ √ b b2 − 4ac b b2 − 4ac x+ = e x+ =− . 2a 2a 2a 2a Assim, obtemos as duas soluc˜es: o √ √ b b2 − 4ac −b + ∆ x1 = − + = 2a 2a 2a e √ √ b b2 − 4ac −b − ∆ x2 = − − = . 2a 4a2 2a Observe que s´ existem solu¸oes reais quando ∆ ≥ 0. Quando o c˜ ∆ > 0 temos duas solu¸oes diferentes e quando ∆ = 0 as solu¸oes x1 c˜ c˜ e x2 coincidem. Caso ∆ < 0 solu¸oes reais n˜o existem. c˜ a Em resumo: ∆>0 duas solu¸oes reais c˜ ∆=0 uma solu¸ao real c˜ ∆<0 sem solu¸ao real c˜ Vamos fazer alguns exemplos: Exemplo 1.16. Encontre as solu¸oes da equa¸ao 2x2 − 4x = 0. c˜ c˜ Solu¸ao: Observe que a = 2, b = −4 e c = 0. Logo, c˜ ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 · 2 · 0 = 16. Assim, as solu¸oes s˜o: c˜ a √ √ √ √ −b + ∆ 4 + 16 −b − ∆ 4 − 16 x1 = = =2 e x2 = = = 0. 2a 4 2a 4i i i i
  33. 33. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 33i i ¸˜ [SEC. 1.4: EQUACAO DO SEGUNDO GRAU 33 Exemplo 1.17. Encontre as ra´ ızes da seguinte equa¸ao do segundo c˜ grau: x2 − x − 1 = 0. Solu¸ao: Basta aplicarmos diretamente a f´rmula que acabamos de c˜ o deduzir. Como a = 1, b = −1 e c = −1, calculando ∆ temos: ∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4. · 1 · (−1) = 5. Logo, as solu¸oes s˜o: c˜ a √ √ −b + ∆ 1+ 5 x1 = = 2a 2 e √ √ −b − ∆ 1− 5 x2 = = 2a 2 √ Observa¸˜o 1.18. O n´mero (1 + 5)/2 ´ chamado de raz˜o aurea. ca u e a ´ Este n´mero recebe essa denomina¸ao pois, freq¨entemente, as pro- u c˜ u por¸oes mais belas e que a natureza nos proporciona est˜o pr´ximas c˜ a o da raz˜o ´urea. Por exemplo, no arranjo das p´talas de uma rosa, a a e nas espirais que aparecem no abacaxi, na arquitetura do Parthenon, nos quadros de da Vinci e nos ancestrais de um zang˜o podemos a encontrar a raz˜o ´urea. a a O problema a seguir est´ relacionado com a seq¨ˆncia de Fi- a ue bonacci e com a raz˜o ´urea. Dizemos que uma seq¨ˆncia de n´meros a a ue u an satisfaz a rela¸ao de Fibonacci se, para todo n ≥ 0, temos que c˜ an+2 = an+1 + an . (1.5) Exemplo 1.19. Encontre todas as seq¨ˆncias an da forma an = xn ue para algum x = 0 que satisfazem a rela¸ao de Fibonacci. c˜i i i i
  34. 34. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 34i i 34 ¸˜ [CAP. 1: EQUACOES Solu¸ao: Sabendo que an satisfaz a rela¸ao de Fibonacci e que an ´ c˜ c˜ e da forma xn , podemos concluir que para todo n ≥ 0: xn+2 − xn+1 − xn = 0. Colocando xn em evidˆncia na equa¸ao acima, temos que: e c˜ xn (x2 − x − 1) = 0 Logo, temos duas possibilidades: ou xn ´ zero, ou x2 − x − 1 = 0. e Como x = 0, temos que xn = 0 e que x2 −x−1 = 0. Logo, observando a solu¸ao do Exemplo 1.17, temos que as unicas seq¨ˆncias s˜o: c˜ ´ ue a √ n √ n 1+ 5 1− 5 an = ou an = . 2 2 Exemplo 1.20. Sabendo que x ´ um n´mero real que satisfaz e u 1 x=1+ 1, 1+ x determine os valores poss´ ıveis de x. Solu¸ao: A solu¸ao desse problema consiste numa simples manipu- c˜ c˜ la¸ao alg´brica, que feita com cuidado nos levar´ a uma equa¸ao do c˜ e a c˜ segundo grau. Vejamos: 1 x+1 1 x 1 + 2x 1+ = ⇒1+ 1 =1+ = x x 1+ x 1+x 1+x Logo, n´s temos que: o 1 + 2x x= ⇒ x2 + x = 1 + 2x ⇒ x2 − x − 1 = 0, 1+xi i i i
  35. 35. “rev-E-I-D” i i 2006/11/17 page 35i i ¸˜ [SEC. 1.4: EQUACAO DO SEGUNDO GRAU 35 de onde segue-se que √ √ 1+ 5 1− 5 x1 = e x2 = 2 2 Observa¸˜o 1.21. Se an e bn satisfazem a rela¸ao de Fibonacci 1.5, ca c˜ ent˜o dados n´meros reais c e d, qualquer seq¨ˆncia da forma can + a u ue dbn satisfaz a rela¸ao. Pode-se provar que as seq¨ˆncias dessa forma c˜ ue com an = xn e bn = xn calculados anteriormente, s˜o as unicas 1 2 a ´ seq¨ˆncias que satisfazem a rela¸ao. ue c˜ 1.4.2 Rela¸˜o entre Coeficientes e Ra´ ca ızes Dada a equa¸ao ax2 + bx + c = 0, com a = 0, j´ calculamos explici- c˜ a tamente as suas ra´ ızes, x1 e x2 . Vamos estabelecer agora as rela¸oes c˜ entre a, b e c e as ra´ızes x1 e x2 . Como j´ obtivemos, temos que: a √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 = e x2 = . 2a 2a Assim, somando x1 com x2 : √ √ −b + ∆ −b − ∆ −2b −b x1 + x2 = + = = . (1.6) 2a 2a 2a a Por outro lado, fazendo o produto x1 x2 temos: √ √ −b + ∆ −b − ∆ x1 x2 = · = 2a 2a √ √ −b+ ∆ −b− ∆ (1.7) = = 4a2 b2 − ∆ 4ac c = 2 = 2 = . 4a 4a ai i i i

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