Diferenciação Logarítmica e Derivadas das Funções Exponenciais,

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Diferenciação Logarítmica e Derivadas das Funções Exponenciais

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Diferenciação Logarítmica e Derivadas das Funções Exponenciais,

  1. 1. www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Diferenciação Logarítmica Consideremos agora uma técnica chamada diferenciação logarítmica, a qual é útil para diferenciar funções compostas de produtos, de quocientes e de potências. Exemplo A derivada de é relativamente difícil de ser calculada diretamente. Contudo, se primeiro tomarmos o logaritmo natural de ambos os lados e, então, usarmos suas propriedades, podemos escrever: Diferenciando ambos os lados em relação a x, resulta Assim, resolvendo para dy/dx e usando obtemos OBSERVAÇÃO: Uma vez que 1n y é definido apenas para y > 0, a diferenciação logarítmica de y = f(x) é válida apenas nos intervalos onde f(x) for positiva. Assim, a derivada mostrada no exemplo é válida no intervalo ( 2, + ), uma vez que a função dada é positiva para x > 2. Contudo, a fórmula é realmente válida também no intervalo ( - , 2). Isso pode ser visto tomando-se valores absolutos antes de prosseguir com a diferenciação logarítmica e notando que está definido para todo y exceto em y = 0. Se fizermos isso e simplificarmos usando as propriedades de logaritmos e dos valores absolutos, obteremos Diferenciando ambos os lados em relação a x dá lugar a , e, portanto, resulta em .Em geral, se a derivada de y = f(x) for obtida por diferenciação logarítmica, então a mesma fórmula para dy/dx resultará tomando-se ou não, primeiro, valores absolutos. Assim, uma fórmula da derivada obtida por diferenciação logarítmica será válida, exceto nos pontos onde f(x) for zero. A fórmula pode ser válida também naqueles pontos, mas não é garantido. 1/2
  2. 2. www.MonitoriadeEngenharia.com.br – O Empurrãozinho que falta para sua Graduação! Derivadas das Funções Exponenciais Para obter uma fórmula para a derivada de funções exponenciais y= reescrevemos esta equação como x= e diferenciamos implicitamente usando para obter que podemos reescrever usando y = como Assim, mostrando que se for uma função diferenciável, então sua derivada em relação a x é No caso especial onde b = e temos 1n e = 1n, assim torna-se Além disso, se u for uma função diferenciável de x, então tem-se a partir de e que OBSERVAÇÃO: É importante distinguir entre diferenciar (expoente variável e base constante) e (base variável e expoente constante). Exemplo: Os cálculos a seguir usam 2/2

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