Apost 3 numeros racionais - irracionais

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Apost 3 numeros racionais - irracionais

  1. 1. N´ meros racionais e irracionais u Carlos E. N. Bahiano Instituto de Matem´tica a Universidade Federal da Bahia - UFBa 40.210-170 Salvador, Bahia, Brasil
  2. 2. Sobre o autor: Carlos Eduardo Nogueira Bahiano ´ doutor em Matem´tica e a e ´pela Universidade Estadual de Campinas. Sua ´rea de pesquisa ´ Algebra aComutativa. Professor na Universidade Federal da Bahia, divide o seu tempoentre as atividades de pesquisa e as atividades acadˆmicas na Gradua¸ao e na e c˜P´s-gradua¸ao em Matem´tica da UFBA. Na juventude, na cidade de Ilh´us, o c˜ a esua cidade natal, lecionou matem´tica para alunos no ensino fundamental e am´dio do Instituto Municipal de Educa¸ao. e c˜
  3. 3. Conte´do u1 Senso comum 1 1.1 Arist´teles e o senso comum: no¸ao de igualdade . . . . . . . . o c˜ 1 1.2 Os matem´ticos e a no¸ao de objetos equivalentes . . . . . . . a c˜ 32 O que ´ uma raz˜o? e a 7 2.1 Teorema de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 N´ meros racionais u 15 3.1 O que ´ um n´ mero racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 15 3.1.1 Representando n´ meros racionais com numerador e de- u nominador relativamente primos . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2 Ordenando os racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Opera¸oes aritm´ticas com n´ meros racionais . . . . . . . . . . c˜ e u 23 3.2.1 Soma e produto de n´ meros racionais . . . . . . . . . . u 23 3.2.2 Subtraindo n´ meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . u 30 3.2.3 Divis˜o de n´ meros racionais . . . . . . . . . . . . . . . a u 30 3.3 Representa¸ao decimal para n´ meros racionais . . . . . . . . . c˜ u 34 3.3.1 Fra¸oes decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 37 3.4 N´ meros racionais e Propor¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . u c˜ 40 3.4.1 Divis˜o em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . a 42 3.4.2 Regra de trˆs simples e composta . . . . . . . . . . . . . e 474 N´ meros irracionais u 51 4.1 Quanto mede isto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 O que ´ um n´ mero irracional? . . . . . . . . . . . . . . . . . . e u 53 4.3 Aritm´tica dos N´ meros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . e u 54 iii
  4. 4. iv ´ CONTEUDO 4.3.1 Representando o produto de irracionais . . . . . . . . . √ 54 4.3.2 Qual o inverso de √ . . √. . . . . . . . . . . . . . . . 2? . 55 4.3.3 Qual o produto de 2 por 3? . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.4 Aproximando um n´ mero irracional por um n´ mero racional 63 u √ u 4.3.5 Calculando aproxima¸oes para b . . . . . . . . . . . . c˜ 64 4.3.6 Nosso amigo Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3.7 Irracional t˜o pequeno ou t˜o grande quanto se queira . a a 67 4.3.8 Irracionais alg´bricos e transcendentes . . . . . . . . . . e 685 Fra¸oes cont´ c˜ ınuas 69 5.1 Fra¸oes cont´ c˜ ınuas e n´ meros racionais . . . . . . . . . . . . . . u 69 5.2 Fra¸oes cont´ c˜ ınuas e n´ meros irracionais . . . . . . . . . . . . . u 79A Problemas interessantes 85 A.1 O problema dos 35 camelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.2 H´rcules e a tartaruga . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.3 Jo˜o e Maria . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 A.4 O π dos eg´ıpcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.5 Aproximando a raiz quadrada √ de 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.6 Aproximando a 3 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A.7 Divis˜o de fra¸oes . . . . . . a c˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87B Para saber mais 89 B.1 Livro recomendado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B.2 Artigos recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 B.3 Respostas de exerc´ ıcios selecionados do Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . 90Referˆncias Bibliogr´ficas e a 93
  5. 5. Lista de Figuras 2.1 Raz˜o entre as ´reas ABC e ABCD ´ 1 . . . . . . . . . . a a e 2 . . 8 2.2 Raz˜o entre comprimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . 9 2.3 Qual a raz˜o entre a ´rea do c´ a a ırculo e a ´rea do quadrado? a . . 10 2.4 A ´rea branca no interior do c´ a ırculo corresponde a 2 cm2 . . . 11 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.6 A ´rea do c´ a ırculo de raio 1 cm ´ igual a π. . . . . . . . . . . e . . 11 2.7 A artimanha de Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 AC PR 2.8 Teorema de Thales BC = QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Papiro de Ahmes 1700 AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Posi¸ao√ c˜ relativa na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.3 AE AC = 2√22 ´ racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 18 3.4 ABC ´ congruente a CP E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 19 3.5 A ´rea escura representa 2 da ´rea de ABCD e em EF GH a 3 a representa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 20 3.6 A ´rea escura em ABCD representa 10 e em EF GH representa a 15 12 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.7 Representa¸ao de n´ meros racionais na reta . . . . . . . . . . . c˜ u 23 3.8 Os quadrados ABCD e EF GH tˆm 24 retˆngulos de mesma ´rea. e a a 24 3.9 A ´rea dos retˆngulos escuros, juntos, representa uma fra¸ao a a c˜ igual a 19 do quadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 25 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 3.11 A ´rea escura representa 16 da ´rea do quadrado . . . . . . . . a a 27 1 3.12 A ´rea escura representa 4 da ´rea do quadrado . . . . . . . . a a 27 3.13 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao 6 . . . . . . . . . . . . . . . a a c˜ 4 28 3.14 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . . . . . . a a c˜ 28 v
