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Exercícios matrizes ii gabarito

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Exercícios matrizes ii gabarito

  1. 1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1 FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA MOCOCA – SP ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães professor.otavio@yahoo.com.br LISTA DE EXERCÍCIOS Se uma matriz é definida por aij=i2 +3j, significa que para cada elemento da matriz vamos substituir i e j pelos valores de linhas e colunas. Suponha que a matriz seja 3x3, 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 Substituindo os valores: 12 + 3.1 12 + 3.2 12 + 3.3 22 + 3.1 22 + 3.2 22 + 3.3 32 + 3.1 32 + 3.2 32 + 3.3 = 4 7 10 7 10 13 12 15 18 1) Dado Seja A=(aij)x’3x3 a matriz definida por aij=3i+2j+3, encontre a matriz. Substituindo os valores, temos 3.1 + 2.1 + 3 3.1 + 2.2 + 3 3.1 + 2.3 + 3 3.2 + 2.1 + 3 3.2 + 2.2 + 3 3.2 + 2.3 + 3 3.3 + 2.1 + 3 3.3 + 2.2 + 3 3.3 + 2.3 + 3 = 8 10 12 11 13 15 14 16 18 Seja a matriz m x n, a transposta At é a matriz n x m, onde se invertem as linhas e as diagonais. Por exemplo: A= −3 0 2 3 2 − 1 2 5 At = −3 2 0 − 1 2 2 3 5 D= 1 5 2 −1 5 0 −1 0 2 1 3 2 0 −2−5 3 Dt = 1 2 5 −1 −1 2 5 0 0 −2 3 −5 0 12 3 2) Se A= 4 7 10 7 10 13 12 15 18 , ache a matriz transposta At . At = 4 7 12 7 10 15 10 13 18 3) Seja A=(aij)3x3 a matriz assim definida aij= 𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 a) Ache as matrizes A e At . A= 2 −1 −2 1 4 −1 2 1 6 At = 2 1 2 −1 4 1 −2 −1 6
  2. 2. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 2 b) Sendo p o produto dos elementos da diagonal principal e s o produto dos elementos da diagonal secundária da matriz A calcule p-s. p=2.4.6=48 s=-2.4.2=-16 p-s=48-(-16)=64 Duas matrizes são iguais quando todos os seus elementos são iguais 𝑥 + 𝑦 𝑧2 − 6𝑧 𝑥 − 𝑦 2𝑤 − 3 = 10 −5 6 5(𝑤 + 4) Igualando os membros temos que: x+y=10 x-y=6 z2 -6z=-5 2w-3=5(w+4) Para achar x e y resolvemos o sistema 𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥 − 𝑦 = 6 , pelo método da adição encontramos x=8 e y=2. Para z2 -6z+5=0, achamos o Δ=36-4.1.5=16, z=5 ou z=1 E 2w-3=5(w+4), temos que 2w-5w=20+3, então 3w=23, w=23/3. 4) Ache os valores desconhecidos: 2𝑥 1 𝑧 𝑡2 𝑥 + 𝑦 2(𝑤 + 3) 𝑢 = 𝑦 𝑧 + 1 2𝑡 − 3 12 3𝑤 2𝑢 Igualando, temos 2x=y x+y=12 1 𝑧 =z+1 2(w+3)=3w t2 =2t-3 u=2u Resolvendo as duas primeiras equações, ou seja: 2𝑥 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 12 Por substituição temos que x+2x=12, ou seja 3x=12, x=4. Então y=2.4=8. 1 𝑧 =z+1 Multiplicando ‘em cruz’: 1=z2 +z z2 +z-1=0 a=1, b=1, c=-1 ∆=12 -4.1.(-1)=5 z= −1± 5 2 , z pode ser −1+ 5 2 , ou −1− 5 2 . 2(w+3)=3w 2w-3w=-6 -w=-6 w=6 t2 =2t-3 t2 -2t+3=0 a=1, b=-2, c=3 ∆=(-2)2 -4.1.3=4-12=-8
