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Limites y continuidad

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Limites y continuidad

  1. 1. Límites y continuidad 2º Bachillerato
  2. 2. Funciones. Primeras definiciones1.- Dado un nº real “a” y un nº real positivo , se llama entorno de centro a y radio , al intervalo abierto de extremos a - , a + : E(a, ) = (a - , a + ) = {x R/a - < x < a + }2.- 2.1El conjunto A es el dominio de definición. Dom f = {x/ f(x) es un número real} 2.2. El conjunto de las imágenes de A es el recorrido de la función. Rec f = {y / y = f(x) con x del conjunto A}
  3. 3. Función real de variable real: ejemplo ILa fórmula f(x)=x2 relaciona dos variables reales f(x) = x2 R R Dominio Recorrido f(2) = 4 •2 •4 • 2,3 f(2,3) = 5,29 • 5,29 •5 f(5) = 25 • 25 Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones: • Todo elemento de D ha de tener imagen. • Esta imagen ha de ser única.
  4. 4. Función real de variable real: ejemplo II f(x) • (x, f(x)) Recorrido x –1 1 DominioVariable independiente Ley de asociación Variable dependiente x f y = f(x) Dominio Recorrido f(x) = 1 – x2 D = [–1, 1] f([–1, 1]) = [0, 1]
  5. 5. Límite de una función en un punto: definición intuitiva Si a y b son dos números, la expresión lim f(x) =b x a quiere decir que si la variable independiente x toma valores próximos al número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b Importante: si existe el límite de una función en un punto, dicho límite debe ser un número y además único. 2 x –1Ejemplo: La función f(x) = 2 x – 3x + 2 no está definida en los puntos 1 y 2. ¿Cómo se comporta cuando x toma valores cada vez más próximos a 1? x 0,98 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1 f(x) –1,9412 –1,9703 –1,9970 –1,9997 no existe –2,0003 –2,003 –2,0303 –2,3333 • Cuando x se acerca a 1 por la derecha f(x) se acerca a – 2 • Cuando x se acerca a 1 por la izquierda f(x) se acerca a – 2 x2 – 1 x – 3x + 2 = – 2 Se escribe lim 2 x 1
  6. 6. Límite de una función en un punto: definición formal Def: Sean a y L dos números reales. Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si para todo número real > 0 existe otro número real > 0, tal que si 0 < |x – a | < |f(x) – L | < Para cada >0 Hay un > 0 0 < |x – a | < |f(x) – L | <La condición 0 < | x – a | < prohibe que x tome el valor a.No es necesario que la función esté definida en a.
  7. 7. Límites laterales de una función Se dice que el número b es el límite de f(x) cuando x tiende hacia a por la dere-cha (izquierda) , si al tomar valores x estrictamente mayores (menores) próximosal número a, los correspondientes valores de f(x) se aproximan al número b. Sedesigna lim + f (x) = b (lim f (x)= b). ( – x a x aUna función se dice que tiene límite en un punto si y sólo si existen los límiteslaterales y ambos son iguales.Ejemplo: la función Ent(x) = «mayor nº entero menor o igual a x» tiene una gráfica como la siguiente. Se observa que: lim+ Ent(x) = 3 x 3 lim– Ent(x) = 2 3 x 3 Como los límites laterales no coinciden la función no tiene límite cuando x 3.
  8. 8. Teorema de la unicidad del límiteEnunciado: Si una función tiene límite en un punto, es único.Demostración: La demostración se hace por reducción al absurdoSuponemos que f(x) tiene 2 límites distintos b y c, si x tiende a “a”. Y b > c.limx->af(x)=b => (por def. de límite) E(b, ) 1 x E*(a, 1) f(x) E(b, )limx->af(x)=c => (por def. de límite) E(c, ) 2 x E*(a, 2 ) f(x) E(c, )Consideremos un ε tal que E(b, )∩ E(c, ) = Ø.Por ej. c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2 y sea δ = min { 1 , 2 }Para todo x perteneciente al E*(a, δ ) se cumple f(x) pertenece a E(b, ) f(x) pertenece a E(c, )Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos. El absurdo procede de suponer b ≠ c. Por lo tanto b = c.
