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......
Some Microfoundations of Collective Wisdom
Lu Hong & Scott E. Page
Collective Wisdom: Principles and Mechanisms (2012), Chap. 3
小野 滋 (インサイト・ファクトリー)
CWPM 読書会 : 2013/05/07 (誤字訂正版)
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 1 / 21
I. イントロダクション
本稿では、集合知を次のように狭く定義する: 「予測課題における群衆の
パフォーマンスが、その中にいる人々のパフォーマンスよりも良いこと」。
集合知の論理的・統計的基盤については次のことがよく知られている:
群衆による平均的な予測は、群衆の平均的メンバーによる予測より
も 常に 優れている。
群衆による予測は、その いかなる 単一メンバーによる予測よりも
(ないし、そのほとんどの単一メンバーによる予測よりも)、優れて
いる。
しかし、理論と現実とのあいだには大きなギャップがある。これは、従来
の理論があまりに簡素だった (starkness) せいである。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 2 / 21
I. イントロダクション
政治学・経済学における標準的モデル (統計 モデル) では、
個々人の予測は、個々人が受け取る統計的信号として捉えることがで
きる。その信号は、真値と誤差からなる。誤差は互いに独立である。
従って、信号が集約されると、大数法則により誤差がキャンセルさ
れる。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 3 / 21
I. イントロダクション
本稿で我々は、集合知の存在と欠如を説明するもっとリッチなモデルに
ついて述べる (認知 モデル)。このモデルでは、
それぞれの個人は予測モデルを持っている。個々人の予測は、個々
人が受け取る統計的信号として捉えることができるが、その値は
人々の世界解釈に依存している。
群衆による予測は、人々の頭のなかの予測モデルのある種の平均で
ある。
集合知が出現するためには、人々の予測モデルが洗練されているか、
多様であるか、のどちらかが必要である。
多様性が集合知をもたらすのは、多様なモデルにより予測の間に負の相
関が生じ、そのせいで平均した結果が良くなるからである。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 4 / 21
I. イントロダクション
なお、
本稿では、戦略的投票のような strategic な問題には触れない。
本稿では、統計モデルと認知モデルについてのみ触れる (「多様なモ
デルが集合知を生む」と主張しつつも...)。集合知が発生する条件に
ついてさらに深く明確に理解するためには、歴史的、経験的、社会
学的、心理学的、実験的、計算的モデルが必要である。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 5 / 21
II. 集合知の統計モデル
個人の集合を N = {1, . . . , n} とする。予測する結果を θ ∈ Θ とする。
yes-no 判断 (分類課題 と呼ぶ) では Θ = {0, 1}、なにかの量についての判
断 (推定課題 と呼ぶ) では Θ = [0, inf] である。
統計モデルの観点からは、個人による予測や意見は、個人が受け取る信
号として捉えられる。これを 生成信号 と呼ぶことにする。
個人の信号 (予測や意見) はある分布から抽出された確率変数として捉え
られる。個人 i の信号を si ∈ Θ, その分布を fi (·|θ) とする。
個人 i の信号の平方誤差を SqE(si ) = (si − θ)2 とする。
平均平方誤差 を SqE(⃗s) = (1/n)
∑n
i=1(si − θ)2 とする。
集合的予測を、信号の平均 c = (1/n)
∑n
i=1 si と仮定する。
予測多様性 を、予測の分散 PDiv(⃗s) = (1/n)
∑n
i=1(si − c)2 で表す。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 6 / 21
II. 集合知の統計モデル
.
定理 (多様性予測定理)
..
......
集合的予測の平方誤差は、平均平方誤差から予測多様性を引いたもので
ある∗。
SqE(c) = SqE(⃗s) − PDiv(⃗s)
.
系 (群衆は平均に勝つ法則)
..
......
集合的予測の平方誤差は、その群衆に属する個人の平方誤差の平均と同
じか、それを下回る。
∗
難しそうでびびりましたが、母平均 θ の確率変数 s について
(¯s − θ)2
= (1/n)
∑
(s − θ)2
− Var(s) だ、ということだと思います
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 7 / 21
II. 集合知の統計モデル
個人 i における信号の平均を µi とする。そのバイアスを bi = (µi − θ),
分散を vi = E[(si − µi )2] とする。
個人 i の平方誤差の期待値は、バイアスと分散に分解できる:
E(si − θ)2
= (µi − θ)2
+ E(si − µi )2
同じ分解が集団においても成り立つ∗:
E[SqE(c)] =
[
1
n
n∑
i=1
(µi − θ)
]2
+ E
[
1
n
n∑
i=1
(si − µi )
]2
第 2 項をさらに分解して...