  6. 6. vi LISTA DE FIGURAS 3.15 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 28 3.16 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 29 3.17 A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 29 3.18 Os segmentos em negrito correspondem ` fra¸ao . . . . . a c˜ . . . . . 29 3.19 A ´rea em negrito corresponde ` fra¸ao . . . . . . . . . . a a c˜ . . . . . 30 3.20 Divis˜o em partes proporcionais . . . . . . . . . . . . . a . . . . . 43 3.21 AP = 1 , P C = 1 , AD = 2, 4 e DB = 3, 6. . . . . 3 2 . . . . . 45 3.22 Paralelep´ ıpedo de largura x, comprimento y e altura z. . . . . . 47 4.1 Representa¸ao de n´ meros racionais na reta . . . . . . . . . . . c˜ u 51 4.2 AB = AD = BC = 1, AE √ BF = x , x2 = 2 , e P Q√ QR = x. = = 52 4.3 Representa¸ao na reta de 2 e seu oposto aditivo − 2. . . . . c˜ 53 4.4 Representa¸ao na reta da soma de irracionais. . . . . . . . . . . c˜ 55 1 4.5 Representa¸ao do inverso de x : OP = OA = 1 e OI = x . . . c˜ 56 1 4.6 Representa¸ao na reta de 2 c˜ √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.7 Representa¸ao do produto de n´ meros reais: OA = 1, OB = y, c˜ u OC = x e OP = xy. . . √ . . √. . . . . . . . . . . . . . . . . . √ . . 57 4.8 Representa¸ao de 2 × 3 = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 58 4.9 A ´rea cinza representa π da ´rea do quadrado . . . . . . . . . a 4 a 59
  7. 7. Caros Professores e Alunos,O presente texto ´ uma introdu¸ao ao conjunto dos n´ meros reais. Escrever e c˜ uum texto sobre n´ meros reais para uma turma t˜o heterogˆnea foi um desafio u a ea´rduo e gratificante. A dificuldade central em falar sobre n´meros reais, para ualunos no ensino fundamental e m´dio, reside basicamente na impossibilidade ede apresentar um no¸ao, ou defini¸ao, que utilize as constru¸oes mentais que a c˜ c˜ c˜tenra idade permite. Desta forma, recomendamos, tanto ao professor quanto aoaluno, a associa¸ao dos n´ meros reais positivos com comprimento de segmentos c˜ ude retas iniciando em um ponto O e terminando ` direita do mesmo. a A id´ia de que cada segmento tem um comprimento ´ facilmente aceita e e √pelos alunos. O uso de r´gua e compasso pode auxiliar a constru¸ao de 2 e c˜e de outros n´ meros irracionais mas, lembre-se que nossa vis˜o n˜o ´ muito u a a eexata. Os exerc´ ıcios sobre divis˜o proporcional podem, e devem, tamb´m ser a etrabalhados utilizando o Teorema de Thales. Assumimos que a no¸ao de fra¸ao j´ ´ de conhecimento do aluno. Caso seja c˜ c˜ a enecess´rio, o aluno pode, e deve, rever o livro utilizado na 4a e 5a s´ries. a e Ao final deste curso, recomendamos que os alunos revejam e refa¸am os cexerc´ ıcios dos livros de Matem´tica que eles utilizaram na sua escola. a O autor gostaria de ouvir de vocˆs cr´ e ıticas e sugest˜es para a melhoria do otexto. Finalmente, agradecemos ao professor Samuel Jurkiewicz pelo texto uti-lizado no cap´ ıtulo sobre fra¸oes cont´ c˜ ınuas e pelos problemas interessantes in-clusos no apˆndice, e, ` professora Maria Lucia Villela por sua colabora¸ao e a c˜como revisora. Divirtam-se, Carlos E. N. Bahiano
  8. 8. Cap´ ıtulo 1Senso comum1.1 Arist´teles e o senso comum: no¸˜o de igual- o ca dade Acredita-se que os primeiros fil´sofos surgiram nas colˆnias gregas de Jˆnia o o oe Magna Gr´cia no s´culo VI antes de Cristo. A Filosofia caracterizava-se, e eat´ ent˜o, por ser uma busca organizada e racional de explica¸oes para os e a c˜fenˆmenos naturais e quest˜es que desafiavam a mente humana. Existiam ba- o osicamente dois tipos de problemas: o primeiro tipo compreendia a necessidadede entender a natureza humana, sua origem e raz˜o de sua existˆncia; o se- a egundo grupo compreendia a necessidade de entender os fenˆmenos naturais, a oexistˆncia de padr˜es matem´ticos e sua utiliza¸ao para compreender, prever e e o a c˜resolver problemas cotidianos relativos ` constru¸ao, com´rcio, m´ sica e outros. a c˜ e uNeste momento, entendia-se que o estabelecimento de uma resposta aceita portodos como verdadeira solucionava o problema em quest˜o, este era o chamado a“Senso comum.” Do ponto de vista matem´tico o uso da express˜o senso comum tem seu a aprimeiro registro no Livro I dos Elementos de Euclides. Euclides de Alexan-dria (360A.C-265 A.C) ´ o mais conhecido autor matem´tico da antiguidade, e aescreveu “Stoichia”(Os elementos) uma obra composta por treze livros quereuniam o conhecimento matem´tico de seus predecessores, sendo cinco sobre ageometria plana, trˆs sobre n´ meros, um sobre propor¸oes, um sobre grandezas e u c˜incomensur´veis e os trˆs ultimos sobre geometria no espa¸o. No livro I, apare- a e ´ c 1
  9. 9. 2 CAP´ ITULO 1. SENSO COMUMcem as seguintes afirma¸oes: c˜ 1. Objetos que s˜o iguais a uma mesma coisa tamb´m s˜o iguais entre si. a e a 2. Se iguais forem somados a iguais, ent˜o os resultados s˜o iguais. a a 3. Se iguais forem subtra´ ıdos a dois valores iguais, ent˜o os resultados s˜o a a iguais. 4. Coisas que coincidem umas com as outras s˜o iguais entre si. a 5. O todo ´ maior que a parte. e Estas afirma¸oes, que ele classificou como senso comum, foram aceitas como c˜verdadeiras e, de certa forma, s˜o os princ´ a ıpios b´sicos para entender o que as˜o e para que servem os n´ meros, assim como, para resolver problemas ou a uequa¸oes envolvendo n´ meros. Podemos entender o uso destes princ´ c˜ u ıpios, quechamaremos de princ´pios do senso comum, estudando os exemplos a seguir. ıExemplo 1.1. J´lia tem 8 anos. Se somarmos 3 a idade que Paulo tem, u ´encontramos como resultado o dobro da idade de J´lia. Qual a idade de Paulo? u O dobro de 8 ´ 16, aplicando o primeiro princ´ e ıpio do senso comum, a idadede Paulo mais 3 ´ igual 16. Ou seja, a idade de Paulo mais 3 ´ igual a (13 + e e3). Aplicando o terceiro princ´ ıpio do senso comum, subtraindo 3, descobrimosa idade de Paulo. Paulo tem 13 anos.Exemplo 1.2. O triplo de idade de Paulo somado ao dobro da idade de Anaresulta em 10. Subtrair a idade de Ana do dobro da idade de Paulo, resulta em2. Qual a idade de Paulo? Se representarmos por x a idade de Paulo e por y a idade de Ana, podemosescrever o problema da seguinte forma: 3x + 2y = 10 e 2x − y = 2Ora, aplicando os princ´ ıpios do senso comum, como 2x−y = 2, ent˜o (2x−y)+ ay = 2 + y. Ou seja, 2x = 2 + y. Portanto, 2x − 2 = y. Por outro lado, devemoster 3x + 2y = 10. Substituindo y por 2x − 2 devemos ter 3x + 2(2x − 2) = 10.Ou seja, 3x + 4x − 4 = 10. Aplicando novamente os princ´ıpios do senso comuma´ equa¸ao 7x − 4 = 10, obtemos que 7x = 14 e portanto x = 2. Logo, como x c˜representa a idade de Paulo, Paulo tem 2 anos.
