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# [Maths] algebra

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### [Maths] algebra

1. 1. Mathematics Algebra 02  cbxax a acbb x 2 42   22 ))(( axaxax  ... 00 )( 1               yx n x n yx nnn
2. 2. Mathematics. Algebra
3. 3. Algebra. History Bagdag, 830 A.C. Mahammed ben Mussa al Jwarizmi (hoy Uzbequistan 780-850 A.C.) “Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala” (Precisiones sobre el cálculo de al-jabr y al-muqabala) Diophantic equations Diophantus (Alexandría, 200-284 A.C.): Linear, quadratic and cubed equations Niccolo Fontanna Tartaglia (Italy, 1499-1557) Gerolamo Cardano (Italy, 1501-1576) 2 3 2 3 3 3 2 4 27 2 4 27 n n m n n m x       
4. 4. Algebra. WHY TO LEARN ALGEBRA? •Algebra is a powerfull tool for all branchs of Mathematics and Science. •Algebra is a kind of scientific language you must learn to take advantage in other disciplines •Understanding Algebra helps people to abstract your mind and stablish new patterns into your brain. •Exercises your brain muscle as learning an instrument or doing puzzles or some video games. • Albebra is the universal brain builder (It is like build a railway into your brain).
5. 5. Algebra. Monomials a coefficient n exponent / power x variable n ax4 2 2 x 3 4 5 x 1 2 2x 0 x 1   1 x 3 2 x y 5 y
6. 6. Algebra. Monomials Operations Examples Addition Substration Multiplication Division 222 853 xxx  222 253 xxx  422 1553 xxx  2 3 2332 22 132 23 5 3 53 5 3 53 5 3 5 3 53 5 3 53 xz y zxyx xx x xxx xxx          343324 1523 zyxzxxy  ?...53 2  xx
7. 7. Algebra. Polynomials terms each monomial x variable n degree an xn leading term ai xi the ith degree term ao constant term an principal coeficient ai the ith degree coeficient 1 2 1 1 2 1 0( ) ... ; 0 n n n n n n n P x a x a x a x a x a n a             
8. 8. Algebra. Polynomials ℕ  ℤ  ℚ  ℝ  ℂ 3
9. 9. Algebra. Polynomials Addition & substration We define the polynomials: P(x) = -3x4-5x2 +1, Q(x) =3x4-4x3 -5x2 +6 , R(x) = -x3 +6x +4. Calculate P(x) + Q(x) - R(x) P(x) -3x 4 -5x 2 1 Q(x) -3x 4 -4x 3 -5x 2 6 -R(x) x 3 -6x -4 Add -6x 4 -3x 3 -10x 2 -6x 3
10. 10. Algebra. Polynomials Multiplication We define the polynomials: Calculate 1532)( 23  xxxxP 324)( 2  xxxQ )()( xQxP  2x 3 -3x 2 +5x -1 4x 2 -2x 3 +6x 3 -9x 2 +15x -3 -4x 4 +6x 3 -10x 2 +2x +8x 5 -12x 4 +20x 3 -4x 2 8x 5 -14x 4 +32x 3 -23x 2 +17x -3
11. 11. Algebra. Polynomials Division We define the polynomials: Calculate Quotient 1/2x -1/2 Remainder 11/2 x + 1/2 1532)( 23  xxxxP 324)( 2  xxxQ )()( xQxP  2x 3 -3x 2 +5x -1 4x 2 -2x +3 -2x 3 +x 2 3/2 x 1/2 x -1/2 0 -2x 2 13/2 x -2x 2 -x +3/2 0 11/2 x ½
12. 12. Algebra. Polynomials Division We define the polynomials: Calculate 4x5 – 2x4 + 6x3 – 2x2 + 4x – 3 2x2 – 4x -4x5 + 8x4 2x3 +3x2 + 9x + 17 6x4+ 6x3 – 2x2 + 4x – 3 - 6x4 +12x3 18x3 – 2x2 + 4x – 3 Quotient 2x3 +3x2 + 9x + 17 - 18x3+36x2 Remainder 72x – 3 34x2 + 4x – 3 - 34x2 +68x 72x – 3 342624)( 2345  xxxxxxP xxxQ 42)( 2  )()( xQxP 
13. 13. Algebra. Useful products Distributive x(y + z)= xy + xz (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab Squared binomial (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2 Cubed binomial (x + y) 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Squared trinomial (x + y + z) 2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz Difference of squares x2 - y2 = (x + y) (x – y) x2 + y2 cannot be factorised Difference of cubes x3 – y3 = (x – y)( x2 + y2 + xy ) Addition of cubes x3 + y3 = (x + y)( x2 + y2 - xy ) Forth difference x4 – y4 = (x + y)(x – y)( x2 + y2 ) Binomio de Newton )(1 ba ab ba    01122110 1 .... 210 )( ba n n ba n n ba n ba n ba n ba nnnnnn                                 
14. 14. Factorising PARADOJA Demostrar que 1=2 Encuentra, si lo hay, el fallo en la siguiente paradoja algebraica: Consideremos dos números x e y cualesquiera tales que x = y Multiplicando ambos miembros por x x2 = xy restamos y2 x2 - y2 = xy - y2 sacando factor común y por los productos notables, (x - y)(x + y) = y(x - y) dividámoslo todo por (x - y) (x + y ) = y y puesto que x = y 2 x = x y simplificando o dividiendo por x ¡2 = 1 !!! ¡Busca donde está el error!
