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Atividades smte2012

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As três atividades que compõem a oficina SMTE20112, passo a passo, em atendimento à solicitação de usários.

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Atividades smte2012

  1. 1. Oficina: Semana da Matemática e Tecnologia no Ensino.Atividades exemplos do uso de Programas livresAtividade 01: y = x Resolva o sistema de equações  y = x Resolução ALGÉBRICA de sistemas de equaçõesPrimeiramente, recordando-se por definição: 1. o módulo de x é tal que :  x, se x ≥ 0 x = − x, se x < 0 2. o módulo de x é tal que : x = x2O que se pode deduzir partir da definição acima?Que o valor absoluto de x nunca é negativo. Portanto, ele é sempre positivo ou zero.Além, disso o que mais há de importante na resolução do exercício?Uma das propriedades funadamentais do valor absoluto que é:Dado que , x ≥0 é não negativo, então, 2 x = x 2 , ∀x ∈ RFalta alguma coisa?Sim. Lembrar que ∃y , y ∈ R, y = x ≥ 0 , ou seja, só existe raiz quadrada em IR se x for igual a zero oupositivo.Bem, agora se tem todo o referencial teórico necessário para a solução do exercício.Passo1. Do sistema de equações basta igualá-las, obtendo-se : x = xPasso2. Aplica-se ao módulo de x, a definição 2, como x = x2 : substituindo-se x = x ⇒ x2 = x x = x2Passo3. Elimina-se a raiz quadrada, para isso, eleva-se ao quadrado ambos os membros da equação:( x ) =( x ) 2 2 2 ⇔ x2 = xPasso4. Soma-se a ambos os membros da equação o oposto de x, i.e., ( − x) obtém-se: x 2 = x ⇒ x 2 + (− x) = x + (− x) ⇒ x 2 + (− x) = 0 ∴ x 2 − x = 0 2Passo5. Como a equação é do 2º (ax +bx+c=0) e incompleta, ou seja, c=0, basta por em evidência x e ter-se-áos dois valores soluções do sistema:  x = 0 ⇒ y = 0 ∴ S1 = {( 0,1)} x − x = 0 ⇒ x ( x − 1) = 0 ⇔ ou 2 Portanto, têm-se a solução S= {(0,0), (1,1)}.  x = 1 ⇒ y = 1∴ S = { 1,1 }  2 ( )
  2. 2. Resolução GRÁFICA através do programaPasso1. Iniciar o programa Winplot, clicando em seu ícone.Passo2. Fecha-se a janela de ajuda e abra-se o menu de janelaPasso3. Como as equações são em função das variáveis (x,y), ou seja ,logo, deveremos trabalhar em 2D, sendoassim, devemos dar um clique em em 2-dim ou F2, e teremos o sistema de coordenadas ( x, y ) ∈ R 2 = R.R ∈ ∈cartesianas que será nossa área de trabalho. R RPasso4. Em seguida clica-se em Equação, abrindo-se um menu de ferramenta:
  3. 3. Passo5. Agora, com um clique em 1.Explícita, abrirá uma nova janela, onde digitaremos as 2 equações dadaspelo exercício.Passo6. Em seguida, preencha com os dados necessários Lembrando-se que em informática, não se esqueçasde colocar em parêntesis as variáveis e as potências nas equações  y = f(x) = x : f(x) escreve-se x = abs(x)    y = f(x) = x : f(x) escreve-se x = sqrt(x) ou (x)^(1/2) Analogamente , para se obter y = f(x) = xPasso7. Para finalizar cliques em Dois(sexta ferramenta da barra de menu)
  4. 4. Em seguida, cliques em Intersecções, depois marcar ponto e aparecerá um símbolo em cruz vermelha que seráa primeira solução (x1,y1)=(0,0), como há 2, cliques em próxima intersecção e obterás (x2,y2)=(1,1).Tanto alunos como professores devem usá-lo não só em ensino fundamental ou médio, mas, também em ensinosuperior, como ferramenta auxiliar. É um modo eficiente de validar a solução obtida através de resoluçãoalgébrica ou analítica.
