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TEMA: GEOGEBRA 5.0
TÍTULO: “TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO UMA ABORDAGEM
ALGÉBRICA E GRÁFICA COM O APLICATIVO GEOGEBRA”...
SLIDES
RESUMO:
 Os slides abordam o uso do programa livre “Geogebra” como ferramenta auxiliar no
processo de ensino e apr...
SOFTWARE GEOGEBRA
 APRESENTAÇÃO
 O SOFTWARE GEOGEBRA: Software livre, portátil, fácil de manipular, idealizado e
desenvo...
GEOGEBRA E O OBJETO DE ESTUDO
 DIRECIONADO A:
INICIANTES e NÃO INICIANTES > Com conhecimento do aplicativo ou não,
com ou...
TECNOLOGIA
A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS INFORMÁTICAS NO PROCESSO DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
 GEOGEBRA: criado ...
OBJETO DE ESTUDO
 TÓPICO DA ÁLGEBRA LINEAR : T.L.
 O que são transformações lineares (T.L.)?
Funções: domínios e imagens...
AS TRANSFORMAÇÕES LINEARES E O GEOGEBRA
NO PLANO - R² NO ESPAÇO - R³
RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.
 ESPAÇO VETORIAL REAL
I. COMBINAÇÃO LINEAR
II. LINEARMENTE
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RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.
C.L., BASE E DIMENSÃO L.D. OU L.I.
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TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
.
ESPAÇO VETORIAL C.L., BASE E DIMENSÃO
 FIGURA ILUSTRATIVA  FIGURA ILUSTRATIVA
TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
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PARALELEPÍPEDO
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ATIVIDADE
AE.1 Construa o cubo unitário, em
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FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
CONSTRUÇÃO:
Cria-se 3 pontos, A, B e C.
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 CONSTRUÇÃO:
• Do cubo, utilizaremos um d...
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 Dá-se um clique no sinal + do 3D e abrir...
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 Na janela da álgebra há quadrilátero con...
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 Agora, temos a figura do cubo limpa. Som...
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 Abre-se a janela de visualização clicand...
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 Para fins didáticos, fecharemos a janela...
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MATRIZES > usaremos a janela de entrada pa...
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 As matrizes canônicas estão destacadas e...
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 Utilizamos a barra de ferramentas, o
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 Das construções de nº.s 16 a 20, bastari...
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 Faremos agora a construção do plano xz, ...
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Utilizaremos o botão direito do mouse 2
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 Agora resolveremos a reflexão ou simetri...
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 Para finalizar, utilizaremos a caixa de ...
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FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
 Movimentando α no seletor,
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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 ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações 8ª. Ed. Porto Alegre:
Bookman, 2002.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 CARVALHO, J. P. Introdução à Álgebra Linear. Série do IMPA - Instituto de
Matemática Pura e A...
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Um objeto matemático e o geogebra

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Slides sobre o uso do Geogebra 5.0 no auxílio das transformações lineares espaciais - reflexão e rotação do cubo unitário. Uma atividade para ser usada no ambiente de sala de aula com a finalidade de auxiliar o processo de ensino e aprendizagem de um tópico da álgebra linear - "as transformações lineares".

