Integrales dobles y triples

1. Las integrales
dobles y triples
con aplicaciones
Pablo García y Colomé Profesor de Carrera FI UNAM

2. Sea una región del plano en la que toda recta paralela a un eje
coordenado y que pasa por un punto interior corta en dos puntos a su
frontera, siendo esta una curva suave en pedazos, a la que se llama
Región Regular y se clasifica en dos tipos:
LA INTEGRAL DOBLE
R XY
 
1
g x
 
2
g x
y
x
a b
R
     
 
1 2
Tipo1 R = x, y a ≤ x ≤ b ; g x ≤ y ≤ g x ; x, y ∈ R

3. x
y
c
d
R
 
1
h y  
2
h y
     
 
1 2
R = x, y h y ≤ x ≤ h y ; c ≤ y ≤ d ; x, y ∈ R
Considérese una función escalar de variable vectorial
continua, positiva y limitada en su dominio por una cierta región
regular , cuya representación gráfica es la siguiente:
 
z = f x, y
R

4. x
y
z  
z = f x, y
R
Se pretende
calcular el
volumen del sólido
limitado arriba
por la superficie
de ecuación
y abajo por la
región regular
 
z = f x, y
R

5. Se divide en una partición con subregiones (rejillas)
no sobrepuestas. Esto se hace de dos formas:
R
x x
y y
 
i i
x , y  
i i
x , y
i
Δx
i
Δy

Son rejillas irregulares y rectangulares. El área de la i-ésima rejilla es
. Se seleccionan puntos arbitrarios que conducen a las alturas
de los elementos “cilíndricos” cuyas bases son las áreas de las rejillas y están
limitadas arriba por la función.
i i i
ΔA o Δx Δy

6. Como se puede ver, es posible obtener el volumen
del i-ésimo cilindro, mediante las expresiones
correspondientes a la partición
x
y
z  
z = f x, y
R
x
y
z  
z = f x, y
R
i
ΔA
i
Δx
i
Δy
 
i i i i
ΔV = f x , y Δ A  
i i i i i
ΔV = f x , y Δ x Δ y

7. Se construyen las correspondientes sumas de Riemann
y a través de sus límites se define la integral doble
La función es doblemente integrable con respecto a
y con respecto a en la región si existe un número real tal
que para las particiones consideradas y se tiene que:
 
z = f x, y x
y R I
   
 
n n
i i i i j i j
i=1 i, j=1
f x , y Δ A - I < ε y f x , y Δ x Δy - I < ε
ε > 0
Al número así determinado, que se denota con
I
   
 
R R
I = f x, y dA ; I = f x, y dx dy
se conoce como la integral doble de con
respecto a y a en la región
 
z = f x, y
x y R

8. Esta definición es equivalente a las
siguientes cuando el límite existe
   


n
i i i
N
→
∞
i=1
R Δ
→
0
f x, y dA= lim f x , y Δ A
   


n
i j i j
N
→
∞
i, j=1
R Δ
→
0
f x, y dx dy = lim f x , y Δ x Δy
Propiedades
Si son funciones escalares integrables en
una región regular y es una constante en , entonces se
cumple que:
   
f x, y y g x, y
R k

9.    
 
R R
i) k f x, y dA= k f x, y dA
     
  
1 n
R R R
ii) f x, y dA= f x, y dA+ + f x, y dA
       
 
 
  
R R R
iii) f x, y + g x, y dA= f x, y dA+ g x, y dA
     

R
iv) f x, y ≥ 0 ∀ x, y ∈ R ⇒ f x, y dA ≥ 0
         
 
R R
v) f x, y ≥ g x, y ∀ x, y ∈ R ⇒ f x, y dA ≥ g x, y dA
Si tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto
en , cuya área es , entonces:
 
f x, y M m
R  
A R
     

R
m A R ≤ f x, y dA ≤ M A R
vi)
 

R
vii) dA= A R

10. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
PARA LAS INTEGRALES DOBLES
Sea continua en una región regular , cuya área es
Entonces existe un punto para el cual se cumple que:
 
f x, y R  .
A R
 
C C
x , y ∈ R
     
 C C
R
f x, y dA= f x , y A R
es el “valor medio de en ”.
 
C C
f x , y  
f x, y R
Interpretación geométrica. La integral doble de ,continua
en una región regular , que representa el volumen limitado
arriba por y abajo por , es equivalente al volumen
que se obtiene al efectuar el producto del área de la región
por el valor medio en
 
f x, y
R
R
 
z = f x, y
 
A R
 
C C
f x , y R

11. Ejemplo. Determinar el valor medio de para
la integral doble:
 
f x, y
   
 

R
4 - 2x - 2y dA R = x, y y = 2 - x ; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; x, y ∈ R
;
y
z
x
2
4
2
z = 4 - 2x - 2y
R
y = 2 - x
R

12. La integral doble equivale al volumen de la figura que es la
superficie de la base por un tercio de la altura, de donde:
   
 
3
R R
2 × 2 4 8
4 - 2x - 2y dA= ⇒ 4 - 2x - 2y dA= u
2 3 3

    2
2 × 2
A R = ⇒ A R = 2 u
2
Del teorema del valor medio para las integrales dobles
          
 C C C C C C
R
8 4
f x, y dA= f x , y A R ⇒ = f x , y 2 ⇒ f x , y = u
3 3
Para saber dónde se presenta, se sustituye este valor en
la función dato y se obtiene:

13. 4 8 4
z = 4 - 2x - 2y ; = 4 - 2x - 2y ⇒ 2x + 2y = ⇒ x + y =
3 3 3
Es entonces en esta recta donde se presenta el valor medio de la
función y el volumen equivalente es el del prisma triangular
formado por la región como base y el valor medio como altura.
Entonces este volumen equivalente es igual a:
     
 
 
3
e c c e e
4 8
V = A R × f x , y ⇒ V = 2 ⇒ V = u
3 3
R
Se muestra la gráfica del volumen equivalente, esto es, la del
prisma triangular

14. y
z
x
2
2
4
3
4
x + y =
3

15. CÁLCULO DE LA INTEGRAL DOBLE
Ejemplo. Se desea calcular el volumen del sólido
limitado arriba por la superficie y abajo por la
región triangular comprendida entre los ejes
y la recta de ecuación
z = 2
"x" y "y"
2x + y = 4
4
x
y
z
2x + y = 4
z = 2
 
A y
2
2

16. Se considera una sección o elemento diferencial
paralelo al plano , limitado por los planos y
y su área es . Entonces el volumen buscado se
puede expresar a través de la integral
z = 2
XZ XY
 
A y
 

4
0
V = A y dy
  
4- y
2
0
A y = 2 dx
en donde
 
   
 
   
 
 
 
   
4
4- y 2
4- y
4 4 4
3
2 2
0
0 0 0 0
0
y
V = 2 dx dy = 2x dy = 4 - y dy = 4y - = 8 u
2
De manera semejante se pudo haber hecho con secciones paralelas
al plano . A este tipo de integrales se les conoce como
“reiteradas de segundo orden”.
YZ
4
x
y
z
2x + y = 4
z = 2
 
A y
2
2

17. Teorema. La integral doble de una función continua
en una región regular del tipo I, limitada por
 
f x, y
   
1 2
x = a ; x = b ; y = g x ; y = g x
es igual a la siguiente integral reiterada de segundo orden de esta
función en dicha región:
   
 
 
 
 