∗
原文 (p.62) に誤記があるような気がしたので、勝手に直しました
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 8 / 21
II. 集合知の統計モデル
平均バイアス を ¯b = (1/n)
∑n
i=1(µi − θ) とする。
平均分散を ¯V = (1/n)
∑n
i=1 E[si − µi ]2 とする。
平均共分散を
¯C =
1
n(n − 1)
n∑
i=1
∑
j̸=i
E[si − µi ][sj − µj ]
とする。
.
定理 (バイアス-分散-共分散分解 (BVC 分解))
..
......
E[SqE(c)] = ¯b2
+
1
n
¯V +
n − 1
n
¯C
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 9 / 21
II. 集合知の統計モデル
BVC 分解定理によれば、個人内の分散の平均 ¯V が増せば、集合的予測の
平均誤差 SqE(c) も増す。これはいっけん多様性予測定理と矛盾するよう
にみえるが (PDiv(⃗s) が増えると SqE(c) が減る)、矛盾していない。なぜ
なら:
信号の分散が変われば共分散も変わるから。たとえばここに 2 人い
て、信号の分散がそれぞれ v だったとしよう。かつ、2 人の信号のあ
いだに完全な負相関があったとしよう。 ¯V = v, ¯C = −v であり、個
人差に由来する誤差は消失する。さて、信号の分散が増えたとしよ
う。負の共分散も増えるので、個人差に由来する誤差はやはり消失
する。
多様性予測定理における PDiv(⃗s) は、個人における信号の実現値と、
集合的予測のあいだの差を測っているから。バイアスを無視して考
えれば、PDiv(⃗s) が大きいということは個人間で負の相関があると
いうことだ。BVC 定理によれば、そのとき SqE(c) は減る。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 10 / 21
II. 集合知の統計モデル
.
系 (大集団の正確性)
..
......
それぞれの個人において、平均バイアスが ¯b = 0、平均分散 ¯V に上限が
あり、平均共分散 ¯C が 0 以下であるとき、個人の数が無限大に近づくほ
ど、集団の平方誤差の期待値は 0 に近づく。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 11 / 21
III. 集合知の認知モデル
認知モデルの観点からは、個人はモデルに基づく予測を行う。これを
解釈信号 と呼ぶことにする。
世界の状態の集合を X とする。
個人 i は解釈 Φi = {ϕi1, ϕi2, . . . , ϕim} を持つ。解釈は世界の状態の集合
の一部であり、その個人にとっての X のカテゴリに等しい。(例: 「政治
家」を「保守」と「リベラル」に分けて捉える)
世界の状態 x が、個人 i の解釈において属しているカテゴリを Φi (x) とす
る。任意の x について Φi (x) ⊆ Φj (x) であるとき、i は j よりも洗練され
ているという∗。
∗
通常わたしたちが用いる意味での「洗練」「熟達」とは、ずいぶん異なる定義だとい
う気がします
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 12 / 21
III. 集合知の認知モデル
それぞれの可能な状態を結果に対応づける結果関数を F : X → Θ とする。
個人は予測モデル Mi : X → Θ を持つ。予測モデルはカテゴリを結果に
マップする関数である。Φi (x) = Φi (y) のときそのときに限り、
Mi (x) = Mi (y) である。
予測モデルの出力、すなわち予測は、信号ではあるが、ある分布から抽
出された確率変数ではない。
集合的予測を、信号の平均 ¯M(x) = 1
n
∑
Mi (x) とする。∗
∗
原文の数式は平均ではなく合計になっていました。勝手に直しました
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 13 / 21
III. 集合知の認知モデル
例: X は 3 つの二値変数 x1, x2, x3 からなっている。実は
F(x) = x1 + x2 + x3 である。個人 i は xi にだけ注目し、それが 0 のとき
1, 1 のとき 2 と予測する。
x1 x2 x3 F(x) M1(x) M2(x) M3(x) ¯M(x) SqE( ¯M)
0 0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 2 4/3 1/9
0 1 0 1 1 2 1 4/3 1/9
1 0 0 1 2 1 1 4/3 1/9
0 1 1 2 1 2 2 5/3 1/9
1 0 1 2 2 1 2 5/3 1/9
1 1 0 2 2 2 1 5/3 1/9
1 1 1 3 2 2 2 2 1
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 14 / 21
III. 集合知の認知モデル
この例を統計モデルの観点からみてみよう。ここでは、F(x) = 1 である
3 つの状態についてのみ考える。
x1 x2 x3 F(x) M1(x) Error(M1) SqE(M1) ¯M(x) Error( ¯M) SqE( ¯M)
0 0 1 1 1 0 0 4/3 1/3 1/9
0 1 0 1 1 0 0 4/3 1/3 1/9
1 0 0 1 2 1 1 4/3 1/3 1/9
期待値 1 4/3 1/3 1/3 4/3 1/3 1/9
それぞれの個人の解釈信号における平方誤差の期待値は 1/3 である。し
かし集団における平方誤差の期待値は 1/9 である。
このような結果が得られたのは、この 3 つの状態において、解釈信号の
共分散が負だったからである (どの 2 人の間でも −1/9)。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 15 / 21
III. 集合知の認知モデル
{1, 2, . . . m} におけるすべての i と j において以下が成り立つとき、個人
1 と 2 の解釈信号は独立な解釈に基づくという。
Prob(ϕ1j ∩ ϕ2i ) = Prob(ϕ1j ) × Prob(ϕ2i )
Hong & Page(2007, Working Paper) は、一定の制約のもとでの分類課題
において、解釈信号が独立な解釈に基づくとき、それらは負の相関を持
つことを示している。
.