  10. 10. ´ ¸˜1.2. OS MATEMATICOS E A NOCAO DE OBJETOS EQUIVALENTES 3 Quando resolvemos problemas matem´ticos sempre utilizamos os princ´pios a ıdo senso comum, pois ao resolvermos um problema matem´tico estamos sem- apre comparando “coisas”. Por exemplo, comparamos ´reas, comparamos re- asultados de opera¸oes matem´ticas como soma, subtra¸˜o e divis˜o, al´m de c˜ a ca a eoutros objetos matem´ticos que conhecemos ao longo da nossa vida estudantil. aSe numa compara¸ao aplicamos os princ´pios do senso comum e obtemos um c˜ ıresultado falso, ent˜o os objetos comparados n˜o s˜o iguais. a a aExemplo 1.3. A professora perguntou a um aluno qual o resultado da ex-press˜o 5 + (35 ÷ 5). O aluno respondeu erradamente que o resultado era 8. aVamos provar que a resposta est´ errada. a A afirma¸ao do aluno foi que 5 + (35 ÷ 5) = 8. Se isto fosse verdade, sub- c˜traindo 5 em cada lado da igualdade, dever´ ıamos ter 35 ÷ 5 = 3. Mas todomundo sabe que 35 dividido por 5 ´ igual a 7 e 7 n˜o ´ igual a 3. Logo, a e a eresposta do aluno est´ errada. De fato, a resposta correta ´ 12. a eExerc´ıcio 1.4. Use os princ´pios do senso comum para descobrir o valor de ıx em cada uma das seguintes equa¸oes: c˜ 1. Se x + 2 = 5 quanto vale x? 2. Se 2x − 3 = 11 quanto vale x? 3. Se 2x − 3 = x + 7 quanto vale x? 4. Se x − 3 = 11 − x quanto vale x? 5. Se x ÷ 2 = 10 quanto vale x?1.2 Os matem´ticos e a no¸˜o de objetos equi- a ca valentes Na se¸ao anterior vimos que, para resolver um problema matem´tico, n´s c˜ a ousamos regras que antigamente eram chamadas de princ´ ıpios do senso comum.Hoje os matem´ticos deram um novo formato a estes princ´ a ıpios, reduzindo-ospara apenas trˆs e denominado-os de princ´ e ıpios de equivalˆncia. e 1. Todo objeto ´ igual a si pr´prio. e o
  11. 11. 4 CAP´ ITULO 1. SENSO COMUM 2. Se o objeto A ´ igual ao objeto B, ent˜o B ´ igual a A. e a e 3. Se o objeto A ´ igual ao objeto B e o objeto B ´ igual ao objeto C, ent˜o e e a o objeto A ´ igual ao objeto C eO primeiro princ´ ıpio ´ chamado de “reflexividade”, o segundo ´ chamado de e e“simetria” e o ultimo ´ a “transitividade”. Qualquer no¸ao de igualdade ou ´ e c˜equivalˆncia deve obedecer a estes trˆs princ´ e e ıpios. A raz˜o para utilizar estes aprinc´ ıpios, em lugar dos princ´pios do senso comum , ´ que hoje a Matem´tica ı e aest´ muito mais sofisticada e precisamos comparar outros objetos matem´ticos, a aal´m de n´ meros e ´reas. e u a De fato, a no¸ao de equivalˆncia ´ a ferramenta b´sica para a constru¸ao dos c˜ e e a c˜n´ meros, mas isto ´ uma hist´ria para ser contada mais tarde. Por enquanto u e opodemos nos contentar em entender que os n´ meros podem ser representados ude v´rias formas, que a no¸ao do que chamamos de n´ mero evoluiu de acordo a c˜ ucom as necessidades humanas, que existem regras para fazer opera¸oes com os c˜n´ meros e para compar´-los. Por exemplo, todas as express˜es a seguir s˜o u a o aiguais a 4. 12 8 4 63 1 √ 2 + 2, 3 + 1, 5 − 1, , + , − , 16, 22 , log10 104 3 3 3 15 5Podemos ainda representar os n´ meros usando tipos diferentes de escrita ou de unota¸ao. Por exemplo, o n´ mero 4 pode ser escrito nas seguintes formas: c˜ u IV em algarismo romano, 4 em algarismo ´ ındu-ar´bico. aCada civiliza¸ao pode possuir uma forma de representar os n´ meros, mas as c˜ uopera¸oes matem´ticas de soma, multiplica¸ao, divis˜o, exponencia¸ao, assim c˜ a c˜ a c˜como a resolu¸ao de equa¸oes num´ricas, sempre obedecem aos princ´ c˜ c˜ e ıpios deequivalˆncia ou, equivalentemente, a no¸ao de igualdade matem´tica. e c˜ a Para entender porque a no¸ao de n´ meros evoluiu com as necessidades hu- c˜ umanas, basta observar que no seu estado primitivo o homem apenas precisavados n´ meros naturais. Por exemplo, para saber se todos os filhos estavam upresentes, quantas “ovelhas” tinham, quantos soldados inimigos a tribo con-corrente tinha, etc. . . . Certamente, com o desenvolvimento da capacidade defazer com´rcio (troca) veio junto a necessidade de exprimir a falta ou d´bito e, e eneste momento, precisaram da no¸ao de n´ meros inteiros. Com a necessidade c˜ ude construir edifica¸oes veio a necessidade de comparar coisas, que podem ser c˜particionadas (divididas) em quantidades que n˜o poderiam ser quantificadas a
  12. 12. ´ ¸˜1.2. OS MATEMATICOS E A NOCAO DE OBJETOS EQUIVALENTES 5apenas com n´ meros inteiros, como por exemplo ´rea de terra, distˆncia entre u a adois pontos, justificando a “cria¸ao”dos n´ meros racionais e irracionais. c˜ u Outras necessidades humanas, quer sejam simplesmente a necessidade deexercer sua racionalidade atrav´s do pensamento matem´tico, ou necessidades e atecnol´gicas, nos levaram ´ amplia¸ao das no¸oes de n´ mero, de suas opera¸oes o a c˜ c˜ u c˜aritm´ticas e de suas representa¸oes. Ao longo da sua vida acadˆmica o aluno e c˜ econhecer´, sequencialmente, os seguintes conjuntos num´ricos: conjunto dos a en´ meros Naturais (representado por N), conjunto dos n´ meros Inteiros (repre- u usentado por Z), conjunto dos n´ meros Racionais (representado por Q) e Irra- ucionais (representado por I), conjunto dos n´ meros Reais (representado por R), uconjunto dos n´ meros Complexos (representado por C), conjunto dos n´ meros u u℘-´dicos (representado por Z(℘) ) e outros. Neste texto, estudaremos os n´ meros a uracionais e irracionais.
  13. 13. 6 CAP´ ITULO 1. SENSO COMUM
  14. 14. Cap´ ıtulo 2O que ´ uma raz˜o? e a Uma raz˜o ´ uma compara¸ao quantitativa entre dois objetos matem´ticos. a e c˜ aPodemos comparar informa¸oes num´ricas de naturezas diversas, por meio da c˜ eraz˜o entre elas. a • Podemos comparar informa¸oes num´ricas sobre dois conjuntos. Por ex- c˜ e emplo, podemos calcular a raz˜o entre a quantidade de alunos e a quanti- a dade de professores existentes numa escola ou, em outras palavras, quan- tos alunos existem para cada professor dispon´ıvel. • Podemos comparar o custo de um servi¸o e o n´ mero de pessoas aten- c u didas. Por exemplo, podemos calcular a raz˜o entre os gastos de uma a escola e o seu n´ mero de alunos. u • Podemos comparar informa¸ao num´rica sobre ´reas, volumes e, ou com- c˜ e a primentos. Por exemplo, a raz˜o entre a ´rea de um retˆngulo e o com- a a a primento da sua base ´ igual a altura do retˆngulo. A raz˜o entre a ´rea e a a a de um triˆngulo e a ´rea do paralelogramo, determinado por ele, ´ igual a a e a 0.5. • Podemos comparar o valor de uma distˆncia percorrida por um atleta e a o tempo gasto para percorrˆ-la. Neste caso, a raz˜o ´ a velocidade do e a e atleta e a informa¸ao, que a raz˜o fornece, ´ a id´ia de quanto tempo o c˜ a e e atleta gastou em cada parte do percurso. 7
  15. 15. 8 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO? A D B C 1 Figura 2.1: Raz˜o entre as ´reas ABC e ABCD ´ a a e 2 • Podemos comparar o peso de uma pessoa e o quadrado da sua altura em metros. Neste caso, a raz˜o ´ conhecida como ´ a e Indice de massa corporal, peso em Kg IM C = . Altura ao quadrado O IMC ´ usado para determinar se uma pessoa est´ acima ou abaixo do e a peso normal. A tabela abaixo ´ uma classifica¸ao usada pela Organiza¸ao e c˜ c˜ Mundial de Sa´ de: u Categoria IMC Abaixo do peso menor que 18,5 Peso normal entre 18,5 e 24,9 Sobrepeso entre 25 e 29,9 Obesidadede acima de 30 • Podemos comparar a ´rea de um c´ a ırculo com o quadrado do seu raio. Neste caso, a raz˜o ´ igual a π. Veja a figura 2.6 a e • Podemos comparar o pre¸o de um saco de bombons com a quantidade de c bombons existentes no saco. Neste caso, a raz˜o fornece o pre¸o de cada a c bombom. • Podemos concluir que uma raz˜o expressa uma rela¸ao entre dois n´ meros a c˜ u e que esta rela¸ao cont´m, de certa forma, informa¸oes sobre os objetos c˜ e c˜ associados aos n´ meros. Por exemplo, se 10 garrafas idˆnticas, comple- u e tamente cheias, contˆm 9 litros de suco, ent˜o a raz˜o entre o volume, e a a 9 ℓ, e o n´ mero de garrafas, nos informa a capacidade de cada garrafa. O u e 9 volume de cada garrafa ´ 10 ℓ = 900 mℓ.