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Um objeto matemático e o geogebra

  1. 1. TEMA: GEOGEBRA 5.0 TÍTULO: “TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO UMA ABORDAGEM ALGÉBRICA E GRÁFICA COM O APLICATIVO GEOGEBRA”. Prof.: Odilthom ES Arrebola (ARREBOLA, O.E.S) Lic. em Mat. , mestre em Edu. Mat. arrebolas@uol.com.br http://odilthom.blogspot.com.br/
  2. 2. SLIDES RESUMO:  Os slides abordam o uso do programa livre “Geogebra” como ferramenta auxiliar no processo de ensino e aprendizagem de objetos matemáticos - “Transformações Lineares”, visando o desenvolvimento básico desse conteúdo no espaço, usando como exemplo a reflexão e rotação do cubo unitário. META:  Discutir os principais aspectos relacionados à utilização do software como ferramenta auxiliar no ensino da matemática. CONSTRUÇÃO:  TECNOLOGIA OBJETO DE ESTUDO
  3. 3. SOFTWARE GEOGEBRA  APRESENTAÇÃO  O SOFTWARE GEOGEBRA: Software livre, portátil, fácil de manipular, idealizado e desenvolvido por Markus Hohenwarter – Universidade de Salsburg. Projeto foi iniciado em 2001.  SIGNIFICADO: Geogebra é um programa com união de um sistema de geometria dinâmica e de um sistema de computação algébrica, i.e., DGS – Dynamic Geometry System e CAS – Computer Algebric System. Podemos verificar como usar o Geogebra em:  http://pt.slideshare.net/Odilthom/aula-geogebra
  4. 4. GEOGEBRA E O OBJETO DE ESTUDO  DIRECIONADO A: INICIANTES e NÃO INICIANTES > Com conhecimento do aplicativo ou não, com ou sem conhecimento do objeto matemático - Transformações Lineares.  PRÉ-REQUISITOS > Conhecimentos prévios de conceitos matemáticos, tais como: a. Pontos em coordenadas cartesianas e suas operações, adição entre eles e multiplicação entre um escalar e um ponto. b. Figuras planas. c. Vetores e Matrizes.  MINHA CRENÇA: Dado que o aplicativo contém o protocolo de construção, cuja função é oferecer ao eleitor os procedimentos de construção do objeto em questão “passo a passo” , daí minha crença que qualquer que seja o usuário, ele sentirá motivado para desenvolver as atividades, pois lhe será possível construir e reconstruir o objeto de estudo, bastando para isso o querer e a atenção.
  5. 5. TECNOLOGIA A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS INFORMÁTICAS NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA  GEOGEBRA: criado para ser utilizado em ambiente de sala de aula.  VERSÃO: 5.0  ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO: consequências – benefícios (?)  IDÉIA: Trabalhar com objetos matemáticos tridimensionais.  OBJETOS: pontos, retas, vetores, matrizes, funções, polígonos, sólidos geométricos, poliedros, superfícies quádricas, etc.  POSSIBILIDADES: 1. AO PROFESSOR > contínuas construções de seu saber pedagógico e tecnológico; 2. AO ALUNO >atitudes e ações, construção e reconstrução de conhecimentos..  IMPORTANTE: Criação e interação com objetos em coordenadas (x, y, z).
  6. 6. OBJETO DE ESTUDO  TÓPICO DA ÁLGEBRA LINEAR : T.L.  O que são transformações lineares (T.L.)? Funções: domínios e imagens são espaços vetoriais. Preservam: Operações - adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar.  Uso: Representação gráfica do Geogebra - apresentar as ilustrações dessas transformações.  Qual o motivo da escolha desse tópico? 1. Porque as TL modelam vários tipos de movimentos tanto no plano quanto no espaço. 2. Mantém fixa a origem.  MATEMÁTICA: comunicação  representações. OBJETOS: conceitos, propriedades, estruturas e relações  escritos, símbolos, desenhos, gráficos e notações.
  7. 7. AS TRANSFORMAÇÕES LINEARES E O GEOGEBRA NO PLANO - R² NO ESPAÇO - R³
  8. 8. RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.  ESPAÇO VETORIAL REAL I. COMBINAÇÃO LINEAR II. LINEARMENTE DEPENDENTE E LINEARMENTE INDEPENDENTE III. BASES E DIMENSÃO
  9. 9. RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR. C.L., BASE E DIMENSÃO L.D. OU L.I. FIGURA ILUSTRATIVA FIGURA ILUSTRATIVA
  10. 10. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3 . ESPAÇO VETORIAL C.L., BASE E DIMENSÃO  FIGURA ILUSTRATIVA  FIGURA ILUSTRATIVA
  11. 11. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3 . REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA TRANSFORMAÇÃO ROTAÇÃO DO PARALELEPÍPEDO  Transformações especiais usadas em aplicações práticas e numéricas.  No espaço: R3
  12. 12. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3 . REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA TRANSFORMAÇÃO ROTAÇÃO E REFLEXÃO (SIMETRIA) DO CUBO UNITÁRIO  ESPAÇO (R3) - 3D O conjunto de todos os vetores de dimensão 3, é possível, adaptá-las ao espaço, isto é, em R3 que representa o conjunto de todos os vetores de dimensão 3. E para tal acontecer basta o utilizarmos o Geogebra em 3D na versão 5.0, que nos permite trabalhar com a geometria tridimensional, em que é possível a criar e interagir com objetos em coordenadas (x, y, z). Agora, utilizando o aplicativo Geogebra, vemos que este “desenha” um vetor por meio de um representante desse vetor, assim criaremos à situação – problema a seguinte figura ilustrativa no próximo slide.
