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Hacia la construcción de un Espacio de Trabajo del Análisis Matemático en la    Formación Inicial de Profesores          R...
Temas a tratarI) Contexto y Motivación de la investigaciónII) Antecedentes y AlcancesIII) ObjetivosIV) Marco TeóricoV) Pre...
Contexto                   Facultad de Ciencias                                                    Instituto de           ...
Motivación                                  Facultad de Ciencias                                                          ...
Qué sucede en el colegio               Facultad de Ciencias                                                       Institut...
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Antecedentes y Alcances                                                     Facultad de Ciencias                          ...
Las dificultades ligadas a…                    Facultad de Ciencias                                                    Ins...
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(2) Dificultades ligadas al                    Facultad de Ciencias          concepto de límite                           ...
(3) Dificultades ligadas a la necesaria      Facultad de Cienciasruptura con el pensamiento algebraico              Instit...
Marco Teórico                       Facultad de Ciencias                                         Instituto de             ...
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Probaremos que <A+ <B+ < C =180°   Facultad de Ciencias                                        Instituto de               ...
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Paradigma                        Facultad de Ciencias                                                            Instituto...
Los paradigmas geométricos              Facultad de Ciencias                                             Instituto de     ...
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Del ETG al ETM                                 Facultad de Ciencias                                                    Ins...
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Algunas ideas                                  Facultad de Ciencias                                                    Ins...
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Hacia la construcción de un Espacio de Trabajo del Análisis Matemático en la Formación Inicial de Profesores

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Presentacion Menares R. PUCV

  1. 1. Hacia la construcción de un Espacio de Trabajo del Análisis Matemático en la Formación Inicial de Profesores Romina Menares Espinoza Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Noviembre de 2012
  2. 2. Temas a tratarI) Contexto y Motivación de la investigaciónII) Antecedentes y AlcancesIII) ObjetivosIV) Marco TeóricoV) Preguntas de investigaciónVI) Algunas ideas 2
  3. 3. Contexto Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• “Estudio del Espacio de Trabajo del Análisis en la Formación Inicial de Profesores de Matemáticas” (Tesis en desarrollo)Doctorado de la PUCV, en convenio con Université Denis Diderot Paris-7 y CINVESTAV.• Proyecto FONDECYT 1110988: “Práctica de los profesores debutantes: ¿su epistemología es estable?” 3
  4. 4. Motivación Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Creemos que los cursos de Análisis alcanzan un gran nivel de complejidad. Artigue (1998) señala que en Francia, en carreras donde se dictan estos cursos, existen altos niveles de fracaso y en algunos casos, la deserción de los estudiantes a estas carreras.• Creemos que la realidad chilena no está muy alejada de eso.• Pusimos, en particular, nuestra preocupación en la formación inicial de profesores. En algunas universidades En carreras de llegan a tener cursos Pedagogía en llamados “Análisis Real”, Matemáticas, en distintas aunque no existe un universidades del país, consenso sobre aquellos los estudiantes pasan conceptos que conforman por cursos de hasta Creemos que no es un un curso de Cálculo, Cálculo en varias simple tema de nombres digamos, infinitesimal, y variables, y métodos cuándo pasamos a numéricos… llamarlo Análisis… 4
  5. 5. Qué sucede en el colegio Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Lo que hay en los programas de estudio… “a lo más se tratan límites, pero algebraicamente…”, Pero se podría ahondar más: ¿qué sucede con el tratamiento de los irracionales, de distintos tipos de funciones, por ejemplo?• Algunos ejemplos: Inecuaciones (en tercer año medio, donde nunca antes se ha hablado, por ejemplo, de función continua). El tema es tratado con una técnica de resolución, donde la desigualdad se invisibiliza, y el concepto es, en instantes, tratado como una ecuación (Borello, 2007) 5