  16. 16. 9 A seguir, exemplificamos dois tipos de raz˜o que tˆm como resultado o a eobjeto de estudo deste curso. No primeiro exemplo, 2.1, a raz˜o descrita ´ um a en´ mero racional e no segundo exemplo, 2.2, a raz˜o ´ o n´ mero irracional π. u a e uExemplo 2.1. Considere os cinco segmentos de reta A, B, C, D e E, descritosna figura abaixo, cujos comprimentos est˜o indicados em metros. a 2, 25 m 2m 1m 0, 75 m 0, 5 m 0, 25 m 0 A B C D E Figura 2.2: Raz˜o entre comprimentos a Podemos nos perguntar quantos segmentos de mesmo comprimento que osegmento A s˜o necess´rios para construir o segmento E, colando-os um ap´s a a oo outro. Neste caso, vemos que s˜o necess´rios 9 segmentos. De fato, o seg- a amento C pode ser constru´do com 4 segmentos iguais a A, o segmento D pode ıser contru´do com 8 segmentos iguais a A e, finalmente, o segmento E pode ıser constru´do com 9 segmentos iguais a A. Portanto, a raz˜o entre os com- ı aprimentos dos segmentos E e A ´ igual a 9. e Por outro lado, comparando os segmentos E e D, percebemos que, paraconstruir E, ser˜o necess´rios dois segmentos iguais a C e mais um segmento a aigual ao segmento A, enquanto para D ser˜o necess´rios 8 segmentos iguais a a aA. Conseq¨entemente, a raz˜o ´ igual a 9 ÷ 8, ou seja, 1, 125. u a e No exemplo acima, vimos que comparando o segmento E com o segmentoD, conclu´ ımos que poder´ ıamos construir o segmento E, usando um segmento
  17. 17. 10 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?igual a D e mais um segmento correspondente ao segmento D dividido em 8partes iguais, ou seja, dividindo o segmento de um metro em um n´ mero finito ude partes de comprimentos iguais, 4 partes neste caso. Podemos construir ossegmentos, citados no exemplo acima, colando um n´ mero finito de segmentos uiguais a A. Entretanto, nem toda raz˜o pode ser expressa como divis˜o de dois a an´ meros inteiros, como mostra o exemplo a seguir. uExemplo 2.2. Considere o c´rculo de raio igual a 1 cm e o quadrado de lado ıigual a 1 cm. Figura 2.3: Qual a raz˜o entre a ´rea do c´ a a ırculo e a ´rea do quadrado? a Vamos estimar qual a raz˜o entre a area do c´rculo e a area do quadrado. a ´ ı ´ Vamos chamar de π a ´rea do c´ a ırculo em cm2 . Sabemos que a ´rea do aquadrado de lado igual a 1 cm ´ 1cm2 . Podemos facilmente ver, na figura eabaixo, que a ´rea do c´ a ırculo ´ menor do que 4 vezes a ´rea de quatro quadrados e ade lado 1 cm. Dividindo cada quadrado em 4 e depois em 16 quadradinhos congruentes,temos: que a ´rea branca no interior do c´ a ırculo corresponde a 2 cm2 , e, anal-isando a ´rea externa ao c´ a ırculo, vemos que do lado de fora do c´ ırculo a ´rea ´ a emaior do que 0, 5 cm2 . Logo, conclu´ ımos que 2 < π < 3, 5.
  18. 18. 11 ırculo corresponde a 2 cm2 Figura 2.4: A ´rea branca no interior do c´ a Para prosseguir nossa an´lise, observe- amos que o c´ ırculo ´ formado por quatro fig- euras de mesma ´rea, logo basta que analise- amos uma destas figuras e depois multi-pliquemos o resultado por 4. Figura 2.5: Dividindo os lados do quadrado em partes cada vez menores, vamos observarque a ´rea do c´ a ırculo ´ maior do que 3,1 e menor do que 3,2 e, al´m disto, a ´rea e e ado c´ ırculo nunca vai ser inteiramente preenchida apenas com quadradinhos. Figura 2.6: A ´rea do c´ a ırculo de raio 1 cm ´ igual a π. e O que significa dizer que nunca expressaremos a raz˜o entre a ´rea do c´ a a ırculoe a ´rea do quadrado de forma an´loga ao feito para os segmentos do exemplo a a
  19. 19. 12 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?anterior, isto ´, como divis˜o de dois n´ meros inteiros. De fato, esta raz˜o ´ e a u a eigual a π cujo valor aproximado, com cinco casas decimais, ´ 3, 14159. eObserva¸˜o 1. Embora o exemplo anterior tenha sido feito com raz˜o entre ca aareas, existem infinitos exemplos de raz˜es, entre comprimentos de segmentos,´ oque jamais poder˜o ser expressos como raz˜o entre dois n´meros inteiros. Veja a a uexemplo 4.2.2.1 Teorema de Thales A no¸ao de raz˜o fornece um dos mais belos teoremas da geometria plana: c˜ aTeorema de Thales. Thales de Mileto nasceu na regi˜o hoje conhecida como aTurquia, na cidade de Milletus, em 610 AC. Al´m de matem´tico, Thales foi e ao que hoje chamar´ ıamos de engenheiro. Thales ficou conhecido por mediras pirˆmides do Egito, comparando a raz˜o entre a sua altura e sua sombra a acom a raz˜o entre o comprimento das sombras das pirˆmides. Em verdade, a aThales resolveu uma propor¸ao em que a altura era uma inc´gnita (valor a ser c˜ oencontrado), para isto, ele multiplicou a raz˜o entre sua altura e sua sombra apelo comprimento da sombra da pirˆmide e assim, determinou o comprimento ada pirˆmide. a Figura 2.7: A artimanha de Thales
  20. 20. 2.1. TEOREMA DE THALES 13Teorema 2.3 (Teorema de Thales). Se duas retas s˜o transversais a atrˆs retas paralelas, ent˜o a raz˜o entre dois segmentos quaisquer, e a adeterminados por uma delas, ´ igual ` raz˜o entre os segmentos e a acorrespondentes determinados pela outra. Isto ´, se A, B, C e P, Q, R es˜o os pontos de interse¸ao, respectivamente, entre as retas tranversais e as a c˜retas paralelas, ent˜o a AB PQ AC PR AC PR = = = . BC QR BC QR AB PQ A P B Q C R AC PR Figura 2.8: Teorema de Thales BC = QR .
  21. 21. 14 CAP´ ´ ˜ ITULO 2. O QUE E UMA RAZAO?