  13. 13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3 ATIVIDADE AE.1 Construa o cubo unitário, em seguida: a) Faça a rotação desse por um ângulo de α em torno do eixo Z; b) Construa a reflexão do cubo unitário em relação ao plano xz. UTILIZAÇÃO DO APLICATIVO SOLUÇÃO FINAL: deverá aparecer a figura ilustrativa da construção ao lado.
  14. 14. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA CONSTRUÇÃO: Cria-se 3 pontos, A, B e C. Há alguns modos de fazer isso. Neste exemplo: A , B , e B foram feitos digitando entre parênteses, por ex., (1,0,0) e em seguida de “enter” , o aplicativo nomeará automaticamente o ponto, analogamente para os outros dois pontos. Poderia utilizar a barra de ferramenta. O ícone:. Colocando o apontador ou cursor sobre esse, ele mostrará a ação a ser efetuada.  FIGURA
  15. 15. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  CONSTRUÇÃO: • Do cubo, utilizaremos um dos modos, acionando ajuda ao clicar no canto direito abaixo no ícone que deverá aparecer no lado direito da área de trabalho. Há outros modos de fazer isso. .
  16. 16. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Dá-se um clique no sinal + do 3D e abrirá várias opções, clica-se em cubo, surgirão 3 opções de construção, seleciona-se uma delas, por ex., a 2ª e em seguida, no botão colar, aparecerá na caixa de entrada: Cubo[ ], agora basta colocar entre colchetes os 3 pontos já construídos, tal que, teremos Cubo[A,B,C], dando “enter”, ao cubo aparecerá, tal qual a figura ilustrativa. Não se desespere com a imagem poluída. .
  17. 17. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Na janela da álgebra há quadrilátero contendo as 6 faces ao clicar com o botão direito do mouse será lançada uma janela contendo ícones relativos e suas funções, basta clicar com o botão esquerdo em “Exibir Rótulo", então será desabilitado o texto da figura. Esse procedimento terá de ser feito em todas as 6 faces. Analogamente para segmento e suas 12 arestas. Agora, temos a figura do cubo limpa. .
  18. 18. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Agora, temos a figura do cubo limpa. Somente contando os rótulos dos pontos que são 8 vértices do cubo. .
  19. 19. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Abre-se a janela de visualização clicando na barra de menus em Exibir naquele item. Em seguida em controle deslizante ou na entrada, digitando α = 45º , por ex., e dê “enter”. .
  20. 20. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Para fins didáticos, fecharemos a janela de visualização e abriremos protocolo de construção.  Agora construiremos 3 vetores, utilizando o ícone da barra de ferramenta vetor .  Também poderíamos fazê-los através da entrada digitando Vetor e apareceria diversas opções, então escolheríamos Vetor[<Ponto>], basta colar o ponto e teríamos Vetor[B] por exemplo e o aplicativo já o mostraria na figura.
  21. 21. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA MATRIZES > usaremos a janela de entrada para construí-las. Digitaremos chaves e dentro dela mais 3 chaves separadas por vírgula, usando os referenciais teóricos das matrizes canônicas da reflexão e da rotação. Vejas como fica no protocolo de construção.
  22. 22. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO UNITÁRIO FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  As matrizes canônicas estão destacadas em retângulos vermelhos. Segue abaixo a figura ilustrativa.