  6. 6. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Funciones: Se privilegia el registro algebraico (en el sentido de Duval). Las operaciones se mecanizan. No se saca partido al uso de gráficas (aparece solo como una representación). No existe un trabajo de gráficas, por ejemplo, mirar la suma de dos funciones, o la inversa, o mirar su comportamiento al infinito.• Hoy los logaritmos no son estudiados como funciones (aparecen antes). Las funciones trigonométricas son tratadas solo como identidades…se pierde el dominio, por ejemplo. 6
  7. 7. Antecedentes y Alcances Facultad de Ciencias Instituto deMichèlle Artigue (1998) Matemática• Caracteriza las dificultades que los estudiantes tienen al introducirse en el campo conceptual del Análisis y aborda el ambiente general de insatisfacción generado por los cursos de Cálculo en Francia. Además se preocupa de examinar los beneficios y las limitantes de las aproximaciones intuitivas basadas en el uso de tecnologías informáticas, calculadoras y computadoras (más privilegiadas)…Otras investigaciones:Tall, 1991, Artigue y Ervynck, 1992, Farfán, 1993 7
  8. 8. Las dificultades ligadas a… Facultad de Ciencias Instituto de Matemática1. La complejidad matemática de los objetos básicos de este campo conceptual: Los número reales, las funciones y las sucesiones, objetos que, según Artigue, están siempre en fase de construcción cuando se empieza la enseñanza del Análisis.2. La conceptualización de la noción de límite, que es, según Artigue, la noción central del campo, y a su dominio técnico.3. La necesaria ruptura con modos característicos de pensamiento del funcionamiento algebraico. 8
  9. 9. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• En los Reales: Cuando se empieza la enseñanza del Análisis, los estudiantes saben que su orden es denso… “Existencia de números precedente (antecesor) y sucesor”.Ejemplo: “ 0,999… antecesor de 1”. Epistemológicamente puede quedar claro, pero ¿qué sucede a nivel cognitivo? Más del 40% de estudiantes que ingresan a la universidad en Francia creen que si dos números A y B satisfacen ∀n > 0, | A − B |< 1 / n , no son necesariamente iguales, sino “infinitamente próximos”, de cierta manera, sucesores. 9
  10. 10. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaElija, entre las siguientes, la alternativa que a usted le parezca correcta:a.0,999…> 1b.0,999…= 1c. 0,999…< 1 10
  11. 11. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 11
  12. 12. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaElija, entre las siguientes, la alternativa que a usted le parezca correcta:a.0,999…> 1b.0,999…= 1c. 0,999…< 1 12
  13. 13. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 13
  14. 14. (2) Dificultades ligadas al Facultad de Ciencias concepto de límite Instituto de MatemáticaNoción de obstáculo epistemológico (Bachelard, 1938) (Cornu 1983, Sierpinska, 1985, Sierpinska, 1988, Scheider, 1991) Bachelard: “El conocimiento científico no se desarrolla en un proceso continuo, sino resulta del rechazo de formas previas de conocimiento que se constituyen en obstáculos epistemológicos.”• El sentido común de la palabra límite… “barrera infranqueable”, “último término de un proceso”. Restringir la convergencia a la convergencia monótona.• Sobre-generalización de las propiedades de procesos finitos a procesos infinitos…sumas infinitas 14
  15. 15. (3) Dificultades ligadas a la necesaria Facultad de Cienciasruptura con el pensamiento algebraico Instituto de MatemáticaLa actividad matemática en Análisis se apoya en competencias algebraicas, pero al mismo tiempo, en la introducción al pensamiento analítico.• Enriquecer la noción de igualdad. Desarrollar nuevos métodos para probar igualdades.• Idea de “proximidad local infinita”∀ε > 0, | A − B |< ε entonces A=B 15
  16. 16. Marco Teórico Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Inspirado en:“Paradigmas Geométricos y Espacio de TrabajoGeométrico” (Houdement y Kuzniak, 1996, 1999,2006) 16
  17. 17. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática Paradigmas Geométricos yEspacio de Trabajo Geométrico Houdement y Kuzniak 17
  18. 18. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaI) Tres “estrategias” para abordar una propiedad La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos. 18
  19. 19. Estrategia 1: Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaEn una cartulina, dibuja un triángulo acutángulo, unorectángulo y uno obtusángulo. Luego realiza con cadauno de ellos lo que se observa en la siguiente secuencia. 19
  20. 20. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• ¿Qué ángulo forma la unión de los tres ángulos?• ¿Qué puedes concluir acerca de las medidas de los ángulos interiores de cada triángulo?• ¿Se cumple esta propiedad en todo tipo de triángulo?( Los alumnos formulan conjeturas y verifican que los ángulos interiores miden 180º.) 20