  22. 22. Cap´ ıtulo 3N´meros racionais u3.1 O que ´ um n´ mero racional e u Na se¸ao anterior, dissemos que a no¸ao intuitiva de n´mero modificou- c˜ c˜ use ao longo do tempo para atender, entre outras necessidades humanas, asnecessidades matem´ticas de cada ´poca. Vejamos as quest˜es a seguir. a e oQuest˜o 3.1. a 1. Qual o n´ mero que devemos “somar”a 3 para obter, como resultado da u soma, o n´ mero 2? u 2. Qual o n´ mero que devemos “multiplicar”por 2 para obter, como resul- u tado do produto, o n´ mero 3? u 3. Qual o n´ mero cujo quadrado ´ 2? u e 4. Quanto mede o per´ ımetro de um c´ ırculo de raio 1? 5. Existe algum n´ mero x tal que 10x = 2? u 6. Existe algum n´ mero cujo quadrado ´ -1? u eCada quest˜o acima nos leva ` necessidade de amplia¸ao do que foi chamado a a c˜de n´ mero em cada ´poca. u e A primeira quest˜o n˜o tem como solu¸ao um n´ mero natural. De fato, a a c˜ usomar dois n´ meros naturais sempre fornece como resultado um n´ mero maior u u 15
  23. 23. 16 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISou igual aos dois n´ meros naturais que foram somados (lembre-se que N = u{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}). Portanto, para responder corretamente aquest˜o 1, precisamos de considerar os n´ meros inteiros negativos. Diophantus a ude Alexandria, que viveu no s´culo II, em seu livro “Aritmetika”, denominou eos n´ meros inteiros negativos de n´mero absurdo ou imposs´vel, denomina¸ao u u ı c˜que persistiu at´ o s´culo XVI, quando finalmente passaram a ser chamados de e en´ meros negativos, e somente no s´culo XIX foram agregados ao conjunto dos u en´ meros naturais para formar o conjunto dos n´ meros inteiros: u u Z = {. . . , −8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}. Durante todo este tempo, cerca de dois mil anos, os matem´ticos trabalha- aram com uma no¸ao intuitiva de n´ meros inteiros negativos: “um n´mero ´ c˜ u u echamado de n´mero inteiro negativo se podemos som´-lo a um n´mero natural u a upara obter zero como resultado da soma.” A quest˜o 2 nos leva ao conceito de n´ meros racionais positivos. Intuiti- a uvamente, um n´ mero racional permite expressar a divis˜o ou parti¸ao de um u a c˜objeto, matem´tico ou n˜o, em quantidades que n˜o poderiam ser quantifi- a a acadas apenas com n´ meros inteiros. Por exemplo, quanto mede cada parte de uuma corda de 2 m que foi dividida em 3 partes iguais? Ou em outras palavras,quanto ´ 2 dividido por 3 ? e Os n´ meros racionais positivos us˜o conhecidos desde a antiguida- ade. O papiro de Ahmes, datado de1700AC, ilustra v´rios problemas en- avolvendo fra¸oes de n´ meros natu- c˜ urais. Ap´s a aceita¸ao dos n´ meros o c˜ uinteiros negativos os matem´ticos atamb´m passaram a considerar fra¸oes e c˜de um n´ mero negativo. u As quest˜es 3, 4 e 5, por sua vez, onos levam ao conceito de n´ mero ir- uracional. Alguns n´ meros irracionais √ ucomo 2 e π e a constante ´urea ϕaj´ eram conhecidos desde a antigu- aidade. Outros, como log 2, s˜o mais arecentes. Figura 3.1: Papiro de Ahmes 1700 AC
  24. 24. ´ ´3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL 17 Finalmente, a quest˜o 6 nos leva ao conceito de n´ mero complexo. a u Do ponto de vista matem´tico, a defini¸ao de n´ mero s´ foi formalizada a c˜ u opor volta de 1922, como conseq¨ˆncia dos trabalhos de George Cantor (1872), ueRichard Dedekind (1888), Ernest Zermelo (1908) e Adolf Fraenkel (1922). De um modo geral, podemos dizer que um n´ mero x ´ um n´ mero u e uracional se podemos multiplic´-lo por algum n´ mero natural n˜o- a u anulo e obter como resultado um n´ mero inteiro. Ou seja, um n´ mero u u a a u c˜ 2racional expressa a raz˜o ou divis˜o entre dois n´ meros inteiros. A nota¸ao 3representa o n´ mero racional que multiplicado por 3 resulta em 2. De forma uan´loga, a nota¸ao −2 representa o n´ mero racional que multiplicado por 3 a c˜ 3 uresulta em -2. Desta forma, os n´ meros a seguir s˜o exemplos de n´ meros racionais: u a u −3 3 −3 1 −0, 2 , , 0, , , , 0, 25 , 0, 825. 15 15 4 5Observe que −0, 2 × 10 = −2, que 0, 25 × 4 = 1. Logo, −0, 2 = −2 , assim como, 10 1 330, 25 ´ igual a 4 . De forma an´loga, 0, 825 × 40 = 33, logo 0, 825 = 40 . e aDefini¸˜o 3.2. Um n´mero racional ´ todo e qualquer n´mero que puder ser ca u e uescrito na forma x , em que x e y s˜o n´meros inteiros, com y diferente de y a uzero. O conjunto dos n´meros racionais ´ usualmente representado por Q. u e O valor x ´ chamado de numerador e o valor y ´ chamado de denomi- e enador. Por exemplo em 2 , o numerador ´ igual a 2 e o denominador ´ igual a 3 e e3. Uma forma de compreender o conjunto Q ´ lembrar que: o conjunto dos en´ meros inteiros ´ formado pelos n´ meros naturais (incluindo o zero) e os seus u e uopostos aditivos (os inteiros negativos). De forma an´loga, o conjunto dos an´ meros racionais ´ composto pelas fra¸oes de n´ meros naturais e seus opostos u e c˜ uaditivos. Al´m disto, os n´ meros racionais positivos, raz˜o entre dois inteiros e u apositivos, admitem uma interpreta¸ao como comprimento de segmentos de reta c˜medidos a partir de um ponto fixo, representado pelo zero. Enquanto os seusopostos aditivos, os racionais negativos, s˜o representados por um ponto em aposi¸ao sim´trica em rela¸ao ao zero. c˜ e c˜Quando dois n´ meros racionais s˜o iguais? u a Sabemos que ´ um n´ mero racional todo n´ mero que multiplicado por um e u un´ mero inteiro, diferente de zero, resulta em um n´ mero inteiro. Esta ca- u u
  25. 25. 18 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS −2 3 3 15 −2 −1 −3 0 2 1 2 15 3 Figura 3.2: Posi¸ao relativa na reta c˜racteriza¸ao de n´ meros racionais nos traz algumas quest˜es interessantes. Por c˜ u oexemplo, como determinar se dois n´ meros racionais s˜o iguais, uma vez que u aeles podem ter diferentes representa¸oes? Para ilustrar esta quest˜o considere c˜ aa quest˜o abaixo. aQuest˜o 3.3. Na figura a seguir, os triˆngulos ABC e ADE s˜o triˆngulos a a a aretˆngulos, nos quais AB = BC = 1, AD = DE = 2 e BC||DE. Qual a raz˜o a aentre os comprimentos de AE e AC? E C A B D √ AE 2 2 Figura 3.3: AC = √ 2 ´ racional. e Resposta: Como ABC e ADE s˜o triˆngulos semelhantes (veja 2.3), facil- a a ımos que AE = 2. Por outro lado, desde a antiguidade, os seresmente conclu´ AChumanos sabem calcular os comprimentos de AE e AC (Teorema de Pit´goras: √ a(AE)2 = (AD)2 + (DE)2 ). √ fato, o comprimento de AB ´ 2 e o compri- De emento de AE ´ √ dobro, 2 2. Logo, a raz˜o tamb´m pode ser expressa por √ e o a e2 2 √ . Portanto, 2 2 = 2 = 2 . √ 2 2 1Observa¸˜o 2. Para os alunos que n˜o sabem o conceito de semelhan¸a, basta ca a cobservar que o ponto de interse¸ao do segmento DE com a reta paralela ao c˜segmento AD e que passa pelo ponto C determina um ponto P , tal que ABCe CP E s˜o congruentes. a
