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Cuatro operaciones

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Cuatro operaciones

  1. 1. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 119 El estudio de las cuatro operaciones fundamentales vamos a realizarlos en el campo de los números enteros, pero antes de comprender el estudio es necesario dar una idea aunque breve, de lo que es el sistema numérico de los números enteros. Sistema de los números enteros:  .... 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , ......  ¢ I. Adición: Es la operación binaria que se representa mediante el operador “+” sumandos a+ b = S Suma1 2 3 II. Sustracción: Es la operación inversa a la adición y se representa mediante el operador “–“ Minuendo Sustraendo M S D diferencia     III. Complemento Aritmético (C.A.) Dado un número entero positivo se define como complemento aritmético del número dado a la cantidad de unidades que le falta para ser igual a una unidad de orden inmediato superior de su cifra de mayor orden. Ejemplo: ( 6 )C.A. 10 6 4   ( )30C.A. 100 30 70   ( 250 )C.A. 1000 250 750   En general: "n " cifras (abc....yz) "n " ceros "n" cifras C.A. 100.....0 abc...xyz  14 2 43 14 2 43 14 2 43 Además: (72)C.A (9 7)(10 2) 28    (1 345)C.A (9 1)(9 3)(9 4)(10 5) 5 4000      (abc)C.A (9 a)(9 b)(10 c)    IV. Multiplicación: Es una operación directa que tiene por objeto, dadas dos cantidades: “multiplicando” y “multiplicador”. Hallar una tercera llamada “producto”. multiplicando multiplicador producto M m P     V. División: Es la operación inversa a la multiplicación. D = Dividendo d = divisor q = cociente r = residuo De donde: D dq r  * División Inexacta: a) Por defecto: D dq r  b) Por exceso: eD d(q r) r   q=cociente por defecto q+1=cociente por exceso r=residuo por defecto er =residuo por exceso PROPIEDADES:  er r d divisor    residuo maximo= d 1  residuo minimo= 1 e D d r q + 1 D d r q D d r q
  2. 2. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 120 1 Hallar un número disminuido en 2, sabiendo que el exceso de él sobre 45 es lo mismo que 2 345 excede a 2 330 a) 50 b) 93 c) 60 d) 58 e) 54 Resolución: Conocemos que el minuendo excede al sustraendo: Sea el número “x” x 45 2 345 2 330   x 45 15  x 60 Piden: x 2 60 2    58 Rpta. 2 La suma de tres números consecutivos es 30. Hallar el producto de ellos a) 960 b) 860 c) 915 d) 990 e) 930 Resolución: Sean los números consecutivos: n ; n+ 1 ; n+ 2 La suma: n n 1 n 2 30     3n 3 30  3n 27 n= 9  Piden:   n n 1 n 2    9 10 11  990 Rpta. 3 Si al minuendo le sumamos 140 y le restamos el cuádruplo de la suma del sustraendo más la diferencia se obtendrá como resultado el minuendo. Hallar la diferencia original, si el sustraendo es mayor posible y la suma de sus cifras es 10. a) 6 b) 8 c) 10 d) 7 e) 9 Resolución: Recordando: M S D  Del enunciado: M M 140 4( S D ) M   14 2 43 M 140 4M M   140 4M M= 35  Como: M S D  28 35 S D    ( S=28 ; dato: 2+8=10) 35 28 D  D  7 Rpta. 4 La suma de dos números es 341, su cociente es 16 y el residuo de la división es el mayor posible. Determina el divisor. a) 16 b) 18 c) 20 d) 17 e) 19 Resolución: D dq (d 1)   Luego sean los números: a y b a b 341  …… ( I ) a 16b b 1   a 17b 1  …… ( II ) Reemplazando: ( II ) en ( I ) a b 341  17b 1 b 341   18b 342 b  19 Rpta. 5 En una división inexacta el cociente es 74, el residuo por exceso excede al residuo por defecto en 107, si el divisor es 431. Hallar el dividendo y dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 15 b) 16 c) 20 d) 14 e) 18 max D d r q d 1 D d q 
  3. 3. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 121 Resolución: e e e r r 107 por enunciado r r 431 por propiedad 2r 538      er 269 De ( II ) eD 341(75) r  D 341(75) 269  D 32 056 Piden: 3 2 0 5 6     16 Rpta. 6 Si: (abcd)C.A (2a)(b / 2)(2c)(4d) Hallar: a b c d   a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 17 Resolución: Por propiedad: (abcd)C.A (9 a)(9 b)(9 c)(10 d)     Por dato: (abcd)C.A (2a)(b / 2)(2c)(4d) Igualando las expresiones (9 a)(9 b)(9 c)(10 d) (2a)(b / 2)(2c)(4d)     b 9 a 2a 9 b= 2 a 3 b= 6     9 c 2c 10 d= 4d c 3 d= 2     Piden: a b c d   3 6 3 2     14 Rpta. MÉTODO DEL ROMBO Se utiliza cuando en un problema se presenta a un número de elementos dividido en dos grupos, cuyos valores unitarios de sus elementos se conocen además se proporciona un total resultante de sumar todos los valores.  