  21. 21. Estrategia 2 Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Dibuja un triángulo cualquiera como el que muestra la figura. Para ello, utiliza regla y compás. Contexto de un software geométrico 21
  22. 22. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Copia los ángulos marcados del triángulo uno al lado del otro de manera que coincidan los vértices. a) ¿Qué tipo de ángulo se forma? b) ¿Cuánto mide ese ángulo?¿Qué puedes concluir? (Los alumnos logran darse cuenta que al copiar y juntar los ángulos se forma un ángulo de 180º ) 22
  23. 23. Estrategia 3 Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaSea ABC un triángulo cualquiera; <A, <B y <Cson las medidas de sus ángulos interiores, talcomo lo muestra la siguiente figura. 23
  24. 24. Probaremos que <A+ <B+ < C =180° Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 24
  25. 25. Estrategia 4 Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 25
  26. 26. Paradigma Facultad de Ciencias Instituto de Matemática Realizaciones científicas universalmente reconocidas que, durante cierto tiempo, proporcionan modelos de problemas y soluciones a una comunidad científica.Kuhn T., 1971. La estructura de las revoluciones científicas,BREVIARIOS, p.13. 26
  27. 27. Los paradigmas geométricos Facultad de Ciencias Instituto de Matemática Estas geometrías no son jerarquizadas. El horizonte de trabajo es diferente:• Geometría Natural (GI)• Geometría Axiomática Natural (GII)• Geometría Axiomática Formal (GIII) 27
  28. 28. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaEl juego de iry volver entre La intuición, la GI experiencia y elel referente razonamientoteórico y la deductivo actúanrealidad es sobre los objetospermanente. materiales, o materializados, Se utiliza una parte del debidos a la referente teórico. Si percepción o al esta es la geometría uso de los artefactos. de Euclides, ella no está completamente presente. 28
  29. 29. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaHay una El razonamientomayor de validación se GII funda sobre lasabstracción apesar que leyes hipotéticasexiste relación deductivas delcon la sistema axiomático puestorealidad. en juego. Se utiliza una parte del referente teórico. En esta geometría, los problemas para ser resueltos no requieren la “presencia” de todos los axiomas. 29
  30. 30. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaLos objetos El razonamiento GIIIgeométricos en de validación enesta geometría este paradigmaprovienen de esuna axiomática exclusivamente aelegida con toda través del sistemala rigurosidad y El modelo geométrico formal deformalismo del proviene de un axiomas delmodelo. sistema formal de modelo axiomas, donde la geométrico lógica matemática es subyacente. el motor. 30
  31. 31. Espacio de Trabajo Geométrico Facultad de Ciencias Instituto de ETG dinámico y cognitivo Matemática Visualización Prueba Espacio de trabajo Geométrico Construcción 31
  32. 32. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 32
  33. 33. ETG Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaLugar organizado para permitir el trabajo de lagente que soluciona problemas geométricos(geómetras). Los individuos pueden serexpertos (el matemático) o estudiantes dematemáticas. Los problemas no son parte delEspacio de Trabajo, pero ellos lo justifican ymotivan. 33
  34. 34. Entonces… Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Nuestra idea es “guardar” (conservar) algunos elementos que definen este espacio de trabajo y adaptarlos a un nuevo espacio: el Espacio de Trabajo del Análisis…conscientes de la diferencia que existe en los tratamientos, la visualización, los artefactos que pudiesen existir, los medios para validar, etc…entre la Geometría y el Análisis… 34
  35. 35. Objetivos de la Facultad de Ciencias investigación Instituto de Matemática• El objetivo general de la investigación es estudiar la necesidad del trabajo en Análisis en las carreras de Pedagogía y aportar a la construcción de un Espacio de Trabajo del Análisis, que incluso se proyecte a la construcción de un Espacio de Trabajo Matemático. 35
  36. 36. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Se agregan tres elementos que articulan los dos planos (“en los cuales el sujeto podrá apoyarse”): la intuición, la experiencia y la deducción (Houdement y Kuzniak, 1999). 36
  37. 37. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Esta idea evoluciona a las génesis. “La apropiación del trabajo geométrico se hace gradualmente y pasa por la colocación progresiva de un ETG. La génesis global del ETG supone un conjunto de génesis que no son independientes y están en relación con los componentes del espacio de trabajo geométrico o algunos de los procesos cognitivos indispensables para su funcionamiento” (Kuzniak, 2011, p. 8) 37
  38. 38. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 38