  9. 9. Propiedades de los límites de funciones2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p
  10. 10. Propiedades de los límites. DemostraciónEnunciado: El límite de una suma es igual a la suma de los límites (si son finitos)Demostración: Queremos probar que, dado ε > 0, δ > 0 x E(a, δ) f(x)+g(x) E(b+c, ε ). Es decir |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.Sea ε = ε/2 lim f(x)=b => (def. de lím.) ε>0 δ1>0 x E(a,δ1) |f(x) - b| < ε. x a limg(x)=c => (def. de lím.) ε>0 δ2>0 x E(a,δ2) |g(x) - c| < ε. x aSea δ = min {δ1,δ2}. x E(a,δ) se cumple:|f(x) - b| < ε„, |g(x) - c|< ε„ => |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε = ε|(f(x) + g(x)) - (b+c)|=|(f(x) - b) + (g(x) - c)| |f(x) - b|+|g(x) - c| < ε(*) Desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|=> (por def. de límite) lim[f(x) + g(x)] = b + c x a
  11. 11. Límites infinitos de una función en un punto: definición• Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es mas infinito si lafunción f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que setomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Sedesigna : lim f ( x) x a•· Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende hacia el punto “a” es menos infinito sila función f(x) se hace tan grande como se quiera (en valor absoluto) siempre que setomen valores de x suficientemente próximos al número a, pero distintos de él. Sedesigna: lim f ( x) x aEjemplo: observando la gráfica de la 1función f(x) = se ve que: |x| 1 lim = x 0 + |x| 1 lim = lim 1 = x 0 |x| x 0 – |x|
  12. 12. Límite infinito en un punto: definición formalEjemplo: En la medida en que x se acerca o 0, con valores positivos ¿a quién se acercaf(x) = (x+1) / x? x 1 0,1 0,01 0,01 0+ f(x) = (x+1)/x 2 11 101 1001 + x+1 lim +x = + x x+1 De igual manera si x se acerca a 0 con valores negativos se ve que: lim =– –x x • El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la derecha es infinito si para cada número K > 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) > K si a < x < a + d donde d es función del K elegido . • El límite de f(x) cuando x tiende a “a” por la izquierda es menos infinito si para cada número K < 0 existe otro número d > 0 tal que f(x) < K si a – d < x < a donde d debe ser función de K.
  13. 13. Límites finitos en el infinito: DefiniciónSe dice que el nº L es el límite de f(x) cuando x tiende a infinito (menos infinito), sila distancia | f(x) – L | se hace tan pequeña como se quiera siempre que se tomenvalores de x suficientemente grandes (en valor absoluto). De denota lim f ( x) L lim f ( x) L x x Ejemplo (comportamiento en el infinito, límite finito) : En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x) = (x+1) / x? x 10 102 103 104 + f(x) = (x+1)/x 1,1 1,01 1,001 1,0001 1 x+1 lim =1 x + x
  14. 14. Límites infinitos en el infinito: Definición Def: El límite de f(x) cuando x tiende a infinito es infinito si para todo número real M se puede encontrar otro número real K tal que f(x) > M si x > K donde K debe ser función de M.En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acercaf(x) = x2? x 10 102 103 104 + f(x) = x2 102 104 106 108 + lim x2 = + x +Otros comportamientos en el infinito, gráficamente.
  15. 15. Ejemplo de comportamiento en el infinito: no existe límiteCuando x tiende a infinito o x tiende a menos infinito los valores de estasfunciones seno y coseno no tienden a ningún valor, ya que oscilan entre 1 y –1.Ambos límites no existen.
