Presentacion colas actualizacion

1. Teoría de Colas
ICEF

2. Una historia conocida por muchos de
nosotros…
• En el banco.
• En un hospital.
• En el supermercado.
• …
• Se necesitan respuestas a preguntas tales como
• ¿Qué fracción de tiempo cada servidor está libre?
• ¿Cuál es el número esperado de clientes en la cola?
• ¿Cuál es el tiempo esperado que un cliente permanece en una
cola?
• ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de clientes
presentes en una cola ?
• Si un gerente de un banco desea asegurar que únicamente el 1% de
todos sus clientes tengan que esperar más de 5 minutos para ser
atendidos, cuántos cajeros debe emplear.

3. Teoría de Colas
• Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por
parte de los clientes excede la capacidad del servicio.
• Se necesita conocer (predecir) el ritmo de entrada de los
clientes y el tiempo de servicio con cada cliente.
• La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos
que describen sistemas de líneas de espera particulares
Objetivo:
• Equilibrar los costos de capacidad del servicio y el “costo”
de una espera larga.
TEORÍA DE COLAS
• Estudio matemático de las características de los sistemas de
colas.

4. Proceso en una cola
• 1. Entrada de clientes
• 2. Sistema de colas cola o línea de espera
mecanismo de servicio
• 3. Salida de clientes

5. Algunos ejemplos
Clientes Servicio Servidores
Clientes tienda Venta artículo Dependiente
Clientes banco Operación financiera Ventanilla
Clientes sulpermercado Cobro compra Caja
Automóvil llenar depósito Surtidor
Automóvil Reparación avería Operarios taller
Avión Aterrizaje/ despegue Pista
Llamadas telefónicas Conversación Central
Enfermos Atención médica Médico
Cajas Transporte Personal Almacenamiento
Juicios pendientes Juicio Jueces

6. Estructuras típicas de sistemas de
colas: una línea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas

7. Estructuras típicas de sistemas de colas: una
línea, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

8. Estructuras típicas de colas: varias líneas,
múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola

9. http://www.auladeeconomia.com
Estructuras típicas de colas: una línea,
servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor

10. Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para el
cliente al esperar
• Representa el costo de oportunidad del
tiempo perdido
• Un sistema con un bajo costo de espera
es una fuente importante de
competitividad

11. Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo de
operación del servicio brindado
• Es más fácil de estimar
– El objetivo de un sistema de colas es
encontrar el sistema del costo total
mínimo

12. Entrada de clientes
TAMAÑO
Número total de clientes potenciales (población de entrada):
• Finito (fuente limitada) (sistema cerrado)
• Infinito (fuente ilimitada) (sistema abierto)
Suposición habitual: tamaño infinito (es decir, el número de clientes en la cola NO
afecta el número potencial de clientes fuera de ella)
ENTRADA O FUENTE
• Unitaria
• Por bloques
TIEMPO ENTRE LLEGADAS
• Determinista
• Probabilista (distribución de probabilidad exponencial)
TASA MEDIA DE LLEGADA λ
• Número medio de entrada de clientes por unidad de tiempo
• Llegadas de clientes son independientes e idénticamente distribuidas (IID)

13. COLA
Número máximo de clientes admisible
• Finito
• Infinito
• Suposición habitual: colas de longitud infinita (pérdida del
cliente o reintento). Muy común en centrales telefónicas
Número de canales (carriles de una calle ante un semáforo)
en la cola e interferencia entre ellos
Disciplina de la Cola
Orden de selección de sus miembros para ser atendidos
• FIFO, FIFO con límite
• LIFO
• SIRO (Aleatorio)
• Por prioridad (interruptora o no)

14. Mecanismo de Servicio
SERVIDORES
• Proporcionan el servicio al cliente
Número de servidores:
• Uno
• Varios
• Independencia o no entre servidores
TIEMPO DE SERVICIO
• Determinista
• Probabilista (distribución de probabilidad exponencial)
TASA MEDIA DE SERVICIO µ
• Número medio de clientes que son atendidos en un
servidor por unidad de tiempo.
• Servicios a clientes son independientes e idénticamente
distribuidos (IID)

15. Especificación de un sistema de colas
Distribución del tiempo entre llegadas / Distribución del
tiempo de servicio / Número de servidores / Número
máximo de clientes en el sistema / Disciplina de la cola
M exponencial
D degenerada (tiempos constantes)
E Erlang (Gamma)
G general
Ejemplos:
 M/M/s
 M/M/s/K/FIFO
 M/M/s/s
 M/G/1
David George Kendall

16. Medidas de Eficacia de un
Sistema de Colas
l tasa media de llegadas 1/l tiempo medio entre llegadas
m tasa media de servicio 1/m tiempo medio de servicio
 factor de utilización (intensidad de tráfico): fracción
esperada de tiempo que están ocupados los s
servidores
habitualmente  < 1
m
l

s

También puede interpretarse
como número promedio de
personas siendo atendidas

17. Si se tiene s=1
ρ: fracción esperada de tiempo que los servidores individuales
están ocupados.
El servidor está trabajando 4 de cada cinco minutos,
es decir el 80% del tiempo

18. Notación
• Se utilizará la siguiente notación:
N(t): Número de clientes en el sistema de colas en
el tiempo t.
s: número de servidores en el sistema de colas.
λn :tasa media de llegadas de nuevos clientes
cuando hay n clientes en el sistema.
μn: tasa media de servicio para todo el sistema
cuando hay n clientes en el sistema (tasa
combinada).

19. Notación
La condición estacionaria se produce cuando la
distribución del número de clientes en el
sistema se conserva a través del tiempo.

20. Notación

21. Notación

22. Ecuaciones en el sistema M/M/1

23. Ejemplo 1

24. Ejemplo 2

25. Teoría fundamental
Cliente Servidor(es)

26. • Para formular un modelo de teoría de colas
como una representación del sistema real, es
necesario especificar la forma supuesta de
cada una de estas distribuciones
Suficiente mente
realista
Suficientemente
sencilla
Predicciones
razonables
Matemáticamente
manejable
Distribución
exponencial

43. Ejercicios

50. Procesos de nacimiento y muerte
En Teoría de colas

52. No hay nacimientos ni muertes
colectivas

56. Principio clave:

71. Ejercicios:

102. Otros ejercicios

103. • El gerente de un banco desea determinar cuantos cajeros
deben trabajar en Viernes. Por cada minuto que un cliente
espera en la fila, el gerente cree que existe un costo de 5
centavos. Un promedio de 2 clientes por minuto llegan al
banco. En promedio, le toma a un cajero 2 minutos atender
a un cliente. El costo de contratar un cajero le representa al
banco 9 dólares por hora. Los tiempos de servicio y entre
llegadas son exponenciales. Para minimizar la suma de los
costos de servicio y los costos de espera, ¿Cuántos cajeros
deberían atender en el banco los días Viernes?
• Sugerencia: El costo esperado total es la suma del costo
esperado del servicio por minuto mas el costo esperado de
espera por minuto.