En el vértice “A” se ubica el número de elementos actuales en el problema.  En el vértice “B” su ubica la suma total d los valores unitarios de los elementos del primer, segundo grupo respectivamente.  Se acostumbra ubicar en la parte superior el mayor valor unitario A C B C D    Problema 1 En un corral donde existen conejos y gallinas se cuentan 60 cabezas y 150 patas. Determinar el número de conejos. a) 10 b) 20 c) 15 d) 30 e) n.a. Resolución: 60 4 150 N de gallinas= 45 4 2      N de Conejos= 60 45  N de Conejos= 15 Rpta. Problema 2 D 431 r 74 D= 74(431)+ r e D 341 r 74+ 1 eD= 341(751)+ r A B C D 60 cabezas 150 patas 4 patas (conejos) 2 patas (gallinas)   
  4. 4. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 122 Un alumno después de ir a casar entre conejos y palomas regresó a su casa con 94 patas y 29 cabezas. ¿Cuántos conejos caso? a) 16 b) 20 c) 31 d) 18 e) 21 Resolución: 29 4 94 N palomas 11 4 2       N conejos 29 11 18    N conejos 29 11    18 Rpta. Problema 3 Una suma de 220 soles se compone en 56 monedas de 5 soles y 2 soles. Hállese el número de monedas de 5 soles. a) 31 b) 37 c) 36 d) 38 e) 40 Resolución: 56 5 220 monedas de S /.2 20 5 2      monedas de S/.5 56 20  monedas de S/.5  36 Rpta. Problema 4 Elías pone 12 problemas a Gian Carlo con la condición de que por cada problema que resuelva recibirá 1 000 soles y por cada problema que no resuelva perderá 600 soles después de trabajar con los 12 problemas recibirá 7 200 soles. ¿Cuantos problemas no resolvió? a) 4 b) 9 c) 12 d) 5 e) 10 Resolución: * Problemas no resueltos 12 1000 7 200 4 800 3 1 000 ( 600) 1 000       * Problemas resueltos 12 3  9 Rpta. MÉTODO DEL RECTÁNGULO Se reconocen estos tipos de problemas porque tienen siempre los enunciados (o sus variantes) “había” “falta” “aumenta” “disminuye” Problema 1 Si pago 7 000 soles a cada uno de mis empleados me faltan 4 000 soles, pero si les pago 5 500 soles me sobran 5 600 soles. ¿Cuántos empleados tengo? a) 39 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80 Resolución: 29 cabezas 94 patas 4 patas (conejos) 2 patas (palomas)    56 monedas 220 soles monedas de S/. 5 monedas de S/. 2    12 problemas S/. 7 200 recibe S/. 1 000 pierde S/. 600    7 000 4 000 5 6005 500  
  5. 5. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 123 Número de empleados 4 000+ 5 600 7 000 5 500   40 Rpta. Problema 2 Para comprar 16 televisores me faltan “2n” soles, pero si compro 10 me sobran “n” soles. ¿Cuántos soles tengo? a) 4n b) 8n c) 5n d) 6n e) 2n Resolución: Precio unitario del televisor 2n n n 16 10 2    Para conocer cuanto tengo  16 x tengo 2n   16 precio unitario tengo 2n  n 16 2n tengo 2        tengo  6n Rpta. MÉTODO DEL CANGREJO Este método de solución es bastante práctico y veloz consiste en hallar una incógnita conociendo las operaciones directas y el resultado final tenemos que hallar las operaciones inversas y en forma regresiva hallaremos la respuesta. Problema 1 A un número se le multiplica por 2, al resultado se le suma 10, enseguida dividimos entre 5 la suma y finalmente se le resta 6 para obtener como resultado 20. Hallar el número original. a) 50 b) 70 c) 90 d) 60 e) 80 Resolución: * Sea la incógnita “x” luego:   x 2 10 5 6 20       * Operación inversa   20 6 5 10 2 60       60 Rpta. Problema 2 Un recipiente de agua está lleno, al abrirse el caño cada hora desagua la mitad de su contenido más 30 litros. Hallar la capacidad del recipiente si al cabo de 3 horas se desagua. a) 420 litros b) 280 litros c) 385 litros d) 350 litros e) 360 litros Resolución: En cada hora, el recipiente pierde la mitad ( 2) de su contenido más 30 litros (-30). Aplicaremos el método del cangrejo, partiendo de la tercera hora donde quedó “O” litros y a partir de ahí hagamos las operaciones inversas hasta llegar con la primera hora.  En la tercera hora: (–30)  0 + 30 = 30 ( 2)  30 x 2 = 60  En la segunda hora: (–30)  60 + 30 = 90 ( 2)  90 x 2 = 180  En la primera hora: (–30)  180 + 30 = 210 ( 2)  210 x 2 = 420 16 faltan "2n" sobra "n"10   Capacidad inicial