  16. 16. Cálculo de límites Límites simplesCuando las funciones verifican lim f ( x) f ( a ) se pueden obtener directamente x apor el procedimiento de sustituir en la expresión de la función el valor de la variable xpor el de a hacia el que tiende. Algunos límites típicos sen x ex lim p = , para todo p lim =1 x x x 0 x ax a lim ln px = 0, para todo p > 0 lim 1 + x = e , para todo a x x x
  17. 17. Cálculo de límites simples: ejemplos x2 cos x + e2x 0 . 1 + e0 lim ln (x + 1) + x3 + 1 = ln 1 + 0 + 1 = 1 x 0 x3 + x – 1 lim x2 – 100 + x2 – 1 = –100 + 1 = – 99 x 0 (x2 – 2x + 1) (12–2.1+1) 3 2x3 – 2x + 1 3 2 . 13–2 . 1 + 1lim x3 –x + 1 = 13 – 1 + 1 = 10 = 1x 1 –2x2 + 3 –2 . 32 + 3 15 lim x3 – 2x + 5 = 3 = – 16 x 3 3 – 2 .3 + 5
  18. 18. Indeterminaciones: tiposCuando podemos calcular el límite de la operación de dos o más funciones, aun sinconocerlas, decimos que el límite es determinado. Aplicando las propiedades de los límitespodemos obtener el límite buscado. En caso de que no podamos aplicar ninguna propiedadque nos permita calcular el límite, diremos que es indeterminado. lim f(x) = 2 lim f(x) = 0 x a x a lim g(x) = 3 lim g(x) = 0 x a x a f(x) 2 f(x) Entonces lim = No es posible obtener lim . Para x a g(x) 3 x a g(x) poder salvar la indeterminación hemos de conocer f y g.Este resultado no depende de las funciones f y Este límite depende de las funciones f y g. El g. El límite es determinado. límite es indeterminado. Tipos de L 0 0/ L 0 00 0 0. – 1 indeterminaciones 0
  19. 19. Cuadro de indeterminaciones: Forma de resolverlas Tipos de L 0 0/ L 0 00 0 0. – 1 indeterminaciones 0•En las del tipo L/0 con L no nulo, se calculan los límites laterales•En las del tipo 0/0 Si hay raíces, se multiplica por el conjugado de la expresión con raíces y luego se factoriza y simplifica • Si no hay raíces, se factoriza y simplifica•En las del tipo Se dividen numerador y denominador por la máxima potencia•En las del tipo 0 Se transforman, mediante operaciones, en uno de los anteriores•En las del tipo •Si no hay radicales se hacen operaciones y se transforma en uno de los anteriores •Si hay radicales, se multiplica y se divide por el conjugado y se transforma en uno del tipo•En las de los tipos 0 ,00 y1 Se aplican logaritmos o la expresión correspondiente
  20. 20. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo L/0, con L 0En estos casos el límite si existe es + o – dependiendo del signo de la funcióna izquierda y derecha del valor al cual tiende la variable. 1 lim =– –x – 2 x 2 1 lim x – 2 no existe 1 x 2 lim =+ +x – 2 x 2 1 lim 2=+ – (x – 2) x 2 1 lim =+ 1 x 2 (x – 2)2 lim 2=+ + (x – 2) x 2
  21. 21. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 0/0 P(x) 0Cuando el lim es indeterminado siendo P(x) y Q(x) polinomios, pod e- x a Q(x) 0mos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por (x – a) –18 + 21x– 8x2 + x3 (x – 3)2(x – 2) (x – 3)(x– 2) 0 lim = lim (x– 3)(x+ 3) = lim (x + 3) = 6 = 0 x 3 x2 – 9 x 3 x 3 0 Indet 0 –18 + 33 x – 20 x2 + 4 x3 (x – 2)(2x– 3)2 –1 lim 9 – 12 x + 4 x2 = lim 2 = lim (x – 2) = 2 3 3 (2x – 3) 3 x x x 2 2 2 0 Indet 0