 
  
2
1
b g x
a g x
R
f x, y dA= f x, y dy dx
Y si la región de integración es del tipo II, limitada por
   
1 2
y = c ; y = d ; x = h y ; x = h y
entonces la integral reiterada de segundo orden es:
   
 
 
 
 
 
  
2
1
d h y
c h y
R
f x, y dA= f x, y dx dy

18. LA INTEGRAL DOBLE EN OTROS
SISTEMAS COORDENADOS
La integral doble en otros sistemas coordenados. La diferencial
de área en un sistema coordenado curvilíneo ortogonal es:
uv
 
 
 
x, y
dA= J du dv
u,v
Y la integral doble quedaría definida como:
 
 
   
 
 
 
2 2
1 1
v f v
v f v
x, y
f u,v J du dv
u,v
En el sistema polar la integral doble sería:
 
 
 
 
2 2
1 1
θ f θ
θ f θ
f r,θ r dr dθ

19. Ejemplo. Dada la región sobre la que se va a integrar la
función , expresar la integral reiterada en uno y otro
orden con respecto a las variables . Graficar las regiones
para los dos casos siguientes:
R
 
z = f x, y
"x" y "y"
triángulo con vértices en
i) R :      
A 0,0 ; B 2,0 ; C 2,2
 
 
2
ii) R = x, y x ≤ y ≤ 9 ; x, y ∈ R

20. x
y
A B
C
x = y
R
x
y
A B
C
y = x
R
   
  
2 x
0 0
R
f x, y dA= f x, y dydx    
  
2 2
0 x
R
f x, y dA= f x, y dxdy

21. R
y = 9
-3 3
y
x
2
y = x
R
-3 3
y
x
y
x = - y
x =
y = 9
   
  
9 y
0 - y
R
f x, y dA= f x, y dxdy    
   2
3 9
-3 x
R
f x, y dA= f x, y dydx

22. Ejemplo. Calcular las siguientes integrales dobles:
 
 
 
 
2
5 3
2 3
-2 0
π 1
0 senθ
2 2
4 16-x
-4 0 2 2
i) x y + 2y dydx
ii) r drdθ
1+ x + y
iii) d
x + y
ydx
 
     
 
   
     
 
 
 
 
 
5 3
2 3
-2 0
3 5
2 2 4 2 3
5 5
-2 -2
0 -2
i) x y + 2y dydx =
x y y 9x 81 9x 81x
= + dx = + dx = + =
2 2 2 2 6 2
1125 405 1125 +1215 + 558
= + +12 + 81 = = 483
6 2 6

23.    
 
 
   
   
   
   
   
 
1
2 2
π 1 π π
0 senθ 0 0
senθ
π
π π
2
0 0
0
r 1 sen θ
ii) r drdθ = dθ = - dθ
2 2 2
1 1 1 cos2θ 1 sen2θ
= cos θ dθ = + dθ = θ +
2 2 2 2 4 2
π
=
4
 
2 2 2
4 16-x
-4 0 2 2
1+ x + y
iii) dydx
x + y
Para resolver esta integral doble reiterada conviene utilizar
coordenadas polares. Al observar los límites de integración, se
hace evidente que la región es la de la siguiente figura:
R

24. Para cambiar a polares, el factor de escala o de cambio es y para
determinar los nuevos límites de integración se asume que el polo está
en el origen y se reflexiona sobre cómo varían las variables .
Se llega entonces a:
"r"
r y θ
 
   
 
     
 
 
     
  
2 2 2 2
4 16-x π 4 π 4
2
-4 0 0 0 0 0
2 2
4
3
π π π π
0
0 0 0
0
1+ x + y 1+ r
dydx = r drdθ = 1+ r drdθ =
r
x + y
r 64 76 76 76π
r + dθ = 4 + dθ = dθ = θ =
3 3 3 3 3
x
y
2 2
x + y =16
4
R
4
-4
 
2 2 2
4 16-x
-4 0 2 2
1+ x + y
dydx
x + y

25. Ejemplo. Calcular la integral doble en la
región limitada por las gráficas de las curvas:
 

R
x + y dA
2
x
y = -1 y y = x +1
2
R
x
y
8
 
0,-1
3
-3
x
y = -1
2
2
y = x +1
R
 
8,3

26.    
 
 
 
   
2
2
2y+2
2
3 2y+2 3
-1 y -1 -1
R y -1
x
x + y dA= x + y dxdy = + yx dy =
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


2
2 2
3
2
-1
4
3
2 2 2 3
-1
y -1
2y + 2
= + y 2y + 2 - - y y -1 dy =
2 2
y 1
= 2y +4y + 2 + 2y + 2y - + y - - y + y dy =
2 2
   
   
   

3
4 5 4 3 2
3
3 2
-1
-1
y 3 y y 5y 7y 3y
= - - y + 5y +7y + dy = - - + + + =
2 2 10 4 3 2 2
               
   
   

   
   
3 2 5 4 3 2
5 4
5 3 7 3 3 3 -1 -1 5 -1 7 -1 3 -1
3 3
- - + + + - - - + + +
10 4 3 2 2 10 4 3 2 2
 

R
∴ x + y dA≈ 36.27

27. Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado arriba por
la semiesfera de ecuación y abajo por la
región circular dada por
2 2
z = 25 - x - y
R 2 2
x + y = 9
x
R
3

2
x = 9 - y
2
x = - 9 - y
2 2
x + y = 9
2 2
z = 25 - x - y
x
y
y
z
3
3
-3
-3

28. De la figura y el elemento diferencial, el volumen se
obtendría a través de la doble integral siguiente:
 
2
2
3 9- y
2 2
-3 - 9- y
V = 25 - x - y dxdy
Sería difícil resolver esta doble integral en coordenadas
cartesianas, pero si se trabaja con coordenadas polares, es factible
calcular el volumen mediante la integral doble:
 
   
   
 
 
 
 
 
 
   

3
3 3 3
2π 3 2π 2π
2 2 2 2 2
0 0 0 0
0
2π 2π 3
0
0
1 1
V = 25 - r r drdθ = - 25 - r dθ = - 16 - 25 dθ =
3 3
1 61 61 122π
= - -61 dθ = θ = 2π = ≈ 127.76 u
3 3 3 3

29. Ejemplo. Calcular el área de la región que se localiza
dentro de la gráfica de y fuera de la gráfica
de r = 2
r = 4 senθ
R
Estas curvas se cortan en:
1
4 senθ = 2 ⇒ senθ =
2
π 5π
⇒ θ = y θ =
6 6
x
R
y
r = 4senθ
r = 2
5π
6
π
6

30.    
5π
4senθ
6
π 2
6
A R = r dr dθ
     
 
 
 
   
4senθ
π π π
2
4senθ
2
2 2 2
π π π
2
6 6 6
2
r
A R = 2 r dr dθ ⇒ 2 dθ ⇒ A R = 16sen θ - 4 dθ
2
     d
 
 
 
 
 
 
 
π π
2 2
π π
6 6
1 1
⇒ A R = 4 4 - cos2θ -1 dθ ⇒ A R = 4 1 - 2cos2θ
2 2
   
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
π
2
π
6
π π 3
⇒ A R = 4 θ - sen2θ ⇒ A R = 4 - 0 - -
2 6 2
   
 
 
 
 
2
π 3
⇒ A R = 4 + ∴ A R ≈ 7.65 u
3 2

31. Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado por
los cilindros 2 2 2 2
x + y =16 y x + z =16
z
R
x
2 2
x + y =16
z
y
2 2
x + z =16

32. En este problema la función que define la
región sobre la que se va a integrar es:
 
f x, y
R
  2
f x, y = 16 - x
Entonces esta región de integración es un cuarto de círculo en
el primer cuadrante del plano XY, con ecuación
R 2 2
x + y =16
R
x
2 2
x + y =16
4
y
4

33.  
   
