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UNIVERSIDAD FERMÍN TORO,[object Object],FACULTAD DE INGENIERÍA,[object Object],CABUDARE-EDO. LARA,[object Object],CONJUNTOS,[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],Unidad III,[object Object],Junio, 2011,[object Object]
1. Definición,[object Object],Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales llamaremos elementos.,[object Object],Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos por U, al conjunto que contiene todos los elementos a considerar.,[object Object],Ejemplo: Consideremos el conjunto formado por todos los números naturales menores que 6. En este caso podemos escribir el conjunto como A = {1,2,3,4,5} y nuestro conjunto de referencia o conjunto universal es N, el conjunto formado por todos los números naturales.,[object Object],Generalmente, los conjuntos son denotados con letras mayúsculas como A,B,C,X,Y,Z, etc., mientras que para los elementos se usan minúsculas como a,b,c,d,x,y,z, etc. Los elementos de un conjunto son encerrados entre llaves o en un círculo, el cual es llamado diagrama de Venn.,[object Object],Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por comprensión. ,[object Object],Por extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno.Ejemplo: Los siguientes conjuntos están determinados por extensión.A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w},[object Object],b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una función proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición dada. Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión.,[object Object],A = {n Î N / 1£n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5),[object Object],B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18),[object Object],C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores absolutos son menores que 4),[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],1,[object Object]
2. Subconjunto,[object Object],Definición: Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente lo expresaremos como:,[object Object],A Ì B Û ( " x ÎU) ( x Î A Þ x Î B ).,[object Object],Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:,[object Object],1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A.,[object Object],2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B. ,[object Object],3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C. ,[object Object],Definición: Diremos que un conjunto A estáincluido propiamente en un conjunto B o que A es subconjunto propio de B si y sólo si A Ì B y A ¹ B.,[object Object],Ejemplo: Si A = {a,d,f,} y B = { a, b,c,d,e,f,h} , entonces A es subconjunto propio de B.,[object Object],Ejemplo: Si D = { 1, 2, 3, 4 } y E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } , entonces D es subconjunto propio de E.,[object Object],Problema: Probar que A Ë B Û ( $ x )( x Î A x Ï B ),[object Object],Solución,[object Object],Usando la ley del condicional, P ® q º~ p Ú q, en la definición de inclusión tenemos que:,[object Object],A Ì B Û ( " x )( x Î A Þ x Î B ,[object Object],Û ( " x )( x Ï A v x Î B ) luego, negamos ambos lados,,[object Object],~ ( A Ì B ) Û~ ( " x )( x Ï A v x Î B ) obtenemos que ,[object Object],A Ë B Û ( $ x ) ( x Î A Ù x Ï B ),[object Object],Conjunto Vacío,[object Object],Definición: Dado un conjunto A, el conjunto vacío fA es el conjunto:,[object Object],fA = {x Î A / x ¹ x } el fA no tiene elementos, ya que todo x Î A satisface x = x. Además, por definición se tiene que vacío es subconjunto de todo conjunto A,[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],2,[object Object]
3. Conjunto Potencia,[object Object],Si A es un conjunto, se define el conjunto Potenciade A o conjunto partes de A como Ã(A) = { X / X Ì A}, es decir, es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. ,[object Object],Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces ,[object Object],Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}},[object Object],Características del Conjunto Potencia,[object Object],- La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.,[object Object],- Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de à (A), ya que si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n elementos. ,[object Object],El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de inclusión.,[object Object],Teorema. A Ì B ÛÃ(A) ÌÃ(B),[object Object],Representación Tabular del Conjunto Producto,[object Object],Un conjunto AxB lo podemos representar por medio de tablas como veremos en el siguiente ejemplo.,[object Object],Ejemplo,[object Object],Si A = {3,5,7} y B = {1,2,3} encuentre la representación tabular de AXB,[object Object],Solución,[object Object],AxB = {(3,1),(3,2),(3,3),(5,1),(5,2),(5,3),(7,1),(7,2),(7,3)},[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],3,[object Object]