  22. 22. Ejemplo de cálculo de indeterminaciones: tipo 0 .Estas indeterminaciones se resuelven a veces operando previamente para 0obtener una expresión más sencilla o reduciéndolas a otras del tipo 0o Recordando que lim xpe–x = 0 x 3 2 lim (x + 5x + 7x)e = lim x3e–x + 5 lim x2e–x + 7 lim xe–x = –x x x x x Indet 0 . = 0+5.0+7.0=0 ln x lim Recordando que X x =0 – ln y 0 lim +x ln x = lim + ln x = lim . y = x 0 x 0 1 y . Indet 0 x 1/x = y
  23. 23. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo / P(x)Cuando el lim es indeterminado siendo P(x) y Q(x) polinomios, x Q(x)podemos salvar la indeterminación dividiéndolos ambos por la potencia másalta de x que aparezca en ambos. 3 5 –2 + x2 – x3 –2x3 + 3x – 5 –2 lim lim 2 5 = –1 = 2 x –x3 – 2x + 5 = x –1 – x2 + x3 Indet En otros casos un cambio de variable permite salvar la indeterminación. ln (ln x) ln y lim lim y =0 x ln x = y Indet ln x = y
  24. 24. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo –En estos casos es aconsejable operar previamente para simplificar, si es posible, laexpresión antes de tomar el límite.Cuando la indeterminación procede de una diferencia de radicales, es conveniente multi-plicar y dividir por la expresión conjugada. 2 . lim (x3 – x2) = lim x (x– 1) = x = x Indet – 2 2 [ x2 + 1 – x2 – 1] [ x2 + 1+ x2 – 1] lim [ x + 1 – x – 1] = lim 2 2 = x x [ x + 1+ x – 1] Indet – (x2 + 1) – (x2 – 1) 2 2 = lim = lim = =0 x [ x2 + 1 + x2 – 1] x x2 + 1 + x2 – 1
  25. 25. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipos 0, 00Estas indeterminaciones se resuelven frecuentemente tomando logaritmos yexpresando la función inicial como «la exponencial de su logaritmo». x x ln (x ) x ln x lim +x = lim +e = lim +e = e0 = 1 x 0 x 0 x 0 Indet 0 0 1 1 ln x x ln x lim x x lim e x x lim e x e0 1 x 0 Indet
  26. 26. Ejemplos de cálculo de indeterminaciones: tipo 1Para resolver estas indeterminaciones resulta útil muchas veces recordar la expresiónde e como límite, combinada con un cambio de variable. a x 2 x 2 2x 1 1 1 lim 1 + x =lim 1+ x = lim 1+ x = e2 1 x x x =y 2x + x4 2Indet 1 4 4 1 4 4 (2x + x ) 2 4 4 x 2 1 x2 1 2 2x + x x2 2 lim (1 + 2x + x ) = lim 1 + 1 = lim 1 + 1 = x 0 x 0 x 0 2x2 + x4 2x2 + x4Indet 1 4(2x2 + x4) lim x2 lim (8 + 4x2) 1 y x 0 1 y x 0 8 = lim 1+y = lim 1+ =e y y y
  27. 27. Continuidad en un punto: primera aproximación Estatura medida cada año: el Estatura medida cada 5 años: incremento entre cada punto y el hay grandes saltos entre cada siguiente será menor, como lo es punto y el siguiente. también el incremento de tiempo. Una función es continua cuando a pequeñas variaciones de la variableindependiente le corresponden pequeñas variaciones de la variable dependiente.