   
 
 

4
3
4
2
0
0
x 64
⇒ V = 8 16 - x dx = 8 16x - = 8 64 -
3 3
 
 
  
2
2 16-x
4 16-x 4
2 2
0 0 0 0
V = 8 16 - x dydx ⇒ V = 8 16 - x y dx

3
1024
∴ V = u
3
Para calcular el volumen se utiliza la siguiente
integral doble, cuyos límites se obtienen a partir del
elemento diferencial considerado:

34. Ejemplo. Calcular el volumen del sólido que se localiza
debajo de la superficie de ecuación
y arriba de la región del plano limitada por las
circunferencias
 
2 2
z = 4 +cos x + y
R XY
2 2 2 2
x + y = 9 y x + y =16
R
x
2 2
x + y =16
2 2
x + y = 9
y
y
x
z

35. Es conveniente acudir a las coordenadas cilíndricas
en dos dimensiones, es decir, a las coordenadas
polares, de donde se obtiene:
 
 
 

2 2
R
V = 4 +cos x + y dA
   
 
 
  
4
π π
4
2 2 2
2 2
0 3 0
3
1
V = 4 4 +cosr r dr dθ ⇒ V = 4 2r + senr dθ
2
   
   
   
   

π
2
0
1 1 π
V = 4 14 + sen16 - sen9 dθ ⇒ V = 56 + sen16 - sen9
2 2 2
3
∴ V = 87 u

36. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
DOBLE EN LA MECÁNICA
Se presentarán algunos problemas relacionados con distribuciones
planas de materia, en lo que se refiere a la masa, los momentos
estáticos, el centro de masa y los momentos de inercia. Esto como
aplicaciones de la integral doble y sin profundizar en los aspectos
físicos
Densidad y masa
Considérese un elemento diferencial de área de una placa plana
de materia con densidad superficial de masa dada por ;
luego la diferencial de masa se obtiene a través de la expresión
en la que aplica la integral doble para calcular la masa sobre la
región que tiene las dimensiones de la placa. De donde:
"dA"
 
ρ = ρ x, y
R

37.    

R
dM = ρ x, y dA ⇒ M = ρ x, y dA
Momento estático
Los momentos estáticos o primeros momentos, con respecto a los
ejes “x” y “y”, se calculan mediante los productos de la masa por
la mínima distancia al eje correspondiente y se expresan como:
   
 
x y
R R
M = yρ x, y dA y M = xρ x, y dA
Centro de Masa
El Centro de Masa, cuya área se denota con , es el único
punto de donde la masa total de la placa podría estar
concentrada, de tal forma que el momento estático con respecto
a cualquier eje que pase por dicho punto, es cero.
R
 
A R

38.  
 
 
 
 


y
R R
y
R
R
M = ρ x, y dA xρ x, y dA
M
∴ x = =
M ρ x, y dA
M = xρ x, y dA
 
 
 
 
 


R x R
x
R
R
M = ρ x, y dA yρ x, y dA
M
∴ y = =
M ρ x, y dA
M = yρ x, y dA
x
 
CM x , y
Centro de Masa
x
y
y

39. Una placa es homogénea cuando su masa está distribuida
de manera uniforme, luego la densidad es constante.
Entonces, las expresiones anteriores quedan como:
 
 
 


y R R
R
R
x dA x dA
M
x = = ⇒ x = ⇒ x dA= x A R
M A R
dA
 
 
 


y R R
R
R
y dA y dA
M
y = = ⇒ x = ⇒ y dA= y A R
M A R
dA
Centroide
El Centroide de una placa plana de materia representada por una región R
es el Centro de Masa de la región cuando esta es homogénea. Equivale al
centro de gravedad, esto es, al centro geométrico de la región

40. Momentos de inercia
El segundo momento o momento de inercia de una placa plana con
respecto a un eje se define como el producto de la masa de la
placa por el cuadrado de la mínima distancia a dicho eje. Luego,
los momentos de inercia con respecto a cada eje y con respecto al
origen (momento polar de inercia), se obtienen mediante las
siguientes expresiones:
       
  
2 2 2 2
x y 0
R R R
I = y ρ x, y dA ; I = x ρ x, y dA ; I = x + y ρ x, y dA
0 x y
I = I + I

41. Ejemplo. Una placa plana con densidad igual a
tiene la forma de la región del primer cuadrante,
limitada por las gráficas de las curvas de ecuaciones
entre los valores
de la variable , todo con respecto a un determinado
sistema coordenado. Obtener su centro de masa
 
ρ x, y = y
R
y = senx y y = cosx
π
x = 0 y x =
4
"x"
x
y = cosx
y = senx
 
 
 
 
π 2
,
4 2
π
4
R
y

42.  
 
 
y = senx π π
; senx = cosx ⇒ x = ∈ 0,
4 4
y = cosx
 
 
 
   
cosx
π π 2
cosx
4 4
0 senx 0
R senx
y
M = ydA ⇒ M = y dydx ⇒ M = dx
2
   
 
 
π π π
2 2
4 4 4
0
0 0
1 1 1
M = cos x - sen x dx ⇒ M = cos2x dx ⇒ M = sen2x
2 2 4
∴ M = 0.25
 
 
 
   
cosx
π π
cosx
2
4 4
y y y
0 senx 0
senx
R
1
M = xy dA ⇒ M = xydydx ⇒ M = xy dx
2
 
 
π π
2 2
4 4
y y
0 0
1 1
M = x cos x - sen x dx ⇒ M = xcos2x dx
2 2

43. 
1
xcos2x dx ; u = x ⇒ du = dx ; dv = cos2xdx ⇒ v = sen2x
2
 
1 1 1 1
xcos2x dx = xsen2x - sen2xdx = xsen2x + cos2x +C
2 2 2 4
 
 
 
π
4
y y y
0
1 1 π 1
M = xsen2x + cos2x ⇒ M = +0 - 0 - ∴ M ≈ 0.07135
4 8 16 8
 
   
π π
cosx
2 2 3 3
4 4
x x x
0 senx 0
R
1
M = y dA ⇒ M = y dydx ⇒ M = cos x - sen x dx
3
     
 
 
   

π
π 4
2 2 3 3
4
x 0
0
1 1 1 1
M = cosx 1 - sen x - senx 1 - cos x dx = senx - sen x +cosx - cos x
3 3 3 3
 
     
 
     
     
 
     
 
3 3
x
1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2
M = - + - -1+ = - + - -
3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 12 2 12 3
x
∴ M ≈ 0.1706

44.  







y
x
M 0.07135
x = ⇒ x = ⇒ x ≈ 0.29
M .25 ∴ CM 0.29, 0.68
M 0.1706
y = ⇒ y = ⇒ y ≈ 0.68
M .25
Ejemplo. Considérese una placa plana cuya forma está dada por la región
siguiente: R
 
 
 
 
-x +6
R = x, y y ≤ x ; y ≤ ; y ≥ 0 ; x, y ∈ R
2
Si la densidad de la placa es , determinar su
masa, el valor de su densidad promedio y dónde se presenta este.
 