  3. 3. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3 Não pode existir t real para essa matriz, pois a raiz é negativa Resolvendo a equação do 2º grau, as raízes serão t=1- 2i ou t=1+ 2i u=2u u=0 Temos então os valores de cada uma das variáveis. 5) Calcule x, y e z para que a igualdade seja verdadeira: 𝑥 + 𝑦 𝑦2 2𝑧 3 5 = 2𝑥 𝑦 10 5 Mesmo procedimento x+y=2x y2 =y 2𝑧 3 =10 Obviamente não é necessário dizer que 5=5 (!) Em y2 =y, encontramos dois valores possíveis para y, ou seja, y=0 ou y=1. Se y=0, então x+0=2x, x=0. Se y=1, então x+1=2x, -x=-1, x=1. Já o z é valor único 2𝑧 3 =10 2z=30 z=15 6) Dadas as matrizes A= 2 5 −3 8 4 1 , B= 6 11 4 −1 −7 0 e C= −4 10 1 0 −2 5 , ache 2A+3B+2Ct . Vamos primeiramente fazer Ct = −4 0 10 −2 1 5 2. 2 5 −3 8 4 1 +3. 6 11 4 −1 −7 0 + 2. −4 0 10 −2 1 5 = 2.2 + 3.6 + 2. (−4) 2.5 + 3.11 + 2.0 2. −3 + 3.4 + 2.10 2. −3 + 3.4 + 2.10 2.4 + 3. −7 + 2.1 2.4 + 3. −7 + 2.5 = 14 43 26 26 −15 −3 7) Dadas as matrizes A= 2 3 5 4 e B= 3 4 2 1 , calcule a matriz X, se X-I2=2A-Bt . X=2A-Bt +I2=2 2 3 5 4 − 3 2 4 1 + 1 0 0 1 = 4 − 3 + 1 4 − 3 + 0 10 − 4 + 0 8 − 1 + 1 = 2 1 6 8 8) Calcule os produtos A.B e B.A
  4. 4. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 4 a) A= 2 1 −1 3 e B= 5 −2 2 3 𝐴. 𝐵 = 12 −1 1 11 𝐵. 𝐴 = 12 −1 1 11 Essas duas matrizes são comutáveis, ou seja A.B=B.A, o que nem sempre ocorre. b) A= 2 0 1 −1 2 3 e B= 1 0 2 −2 3 −1 𝐴. 𝐵 = 5 −1 12 −7 𝐵. 𝐴 não é possível de ser calculado c) A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e B= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A.B= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e B.A= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . Todo produto pela matriz nula, no caso 0 0 0 0 0 0 0 0 0 =O, é igual a O. Uma matriz quadrada A.O=O.A=O d) A= 2 0 0 −3 0 0 −1 0 0 e B= 0 0 0 4 1 5 7 2 −3 A.B= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e B.A= 0 0 0 0 0 0 11 0 0 . Diferentemente dos números que para que o produto seja igual a O, é necessário que um dos fatores seja 0 (Lei dos Produtos Nulos), nas matrizes, duas matrizes não nula A≠O e B≠O, podemos ter A.B=O (sendo A e B matrizes, e O a matriz nula). Em números, se a.b=0, ou a=0 ou b=0 necessariamente. e) A= 1 4 2 3 e B= 1 0 0 1 𝐴. 𝐵 = 1 4 2 3 𝐵. 𝐴 = 1 4 2 3 . Temos que uma matriz quadrada qualquer de ordem n, temos que A.In=In.A=A. As propriedades mais importantes das operações entre matrizes (Soma e multiplicação por número) são: Sendo A, B e C matrizes, 0 a matriz nula e a e b números reais. A+B=B+A Comutatividade da Adição (A+B)+C=A+(B+C) Associatividade da Adição A+0=0+A=A Elemento Neutro da Adição A+(-A)=0 Elemento Oposto da Adição a.