  28. 28. Continuidad en un punto: definiciónUna función f(x), definida en x = a, es continuaen dicho punto cuando: lim [f(a + h) – f(a)] = 0 Al llamar f(a + h) – f(a) = Dy, si Dx h 0 = h 0 entonces Dy 0 Al hacer a + h = x, si h 0 entonces x a Una función f(x), definida en x = a, es continua en dicho punto cuando:Una función f(x), definida en x = a, es continuaen dicho punto cuando: lim y =0 x 0 lim f(x) = f(a) x a Una función f(x), definida en x = a, es continua en dicho punto cuando: Desglosando la Existe lim f(x) definición de límite x a Existe f(a) Los dos valores anteriores son iguales
  29. 29. Continuidad en un punto: definición formal Una función f(x), definida en x = a, es continua en dicho punto cuando: lim f(x) = f(a) x a Una función f(x) tiene límite L en el punto x = a si (real) >0 >0, si: 0 < |x – a | < |f(x) – L | <Usando la definición de continuidad Usando la definición formal de límite Definición formal continuidad Una función f(x), definida en x=a, es continua en dicho punto si (real) >0 >0, si: |x – a | < |f(x) – f(a) | <
  30. 30. Continuidad en un intervalo: definiciónUna función f(x) es continua en a por la derecha Una función f(x) es continua en a por la izquierda si y sólo si lim f (+ ) = f(a) x si y sólo si lim f(x) = f(a) x a x a –• Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada uno de sus puntos.• Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en cada uno de los puntos del intervalo (a, b), y además es continua en a por la derecha y en b por la izquierda. x 2 si x < 1f(x) = 1 – x2 es continua en 1 f(x) = 2 si x 1 no es f(x) = xno es continua en[–1, 1], pero no es continua ni continua en [ –1, 1], porque noen 1 ni en –1 porque no lo es [–1, 1], porque no está es continua por la izquierdapor la derecha o por la izquierda. definida en 0. en 1.
  31. 31. Función discontinua en un punto Cuando una función no cumple la definición de función continua en un punto se dice que es discontinua. Estas funciones no son continuas en el punto 1 43 Esta función no es continua en los puntos 1 y –1 Función discontinua en 0
  32. 32. Discontinuidad evitableUna función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él yno coincide con el valor de la función en el mismo. x2 – 1 si x 1 f(x) = x – 1 3 si x = 1Estudiamos el comportamiento de f(x) en el punto 1: x2 – 1 (x – 1)(x + 1) lim f(x) = lim x – 1 = lim x–1 = lim (x + 1) = 2 3 = f(1) x 1 x 1 x 1 x 1 Por tanto f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto 1.
  33. 33. Evitando una discontinuidad evitableEl valor que deberíamos dar a una función en un punto (en el que la funciónpresenta discontinuidad evitable) para que dicha función sea continua es elverdadero valor de la función en el punto. La siguiente función g(x), evita la discontinuidad que presenta f(x) en el punto 1: x2 – 1 (x – 1)( x + 1) si x 1 si x 1 g(x) = x – 1 = x–1 = x+1 2 si x = 1 2 si x = 1 • El verdadero valor de f(x) en el punto 1 es 2. • La función g(x) es continua en el punto 1.
  34. 34. Discontinuidad inevitable• Una función tiene en un punto una discontinuidad inevitable cuando existen los límites laterales en él y son distintos.• Si f(x) es discontinua en el punto x = a, la diferencia entre los dos límites se llama salto de la función en dicho punto.• Si alguno de los límites laterales en el punto a son infinito, se dice que el salto es infinito x+1 si x 0 y= x 0 si x = 0 y = sig(x) y = sig(x) presenta discontinuidad Esta función presenta discontinuidadinevitable en el punto 0 de salto 2. inevitable de salto infinito en el punto 0.