  26. 26. ´ ´3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL 19 E C P A B D Figura 3.4: ABC ´ congruente a CP E. e Logo, o comprimento de AC ´ igual ao comprimento de CE. eO que esta quest˜o nos ensina? a Esta quest˜o nos ensina que a raz˜o entre dois n´ meros pode resultar em a a uum n´ mero racional, mesmo que estes n´ meros n˜o sejam inteiros. u u aComo saber se uma raz˜o ´ um n´ mero racional? a e u Para responder a esta pergunta, precisamos entender a propriedade funda-mental da igualdade entre raz˜es: “Duas raz˜es a e d , com b e d diferentes o o b cde zero, s˜o iguais se, e somente se, a × d = b × c.” Logo, uma raz˜o a , a a bentre dois n´ meros, ´ um n´ mero racional se, e somente se, existem inteiros c u e ue √ com d diferente de zero, tais que a × d = b × c. No exemplo 3.3, tem-se d,2 2 √ √ √ = 2 , pois 2 2 × 1 = 2 × 2. 2 1 Em particular, temos a seguinte regra para igualdade de n´ meros racionais. uPropriedade 3.4 (Igualdade de n´ meros racionais). u Dois n´ meros racionais a e d s˜o iguais se, e somente se, u b c a a × d = b × c.Exemplo 3.5. 2 −2 1. Os n´ meros racionais u 3 e −3 s˜o iguais pois, 2 × (−3) = 3 × (−2). a
  27. 27. 20 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS −3 3 2. Os n´ meros racionais u 5 e −5 s˜o iguais pois, (−3) × (−5) = 3 × 5. aUma conseq¨ˆncia da propriedade acima ´ dada a seguir. ue ePropriedade 3.6. Todo n´ mero racional pode ser representado na uforma a em que b ´ um n´ mero natural diferente de zero. b e u De fato, a propriedade acima nos diz que se b ´ um n´ mero natural n˜o-nulo, e u a a aent˜o −b = −a , pois a × (−b) = (−a) × b. Veja os exemplos em 3.5. bComo comparar dois n´ meros racionais? u Certamente, a compara¸ao entre dois n´ meros racionais ´ f´cil de ser feita c˜ u e aquando os dois n´ meros tˆm um mesmo denominador positivo. Vejamos o u eexemplo a seguir.Exemplo 3.7. Vamos comparar os racionais 2 e 4 . Podemos representar as 3 5raz˜es 3 e 4 , por meio das figuras a seguir, nas quais ABCD e EF GH s˜o o 2 5 aquadrados de mesma area. ´ B C F G H A D E 2Figura 3.5: A ´rea escura representa a 3 da ´rea de ABCD e em EF GH repre- asenta 4 . 5 Se dividirmos a area de ABCD em trˆs partes iguais e depois redividirmos ´ ecada parte em 5 partes iguais, a area de ABCD ser´ ent˜o dividida em 15 ´ a apartes iguais, e os dois ter¸os da area de ABCD corresponder˜o a 10 destas c ´ anovas partes. Da mesma forma, se dividirmos a area de EF GH em cinco ´partes iguais e depois redividirmos cada parte em 3 partes iguais, a area de ´
  28. 28. ´ ´3.1. O QUE E UM NUMERO RACIONAL 21EF GH ser´ ent˜o dividida em 15 partes iguais, e os quatro quintos da area de a a ´EF GH corresponder˜o a 12 destas novas partes. a C D F G B A E H 10Figura 3.6: A ´rea escura em ABCD representa a 15 e em EF GH representa1215 . Portanto, temos 3 = 10 e 4 = 15 . Portanto, a fra¸ao 4 representa uma 2 15 5 12 c˜ 5 2 4parte maior do que a fra¸ao 3 , e portanto o n´mero racional 5 ´ maior do que c˜ u e 2o n´mero racional 3 . u Logo, para comparar dois n´ meros racionais, basta reduzi-los a um mesmo udenominador. Pois, dois n´ meros racionais que possuem o mesmo de- unominador s˜o iguais se, e somente se, os numeradores s˜o iguais. a aAl´m disto, se dois n´ meros racionais possuem um mesmo denominador (pos- e uitivo), o maior entre eles ser´ aquele que possuir o maior numerador. Por aexemplo, 3 ´ maior do que 5 e 3 ´ maior do que −5 . Pois, 2 = 15 , 3 = 15 e 2 e 3 5 e 8 3 10 5 9 8 −24−5 = 15 . Por outro lado, 10 ´ maior do que 9 e 9 ´ maior do que −24. e eComo reduzir dois n´ meros racionais a um mesmo denominador ? u De um modo geral, dados dois n´ meros racionais a e d temos a = a × d u b c b b ×d c c×be = b × d . Logo, sempre ´ poss´ reescrever dois n´ meros racionais usando d e ıvel uum mesmo denominador. Neste caso, o denominador, a ser obtido, ser´ um am´ ltiplo comum dos dois denominadores. Observe que como b e d s˜o diferentes u ade zero, ent˜o o M M C(b, d) ´ o menor n´ mero natural diferente de zero que a e u´ m´ ltiplo de b e de d, logo sempre ´ poss´e u e ıvel multiplicar o numerador e o
  29. 29. 22 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISdenominador de a e, analogamente, de d , por n´ meros inteiros, de forma que b c uo denominador das duas raz˜es seja M M C(b, d). oExemplo 3.8. Para reduzir os n´meros racionais 5 e 8 a um mesmo denomi- u 6 3nador, observamos que M M C(6, 8) = 24. Por sua vez, 24 : 6 = 4 e 24 : 8 = 3.Logo, 6 = 5 × 4 = 24 e 5 = 8 × 3 = 15 . 5 6×4 20 8 5×3 243.1.1 Representando n´meros racionais com numerador u e denominador relativamente primos Todo n´ mero racional a pode ser escrito na forma x em que u b yM DC(x, y) = 1. De fato, se d = M DC(a, b), ent˜o existem inteiros x e y tais que a = x × d ae b = y × d e M DC(x, y) = 1. Logo, a = x×d = x . b y×d y 6 90Exemplo 3.9. Vamos escrever os racionais 12 , 35 e −20 com numeradores e 60denominadores relativamente primos. Temos M DC(6, 12) = 6, M DC(90, 35) =5 e M DC(−20, 60) = 20. Logo,6 1×6 1 90 18 × 5 18 −20 −1 × 20 −1 = = = = = =12 2×6 2 35 7×5 7 60 3 × 20 33.1.2 Ordenando os racionais Todo n´ mero inteiro ´ um n´ mero racional. De fato, se n ´ um n´ mero u e u e unatural ent˜o podemos escrevˆ-lo na forma de raz˜o n . Sendo assim, para a e a 1comparar dois n´ meros racionais precisamos de uma no¸ao de compara¸ao que u c˜ c˜coincida com a compara¸ao de inteiros. Desta forma, todo n´ mero racional c˜ unegativo, aquele que pode ser expresso na forma a com numerador negativo be denominador positivo, deve ser menor do que zero e menor do que qualquern´ mero racional positivo, aquele com numerador e denominador positivos. u Mais ainda, a um n´ mero racional positivo a corresponde uma distˆncia, u b amedida entre o ponto que representa o zero e o ponto que representa a , en- bquanto que, ao seu oposto aditivo −a corresponde o ponto em posi¸ao sim´trica b c˜ ecom respeito ao zero, conforme representado na figura abaixo. Desta forma, se ordenamos os racionais positivos tamb´m ordenaremos, eautomaticamente, os racionais negativos. A propriedade a seguir nos permitecomparar os n´ meros racionais, respeitando a no¸ao de maior ou menor dos u c˜n´ meros inteiros. u