(b.A)=(ab).A Associatividade da Multiplicação por números (a+b)A=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de números a(A+B)=aA+bA Distributividade da Multiplicação em relação à adição de matrizes 1.A=A Elemento Neutro da Multiplicação por números Veja as propriedades da Multiplicação de matrizes: Dados A, B, C matrizes e n um número real: (A.B).C=A.(B.C) Associatividade da Multiplicação A.(B+C)=A.B+A.C Distributividade da Multiplicação à direita (A+B).C=A.C+B.C Distributividade da Multiplicação à esquerda n.(A.B)=(n.A).B=A.(n.B) Associatividade do número nas Multiplicações Amxn.In=A Elemento Neutro da Multiplicação 9) Verdadeiro ou Falso? ( F ) Se existe A.B e existe B.A, então A.B=B.A. Há vários exemplos que já fizemos. Contra Exemplo: ( V )Existem A e B tais que A.B=B.A São matrizes comutáveis. Se uma delas for a matriz identidade I2, I3, etc, a sentença é verdadeira. Demonstração: basta mostrar um exemplo - ( F ) Se existe A.B, então existe B.A O número de colunas da primeira precisa coincidir com o número de linhas da segunda; ou seja, apenas em matrizes quadradas isso é possível. Contra Exemplo:
  5. 5. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 5 ( V ) Se A.B existe e A é uma matriz nula, então A.B é uma matriz nula. Toda multiplicação por zero resulta em zero. Veja o item ‘c’ do exercício 8 e tente compreender por qual motivo a afirmação é verdadeira. Demonstração: - ( F ) Se A.B é uma matriz nula, então ou A é nula ou B é nula. Não necessariamente, como ocorrem com os números naturais. Contra Exemplo: 10) Dada a matriz A= 2 7 −3 5 4 1 , verifique que A.I2=I3.A=A. Basta fazer 2 7 −3 5 4 1 . 1 0 0 1 = 2 7 −3 5 4 1 e 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 2 7 −3 5 4 1 = 2 7 −3 5 4 1 . Lembre-se que I3= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , a matriz identidade! Igualmente I2= 1 0 0 1 . 11) Calcule x, y e z para que se tenha: 2 −1 1 0 2 1 0 0 4 . 𝑥 𝑦 𝑧 = 7 −1 12 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 2𝑦 + 𝑧 4𝑧 = 7 −1 12 . Temos um sistema de 3 equações com 3 variáveis 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7 2𝑦 + 𝑧 = −1 4𝑧 = 12 4z=12, então z=3 2y+3=-1 2y=-1-3 2y=-4 y=-2 2x-(-2)+3=7 2x=7-2-3 2x=2 x=1 Temos então x=1, y=-2 e z=3. A expressão 2 −1 1 0 2 1 0 0 4 . 𝑥 𝑦 𝑧 = 7 −1 12 é a forma matricial do sistema 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7 2𝑦 + 𝑧 = −1 4𝑧 = 12 12) Dadas a matriz A= 2 0 3 0 0 1 −2 2 1 , calcule A2 , A3 e A4 . Calculando no wxMaxima A2 =matrix([-2,6,9],[-2,2,1],[-6,2,-3])= −2 6 9 −2 2 1 −6 2 −3 A3 =matrix([-22,18,9],[-6,2,-3],[-6,-6,-19]) = −22 18 9 −6 2 −3 −6 −6 −19