  35. 35. Funciones acotadas superiormente• Una función está acotada superiormente cuando existe un número real K tal que todos los valores que toma la función son menores o iguales que K.• El número real K se llama cota superior. y=3 y=2 y=1 1, 1.5, 2, p, ... son cotas superiores de la función y = – x2 + 1
  36. 36. Función acotada inferiormente• Una función está acotada inferiormente cuando existe un número real K tal que todos los valores que toma la función son mayores o iguales que K.• El número real K se llama cota inferior. y=0 y=–1 y=–2 0, –1, –1.5, –p, .... son cotas inferiores de la función y = e– x
  37. 37. Extremo superior. Máximo absoluto• Se llama extremo superior de una función a la menor de las cotas superiores.• Si ese valor lo alcanza la función, el extremo superior recibe entonces el nombre de máximo absoluto. y=3 y=2 y=2 y=1 y=1 y=0 • La menor de las cotas superiores es 0.• La menor de las cotas superiores es 1. • 0 es el extremo superior de esta función.• 1 es el extremo superior de esta función. • Como no existe ningún valor de la función• Como f(0) = 1, 1 es máximo absoluto tal que f(a) = 0, esta función no tiene de esta función. máximo absoluto.
  38. 38. Extremo inferior. Mínimo absoluto• Se llama extremo inferior de una función a la mayor de las cotas inferiores.• Si ese valor lo alcanza la función, el extremo inferior recibe entonces el nombre de mínimo absoluto. • La menor de las cotas superiores es 3. • 3 es el extremo superior de esta función. y=5 • Como no existe ningún valor de la y=4 función tal que f(a) = 3, esta función y=3 no tiene máximo absoluto. y=0 • La mayor de las cotas inferiores es 0. y=–1 • 0 es el extremo inferior de esta función. y=–2 • Como además f(0) = 0, 0 es el mínimo absoluto de esta función.
  39. 39. Teorema de acotaciónEnunciado: Si una función tiene límite finito en un punto “a”, está acotada en un entorno reducido de “a”Demostración: (por def. de límite) lim f ( x ) b x a >0 existe δ>0 x E*(a, δ) f(x) E( b, ) lo que indica b - ε < f(x) < b + ε --^-- --^-- h k cota inferior cota superiorNota: también podemos expresar la tesis como >0 δ>0 y h y k reales positivos x E*(a, δ) h < |f(x)| < k.Luego la función f(x) está acotada
  40. 40. Teorema de Bolzano: Enunciado e interpretación geométricaSea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], que toma en ay b valores de signo opuesto (es decir f(a) · f(b) < 0), entonces al menosun punto c interior al intervalo en el que f(c) = 0. c c f(x) continua en [a, b] f(x) continua en [a, b] f(a) < 0 f(a) > 0 f(b) > 0 f(b) < 0 Entonces c (a, b) f(c) = 0 Entonces c (a, b) f(c) = 0
  41. 41. Teorema de Bolzano: Demostración (I) Supongamos que f(a)<0 y f(b)>0. (La demostración sería análoga si supusiéramos f(a)>0 y f(b)<0.) Consideremos el punto medio de [a,b]: (a+b)/2. Si f((a+b)/2)=0 queda demostrado el teorema. Si no, f será positiva o negativa en (a+b)/2. Tomemos una de las mitades del intervalo [a,b] donde la función sea negativa en un extremo y positiva en el otro. Llamemos a1 y b1 a los extremos de este intervalo. Ahora dividamos [a1,b1] a la mitad. Si f no vale cero en el punto medio, será positiva o negativa. Tomemos la mitad donde f tiene distinto signo en cada extremo, y llamemos a estos puntos a2 y b2. Si continuamos de esta manera, obtenemos una sucesión de intervalos [a,b], [a1,b1], [a2,b2], etc., tales que a a1 a2 ... an y b b1 b2 ... bn.Es decir, 1) Los aI forman una sucesión creciente y los bI forman una sucesión decreciente. 2) Los aI son siempre menores que los bI.