  5. 5. Atividade 02:Dado um pedaço de barbante de 40 cm de comprimento, construa um retângulo com 96 cm² de área.• Escreva uma equação que represente analiticamente a situação;• desenhe o gráfico;• qual é a área máxima?• É possível atingir área maior que 100 cm²?1. Resolução do primeiro item da questão• Escreva uma equação que represente analiticamente a situação.Como começar?Primeiramente, esboçando-se as situações dadas pelo exercício, para isso, desenha-se a figura plana, retângulo,nomeando-se seus lados. Sabe-se que |AB|=|CD| e |AD|=|BC| Em seguida, escolhem-se arbitrariamente duasletras para designar os lados, por exemplo, (x, y).E agora?Escreve-se analiticamente a situação, lembrando-se que “o comprimento do barbante é igual ao perímetro doretângulo”. Então, p= 2x + 2y = 40 cm, logo, vem que:p = 40cm ⇒ 2x + 2y = 40 ⇔ 2 (x + y) = 2 (20) ∴ y + x = 20O que mais se sabe dos dados do exercício? 2Que a área do retângulo A = (base). (altura) = 96 cm , logo da geometria elementar, vem que: A = xy=>xy = 96.Mas, há duas incógnitas (x, y) e agora?Ora, como há duas incógnitas (x, y), então, é necessário eliminar uma, isto é fácil, basta isolar y da equação doperímetro, assim, vem que:y + x = 20 ⇔ y = 20 − xComo prosseguir?Substituindo-se o valor de y acima determinado na equação da área do retângulo, desse modo, obtém-se:  y = 20 − x (x, y) = (x,20 − x):  ⇒ A = xy ⇒ x(20 − x) = 96 ⇔ 20x − x 2 = 96 A = 96 cm 2 ⇒ −96 + 20x − x 2 = 0 ∴ − x 2 + 20x − 96 = 0
  6. 6. 2. Resolução do segundo item da questão• desenhe o gráficoO que é necessário p/se fazer o gráfico da função do 2.º(quadrática)?Primeiramente, lembre-se que a uma função é dada por: y = f(x). Além disso, a equação do 2.º grau tem aseguinte forma: ax² + bx +c, c/ a<0.Então, fazendo-se y = f(x) = ax² + bx +c, é necessário determinar as raízes, isto é, y = ax² + bx +c = 0,prosseguindo-se, transforma-se a equação do 2.º grau é um quadrado perfeito, lembrando-se que: 2 2 2(a + b) = a +2.a.b+b (Produto notável)− x 2 + 20x − 96 = 0 ⇒ (−)(x 2 − 20x + 96) = 0 ⇒ x 2 − 20x + 96 = 0⇒ x 2 − 20x + 96 = 0 ⇒ x 2 − 20x + 96 + (4) = 4 ↓ 100⇒ x 2 − 20x + 100 = 4 ⇒ (x − 10) 2 = 4 ⇒ (x − 10) = ± 4  x − 10 = +2  x1 = 12 ⇒ (x − 10) = ±2 ⇔  ∴  x − 10 = −2  x 2 = 8 O que falta?Falta achar o vértice, para isso, acha-se o ponto médio entre as raízes e substitui o valor encontrado na equaçãodo 2.º grau (original) ou na fórmula para o cálculo de xv e yv. x1 + x 2  x1 = 12  12 + 8 20x v = ?,sabe-se:x v = , mas  ⇒ xv = = ∴ x v = 10 2  x2 = 8  2 2y v = ?,sabe-se:y = x 2 − 20x + 96, mas, x v = 10 ⇒ y v = (10) 2 − 20(10) + 96⇒ y v = 100 − 200 + 96 ⇒ y v = −4 ∴ ( x v , y v ) = (10, −4)Mas y = ( −)(x 2 − 20x + 96) ∴ ( x v , y v ) = (10, 4)O que mais se sabe?Sabe-se que a função do 2.º tem como gráfico a parábola.Além disso, y=f(x) = ax² + bx +c terá a concavidade voltada p/cima CVC (U) se a > 0(positivo) e a concavidadevoltada p/ baixo: CVB se a< 0(negativo).Como y = f(x) = − x + 20x − 96 , como a = -1<0, o gráfico da parábola é voltado para baixo. 2(x1, y1)= (oito, 0)(x2, y2)= (12, 0)(xv, yv) = (10, 4)Importante :o domínio da função na situação é D(f)=[8,12], i.e., 8 ≤ x ≤ 12 .3. Resolução do terceiro item da questão• qual é a área máxima?O que se sabe sobre ÁREA máxima do retângulo?Como a parábola atinge seu ponto máximo quando x =10, logo, a área máxima do retângulo, será:
  7. 7.  x = 10   y = 20 − x   ⇒ (x, y) = (10,10)(x, y) = (x,20 − x):  ⇒  y = 20 − 10 = 10   A máx = ? A  máx = ?⇒ A máx = xy ⇒ A máx 10.10 ∴ A máx = 100 cm 2Resposta: A área máxima é 100 cm², ela é atingida quando o retângulo é um quadrado de lados iguais a 10 cm.4. Resolução do quarto item da questão• É possível atingir área maior que 100 cm²?Não. Porque ao se fazer uma tabela c/os pontos encontrados c/raízes, dando a “x” o maior valor e a “y”, o menor,prossegue-se, decrescendo x e crescendo y e até que “x” atinja o menor valor e “y”, o maior. A cada pontoobtido, efetuam-se o produto entre eles, determinando assim as áreas dos retângulos. Obteremos:(x1, y1)= (12, 8) =>A1=12. 8 = 96 cm²(x2, y2) = (11, 9) =>A2=11. 9 = 99 cm2(x3, y3)= (10, 10) => A3=10.10 = 100 cm² 2(x4, y4) = (9, 11) =>A4=9.11 = 99 cm 2(x4, y4) = (8, 12) =>A4=9.11 = 99 cm .Resolução GRÁFICA através do programaObserve o protocolo de construção, contendo 14 passos. Basta segui-los para obter a solução do exercício.Antes disso, é importante fazer os seguintes procedimentos na janela do seletor, definir o intervalo (Max, Mín.) =[8,12] e incremento com o valor igual à unidade:Agora, temos o protocolo de construção:
  8. 8. E por fim o gráfico obtido:Mova manualmente ou ative “animação” o seletor n=10 para verificar os valores no conjunto dos númerosinteiros:
  9. 9. Atividade 03Construa um triângulo retângulo qualquer e demonstre o teorema de Pitágoras usando a construção macro dopolígono quadrado.Qual é o referencial teórico?É o teorema de Pitágoras diz que: “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa éigual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.Agora constrói-se em C.a.R. um quadradoEm seguida, usa-se a ferramenta “Ocultar Objeto”, a fim de deixar somente a figura do quadrado:
  10. 10. Após ocultar as construções que determinaram o quadrado, clique em macro:Perceba que o ícone da ferramenta macro mudou de para . Agora, definem-se os parâmetros iniciaisda construção do quadrado pontos A e B e segmento AB. Em seguida, clica-se novamente em e volta nafigura para clicar nos segmentos AB, BC, CD e DA e na figura do polígono, i.e., dentro do polígono. Feito isso,clique em e abrirá a seguinte janela e preencha tal qual a figura abaixo:Depois aperte Ok para salvar macro do quadrado.Em seguida, construa o triângulo retângulo FÊG, reto em E.
  11. 11. Use a ferramenta “Oculta Objeto” para esconder a reta perpendicular usada na construção do triânguloretângulo. Em seguida, clica-se com o botão direito do mouse sobre o segmento EF e abrirá uma janela, nelaselecione os botões e . Tal qual a figura abaixo:Dê “OK”, e faças analogamente ao segmento FG e EG, para obter os valores das medidas desses segmentos.Para usar macro, clica-se no botão “Executar Macro”:Abrirá à janela, “Escolha”, selecione “quadrado” e clique em “OK”:
  12. 12. Para finalizar, basta clicar em dois pontos de cada um dos segmentos que formam os lados do triânguloretângulo FÊG e obteremos os respectivos quadrados a esses lados, provando desse modo à validade doteorema de Pitágoras.A fim de obter os quadrados das medidas dos lados do triangulo retângulo, clica-se em “Expressão Aritmética”.Portanto, abrirá a janela “Editar Expressão”, preencha-a tal qual modelo abaixo a cada um dos segmentos dotriângulo:Obtendo-se assim, a figura a seguir:
  13. 13. Para verificar a validade do Teorema de Pitágoras, mova qualquer um dos pontos do triângulo FÊG.

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