15. 15. Numbers: 1 is equal to 2 PARADOJA Demostrar que 1=2 Encuentra, si lo hay, el fallo en la siguiente paradoja algebraica: Consideremos dos números x e y cualesquiera tales que x = y Multiplicando ambos miembros por x x2 = xy restamos y2 x2 - y2 = xy - y2 sacando factor común y por los productos notables, (x - y)(x + y) = y(x - y) dividámoslo todo por (x - y) (x + y ) = y y puesto que x = y 2 x = x y simplificando o dividiendo por x ¡2 = 1 !!! ¡Busca donde está el error!
16. 16. Numbers: a is equal to b Si a > b entonces a = b. Dado que a > b, supongamos c> 0 tal que a = b + c. Multipliquemos los dos miembros de esta igualdad por (a-b) a ( a-b) = (b + c)(a - b) a2 - ab = ab + ac - b2 - bc a2 - ab - ac = ab - b2 - bc a ( a - b - c ) = b (a - b - c ) y simplificando por (a - b - c) quedará a = b ¿Dónde se encuentra el error en esta demostración?
17. 17. Solving word problems. Strategies Polya’s four step process • Familiarize with or understand the problem. Write down the ideas you have. • Devise a plan. Draw a picture. Look for different strategies. Choose the best. Estimate the solution. translete the word problem into algebraic equations. • Carry out your plan, I mean, solve the equation. • Look back over the results. Revise the process and deduce consequences.
18. 18. Solving word problems. Our 6 steps strategy 1 Read the problem, take your time, be still, until you are sure to understand the meaning perfectly. Look for valid information which can help you. 3 It it is possible, it is really useful to draw a diagram and label it. 2 Identify the variables and choose the letters x, y, z,.. to assign the unkwown values you to want to find out. Be careful, because sometimes you can deduce a letter from others 4 Write the equation. 5 Solve the equation 6 Check, discuss, compare with your estimations and interpret the solutions.
19. 19. Solving equations 1 If there are some roots, get rid of them squaring boths sides of equation. 3 Multiply out any brackets 2 Get everything off the bottom of the fractions. 4. Collect all subject terms on one side of the “=“ and non-subject terms on the other. 5 Combine together like terms and solve the equation. • If it is a linear equation Ax = B, you have to make x the subject sliding A underneath the B. • If it is a quadratic (or higer) equation you can use three methods: • by formula (always you can transform it into a (bi)quadratic equation) • by factors • by non linear methods (iteration, e.g. Newton-Raphson) 6.2 15 39 39154104518445184104 )52(9)4()52(2 9 52 4 23 52 4 23 52 4 2 2 2                      xxxxxxxx xxx x x x x x x
20. 20. The bread Un gran bollo de pan pesa lo mismo que ¾ partes del bollo más ¾ de kg. ¿cuánto pesa el bollo?
21. 21. The bread 3 3 3 3 4 ... 4 4 ... 3 4 3 3 3 x x x x x x x x                
22. 22. The object Por un objeto se paga 9€ más que la mitad de lo que vale. ¿Cuánto vale?
23. 23. The object 1 9 18 2 18 2 18 2 x x x x x x x         
24. 24. Pythagoras Se cuenta que en una ocasión se le preguntó a Pitágoras cuál era el número de alumnos que tenía, a lo que él respondió: “La mitad estudia aritmética, la cuarta parte oratoria, la séptima parte medita en silencio y tres alumnos más no estudian” ¿Cuántos alumnos tenía Pitágoras?
25. 25. Pythagoras 1 Aritmetica 2 1 Oratoria 4 1 medita 7 3 no estudian 1 1 1 3 14 7 4 84 28 2 4 7 84 84 28 25 84 3 28 3 x x x x x x x x x x x x x x x                          
26. 26. The math examination Para un examen final de Matemáticas, las 3/5 partes del total de los alumnos aprueban por curso y no tienen que presentarse; los 3/8 del resto, que debían realizar el examen, ya no se presentan y los 20 alumnos restantes aprueban todos la convocatoria. Calcular el número total de alumnos de Matemáticas.
27. 27. The math examination es el numero total de alumnos 3 2 aprueban; luego el resto es 5 5 3 2 no se presentan 8 5 20 aprueban 3 3 2 3 6 20 20 5 8 5 5 40 24 6 40 800 10 800 80 x x x x x x x x x x x x x x x                                   
28. 28. Diophantus’ biography En la lápida de la tumba del matemático Diofanto reza el siguiente epitafio: “¡Caminante!, aquí fueron sepultados los restos de Diofanto y los números pueden mostrar ¡oh milagro! cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando de vello cubriose su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan solo la mitad que la de su padre, a la tierra. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. Escribir la biografía de Diofanto.