定理
..
......
F : X → {0, 1} のとき、それぞれの結果が予測される頻度が等しく、個人
の予測が 1/2 以上の確率で正しいならば、独立な解釈に基づく解釈信号
は負の相関を持つ。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 16 / 21
III. 集合知の認知モデル
統計モデルが誤差の期待値に注目し、それを生成信号のバイアス・誤差・
相関の関数として捉えようとする。これに対して、認知モデルは予測モ
デルにおける偶然性を仮定しない。
そのおかげで、次のように問うことができる: 集合知が生じるためには、
何が正しくないといけないか?
次の 2 つの条件が必要である。
個人の解釈が集まったときに結果関数 F(x) を近似できるくらいに、
解釈が細かくなければならない。
結果関数は個人の予測の線形結合でなければならない。
後者は非常に強い制約であり、そのため群衆が正しく予測できる結果は
制限される。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 17 / 21
IV. 認知モデルにおける洗練と多様性
統計モデルにおいては、
洗練はバイアスと誤差、多様性は相関であらわされる。
個人の数が無限に近づくほど、(バイアスがなければ) 集団の予測は
正確になる。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 18 / 21
IV. 認知モデルにおける洗練と多様性
認知モデルにおいては、
洗練はカテゴリの数とサイズであらわされる。個人が洗練されるほ
ど群衆は知的になる。
「多様性についていえば、すでに分類課題の場合についてみたよう
に、独立な解釈は負の相関を持つ解釈信号を生む。この数学的知見
を拡張して、次のより一般的な洞察が得られる: 解釈が多様であれ
ばあるほど、予測は負の相関を持ちやすい。」∗
個人の数が無限に近づいても集団の予測は正確にならない (個々人が
全く異なる予測モデルを持っていれば別だが)。
∗
p.69 最後のパラグラフ前半の逐語訳です。すみません、このくだり全く理解できな
いです。この資料の p.16 の定理のように、予測のパフォーマンスについて条件づけた場
合には、そういうことがいえるのかもしれないと思いますが...
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 19 / 21
V. 考察
本稿では、集合知のミクロな基盤として認知モデルを提案し、標準的な
統計モデルと比較した。
認知モデルは群衆の狂気を説明する際にも役に立つ。個人の予測モデル
が類似しているとき、集団は誤った選択に陥りやすい。
多様性と洗練を引き起こす原因はたくさんある。
多様性の原因としては、アイデンティティのちがい、経験と情報の
ちがいが考えられる。
洗練の原因としては、経験、注意、モチベーション、情報が考えら
れる。
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 20 / 21
V. 考察
我々は集団内の説得がもたらす影響について論じてこなかった。
統計モデルの観点からは、説得はある個人によりウェイトをつける
ことに相当する。理想的には、正確性に比例したウェイトが望まし
いが、そのようなウェイトづけは保障されない。
認知モデルの観点からは、説得は個人がほかの人のモデルにより魅
力を感じて自分のモデルを捨てることに相当する。それは往々にし
て集団の判断を悪くする。正しいモデルのコピーが追加されるより、
不正確だが他と異なるモデルが追加されるほうが、集団の判断はよ
り正しくなる。
おわり
小野 滋 (インサイト・ファクトリー) Hong & Page (2012) CWPM 読書会 : 2013/05/07 21 / 21

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