  30. 30. ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 23 4 1 4 −3 −2 3 −3 − 5 −2 −1 − 2 0 1 2 1 5 2 5 2 3 2 3 4 2 Figura 3.7: Representa¸ao de n´ meros racionais na reta c˜ uPropriedade 3.10 (Ordenando os n´ meros racionais). Se os n´ meros u u b cracionais a e d tˆm denominadores positivos, ent˜o o n´ mero racional e a ua cb ´ maior do que o n´ mero racional d se, e somente se, a × d ´ maior e u edo que c × b. A regra acima pode ser escrita usando o s´ ımbolo “ >” (lˆ-se “maior do eque”). a c b > d se, e somente se, a × d > c × b. Utilizando a regra acima, sempre poderemos ordenar os n´ meros racionais, uescrevendo-os em ordem crescente ou decrescente.Exerc´ ıcio 3.11. Coloque os n´meros racionais abaixo em ordem crescente. u −1 −2 2 3 87 11 100 −10 . 5 3 4 7 2 23 3 43.2 Opera¸˜es aritm´ticas com n´ meros racionais co e u3.2.1 Soma e produto de n´meros racionais u A soma e o produto dos n´ meros racionais s˜o definidos como a seguir. u aDefini¸˜o 3.12 (Soma de n´ meros racionais). Dados dois n´meros racionais ca u ua cb e d temos: a c (a×d) + (b×c) b + d = b×dPropriedade 3.13. A soma de n´meros racionais tem as seguintes propriedades: u
  31. 31. 24 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS a c c a 1. b + d = d + b (Comutatividade) 2. ( a + d ) + b c x y = a b + (d + x) c y (Associatividade) 3. Para cada n´ mero racional a , existe um n´ mero racional d , tal que a + u b u c b c d = 0. De fato, temos a + −a = 0 = 0. Neste caso, dizemos que −a ´ o oposto b b b b e aditivo de a e escrevemos − a em lugar de −a . b b bO que significa somar dois n´ meros racionais? u Para entender o que significa somar dois n´ meros racionais, vamos conside- urar o caso da soma de dois n´ meros racionais positivos. u Nas duas figuras a seguir os quadrados ABCD e EF GH s˜o congruentes, a 3 1a parte escura representa, respectivamente, 2 e 8 das ´reas dos quadrados aABCD e EF GH. B C F G A D E HFigura 3.8: Os quadrados ABCD e EF GH tˆm 24 retˆngulos de mesma ´rea. e a a Se juntarmos a parte que representa 2 com a parte que representa 1 (lembre- 3 8 2se que 3 = 16 e 8 = 24 ), obteremos 19 partes de um quadrado que foi dividido 24 1 3em 24 partes iguais. Logo, a raz˜o entre a ´rea da uni˜o das partes escuras das duas figuras e a a a aa a 24 16 3 19´rea do quadrado, ser´ igual a 19 , ou seja, 24 + 24 = 24 . Deste exemplo, percebemos que para somar n´ meros racionais com um umesmo denominador basta somar os numeradores e manter o denominador.De um modo geral, dados dois n´ meros racionais a e d temos a = a × d e u b c b b ×dc c×b a×d+c×bd = b × d . Portanto, a soma ´ igual a e b×d .
  32. 32. ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 25 B C A DFigura 3.9: A ´rea dos retˆngulos escuros, juntos, representa uma fra¸ao igual a a c˜a 19 do quadrado. 24 3 2Quanto ´ e 4 de 5? 2 Na figura 3.10, a ´rea do retˆngulo AEHD corresponde a a a 5 da ´rea do aretˆngulo a ABCD. Se dividirmos B Co retˆngulo aABCD, horizon-talmente, em 5partes iguais edepois dividimos, E Hverticalmente, cada E Hparte em 4 partesiguais, o retˆngulo aABCD ser´ divi- adido em 20 partes A D A Diguais e a ´reaado retˆngulo AEHD a Figura 3.10:ser´ dividida em 8 partes iguais. a Desta forma, 3 da parte es- 4cura corresponde a 6 partes de um total de 20 partes da unidade, 3 6veja a figura 3.10. Logo, 4 da parte escura ´ igual a 20 . e
  33. 33. 26 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAISReduzindo a fra¸ao, temos que: c˜ 6 3×2 3 = = 20 4×5 10 De uma forma geral, calcular uma fra¸ao a de uma fra¸ao d corresponde ` c˜ b c˜ c a a×cfra¸ao b×d . Esta interpreta¸ao se estende para os n´ meros racionais. c˜ c˜ uDefini¸˜o 3.14 (Produto de n´ meros racionais). Dados dois n´meros ca u uracionais a e d temos: b c a c a×c b × d = b×dPropriedade 3.15. O produto de n´meros racionais tem as seguintes pro- upriedades: a c c a 1. b × d = d × b (Comutatividade) b c 2. ( a × d ) × x y = a b × (d × x) c y (Associatividade) 3. ( a × d ) × b c x y = a×c×x b×d×y 4. Para cada n´ mero racional a , com a = 0, existe um n´ mero racional d , u b u c a c tal que b × d = 1. 1 De fato, temos a × a = a × b = 1 = 1. Neste caso, dizemos que a ´ o b b a×b b e a inverso de b . a 5. b × (d + x) = (a × c y b c d) + (a × b x y) (Distributividade) A forma mais f´cil de entender o que s˜o e para que servem os n´ meros a a uracionais ´ observar o que representam os n´ meros racionais positivos. Cada e un´ mero racional positivo representa uma fra¸ao racional, isto ´, a express˜o da u c˜ e arela¸ao entre partes de um todo e uma unidade, em que a unidade, a parte e o c˜todo s˜o divididos em partes menores de mesmo tamanho. aExemplo 3.16. Na figura 3.11 o quadrado foi dividido em 16 quadrados demesmo tamanho. A parte escura corresponde a 4 quadrados de um total de 16 quadradosiguais. Portanto, a raz˜o entre a area escura e a area total do quadrado ´ igual a ´ ´ e 4a 16 . Ora, quatro partes iguais em um total de 16 partes iguais correspondema um quarto do total.
  34. 34. ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 27 4 Figura 3.11: A area escura representa ´ 16 da ´rea do quadrado a 1 Figura 3.12: A area escura representa ´ 4 da ´rea do quadrado a Ou seja, se a unidade fosse divida em quatro partes iguais, a area escura ´corresponderia a uma parte do total de quatro partes iguais. Desta forma, o u 4 c˜ 4n´mero racional 1 expressa a mesma rela¸ao que 16 . Neste caso, foi muito f´cil expressar o quanto a parte escura representa ado todo. Qualquer pessoa entende rapidamente quando algu´m diz que comeu emetade, ou um ter¸o, ou um quarto de uma barra de chocolate, pois todos cn´s imaginamos a barra de chocolate dividida em peda¸os menores e de igual o ctamanho. Al´m disto, todos entendem que metade da barra de chocolate ´ e emenor que a barra inteira.Exemplo 3.17. Jo˜ozinho ganhou duas barras, idˆnticas, de chocolates. Cada a ebarra estava dividida em 4 quadrados iguais. Jo˜ozinho comeu uma barra in- ateira e a metade da outra barra. Vamos representar cada barra de chocolate porum quadrado em que a area escura corresponde a parte que Jo˜ozinho comeu. ´ ` aQual a fra¸ao que expressa a rela¸ao entre o quanto Jo˜ozinho comeu e o c˜ c˜ atamanho da barra de chocolate? Ora, cada barra foi dividida em 4 quadrados iguais. Jo˜ozinho comeu 6 aquadrados. Cada quadrado corresponde a um quarto da barra, logo Jo˜ozinho acomeu 6 quartos de uma barra. Neste caso, a unidade ´ uma barra e o “ e 6todo”corresponde as duas barras. O n´mero racional 4 expressa a raz˜o entre ` u aa parte escura e a unidade.