ρ x, y = 3x + 2y

45. R
x
y = x  
2,2 -x +6
y =
2
y
 
5,0
     
   
2 6-2y
0 y
R R
M = ρ x, y dA ⇒ M = 3x + 2y dA ⇒ M = 3x + 2y dxdy
 
 
 
 
 
 
 
   
 
2
6-2y
2 2
2 2
2
0 0
y
3 6 - 2y
3x 3y
M = + 2xy dy ⇒ M = + 2y 6 - 2y - - 2y dy
2 2 2

46.    
   
   

2
2 3
2
2
0
0
3y y
M = - - 24y + 54 dy ⇒ M = - -12y + 54y ⇒ M = 56
2 2
       
 
 c c
R
5 2
ρ x, y dA= ρ x , y A R ; A R = = 5
2
        
 c c c c c c
R
56
ρ x, y dA= 56 = ρ x , y 5 ⇒ ρ x , y = ∴ ρ x , y =11.2
5
que es la densidad promedio de la placa. Para saber dónde se presenta
este valor, se hace lo siguiente:
3x + 2y =11.2
ecuación de la recta en la placa donde se presenta la densidad media

47. Ejemplo. Una lámina tiene la forma de un cuarto de círculo
en el primer cuadrante con ecuación y su
densidad en cualquier punto es igual a la distancia de éste
al eje . Obtener los momentos estáticos de la lámina
con respecto a los ejes , así como las
coordenadas de su centro de masa
2 2
x + y ≤ 9
"x"
"x" y "y"
x
R
P
x
y
2 2
x + y = 9
 
ρ x, y = y
3
y
3

48. En coordenadas cartesianas:
En coordenadas polares resulta más sencillo:
 
      
2 2 2
3 9-x 3 9-x 3 9-x
2
x y
0 0 0 0 0 0
R
M = ρ x, y dA ⇒ M = y dA ; M = y dA y M = xy dA
 
 
 
   
3
π π π
3
3
2 2 2
0 0 0 0
0
ρ
M = ρ senθ ρdρdθ ⇒ M = senθ dθ ⇒ M = 9 senθ dθ
3
 
 
π
2
0
M = 9 -cosθ ∴ M = 9
 
 
 
  
3
π π 4
3
2 2 2
2 2
x x
0 0 0
0
ρ
M = ρ sen θ ρdρdθ ⇒ M = sen θ dθ
4

49.    
   
   

π
π 2
2
x x x
0
0
81 1 1 81 sen2θ 81π
M = - cos2θ dθ ⇒ M = θ - ∴ M =
4 2 2 8 2 16
 
 
 
  
3
π π 4
3
2
2 2
y y
0 0 0
0
ρ
M = ρ senθcosθ ρdρdθ ⇒ M = senθ cosθ dθ
4
 
 
 

π
π 2 2
2
y y y
0
0
81 81 sen θ 81
M = senθ cosθ dθ ⇒ M = ∴ M =
4 4 2 8
y x
81 81π
M M
8 16
x = ⇒ x = ⇒ x =1.125 ; y = ⇒ y = ⇒ y =1.767
M 9 M 9

50. Ejemplo. Calcular los momentos de inercia con
respecto a los ejes coordenados y con respecto al
origen de la lámina homogénea cuya densidad es
y que tiene la forma de la región
limitada por las curvas
 
ρ x, y =1
xy = 5 y x + y = 6
R
2
5 6 ± 36 - 20
⇒ = 6 - x ⇒ x - 6x + 5 = 0 ⇒ x =
x 2





5
xy = 5 ⇒ y =
x
x + y = 6 ⇒ y = 6 - x
   



x =1 ⇒ y = 5
6 ± 16 6 ± 4
x = ⇒ x = ⇒ ⇒ 1,5 y 5,1
2 2 x = 5 ⇒ y =1

51.  
 
   
5 6- y 5 6- y
2 2 2
5
5
x x x
1 1
y
y
R
I = y dA ⇒ I = y dxdy ⇒ I = y x dy
   
   
 
 
   
   
 
 
5
4 2
5 5
2 2 2 3 3
x x x
1 1
1
5 y 5y
I = y 6 - y - y dy ⇒ I = 6y - y - 5y dy ⇒ I = 2y - -
y 4 2
R
x
x + y = 6
xy = 5
y
 
5,1
 
1,5

52. x x
625 125 1 5
I = 250 - - - 2 + + ∴ I = 32
4 2 4 2
 
 
 
   
6- y
3
5 6- y 5
2 2
5
y y y
1 1 5
y
R
y
x
I = x dA ⇒ I = x dxdy ⇒ I = dy
3
 
   
   
   
 
 
3
3
5 5
2 -3
y y
3
1 1
6 - y 125 y 125
I = - dy ⇒ I = 72 - 36y +6y - - y dy
3 3y 3 3
Por homogeneidad y simetría . Finalmente
x y
I = I
0 x y 0
I = I + I ∴ I = 64
 
 
 
5
4
2 3
y y
2
1
y 125
I = 72y -18y + 2y - + ∴ I = 32
12 6y

53. TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO
Teorema. Sea una región regular cuya frontera es una curva y
sean continuas y diferenciables en . Entonces:
R C
   
M x, y y N x, y R
 
  x y
C
R
Mdx + Ndy = N - M dA
Este teorema establece que bajo condiciones de continuidad y
diferenciabilidad es posible resolver una integral de línea a
través de una integral doble y viceversa, es decir, que en una
determinada aplicación se puede calcular el área de una región a
partir de una integral de línea realizando el recorrido por la
frontera del área requerida. Se presentarán algunos ejercicios al
respecto de este teorema

54. Ejemplo. Mediante el teorema de Green, calcular el
trabajo realizado por el campo de fuerzas dado por:
   
∧ ∧
F = -2y + 3x i+ 7y - 5x j
sobre una partícula que se mueve una vez alrededor de la elipse de
ecuación en la dirección de las manecillas del reloj
2 2
x y
+ =1
16 9
2 2
x y
C : + =1
16 9
R x
y
3
4
-3
-4

55.    
 
C C
W = F dr ⇒ W = M x, y dx + N x, y dy

 
  x y
C
R
W = Mdx + Ndy = N - M dA
M = -2y +3x y N = 7y - 5x y x
∂M ∂N
= M = -2 y = N = -5
∂y ∂x
 
x y x y
N - M = -5 - -2 ⇒ N - M = -3
     
  
x y
R R R
N - M dA= -3 dA= -3 dA= -3A R
        
A R = πab ⇒ A R = π 4 3 ⇒ A R =12π
 
W = -3 12π ∴ W = -36π

56. Ejemplo. Evaluar la integral de línea
 
 
 
 

2 2 2 2 3
C
5 3
-2xy - y + x y dx + 4x - 5xy + x y dy
2 2
si es la trayectoria de la figura, con su sentido de recorrido
C
x
2
4
C
y
R

57.  
  x y
C
R
Mdx + Ndy = N - M dA
2 2 2 2
y
5 3
M = -2xy - y + x y ⇒ M = -2x - 5y +3x y
2 2
2 3 2
x
N = 4x - 5xy + x y ⇒ N = 8x - 5y +3x y
   
2 2
x y x y
N - M = 8x - 5y +3x y - -2x - 5y +3x y ⇒ N - M =10x
 
 
 