4. Igualdad,[object Object],Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.,[object Object],El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.,[object Object],Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,,[object Object],A = B Û A Ì B Ù B Ì A,[object Object],Demostración: Sigue inmediatamente del axioma de extensión, la definición de inclusión y de la siguiente equivalencia:,[object Object],(x Î A Û x Î B ) º ( x Î A Þ x Î B ) Ù ( x Î B Þ x Î A ),[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],4,[object Object]
5. Unión e Intercepción,[object Object],Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el conjunto:,[object Object],A I B = { xÎ U /xÎ A ÙxÎ B},[object Object],Es decir, los elementos que están en A y también están en B.,[object Object],Ejemplo: Sea A = {a,b,c,d,e} y B = {a,c,e,h,i,j,k} luego, la intersección de los conjuntos A y B es el siguiente conjunto A I B ={a,c,e},[object Object],Propiedades de la Intersección de Conjuntos,[object Object],Sean A y B conjuntos, luego se cumple:,[object Object],i. A I A = A ,"A ,[object Object],ii. A I U = A , donde U es el conjunto universal ,[object Object],iii. A I f=f,[object Object],iv. A I B = B I A,[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],5,[object Object]
6. Diferencia y Complemento,[object Object],Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el siguiente conjunto:,[object Object],A - B = { xÎ U / xÎ A ÙxÏ B}. Es decir, son todos los elementos que están en A pero que no están en B.,[object Object],Ejemplo: Consideremos los conjuntos ,[object Object],A = {1,2,3,5,7,9,11,12} y B = {0,1,2,-4,5,7,9,6,8,10,18},[object Object],Luego A-B = {3,11,12} mientras que B-A = {0,-4,6,8,10,18},[object Object],Sean A y B dos conjuntos. La diferencia simétrica,[object Object],entre A y B es el conjunto. ,[object Object],AD B = (A-B) U (B-A) = { xÎ U / xÎ A ÚxÎ B},[object Object],En el ejemplo anterior se tiene que AD B = {-4,0,3,6,10,11,12,18},[object Object],Propiedades de la Diferencia de Conjuntos,[object Object],Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:,[object Object],(AUB) - C = (A - C) U (B - C),[object Object],(A I B) - C = (A - C) I (B - C),[object Object],(AD B) - C = (A - C) D (B - C),[object Object],A I ( B - C) = (A I B) - (A I C),[object Object],(B - C) I A = (B I A) - (C I A),[object Object],Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto. ,[object Object],C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le faltan a B para llegar a ser igual a U.,[object Object],Así podemos decir xÎ C(B) ÛxÏ B.,[object Object],Ejemplo: Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y B = {1,3,5,7} entonces C(B) = {2,4,6,8,9,10},[object Object],Teorema: Sean A y B dos conjuntos luego:,[object Object],A - B = AI C(B),[object Object],C(C(A)) = A ,[object Object],AUC(A) = U ,[object Object],AI C(A) = f ,[object Object],C(U) = f ,[object Object],C(f ) = U ,[object Object],AÌ B Û C(B) Ì C(A),[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],6,[object Object]
7. Algebra de Conjuntos,[object Object],Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación.,[object Object],5.Leyes de Identidad ,[object Object],A U f= A I f= f,[object Object],A ,[object Object],6. Leyes de Dominación ,[object Object],A U U = U U: conjunto universal ,[object Object],A IU = A ,[object Object],7. Leyes de Complementación,[object Object],A U C(A) = U ,[object Object],A IC(A) =fff) = U ,[object Object],C (C(A)) = A ,[object Object],C (U) = ,[object Object],C ( ,[object Object],8. Leyes de De Morgan ,[object Object],C(A U B) = C(A) IC (B) IB) = C(A) U C (B) ,[object Object],C(A ,[object Object],Leyes de Idempotencia,[object Object],A U A = AI A = A,[object Object],A ,[object Object],Leyes Asociativas ,[object Object],A U (BUC) = (AUB) U C ,[object Object],A I (BIC) = (AIB) I C ,[object Object],Leyes Conmutativas ,[object Object],A U B = B U A ,[object Object],A IB = B IA ,[object Object],Leyes Distributivas ,[object Object],A U (B IC) = (A U B) I(A U C) I(B U C) = (A IB) U (A IC) ,[object Object],A ,[object Object],Estructuras Discretas I,[object Object],7,[object Object]
8. Producto Cartesiano,[object Object],Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B},[object Object],Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8} ,[object Object],entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)} ,[object Object],mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)},[object Object],Nótese que Ax B ¹Bx A,[object Object],Teorema. Si A,B,C son tres conjuntos entonces:,[object Object],[object Object]
A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C)
Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)
Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)Estructuras Discretas I,[object Object],8,[object Object]

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Conjuntos

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  • 2.
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6.
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C)
  • 11. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C)
  • 12.
  • 13.
  • 14.
  • 15.