  6. 6. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 124 REGLA DE LA CONJUNTA También se denomina como el método de las equivalencias, se resuelve aplicando las relaciones que existen entre diferentes especies, entre éstos:  Con los datos pongamos una serie de equivalencia.  Se debe procurar que el primer elemento y el último deben ser siempre de la misma especie.  Las cantidades deben colocarse en forma alternada.  Se multiplica miembro a miembro las igualdades. Problema 1 Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo. ¿Cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? a) 13 b) 12 c) 7 d) 8 e) 10 Resolución: Aplicando la conjunta, se tendrá: “x” martillos < > 117 desarmadores 3 desarmadores < > 1 alicate 3 alicates < > 1 martillo Multiplicando miembro a miembro: (x) (3) (3) = 117(1) (1) 9x = 117 x = 13 Rpta. Con 117 desarmadores se obtendrán 13 martillos. 1 Un número se tiene que multiplicar por 60 pero se olvida de colocar el cero, obteniendo un resultado que se diferencia del verdadero en 216. Hallar dicho número a) 10 b) 5 c) 4 d) 8 e) 6 2 La suma de dos números es 84 los cocientes de estos números con un tercero son 4 y 6; teniendo como residuo 1 y 3 respectivamente. Hallar la diferencia positiva de estos números. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 3 La suma de los términos de una división es 953, el cociente y el residuo son 21 y 15 respectivamente. Hallar el dividendo
  7. 7. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 125 a) 768 b) 876 c) 321 d) 829 e) 326 4 En una división inexacta, el cociente es 342, el residuo por defecto es 124 y el residuo por exceso es 201. Hallar la suma de cifras del dividendo. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 5 Si:  (ab) a C.A. 4b 2       . Hallar: 2 a b a) 49 b) 64 c) 81 d) 100 e) 121 6 El residuo por exceso de una división es 793, si el residuo por defecto es la tercera parte del residuo máximo. Hallar el residuo por defecto. a) 693 b) 936 c) 396 d) 639 e) 120 7 En una división se cumple que el residuo por exceso es igual al cociente por defecto y el residuo por defecto es igual al cociente por exceso. Si el divisor es 213. calcular el dividendo. a) 22 385 b) 22 485 c) 22 585 d) 22 285 e) 22 685 8 Al dividir dos números entre 15 se obtiene 13 y 9 como residuos. ¿Cuál es el residuo de la división entre 15 de la suma de los números? a) 4 b) 22 c) 7 d) 23 e) 31 9 En una división inexacta al residuo le falta 35 unidades para ser máximo y le sobra 29 unidades para ser mínimo. ¿Cuál es el valor del dividendo si el cociente es 23? a) 1 495 b) 1 501 c) 1 524 d) 1 548 e) 1 518 10 En una división al residuo por exceso le falta 12 unidades para ser igual al residuo por defecto, a este le falta 21 unidades para ser igual al divisor y a este le falta 15 unidades para ser igual al cociente.¿Cuanto le falta al cociente para ser igual al dividendo? a) 3 690 b) 3 700 c) 3 710 d) 3 579 e) 3 789 11 Hallar el cociente que se obtiene al dividir el C.A de un número de la forma abc entre abc , si se sabe que el residuo obtenido es máxima. a) 3 b) 6 c) 8 d) 5 e) 12 12 ¿Cuál es el numeral de tres cifras que restando de su complemento aritmético se obtiene 486? a) 245 b) 239 c) 257 d) 124 e) 139 13 La suma de tres números consecutivos es 30 más que el doble del número que es mayor que el menor, pero menor que el mayor entonces el mayor de ellos es: a) 29 b) 30 c) 31 d) 32 e) 45 14 Encontrar el mayor número de 3 cifras tal que la suma de las cifras de su C.A. sea 12. Dar como respuesta la cifra central. a) 3 b) 6 c) 7 d) 2 e) 9 15 Si:  b a 3  Hallar “b” si:
  8. 8. Razonamiento Matemático Elías Cotos Nolasco 126 (b)(b) .a C.A. b C.A. 2 368        a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 16 Hallar: abc cba Si:  bcaC.A. x74 a) 396 b) 398 c) 391 d) 296 e) 496 17 Si el numeral abc , cumple que abc cba md3  y además se sabe que la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos cifras. Hallar: 2 2 2 a b c  a) 220 b) 150 c) 200 d) 146 e) 180 18 Cual es el numeral cuyas 3 cifras suman 24 y que al invertir el orden de sus cifras disminuyen en  xy x 7 a) 987 b) 789 c) 989 d) 798 e) 879 19 A un número entero al agregarle un cero a la derecha aumenta en 8991 unidades. ¿Cuál es el número y dar como respuesta la suma de sus cifras? a) 18 b) 27 c) 24 d) 29 e) 36 20 Si (8) (8) (8)abc cba mn(m 1)   Hallar: m+n+p a) 10 b) 17 c) 24 d) 20 e) n.a. 1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9. c c b b b c e c d 10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18. a d c c b d a d a 19. 20. b d

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