 
 
2 2 2 2 3
C
R
5 3
-2xy - y + x y dx + 4x - 5xy + x y dy =10 x dA
2 2
Como , donde es la abscisa del centroide del
rectángulo considerado que, evidentemente, es 2. Y el área
de la región es 8. Por lo tanto,
 

R
x dA= x A R x
 
 
 
 

2 2 2 2 3
C
5 3
-2xy - y + x y dx + 4x - 5xy + x y dy =160
2 2

58. ÁREA A TRAVÉS DE LA INTEGRAL CURVILÍNEA
El área de una región regular equivale a:
R
  
R
A R = dA
Si , entonces, por el teorema de Green:
x y
N - M =1
 
 
C
R
M dx + N dy = dA= A R
Para que , se pueden plantear diferentes funciones
como las siguientes:
x y
N - M =1
M y N
   
1 1
M x, y = - y y N x, y = x
2 2

59. 






y
x y
x
1
M = -
2 ⇒ N - M =1
1
N =
2
Se puede definir una expresión para calcular el área de una
región regular en términos de una integral de línea:
  C
1
A R = -ydx + xdy
2
Y como esta “fórmula” para calcular el área de una región, a
partir del cálculo de una integral de línea, se pueden obtener
muchas otras, seleccionando a las funciones tales que:
M y N
x y
N - M =1

60. Ejemplo. Verificar mediante una integral de línea que
el área de un círculo de radio igual a es
r 2
π r



x = rcosθ
; 0 ≤ θ ≤ 2π
y = rsenθ
dx = -rsenθ dθ y dy = rcosθ dθ
       
 
 
 
2π
C 0
1 1
A R = -ydx + xdy ⇒ A R = -r senθ -r senθ + rcosθ rcosθ dθ
2 2
x
y
R r
r
-r
-r

61.          
 
 
2 2
2π 2π 2π
2 2 2 2
0
0 0
1 r r
A R = r sen θ + r cos θ dθ ⇒ A R = dθ ⇒ A R = θ
2 2 2
     
2
2 2
r
A R = 2π ∴ A R = πr u
2
Ejemplo. Utilizar una integral de línea para calcular el área de la
región R limitada por las gráficas de:
2
y = 2x +1 y y = 4 - x
 
 
 
2 2
2
y = 2x +1 x = -3 ; y = -5
; 2x +1 = 4 - x ⇒ x + 2x - 3 = 0 ⇒
y = 4 - x x =1 ; y = 3

62. x
4
R
y
2
2
y = 4 - x
y = 2x +1
 
1,3
1
C
2
C
 
-3,-5
-2
Se parametrizan las curvas y se aplica la “fórmula” creada:

63. 1
C : x = t ⇒ dx = dt ; y = 2t +1 ⇒ dy = 2 dt
   
 
 
 
1
C -3
1 1
-ydx + xdy = - 2t +1 +t 2 dt
2 2
   
 
 

1 1
-3
-3
1 1 1
= -2t -1+ 2t dt = - t = - 1+3 = -2
2 2 2
2
2
C : x = t ⇒ dx = dt ; y = 4 -t ⇒ dy = -2tdt
     
 
 
  
3 3
2 2 2
C 1 1
1 1 1
-ydx + xdy = - 4 -t +t -2t dt = -4 +t - 2t dt
2 2 2
 
   
   
 
 

-3
3
-3
2
1
1
1 1 t 1 13 38
= -t - 4 dt = - - 4t = 21+ =
2 2 3 2 3 3
   

2
C
1 38 32
A R = -ydx + xdy = -2 + ∴ A R = u
2 3 3

64. Si la superficie está representada de
la forma cartesiana siguiente:
   
 
S = x, y,z z = f x, y ; x, y ∈ R
   
   
   
   
   
   
   
 
2 2
2 2
R R
∂z ∂z ∂z ∂z
A S = 1+ + dA ⇒ A S = 1+ + dx dy
∂x ∂y ∂x ∂y
INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN
SOBRE UNA SUPERFICIE
Para el caso de la integral de una función que “actúa”
sobre una superficie y denotada como se tiene que,
 
f x, y, z
S  

S
f x, y,z dS
INTEGRALES DE SUPERFICIE

65. si la superficie está dada por de la forma cartesiana
    2
z = f x, y ∀ x, y ∈ R
entonces la integral de una función sobre esta superficie está
dada por:
   
 
 
 
 
 
   
 
2
2
S R
∂z ∂z
f x, y, z dS = f x, y, z x, y 1+ + dx dy
∂x ∂y
Se resolverán ahora algunos ejercicios al respecto:

66. Gráfica y la ecuación
cartesiana de la esfera
x
R
2 2 2 2
x + y + z = r
y
x
Se considera el hemisferio superior de la esfera, de ecuación:
Àrea de la superficie de una esferea

67. 






2 2 2
2 2 2
2 2 2
∂z x
= -
∂x r - x - y
z = r - x - y ⇒
∂z y
= -
∂y r - x - y
   
 
 
 
 
   
 
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
R R
∂z ∂z x y
A S = 1+ + dA ⇒ A S = 2 1+ + dA
∂x ∂y r - x - y r - x - y
   2 2 2
R
r
A S = 2
r - x - y
     
 
  
r
2π r 2π
2 2
0 0 0
2 2 0
r
A S = 2 ρdρdθ ⇒ A S = 2r - r - ρ dθ
r - ρ
     
 
 

2π 2π
2 2 2
0
0
A S = 2r dθ ⇒ A S = 2r θ ∴ A S = 4πr

68. Ejemplo. Determinar el área del fragmento del
cilindro de ecuación , en el primer octante,
limitada por los planos cuyas ecuaciones son:
2 2
y + z = 9
x = 2 y x + y = 5
y
 
A S
R
2 2
y + z = 9
 
2,3,0
z
 
2,0,3
x + y = 5
 
5,0,0
x

69.    
 
 
 
 
   
  
2
2 2
5 5-x
2
2 0
R
∂z ∂z y
A S = 1+ + dA ⇒ A S = 1+0 + dydx
∂x ∂y 9 - y







2
2
∂z
= 0
∂x
z = 9 - y ⇒
∂z y
= -
∂y 9 - y
     
 
 
  
5-x
5 5-x 5
2 0 2
2
0
3 y
A S = dydx ⇒ A S = 3 angsen dx
3
9 - y
   
 
 

5
2
5 - x
A S = 3 angsen dx
3
Se resuelve esta integral por partes y se obtiene:

70. 
5 - x
angsen dx
3
   
 
 
 
2 2 2
1
-
5 - x -1 -1
3
u = angsen ⇒ du = = = dx
3 5 - x 9 - 5 - x 9 - 5 - x
1 - 3
3 9
dv = dx ⇒ v = x
Se resuelve la integral por sustitución trigonométrica y,
 
  2
5 - x 5 - x x
angsen dx = xangsen + dx
3 3 9 - 5 - x

71.  
 2
x
dx
9 - 5 - x
y
3
5 - x
 
2
9 - 5 - x
 
2
5 - x = 3seny
x = 5 - 3seny
dx = -3cosy dy
9 - 5 - x = 3cosy
  
 
 
5 - 3seny -3cosydy
= 3seny - 5 dy = -3cosy - 5y +C
3cosy
 
2
5 - x
= -5angsen - 9 - 5 - x +C
3
       
 
 
 
5
2 2
2
5 - x 9π -18
A S = 3 x - 5 angsen - 9 - 5 - x ∴ A S = u
3 2

72. Ejemplo. Evaluar la integral de función sobre superficie
 

S
3x + 2y + z dS
en donde la superficie es el plano de ecuación
limitado en el primer octante por los planos coordenados
S
3
2x + 2y + z = 6
2
R
 
3,0,0
x
y = 3 - x
y
x
y
z
 
 
 
3
S : 2x + 2y + z = 6
2
 
0,0,4
y
 
0,3,0

73.    
 