29. 29. Diophantus’ biography 1 1 1 1 5 4 14 7 12 42 756 84 6 12 7 2 756 756 84 75 9 756 84 9 x x x x x x x x x x x x x x                     Duración vida de Diofanto x Infancia 1/6 x Adolescencia 1/12 x Matrimonio esteril 1/7 x Nacimiento hijo 5 años Vida del hijo 1/2 x Sobrevivió al hijo 4
30. 30. Diophantus’ biography Duración vida de Diofanto x 84 años Infancia 1/6 x 14 años Adolescencia 1/12 x 6 → 21 años Matrimonio esteril 1/7 x 12 → 33 años Nacimiento hijo 5 años 5 → 38 años Vida del hijo 1/2 x 42 → 80 años Sobrevivió al hijo 4 4 → 84 años
31. 31. The hens and the rabbits Una granja tiene gallinas y conejos. Si sumamos el número de patas resultan 140, pero si sumamos las cabezas son solo 40. Calcular cuantas gallinas y cuántos conejos tiene la granja.
32. 32. The hens and the rabbits  2 40 4 1402 4 140 40 40 80 2 4 140 2 60 30 40 30 10 y yx y x y x y y y y y x                                     Cabezas Patas Nº Gallinas x 2x Nº conejos y 4y
33. 33. The horse and the donkey Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. El caballo se lamentaba de su pesada carga a lo que el mulo le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya, en cambio si te doy uno de mis sacos, nuestras cargas serían iguales”. ¿Cuántos sacos llevaba cada uno?
34. 34. The horse and the donkey    1 2 1 2 2 32 3 5 2 5 2 71 1 y x x xy x x y x yy x                                Nº sacos del caballo x Nº sacos del mulo y
35. 35. The number La suma de las dos cifras de un número es igual a 10; además, si invertimos el orden de las cifras, se obtiene otro que es el triple del primero, disminuido en dos unidades. ¿Cuál es el número de partida?
36. 36. The number     10 10 10 3 10 2 10 30 3 2 29 7 2 29 10 7 229 7 2 290 29 7 2 10 8 2 288 288 36 8 36 x y x y y x x y y x x y x y y yx y y y x y y                                                Sean ‘x’ e ‘y’ las cifras de las decenas y la de las unidades respectivamente del número pedido
37. 37. St.Peter and Paul Pedro dice a Pablo : “Tengo dos veces la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo, la suma de las dos edades será de 63 años”. ¿Cuáles son las edades actuales?
38. 38. St.Peter and Paul   2(2 ) 4 2 2 3 (2 ) 63 3 63 3 63 189 2 9 189 7 189 272 3 3 63 7 3 27 63 18 y y x y y x x y x y x x y y x x x x xx x y                                          Hoy Cuando yo tenía la edad que tu tienes Cuando tu tengas la edad que yo tengo St Peter x y x+(x-y)=2x-y St Paul y y-(x-y)=2y-x x 2(2 )y y x  (2 ) 63x y x  
39. 39. Palms, birds and fish En ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra y separadas por una distancia de 50 pies. La altura de una es 30 pies y la de la otra 20 pies. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Súbitamente los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzan a la vez y alcanzan el pez también al mismo tiempo. ¿A qué distancia de la palmera mayor apareció el pez?
40. 40. Palms, birds and fish   2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 50 20 900 2500 100 400 900 ... 900 2900 1002900 100 100 2000 20 900 900 20 1300 36,05 y x y x y x y x x y x xy x x x x y x                                         
41. 41. The taps Un grifo tarda 3 horas en llenar un depósito. Mientras que otro solo tarda 2 horas en llenarlo. ¿Cuánto tardarán en llenar el depósito los dos grifos a la vez?
42. 42. The taps 1 1 5 1 1 ... 3 2 6 6 1 ... horas 1 1 hora y 12minutos 5 5 x x x horas               Lleno en 1 hora Grifo A 3 horas 1/3 3(1/3)=1 Grifo B 2 horas 1/2 2(1/2)=1 Grifos A +B X horas 1/3 + 1/2 x(1/3 + 1/2)=1
43. 43. Mother and son Una madre es 21 años mayor que su hijo y en 6 años el niño Será 5 veces menor que ella. Calcula la edad del hijo
44. 44. Mother and son     21 6 5 6 21 6 5 30 4 3 4 3 y x y x x x x x                       
45. 45. Operations BASIC OPERATIONS + Addition / plus - Substration / minus * Multiplication / Division ^ Exponentiation; power square root; cube root3
46. 46. Numbers: Powers, surds and logarithms Powers Surds Logarithms mnmn xxx   yxxy loglog)log(  mn m n x x x   yx y x logloglog         nmmn xx  nmn m xx  xnxn loglog  10 x xx 1 1log bb n n x x 1  nmn yxyx )(  nnn yxyx  n n n y x y x        n n n y x y x  nn xx  1 n mn m xx  x n xn log 1 log  n nn yxyx  b x x a a b log log log  10log b 11 x