  39. 39. Del ETG al ETM Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Plano epistemológico:“la componente relacionada con el espacio y configuraciones geométricas, debe ser cambiada. En el caso del ETG, este componente está estrechamente relacionado con la forma visible y objetos concretos de una geometría específica… creemos pertinente introducir la noción de signo o representante, en el sentido de Peirce” (Kuzniak, 2011, p. 10). Por esto, el polo (por ahora) es llamado “Representante” (o signo) 39
  40. 40. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Plano cognitivo:Podemos claramente conservar las nociones de prueba y de construcción, pero el proceso de visualización necesita una ré-interpretación. Debe ser asociado con esquemas y operaciones de uso sobre los signos.En el Análisis: Desde el principio del siglo XX, por ejemplo, curvas pudieron ser introducidas para comprender de manera geométrica ciertos teoremas en apariencia extraños como el hecho de que una función podía ser continua por todas partes y no ser derivable en algún punto. 40
  41. 41. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 41
  42. 42. Funciones continuas Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• “Se puede dibujar sin levantar el lápiz”• ¿Qué pasa con el dominio?• Definiciones: Lima (Espacios Métricos) 42
  43. 43. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática 43
  44. 44. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Más topológica…Munkres (Topología): 44
  45. 45. Algunas ideas Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• La génesis semiótica apunta a lo que el individuo “cree” del objeto (la idea que se forma a nivel mental). Esta puede observarse (y activarse) a través de distintas representaciones. Por ejemplo, las definiciones vivirán en el polo “Representante”. Estas, dependiendo del paradigma, constituyen un signo o un símbolo. El individuo se hará una idea y la comunicará bajo la misma u otra representación. 45
  46. 46. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Creemos también, que en el trabajo de los matemáticos, este buscará la prueba , pero no cualquiera, sino la demostración. Privilegiará el trabajo en la génesis discursiva. Precisamos que entenderemos por génesis discursiva no solo aquella que utiliza el lenguaje natural, sino también el uso de resultados, también expresados de manera algebraica o de otra forma, para obtener conclusiones, y en definitiva, una prueba. El tránsito por las otras solo le servirá de apoyo (ejemplo) 46
  47. 47. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Con el primer signo o representación, podemos trabajar con algunas funciones, y desplazarnos al polo “Prueba”. Sin embargo, tal vez hay elementos que se pierden, por ejemplo, considerar el dominio de la función.• Aparecen problemas cuando consideramos funciones reales definidas, por ejemplo, por 1 f ( x) = x• El problema es peor aún cuando tenemos la función definida por: 1 f ( x) = x• El dominio es el mismo para ambas, pero “visualmente” se pueden decir cosas distintas…¿Puedo concluir algo circulando desde la visualización? 47
  48. 48. Referencias Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Duval, R. (1995), Sémiosis et pensée humaine. Éditions Peter Lang, coll. Exploration, Recherches en sciences de léducation. Berne, Suisse.• Houdement C., Kuzniak A. (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la géométrie. Annales de didactique et de sciences cognitives. 11. 175-193. IREM de Strasbourg.• Houdement C., Kuzniak A. (1999). Géométrie et paradigmes géométriques. Petit x. 51. 5-21. Ed. IREM de Grenoble.• Houdement, C. Kuzniak A. (1996). Autours des stratégies utilisées pour former les maîtres du premier degré en mathématiques, Recherches en didactique des mathématique, 16(3), 289-321. 48
  49. 49. Facultad de Ciencias Instituto de Matemática• Kuzniak, A. (2004). Paradigmes et espaces de travail géométriques. Note pourl’habilitation à diriger des recherches. Paris: IREM Paris 7.• Kuzniak, A. (2011). Lespace de Travail Mathématique et ses genèses. Annales de didactique et de sciences cognitives, 16, 9-24.• Kuzniak, A. (2011). Understanding geometric work through its development and its transformations. Laboratoire de Didactique André Revuz, University Paris-Diderot, Paris, France.• Lima, E. (1978). Espacos métricos. Segunda edición. Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Brasil.• Montoya E. (2010). Etude de la transformation des connaissances géométriques dans la formation universitaire des professeurs de lycée de mathématiques au Chili. Tesis Doctoral,Université París Diderot-Paris 7.• Vandebrouck, F. (2011) Points de veuet Domaines de Travail pour l’etude des Fonctions. En prensa. 49
  50. 50. Facultad de Ciencias Instituto de MatemáticaGracias…. 50

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