 
 
 
 
   
 
2
2
S R
∂z ∂z
f x, y,z dS = f x, y,z x, y 1+ + dx dy
∂x ∂y
  
  
 


 

 

 

2
2
∂z 4 ∂z 16
= - ⇒ =
∂x 3 ∂x 9
4 4 16 16 41
z = 4 - x - y ⇒ ; 1+ + =
3 3 9 9 3
∂z 4 ∂z 16
= - ⇒ =
∂y 3 ∂y 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
3 3-x
0 0
S
3 3-x
0 0
41 4 4
f x, y,z dS = 3x + 2y + 4 - x - y dydx
3 3 3
41 5 2
= x + y +4 dydx
3 3 3

74.      
 
 
 
 
 
 


3-x
3
2
0
0
3 2
0
41 5 1
= xy + y + 4y dx
3 3 3
41 5 1
= x 3 - x + 3 - x + 4 3 - x dx
3 3 3
 
 
 
 
 
 


3
2 2
0
3
2
0
41 5 1
= 5x - x + 3 - 2x + x +12 - 4x dx
3 3 3
41 4
= - x - x +15 dx
3 3
 
 
 
 

3
2
3
S
0
41 4 x 19 41
= - x - +15x ∴ f x, y,z dS =
3 9 2 2

75. Ejemplo. Sea una lámina cuya forma es
la de la superficie cónica de ecuación:
2 2 2
x y z
+ = ; 0 ≤ z ≤ 3
16 16 9
Determinar su masa si su densidad está dada por:   2 2
ρ x, y = x + y
x
R
y
2 2 2
x y z
+ = ; 0 ≤ z ≤ 3
16 16 9
y
z
x
x
2 2
x + y =16

76.    
 
 
 
 
   
 
2
2
S R
∂z ∂z
M = ρ x, y dS = ρ x, y 1+ + dxdy
∂x ∂y
  
  
 


 

 

 

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
∂z 3x ∂z 9x
= ⇒ =
∂x ∂x 16x +16y
4 x + y
3
z = x + y ⇒
4 ∂z 3y ∂z 9y
= ⇒ =
∂y ∂y 16x +16y
4 x + y
 
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
R R
9x 9y 5
M = x + y 1+ + dxdy = x + y dxdy
4
16x +16y 16x +16y
Esta integral doble, así como los límites de sus integrales
definidas resultan complicadas en coordenadas cartesianas, pero
si se utiliza el sistema de coordenadas polares, se llega a:

77.  
 
 
   
4
3
2π 4 2π 2π
0 0 0 0
0
5 5 r 80
M = r r drdθ ⇒ M = dθ ⇒ M = dθ
4 4 3 3

 
 
2π
0
80 160π
M = θ ∴ M =
3 3
LA INTEGRAL TRIPLE
Sea una región en que está limitada por una superficie cerrada
seccionalmente suave, tal que al pasar una recta paralela a un eje
coordenado, la corta solo en dos puntos. Esta es una Región Regular
R 3
Considérese una función continua y diferenciable en una
región regular volumétrica de , que se divide con planos paralelos a
los planos coordenados y se obtienen subregiones , en forma de
paralelepípedos, no sobrepuestas.
 
f = f x, y,z
R 3
R
 i

78. Cada subregión tiene su volumen y un punto de
coordenadas . Se construye ahora la suma de
Riemann y se aumenta indefinidamente
el número de las subregiones de modo que la norma de
la partición tienda a cero o el número de subregiones
tienda a infinito en el límite de la sumatoria
i
R
 i
ΔV
 
i i i
ε ,η , μ
 
 i i i i
f ε ,η , μ ΔV

Entonces se obtiene el límite de esta suma:
      z
  
n
i i i i
Δ
→
0
i=1 R R
o
N
→
∞
lim f ε ,η ,μ ΔV = f x, y,z dV = f x, y,z dxdyd
Se conoce como Integral Triple y así como el cálculo de una integral
doble habla de un volumen, esta integral se puede decir que conduce
a un hipervolumen (cuatro dimensiones)

79. Teorema. Sean funciones
escalares integrables en una región regular de y
considérese una constante real ; entonces:
   
f x, y, z y g x, y, z
R
k
3
       
 
 
  
R R R
i) k f x, y, z + g x, y, z dV = k f x, y, z dV + g x, y, z dV
     

R
ii) f x, y, z ≥ 0 ∀ x, y ∈ R ⇒ f x, y, z dV ≥ 0
       
   
1 2 n
R R R R
iii) f x, y,z dV = f x, y,z dV + f x, y,z dV + L+ f x, y,z dV
         
 
R R
iv) f x, y, z ≥ g x, y, z ∀ x, y, z ∈ R ⇒ f x, y, z dV ≥ g x, y, z dV
     
 
 






R
m mín abs
v) mV R ≤ f x, y, z dV ≤ M V R
M Máx abs
   

R
vi) dV =V R es posible calcular volúmenes con integrales triples

80. TEOREMA DEL VALOR MEDIO
PARA INTEGRALES TRIPLES
Aquí también existe el concepto de integrales reiteradas que se
conocen como integrales reiteradas de tercer orden de una función
en una región regular de
 
f x, y, z R 3
Sea una función escalar continua en una región regular
y sea el volumen de la región. Entonces existe un punto
en tal que:
 
f x, y, z
CÁLCULO DE LA INTEGRAL TRIPLE
R
 
V R
 
C C C
x , y , z R
     
 C C C
R
f x, y, z dV = f x , y , z V R
en donde es el valor medio de en
 
f x, y, z R
 
C C C
f x , y , z

81. Supóngase la gráfica de una determinada región
volumétrica con una región del tipo I en el plano XY
R
x
 
2
φ x, y
 
1
φ x, y
y
z
 
1
g x
1
x
2
x
 
2
g x
R
R'

82. La integral reiterada de tercer orden de la función
de tres variables, definida en una región
regular , como la de la figura, es:
 
f x, y, z
3
R 
 
 
 
 
 
  
2 2 2
1 1 1
x g x φ x,y
x g x φ x,y
f x, y,z dz dy dx
Primero se integra considerando un elemento diferencial en la
región y finalmente, en la tercera integral se evalúa entre las
superficies
R'
   
1 2
φ x, y y φ x, y
Ejemplo. Evaluar la integral reiterada siguiente:
  
2
2 2
2 4-x 3
-2 0 x - y
xyz dz dy dx

83.  
 