  35. 35. 28 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS 6 Figura 3.13: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao a a c˜ 4 Observemos que a parte escura ´ igual a trˆs vezes a metade de uma barra, e e u 2 c˜ 6portanto o n´mero racional 3 expressa a mesma rela¸ao que 4 .Exerc´ ıcio 3.18. Em cada caso, escreva a fra¸ao racional que representa a c˜rela¸ao entre a parte escura e a unidade. c˜ 1. No exerc´ a seguir, cada retˆngulo representa a unidade e cada unidade ıcio a foi dividida em partes de mesmo tamanho. A qual fra¸ao do retˆngulo, c˜ a corresponde a ´rea escura em cada figura? a Figura 3.14: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . . a a c˜ Figura 3.15: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . a a c˜
  36. 36. ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 29 Figura 3.16: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . a a c˜ Figura 3.17: A ´rea escura corresponde ` fra¸ao . . . a a c˜Exerc´ıcio 3.19. Considerando a unidade indicada, escreva a fra¸ao racional c˜que representa a rela¸ao entre a parte em negrito e a unidade. c˜ 1. O segmento AB representa a unidade. A qual fra¸ao correspondem juntos c˜ os segmentos em negrito? A B 0 1 2 4 6 10 Figura 3.18: Os segmentos em negrito correspondem ` fra¸˜o . . . . a ca 2. O disco representa a unidade. A qual fra¸ao corresponde a ´rea escura? c˜ a
  37. 37. 30 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS Figura 3.19: A ´rea em negrito corresponde ` fra¸ao . . . . a a c˜Exerc´ ıcio 3.20. Fa¸a um desenho que expresse a rela¸ao indicada pelos seguintes c c˜n´meros racionais: u 3 8 4 5 16 , , , , 5 4 5 4 33.2.2 Subtraindo n´meros racionais u A subtra¸ao de n´ meros racionais ´ definida a seguir: c˜ u e a c (a × d) − (b × c) − = b d b×d a c a Em verdade, a subtra¸ao c˜ b − d corresponde ` soma de a b com o oposto decd. Ou seja, a c a −c − = + . b d b d3.2.3 Divis˜o de n´meros racionais a u Quando dividimos 6 por 3 sabemos que o resultado ´ igual a 2 pois 2 × 3 = e6. De forma an´loga, dividir o n´ mero racional 5 pelo n´ mero racional 2 , a u 4 u 3 2 4corresponde a procurar o n´ mero racional x tal que 3 × x = 5 . Desta forma, o u y yresultado da divis˜o de 4 pelo n´ mero racional 3 ´ igual a 6 . Pois, 2 × 6 = 5 . a 5 u 2 e 5 3 5 4De um modo geral, temos: c x a c×x a × = se, e somente se, = . d y b d×y bPor outro lado,
  38. 38. ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 31 c×x a = se, e somente se, (c × x) × b = (d × y) × a, d×y bou seja, x a×d x × (b × c) = y × (a × d), isto ´, e = . y b×c a Portanto, para dividir um n´ mero racional u b por um n´ mero racional n˜o- u anulo d , basta multiplicar b por d . c a c A divis˜o de um n´ mero racional a por outro n´ mero racional a u b u c d,diferente de zero, ´ definida a seguir: e a c a d ÷ = × b d b c a ´ E comum o uso da nota¸ao c˜ b para indicar a divis˜o de a a c por d . c b dQuest˜o 3.21. a 2 1. Qual o n´ mero racional que devemos multiplicar por u 3 para obtermos 4 como resultado o n´ mero racional 5 ? u 3 2. Qual o n´ mero racional que devemos multiplicar por u 7 para obtermos como resultado o n´ mero racional −9 ? u 5 3 3. Qual o n´ mero racional que devemos multiplicar por u 5 para obtermos 3 como resultado o n´ mero racional 1 ? u ´ 4. E verdade que todo n´ mero inteiro pode ser escrito como um n´mero u u racional? 6 5. Qual o menor inteiro positivo que devemos multiplicar por 4 para obter- mos como resultado um n´ mero inteiro positivo? u 6. Podemos afirmar que para cada fra¸ao a , diferente da fra¸ao nula, existe c˜ b c˜ um menor inteiro positivo x tal que a × x ´ um n´ mero inteiro? b 1 e uExerc´ ıcio 3.22. Calcule o resultado das seguintes express˜es: o 1 1 1. 3 − 4
  39. 39. 32 CAP´ ITULO 3. ´ NUMEROS RACIONAIS 2. ( 1 + 8 ) − 4 3 2 3 1 3. 4 + (3 − 3) 8 2 1 3 5 4. 3 − 8 − 7 3 5. 4 × (6 + 3) 8 1 4 6 3 1 6. ( 3 × 8 ) + ( 4 × 3 ) 3 7. 4 × (6 − 3) 8 1 −2 8 8. 6 − 48 1 1 9. 1 − 4 −5 13 10. 13 × 12 1 11. 4 − (2 + 1 ) 3 −7 −3 12. 12 × 8 1 −5 13. 3 × 8 1 14. 3 − (1 × 8) 4 3 2 3 2 15. 3 − 4 − 5 0 5 16. 1 − 8 2 5 17. 3 ÷ 4 3 1 18. 5 ÷ 10Observa¸˜o 3. As opera¸oes de soma, produto, subtra¸ao e divis˜o de n´meros ca c˜ c˜ a uracionais obedecem as mesmas regras de precendˆncia de sinais que as opera¸oes ` e c˜com n´meros inteiros. Numa express˜o sem parˆnteses, primeiro realizamos o u a eproduto ou a divis˜o e, por fim, a soma ou multiplica¸ao. Esta ordem de a c˜opera¸ao s´ ´ alterada pelo uso dos parˆnteses, neste caso, primeiro deve-se c˜ o e ecalcular as opera¸oes indicadas entre os parˆnteses. c˜ e
  40. 40. ¸˜ ´ ´3.2. OPERACOES ARITMETICAS COM NUMEROS RACIONAIS 33 1 Assim, o resultado da express˜o a 3 ÷ 3 + 3 − 1 × 3 ´ calculado como abaixo. 4 5 4 2 e 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 ÷ + − × = ÷ + − × 3 4 5 4 2 3 4 5 4 2 1 4 3 3 = × + − 3 3 5 8 4 3 3 = + − 9 5 8 160 216 135 = + − 360 360 360 160 216 −135 = + + 360 360 360 160 + 216 − 135 = 360 241 = 360 1 Enquanto o resultado da express˜o a 3 ÷ ( 3 + 5 ) − ( 4 × 3 ) ´ dado a seguir: 4 3 1 2 e 1 3 3 1 3 1 15 12 3 ÷ + − × = ÷ + − 3 4 5 4 2 3 20 20 8 1 27 3 = ÷ − 3 20 8 1 27 3 = ÷ − 3 20 8 1 20 3 = × − 3 27 8 20 3 = − 81 8 160 − 243 = 648 −83 = 648

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