  23. 23. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Utilizamos a barra de ferramentas, o ícone para digitar o texto que aparecerá na janela de visualização 3D.  Na caixa de entrada digitamos MRy, o operador multiplicativo “*” e o ponto G, obtendo M= MRy*G, com M sendo a reflexão de G.  Para obter a rotação do cubo, utilizaremos o décimo ícone das transformações, selecionado girar.  Também poderíamos ter utilizado a caixa de entrada. Digitando:  Girar [<Objeto>, <Ângulo>,<Eixo de Rotação>]=Girar[CU,α,b]  Figura ilustrativa que aparecerá
  24. 24. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Das construções de nº.s 16 a 20, bastariam apenas a 16 e 20, porque a 16 representa o vetor  (x, y, z)=(1,1,1) que gerou o ponto reflexão M=(1,-1,1) e o nº 20 do protocolo de construção representa o plano c: x=0 (pl yz) (esta última construção serve apenas para dar a ideia de 3D).
  25. 25. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Faremos agora a construção do plano xz, para isso, basta digitar na caixa de entrada y=0 e dar “enter”, assim procedendo, surgirá na janela da álgebra , b: y=0. As cores são selecionadas em uma paleta de cores em propriedades do objeto que construíste Basta selecionar o objeto na janela da álgebra ou na janela da visualização. Vejas o próximo slide.
  26. 26. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA Utilizaremos o botão direito do mouse 2 vezes:  1º no Objeto  2º em Propriedades e teremos a figura a seguir:
  27. 27. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Agora resolveremos a reflexão ou simetria. Usaremos a caixa de entrada uma da quatro opções. Por exemplo a selecionado com o retângulo vermelho.  Reflexão[<Objeto>, <Plano>]=Reflexão[Cu, b]
  28. 28. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Para finalizar, utilizaremos a caixa de entrada para construir o vetor obtido pela reflexão digitando Vetor[<Ponto>]=Vetor[M] cujo ícone é : O ícone de texto que aparecerá na janela de visualização.  Depois, na caixa de entrada, digitaremos o produto Mα*G= I (ponto que representa a rotação).  O vetor que representa a rotação Vetor[<Ponto>]=Vetor[I].
  29. 29. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA  Movimentando α no seletor,  observe o que acontecerá quando:  α = 0°?  α = 90°?  α =180°?  α = 270°?  α = 360°?  Faça conforme o modelo:  Para α = 270°  Girar[Cu, α, Eixo Z] coincide com a Reflexão[Cu, b] Ou seja: G ≡ R
  30. 30. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .  ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações 8ª. Ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.  ARAÚJO, L.C.L. & NÓBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemática com o geogebra. São Paulo: Editora Exato, 2010.  ARREBOLA, O.E.S. Uma sequencia didática sobre transformações lineares em um ambiente de geometria dinâmica. Apresentação de mestrado. Universidade Bandeirante Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.  ARREBOLA, O.E.S. GeoGebra – Um Software Educativo Útil como ferramenta auxiliar ao Ensino da Matemática em diversos níveis. Apresentação em slide no HTPC numa escola pública a professores do E.M. Casqueiro, Cubatão, 2010. Disponível em: http://pt.slideshare.net/Odilthom/aula-geogebra  ARREBOLA, O. E.S. – Softwares dinâmicos como ferramenta auxiliar no ensino e aprendizagem da matemática. Oficina realizada em 24 de maio de 2012 na Semana da Matemática e Tecnologia no Ensino no município de Guarulhos - Prefeitura de Guarulhos – São Paulo. Disponível em: http://pt.slideshare.net/Odilthom/smte-oficina-odilthom-13081633
  31. 31. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS  CARVALHO, J. P. Introdução à Álgebra Linear. Série do IMPA - Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.  GEOGEBRA – página com exemplos interativos, disponível em <http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/ind>. Acesso em abril de 2008..  KOLMAN, B. & HILL, D.R. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações, 8ª Ed. Rio de Janeiro: Editora LTC. 2006.  LAY, D. C. Álgebra Linear e Aplicações, 2ª. Ed. São Paulo. Editora LTC. 1999.  STEINBRUCH, A. Álgebra Linear, 2ª. ed. São Paulo. Makron Books. 2000

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