 
    
2 2
2 2
2 2
3
2
2 4-x 3 2 4-x
-2 0 x - y -2 0
x - y
xyz
xyz dz dy dx = dydx
2
 
 
 
 
 
 
   
2 2
2 2
3
2 2
2 4-x 2 4-x 3 3
-2 0 -2 0
x - y
xy x - y
9xy 1
= - dydx = 9xy - x y + xy dydx
2 2 2
     
   
   
 
 
 
2
4-x
2 3 2 4
2
2 2
2 3 2 2
-2 -2
0
1 9xy x y xy 1
= - + dx = 18x 4 - x - 2x 4 - x + x 4 - x dx
2 2 2 4 8
   
 
2 2
3 3 5 3 5 5 3
-2 -2
1 1
= 72x -18x - 8x + 2x +16x - 8x + x dx = 3x - 34x +88x dx
8 8
 
 
 
  
2
2 2
2
6 4
2 4-x 3
2
-2 0 x - y
-2
1 x 17x
= - +44x ∴ xyz dz dy dx = 0
8 2 2

84. Las integrales reiteradas cumplen las mismas
propiedades que las integrales triples. Así,
dependiendo de la proyección de la región
sobre uno de los planos coordenados, con regiones
de los tipos I y II, se podrían construir integrales
reiteradas como las siguientes:
3
R 
 
 
 
 
 
  
2 2 2
1 1 1
y h y φ x,y
y h y φ x,y
f x, y,z dz dx dy
   
 
 
 
 
 
 
 
 
     
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
x k x φ x,z z v z φ x,z
x k x φ x,z z v z φ x,z
f x, y,z dy dz dx o f x, y,z dy dx dz
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
z u z φ y,z y w y φ y,z
z u z φ y,z y w y φ y,z
f x, y,z dx dy dz o f x, y,z dx dz dy

85. Teorema. La integral triple de una función
continua en una región regular limitada por
es igual a la integral reiterada de tercer orden de
esta función en dicha región, es decir,
 
f x, y, z
       
1 1 1 2
x = a ; x = b ; y = g x ; y = g x ; z = φ x, y ; z = φ x, y
   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
2
x 2
1 1
b g φ x,y
a g x φ x,y
R
f x, y,z dV = f x, y,z dz dy dx
LA INTEGRAL TRIPLE EN OTROS SISTEMAS COORDENADOS
Como se vio en otro tema, la diferencial de volumen en un sistema
coordenado curvilíneo ortogonal está dada por:
u ,v ,w

86.  
 
 
x, y,z
dV = J dudvdw
u,v,w
La integral triple estaría definida como:
 
 
 
 
   
 
 
  
2 2 2
1 1 1
w v w u v,w
w v w u v,w
x, y,z
f u,v,w J dudvdw
u,v,w
En el sistema cilíndrico circular, esta integral es:
 
 
 
 
 
  
2 2 2
1 1 1
z θ z ρ θ,z
z θ z ρ θ,z
f ρ,θ,z ρdρdθdz
Para el sistema esférico es:
 
 
 
 
 
  
2 2 2
1 1 1
θ φ θ r φ,θ
2
θ φ θ r φ,θ
f r,φ,θ r senφdrdφdθ
son los factores de escala volumétricos,
equivalentes al jacobiano de cada sistema coordenado
2
"ρ" "r s
y enφ"

87. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES
TRIPLES EN LA MECÁNICA
Como en las integrales dobles, pero ahora en , la masa de un
sólido con la forma de una región tridimensional (producto de
densidad por volumen), los momentos con respecto a los planos
coordenados y el centro de masa están dados por:
3
 

R
M = ρ x, y, z dV
 

xy
R
M = M z = z ρ x, y, z dV
 

xz
R
M = M y = y ρ x, y, z dV
 

yz
R
M = M x = x ρ x, y, z dV

88.  
CM x , y ,z
yz xy
xz
M M
M
x = ; y = ; z =
M M M
Los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados se
obtienen con el producto de la masa por el cuadrado de la distancia
al eje coordenado correspondiente
   

2 2
x
R
I = y + z ρ x, y,z dV
   

2 2
y
R
I = x + z ρ x, y,z dV
   

2 2
z
R
I = x + y ρ x, y,z dV

89. Ejemplo. Calcular el volumen del sólido en el primer
octante que está limitado por el plano , el
cilindro de ecuación y los planos
y + z = 4.5
2
x
y =
2
XY y YZ
y
9
y + z =
2
z
x
2
x
y =
2
4.5
3
4.5
x
z y = 4.5
2
x
y =
2
3

90.  
   
 
 
      
2 2 2
9 9 9 9
9
3 - y 3 3
- y
2 2 2 2
2
x x x
0
0 0 0 0
2 2 2
9
V = dzdydx ⇒ V = z dydx ⇒ V = - y dydx
2
 
 
 
 
 
 
   
 
 
   
 
   
 
 
   
 
 
 
 
2
2
2 2
9
2 2
2
3 3
0 0
x
2
x
9
2
9 y 9 9 9 x
2
V = y - dx ⇒ V = - - + dx
2 2 2 2 2 2 2 2
   
   
   

3
3 2 4 3 5
0
0
81 9 1 81 3 1 81
V = - x + x dx ⇒ V = x - x + x ∴ V =
8 4 8 8 4 40 5
Con el elemento diferencial horizontal:   
9 9
2y - y
2 2
0 0 0
81
V = dzdxdy =
5
Con el elemento diferencial vertical:

91. Ejemplo. Calcular el volumen de la región en
limitada por las gráficas de:
3
2
2
x
z = 6 - ; z = x ; y = 0 ; z + y = 8
2
2
x
z = 6 -
2
y x
z
z
x
z + y = 8
2
z = x
2
x
z = 6 -
2
2
z = x
 
2,4

92. En la región del plano XZ se considera un elemento diferencial
vertical el cual se “barre” de en “x” y su tamaño se
limita entre . Y finalmente se integra entre las
superficies . Así se construye y resuelve la
siguiente integral triple para obtener el volumen pedido. Dada la
simetría con respecto al plano YZ, se simplifica el planteamiento de
la primera integral. Así,
x = -2 a x = 2
2 2
y = x y = 6 - x / 2
y = 0 y y = 8 - z
 
 
 
  
   
2
2
2 2
2 2
x
2 6- 8-z
2
0 x 0
x x
2 6- 2 6-
8-z
2 2
0
0 x 0 x
V = 2 dydzdx
= 2 y dzdx ⇒ V = 2 8 - z dzdx

93.  
 
 
 
   
 
 
 
   
   
 
 
 
 
2
2
2
2
x
6-
2 2 4
2
2 2
2
0 0
x
x
6 -
2
z x x
V = 2 8z - dx ⇒ V = 2 8 6 - - - 8x + dx
2 2 2 2
 
 
 
 
 
 


4 4
2
2 2 2
0
4
2
2
0
x x
V = 2 48 - 4x -18 + 3x - - 8x +
8 2
3x
= 2 - 9x + 30 dx
8
 
 
 
2
5
3
0
3x 384
V = 2 - 3x + 30x ∴ V =
40 5

94. Ejemplo. Calcular el volumen del sólido limitado por las
gráficas de:
2 2 2 2
z = x + y ; x + y = 9 ; z = 0
x
 
z = 0 plano XY
2 2
x + y = 9
2 2
z = x + y
z
y

95. Se utilizan coordenadas cilíndricas, lo que simplifica
notablemente las integrales con sus respectivos límites
 
 
      
2
2
π π π
r
3 r 3 3
3
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
0
V = 4 r dzdrdθ ⇒ V = 4 r z drdθ ⇒ V = 4 r drdθ
 
 
   
 
 
3
π π
4 π
2 2 2
0
0 0
0
r 81π
V = 4 dθ ⇒ V = 81 dθ ⇒ V = 81 θ ∴ V =
4 2
Ejemplo. Se tiene un sólido de forma semiesférica cuya
ecuación, con respecto a un determinado sistema coordenado,
está dada por:
2 2 2 2
x + y + z ≤ a ; z ≥ 0
La densidad varía proporcionalmente a la distancia de cualquier punto
del sólido al centro de la semiesfera. Obtener su centro de masa

96. Dada la simetría, se utilizan coordenadas esféricas.
Entonces, la densidad, es ρ = kr
y
2 2 2 2
x + y + z ≤ a ; z ≥ 0
z
x
 
z = 0 plano XY

97.  
 