  42. 42. Teorema de Bolzano: Demostración (II)Veamos cuál es el lim (bn n an ) La long. del intervalo [a1,b1] es,(b-a)/2 , la mitad de la long. de [a,b] que es b - a. La longitud del intervalo [a2,b2] es (b - a)/22, la mitad de la longitud de [a1,b1] que es (b - a)/2. Y siguiendo de esta manera, la longitud del intervalo [an,bn] es (b - a)/2n.3) De modo que, b a lim(bn an ) lim 0 n n 2n1), 2) y 3) son las condiciones que permiten obtener un único número frontera entreambas sucesiones y que esté en todos los intervalos. c n an c b n ,Esto significa que, para cualquier entorno de c que consideremos, un intervalo[an,bn] contenido en dicho entorno.Es decir, para todo δ>0 n1 / para todo n >= n1 c-δ < [an,bn] < c+δ.
  43. 43. Teorema de Bolzano: Demostración (III)Por otro lado, f es continua en [a,b] por hipótesis. Por lo tanto es continua enc. Por definición de continuidad, limf(x)=f(c). x cVamos a proceder por reducción al absurdoSupongamos que f(c)<0, por teo. de conservación del signo un entorno de cdonde f(x) es negativa. Dentro de este entorno, un intervalo [an,bn], donde f(an) es de distintosigno que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser negativo.Si f(c)>0, por teo. de conservación del signo un entorno de c donde f(x) espositiva. Pero, otra vez, dentro de ese entorno existe un intervalo [an,bn] tal que f(an)es de distinto signo que f(bn). Esto es una contradicción, por lo tanto f(c) no puede ser positivo.Por lo tanto, no existe otra posibilidad: f(c)=0.
  44. 44. Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass Enunciado e interpretación geométricaEnunciado: Toda función continua en un intervalo cerrado [a, b], alcanza en dichointervalo al menos un máximo absoluto y un mínimo absoluto. M M m m x2 x1 x1 x2Esta función, continua en [a, b], presenta Esta función, continua en [a, b], presentaen x1 un máximo absoluto de valor M y en en x1 un máximo absoluto de valor M y enx2 un mínimo absoluto de valor m. x2 un mínimo absoluto de valor m.
  45. 45. Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass Demostración (I)Se hace la demostración en dos partesA) La función está acotada en [a,b]. Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que f no está acotada, Si tomamos x0 el punto intermedio del intervalo, la función no estará acotada en [a,x0] o en [x0,b]. Elegimos de los dos aquel en el que no está acotada y reiteramos el proceso obteniendo así un sucesión de intervalos cerrados encajados y tales que la amplitud tiende a cero. Luego existe un nº real c del intervalo (a,b) que pertenece a todos ellos y por tanto f( c ) no está acotada. Sin embargo, f es continua en todo el intervalo y c está en él, luego es continua en c y por el teorema de acotación f( c ) está acotada, lo que lleva a una contradicción. Por tanto la suposición que hemos hecho no es válida y por ello la función f está acotada en todo el intervalo
  46. 46. Teorema del máximo – mínimo. Teorema de Weierstrass Demostración (II)B) Por el apartado A) existen un éxtremo inferior m y un extremo superior M. Si M es un valor de la función ya estaría demostrado.En caso contrario M-f(x) es distinto de cero. 1Construimos la función g ( x) que está definida y es continua en [a,b]. M f ( x)Por el apartado A) esta función está acotada, luego existe un nº K tal que 1 1 g ( x) K f ( x) M M f ( x) KY esto es cierto para todo x del dominio. Por lo que hemos encontrado una cota menor que el extremo superior lo que indica una contradicción. Esta procede de suponer que M – f (x) es no nulo luego M = f(x) por lo que M es máximo.
  47. 47. Teorema de los valores intermedios o de Darboux Enunciado e interpretación geométrica Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y K un número real tal que: f(a)< K <f(b) o f(b)< K <f(a), entonces existe al menos un punto c en el intervalo tal que f(c) = K. cK K c f(x) continua en [a, b] f(x) continua en [a, b] f(b) < K< f(a) f(a) < K< f(b) Entonces c (a, b) / f(c) = M Entonces c (a, b) / f(c) = M La demostración se hace comprobando que la función g(x) = f(x) – K cumple el teorema de Bolzano luego g(c) = 0 por lo que f( c) = K

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