  6. 6. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 6 A4 =matrix([-62,18,-39],[-6,-6,-19],[26,-38,-43])= −62 18 −39 −6 −6 −19 26 −38 −43 A2 =A.A, A3 =A2 .A, etc... 13) Calcule x e y para que A e B comutem A= 1 3 −2 2 e B= 4 𝑥 𝑦 3 . Temos que ter A.B=B.A, portanto 4 + 3𝑦 𝑥 + 9 −8 + 2𝑦 −2𝑥 + 6 = 4 − 2𝑥 12 + 2𝑥 𝑦 − 6 3𝑦 + 6 Igualando 4+3y=4-2x 2x+3y=0 -8+2y=y-6 y=2 x+9=12+2x -x=3 x=-3 -2x+6=3y+6 -2x-3y=0 2x+3y=0 (igual a 1ª equação) Veja que esse sistema tem 4 equações e poderia ser impossível, porém, encontramos x=-3 e y=2 Então verificamos 2x+3y=0, ou seja 2.(-3)+3.2=0 Faça A.B e B.A e iguale os termos. 14) Dada a matriz A= −1 0 0 1 , calcule A2 , A3 , A100 e A101 . Calculando A2 = 1 0 0 1 , A3 = −1 0 0 1 , notamos que para Apar = 1 0 0 1 , Aímpar = −1 0 0 1 . Então A100 = 1 0 0 1 , A101 = −1 0 0 1 . 15) Verifique que a matriz A= 1 2 0 0 é não invertível. Vamos mostrar que 1 2 0 0 . 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 = 1 0 0 1 𝑎 + 2𝑐 𝑏 + 2𝑑 0 0 = 1 0 0 1 Como é impossível termos 0=1, veja em a22, a matriz não é invertível. Ou seja, você tentará calcular a Matriz Inversa (relembre aulas passadas), e verificará que não é possível, por um motivo que vai aparecer durante a resolução. Há uma propriedade importante para ser lembrada e formalizada: A.A-1 =A-1 .A=In Elemento Inverso da Multiplicação
  7. 7. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 7 16) Verifique que (A.B)-1 =B-1 .A-1 Multiplicando ambos os membros por A.B, temos que (A.B)-1 .A.B=(B-1 .A-1 ).A.B. O primeiro membro é igual a In, a matriz identidade. Como vale a associativa (B-1 .A-1 ).A.B=B-1 .(A-1 .A).B=B-1 .In.B=B-1 .B=In. Demonstrado! Resolução do exercício 16 (A.B)-1 =B-1 .A-1 , vamos multiplicar por A.B nos dois membros (A.B)-1 .A.B=B-1 .A-1 .A.B, mas (A.B)-1 .A.B=In, e também A-1 .A=In, pela propriedade Elemento Inverso, então In=B-1 .In.B In = In.In In=In CQD. 17) Diz que uma matriz quadrada A de ordem n é idempotente se A2 =A. Mostrar que a matriz A= −2 2 −3 3 é idempotente. (trecho em azul omisso no original). Basta calcular A2 = −2 2 −3 3 Matriz Simétrica – é a matriz quadrada onde A=At 1 −1 4 −1 3 5 4 5 −2 Matriz Anti-Simétrica – é a matriz quadrada onde A=-At 1 −1 −4 1 3 5 4 −5 −2 18) Determinar x, y e z de modo que a matriz A= 0 −4 2 𝑥 0 1 − 𝑧 𝑦 2𝑦 0 é anti-simétrica. Pela definição de matriz anti-simétrica y=-2 x=-(-4) x=4 2y=1-z 2.(-2)=1-z -4=1-z z=1+4 z=5 19) Resolva as equações matriciais: a) 3 4 2 3 .X= −1 −1 3 4 2 3 . 𝑎 𝑏 = −1 −1 3𝑎 + 4𝑏 2𝑎 + 3𝑏 = −1 −1 3𝑎 + 4𝑏 = −1 2𝑎 + 3𝑏 = −1 2𝑎 + 4𝑏 = −1 × −3 2𝑎 + 3𝑏 = −1 × 4 −9𝑎 − 12𝑏 = 3 8𝑎 + 12𝑏 = −4 -a=-1 a=1 2.1+4b=-1 2+4b=-1 4b=-1 b=-1/4

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