 
 
    
a
π π 4
2π a 2π
2
2 2
0 0 0 0 0
0
r
M = k r r senφdrdφdθ ⇒ M = k senφ dφdθ
4
 
 
 
4 4 4
π
2π 2π
2
0
0 0
πa πa πa k
M = -cosφ dθ ⇒ M = dθ ∴ M =
4 4 2
     
   
π
2π a
2
2
yz 0 0 0
R
M = M x = x ρ x, y, z dV ⇒ M x = rcosθsenφ kr r senφ drdφdθ
   
   
 
 
   
a
π π
5 5
2π 2π
2
2 2
0 0 0 0
0
r ka 1 1
M x = k cosθsen φ dφdθ ⇒ M x = cosθ - cos2φ dφdθ
5 5 2 2
 
 
 
 
π
5 5
2
2π 2π
0 0
0
ka 1 1 ka
M x = cosθ φ- sen2φ dθ ⇒ M x = cosθ dθ
5 2 4 20
 
 
5
2π
0
ka
M x = senθ ∴ M x = 0 ⇒ x = 0
20

98.      
   
π
2π a
2
2
xz 0 0 0
R
M = M y = y ρ x, y, z dV ⇒ M y = rsenθsenφ kr r senφ drdφdθ
Por simetría y uniformidad en la densidad M y = 0 ⇒ y = 0
     
   
π
2π a
2
2
xy 0 0 0
R
M = M z = z ρ x, y, z dV ⇒ M z = rcosφ kr r senφ drdφdθ
 
 
 
   
a
π π
5 5
2π 2π
2 2
0 0 0 0
0
r ka
M z = k cosφsenφ dφdθ ⇒ M z = senφcosφdφdθ
5 5
 
 
   
 
 
π
5 2 5 5
2
2π 2π 2π
0
0 0
0
ka sen φ ka ka
M z = dθ ⇒ M z = dθ ⇒ M z = θ
5 2 10 10
 
 
 
5 5
4
πka πka / 5 2a 2a
M z = ∴ z = ⇒ z = ∴ CM 0,0,
5 5 5
πa k / 2

99. Ejemplo. Calcular el volumen y las coordenadas del centroide
de una región volumétrica que está limitada en la parte
superior por la esfera de ecuación y en la
parte inferior por el cono de ecuación
R
2 2 2
x + y + z = 49
2 2 2
x + y = z ; z ≥ 0
y
y
2 2 2
x + y + z = 49
x
2 2 2
z = x + y
z

100. Se utilizan las coordenadas esféricas y, dada la
simetría del problema, el centroide está en el eje “z”
 
 
 
    
7
π π 3
2π 7 2π
2
4 4
0 0 0 0 0
0
ρ
V = ρ senφdρdφdθ ⇒ V = senφ dφdθ
3
 
 
  
π π
2π 2π
4 4
0
0 0 0
343 343
V = senφdφdθ ⇒ V = -cosφ dθ
3 3
   
   
   
   
 
2π 2π
0 0
343 2 343 2
V = 1 - dθ ⇒ V = 1 - dθ
3 2 3 2
 
   
 
   
 
   
   
2π
0
343 2 343 2
V = 1 - θ = 1 - 2π ∴ V ≈ 210.4
3 2 3 2
   
π
2π 7
2
4
xy 0 0 0
R
M = M z = z dV ⇒ M z = ρcosφ ρ senφ

101.  
 
 
     
7
π π 4
2π 7 2π 7
3
4 4
0 0 0 0 0 0
0
ρ
M z = ρ senφcosφdρdφdθ ⇒ M z = senφcosφ dφdθ
4
 
 
 
  
π
π 2 4
2π 2π
4
0 0 0
0
2401 2401 sen φ
M z = senφcosφdφdθ ⇒ M z = dθ
4 4 2
 
 

2π 2π
0
0
2401 2401
M z = dθ ⇒ M z = θ ∴ M z ≈ 942.87
16 16
 
M z 942.87
z = ∴ z ≈ ⇒ z ≈ 4.48 ∴ C 0,0,4.48
V 210.4

102. Ejemplo. Se tiene un sólido con densidad situado en
un sistema coordenado cartesiano, primer octante, limitado por
los cilindros hiperbólicos
y por los planos . Obtener su momento de inercia
con respecto al eje “z”
 
ρ x, y, z =1
2 2 2 2
x - y = 2 , x - y = 4 , xy =1 , xy = 2
z = 0 y z = 4
y
z = 4
2 2
x - y = 2
x
z
xy =1
xy = 2
2 2
x - y = 4

103. Es conveniente utilizar el siguiente sistema coordenado
curvilíneo, el cual se puede probar que es un sistema
ortogonal:
2 2
x - y
u = ; v = xy ; z = z
2
2 2 2 2
x - y = 2u = 2 ⇒ u =1 ; x - y = 2u = 4 ⇒ u = 2
xy = v =1 ; xy = v = 2
 

2
R
I = r ρ x, y, z dV
En relación con las curvas que constituyen los cilindros que
conforman las paredes laterales del sólido, es posible escribir que:
Para calcular el momento de inercia con respecto al eje z

104.  
 
 
 
 
 
x, y,z dudvdz
dV = J dudvdz ⇒ dV =
u,v,z u,v,z
J
x, y,z
   
   
   
2 2
2 2
x -y 0
u,v, z u,v, z dudvdz
J = y x 0 ⇒ J = x + y ∴ dV =
x, y, z x, y, z x + y
0 0 0
Con respecto al eje “z” . Ahora
se determina la diferencial de volumen:
2 2 2
r = x + y
   
 
      
2
4 2 2 4 2 4 2
2 2
z z z
2 2
0 1 1 0 1 0 1
1
dudvdz
I = x + y ⇒ I = u dvdz ⇒ I = dvdz
x + y
   
   
 
2
4 4 4
z z z z
0
0 0
1
I = v dz ⇒ I = dz ⇒ I = z ∴ I = 4

105. Estudien, aprendan,
practiquen, sean solidarios
con sus compañeros, sean
generosos con su prójimo,
sean sencillos, adquieran
conocimientos y sabiduría,
sean buenos, sean felices

106. Aprovechen el momento, hagan que su vida sea extraordinaria
Sus palabras y sus ideas pueden cambiar al mundo
Sean librepensadores
Vean las cosas, constantemente, de maneras diferentes
Emociónense por las cosas
Hagan de su vida un poema de muchas alegrías
Díganles a sus padres lo que los apasiona
Atrévanse a recorrer nuevos caminos
El amor, la paz y la alegría son las razones por las cuales vivimos
Hay momentos para el valor y otros para la prudencia

107. ¡Ay UNAM, qué
emoción vivirte!

108. Muchas
gracias
Pablo García y Colomé
Profesor de Carrera FI. UNAM